Apabila membina teori aksiomatik nombor asli, istilah utama ialah "elemen" atau "nombor" (yang dalam konteks manual ini boleh kita anggap sebagai sinonim) dan "set", hubungan utama: "kepunyaan" (unsur tergolong dalam set), "kesamaan" dan " susulan”, ditandakan a / (dibaca “nombor pukulan mengikuti nombor a”, contohnya, dua diikuti oleh tiga, iaitu, 2 / = 3, nombor 10 diikuti oleh nombor 11, iaitu, 10 / = 11, dsb.).
Set nombor asli(siri semula jadi, integer positif) ialah set N dengan perhubungan "ikut selepas" yang diperkenalkan, di mana 4 aksiom berikut dipenuhi:
A 1. Dalam set N terdapat unsur yang dipanggil unit, yang tidak mengikut mana-mana nombor lain.
A 2. Untuk setiap elemen siri semula jadi, hanya ada satu di sebelahnya.
A 3. Setiap unsur N mengikuti paling banyak satu unsur siri semula jadi.
A 4.( Aksiom aruhan) Jika subset M bagi set N mengandungi satu, dan juga, bersama setiap elemennya a, juga mengandungi unsur berikut a / , maka M bertepatan dengan N.
Aksiom yang sama boleh ditulis secara ringkas menggunakan simbol matematik:
A 1 ( 1 N) ( a N) a / ≠ 1
A 2 ( a N) ( a / N) a = b => a / = b /
A 3 a / = b / => a = b
Jika unsur b mengikuti unsur a (b = a /), maka kita akan mengatakan bahawa unsur a adalah sebelum unsur b (atau mendahului b). Sistem aksiom ini dipanggil Sistem aksiom Peano(sejak ia diperkenalkan pada abad ke-19 oleh ahli matematik Itali Giuseppe Peano). Ini hanyalah salah satu set aksiom yang mungkin yang membolehkan kita mentakrifkan set nombor asli; Terdapat pendekatan lain yang setara.
Sifat termudah bagi nombor asli
Harta 1. Jika unsur-unsur berbeza, maka yang mengikutinya berbeza, iaitu
a b => a / b / .
Bukti dijalankan secara percanggahan: andaikan a / = b /, maka (oleh A 3) a = b, yang bercanggah dengan syarat teorem.
Harta 2. Jika unsur-unsur itu berbeza, maka yang mendahuluinya (jika wujud) berbeza, iaitu
a / b / => a b.
Bukti: andaikan a = b, maka, menurut A 2, kita mempunyai a / = b /, yang bercanggah dengan syarat teorem.
Harta 3. Tiada nombor asli yang sama dengan nombor seterusnya.
Bukti: Mari kita perkenalkan set M, yang terdiri daripada nombor asli yang mana syarat ini dipenuhi
M = (a N | a a / ).
Kami akan menjalankan bukti berdasarkan aksiom aruhan. Mengikut takrif set M, ia adalah subset bagi set nombor asli. Seterusnya 1M, kerana seseorang tidak mengikut sebarang nombor asli (A 1), yang bermaksud bahawa juga untuk a = 1 kita mempunyai: 1 1 / . Sekarang mari kita andaikan bahawa beberapa a M. Ini bermakna a a / (mengikut takrifan M), dari mana a / (a /) / (harta 1), iaitu, a / M. Daripada semua di atas, berdasarkan Menggunakan aksiom aruhan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa M = N, iaitu teorem kita adalah benar untuk semua nombor asli.
Teorem 4. Untuk sebarang nombor asli selain 1, terdapat nombor yang mendahuluinya.
Bukti: Pertimbangkan set
M = (1) (c N | ( a N) c = a / ).
M ini ialah subset bagi set nombor asli, satu jelas tergolong dalam set ini. Bahagian kedua set ini ialah elemen yang terdapat pendahulunya, oleh itu, jika a M, maka a / juga tergolong dalam M (bahagian kedua, kerana a / mempunyai pendahulu - ini adalah a). Oleh itu, berdasarkan aksiom aruhan, M bertepatan dengan set semua nombor asli, yang bermaksud bahawa semua nombor asli adalah sama ada 1 atau nombor yang terdapat unsur sebelumnya. Teorem telah terbukti.
Ketekalan teori aksiomatik nombor asli
Sebagai model intuitif bagi set nombor asli, kita boleh mempertimbangkan set baris: nombor 1 akan sepadan dengan |, nombor 2 ||, dsb., iaitu, siri semula jadi akan kelihatan seperti:
|, ||, |||, ||||, ||||| ….
Barisan garisan ini boleh berfungsi sebagai model nombor asli jika "mengatribusikan satu baris kepada nombor" digunakan sebagai hubungan "ikut selepas". Kesahihan semua aksiom adalah jelas secara intuitif. Sudah tentu, model ini tidak logik sepenuhnya. Untuk membina model yang ketat, anda perlu mempunyai satu lagi teori aksiomatik yang jelas konsisten. Tetapi kami tidak mempunyai teori sedemikian yang kami gunakan, seperti yang dinyatakan di atas. Oleh itu, sama ada kita terpaksa bergantung pada gerak hati, atau tidak menggunakan kaedah model, tetapi merujuk kepada fakta bahawa selama lebih dari 6 ribu tahun, di mana kajian nombor asli telah dijalankan, tiada percanggahan dengan aksiom ini telah ditemui.
Kebebasan sistem aksiom Peano
Untuk membuktikan kebebasan aksiom pertama, cukup untuk membina model di mana aksiom A 1 adalah palsu, dan aksiom A 2, A 3, A 4 adalah benar. Mari kita pertimbangkan nombor 1, 2, 3 sebagai istilah utama (elemen), dan tentukan hubungan "ikut" dengan hubungan: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.
Tiada unsur dalam model ini yang tidak mengikut mana-mana yang lain (aksiom 1 adalah palsu), tetapi semua aksiom lain berpuas hati. Oleh itu, aksiom pertama tidak bergantung pada yang lain.
Aksiom kedua terdiri daripada dua bahagian - kewujudan dan keunikan. Kebebasan aksiom ini (dari segi kewujudan) boleh digambarkan oleh model dua nombor (1, 2) dengan hubungan "ikut" ditakrifkan oleh hubungan tunggal: 1 / = 2:
Untuk dua, unsur seterusnya tiada, tetapi aksiom A 1, A 3, A 4 adalah benar.
Kebebasan aksiom ini, dari segi keunikan, digambarkan oleh model di mana set N akan menjadi set semua nombor asli biasa, serta semua jenis perkataan (set huruf yang tidak semestinya mempunyai makna) dibuat. daripada huruf abjad Latin (selepas huruf z yang seterusnya akan menjadi aa, kemudian ab ... az, kemudian ba ...; semua perkataan dua huruf yang mungkin, yang terakhir akan menjadi zz, akan diikuti dengan perkataan aaa, dan seterusnya). Kami memperkenalkan hubungan "ikut" seperti yang ditunjukkan dalam rajah:
Di sini aksiom A 1, A 3, A 4 juga benar, tetapi 1 serta-merta diikuti oleh dua unsur 2 dan a. Oleh itu, aksiom 2 tidak bergantung pada yang lain.
Kebebasan Axiom 3 digambarkan oleh model:
di mana A 1, A 2, A 4 adalah benar, tetapi nombor 2 mengikuti kedua-dua nombor 4 dan nombor 1.
Untuk membuktikan kebebasan aksiom aruhan, kami menggunakan set N, yang terdiri daripada semua nombor asli, serta tiga huruf(a, b, c). Hubungan berikut dalam model ini boleh diperkenalkan seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut:
Di sini, untuk nombor asli, hubungan ikut biasa digunakan, dan untuk huruf, hubungan ikut ditakrifkan oleh formula berikut: a / = b, b / = c, c / = a. Jelas sekali bahawa 1 tidak mengikuti sebarang nombor asli, untuk setiap satu terdapat seterusnya, dan hanya satu, setiap elemen mengikuti paling banyak satu elemen. Walau bagaimanapun, jika kita menganggap set M yang terdiri daripada nombor asli biasa, maka ini akan menjadi subset set ini yang mengandungi satu, serta elemen seterusnya untuk setiap elemen daripada M. Walau bagaimanapun, subset ini tidak akan bertepatan dengan keseluruhan model di bawah pertimbangan, kerana ia tidak akan mengandungi huruf a, b, c. Oleh itu, aksiom aruhan tidak berpuas hati dalam model ini, dan, oleh itu, aksiom aruhan tidak bergantung pada aksiom lain.
Teori aksiomatik nombor asli ialah berkategori(lengkap dalam erti kata sempit).
(n /) =( (n)) / .
Prinsip aruhan matematik lengkap.
Teorem aruhan. Biarkan beberapa pernyataan P(n) dirumuskan untuk semua nombor asli, dan biarkan a) P(1) adalah benar, b) daripada fakta bahawa P(k) adalah benar, maka P(k /) adalah juga benar. Maka pernyataan P(n) adalah benar untuk semua nombor asli.
Untuk membuktikannya, mari kita perkenalkan set M nombor asli n (M N) yang mana pernyataan P(n) adalah benar. Mari kita gunakan aksiom A 4, iaitu, kita akan cuba membuktikan bahawa:
k M => k / M.
Jika kita berjaya, maka, menurut aksiom A 4, kita boleh membuat kesimpulan bahawa M = N, iaitu, P(n) adalah benar untuk semua nombor asli.
1) Mengikut keadaan a) teorem, P(1) adalah benar, oleh itu, 1 M.
2) Jika beberapa k M, maka (dengan pembinaan M) P(k) adalah benar. Mengikut keadaan b) teorem, ini melibatkan kebenaran P(k /), yang bermaksud k / M.
Oleh itu, dengan aksiom aruhan (A 4) M = N, yang bermaksud P(n) adalah benar untuk semua nombor asli.
Oleh itu, aksiom aruhan membolehkan kita mencipta kaedah untuk membuktikan teorem "melalui aruhan." Kaedah ini memainkan peranan penting dalam membuktikan teorem asas aritmetik mengenai nombor asli. Ia terdiri daripada yang berikut:
1) kesahihan pernyataan itu disemakn=1 (asas induksi) ,
2) kesahihan pernyataan ini diandaikan untukn= k, Di manak– nombor asli sewenang-wenangnya(hipotesis induktif) , dan mengambil kira andaian ini, kesahihan pernyataan itu ditubuhkan untukn= k / (langkah induksi ).
Bukti berdasarkan algoritma yang diberikan dipanggil bukti secara induksi matematik .
Tugas untuk penyelesaian bebas
No 1.1. Ketahui sistem tersenarai yang manakah memenuhi aksiom Peano (ia adalah model bagi set nombor asli), tentukan aksiom mana yang berpuas hati dan yang mana tidak.
a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1;
b) N =(n 6, n N), n / = n + 1;
c) N =(n – 2, n Z), n / = n + 1;
d) N =(n – 2, n Z), n / = n + 2;
e) nombor asli ganjil, n / = n +1;
f) nombor asli ganjil, n / = n +2;
g) Nombor asli dengan nisbah n / = n + 2;
h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;
i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;
j) Nombor asli, gandaan 3 dengan nisbah n / = n + 3
k) Nombor asli genap dengan nisbah n / = n + 2
m) Nombor bulat, 
.
Sistem aksiom bagi teori integer yang diberikan adalah tidak bebas, seperti yang dinyatakan dalam Latihan 3.1.4.
Teorem 1. Teori aksiomatik integer adalah konsisten.
Bukti. Kami akan membuktikan ketekalan teori aksiomatik integer, berdasarkan andaian bahawa teori aksiomatik nombor asli adalah konsisten. Untuk melakukan ini, kami akan membina model di mana semua aksiom teori kami berpuas hati.
Mula-mula, mari kita bina cincin. Pertimbangkan set
N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.
a, b) nombor asli. Dengan pasangan sedemikian kita akan memahami perbezaan nombor asli a–b. Tetapi sehingga kewujudan sistem integer di mana perbezaan sedemikian wujud dibuktikan, kami tidak berhak untuk menggunakan sebutan sedemikian. Pada masa yang sama, pemahaman sedemikian memberi kita peluang untuk menetapkan sifat pasangan seperti yang kita perlukan.
Kita tahu bahawa perbezaan nombor asli yang berbeza boleh sama dengan integer yang sama. Sehubungan itu, mari kita perkenalkan pada set N´ N hubungan kesamarataan:
(a, b) = (c,d) Û a + d = b + c.
Adalah mudah untuk melihat bahawa hubungan ini adalah refleksif, simetri dan transitif. Oleh itu, ia adalah hubungan kesetaraan dan mempunyai hak untuk dipanggil kesamaan. Set faktor set N´ N Z. Kami akan memanggil elemennya integer. Mereka mewakili kelas kesetaraan pada set pasangan. Kelas yang mengandungi sepasang
(a, b), nyatakan dengan [ a, b].
Z a, b] bagaimana pula dengan perbezaannya a–b
[a, b] + [c,d] = [a+c, b+d];
[a, b] × [ c,d] = [ac+bd, ad+bc].
Perlu diingat bahawa, secara tegasnya, penggunaan simbol operasi di sini tidak betul sepenuhnya. Simbol + yang sama menandakan penambahan nombor asli dan pasangan. Tetapi kerana ia sentiasa jelas dalam set operasi yang diberikan, di sini kami tidak akan memperkenalkan tatatanda berasingan untuk operasi ini.
Ia dikehendaki menyemak ketepatan takrifan operasi ini, iaitu, keputusan tidak bergantung pada pilihan elemen. a Dan b, mentakrifkan pasangan [ a, b]. Sesungguhnya, biarkan
[a, b] = [a 1 ,b 1 ], [s, d] = [Dengan 1 ,d 1 ].
Maksudnya begitu a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + Dengan 1 . Menambah persamaan ini, kita dapat
a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + Dengan 1 Þ[ a + b, c + d] = [a 1 +Dengan 1 ,b 1 + d 1] Þ
Þ [ a, b] + [c,d] = [a 1 ,b 1 ] + [c 1 ,d 1 ].
Ketepatan definisi pendaraban ditentukan sama. Tetapi di sini anda perlu menyemak dahulu bahawa [ a, b] × [ c,d] = [a 1 ,b 1 ] × [ c,d].
Sekarang kita harus menyemak bahawa algebra yang terhasil ialah gelang, iaitu aksiom (Z1) – (Z6).
Mari kita semak, sebagai contoh, komutatif penambahan, iaitu aksiom (Z2). Kami ada
[c,d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c,d].
Komutatif penambahan untuk integer diperoleh daripada komutatif penambahan untuk nombor asli, yang dianggap sudah diketahui.
Aksiom (Z1), (Z5), (Z6) diperiksa sama.
Peranan sifar dimainkan oleh pasangan. Mari kita nyatakan dengan 0 . sungguh,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].
Akhirnya, -[ a, b] = [b,a]. sungguh,
[a, b] + [b,a] = [a+b, b+a] = = 0 .
Sekarang mari kita semak aksiom sambungan. Perlu diingat bahawa dalam cincin yang dibina tidak ada nombor asli seperti itu, kerana unsur-unsur cincin adalah kelas pasangan nombor asli. Oleh itu, kita perlu mencari isomorfik subalgebra kepada pensemiran nombor asli. Di sini sekali lagi idea pasangan [ a, b] bagaimana pula dengan perbezaannya a–b. Nombor asli n boleh diwakili sebagai perbezaan dua semula jadi, contohnya, seperti berikut: n = (n+ 1) – 1. Maka timbullah cadangan untuk mengadakan surat-menyurat f: N ® Z mengikut peraturan
f(n) = [n + 1, 1].
Surat-menyurat ini adalah injektif:
f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.
Akibatnya, kami mempunyai surat-menyurat satu dengan satu antara N dan beberapa subset Z, yang kami nyatakan dengan N*. Mari semak sama ada ia menjimatkan operasi:
f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);
f(n) × f(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).
Ini menetapkan bahawa N* bentuk dalam Z berkenaan dengan operasi penambahan dan pendaraban isomorfik subalgebra N
Mari kita nyatakan pasangan [ n+ 1, 1] daripada N* n, melalui n a, b] kita ada
[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .
Ini akhirnya menyokong idea pasangan [ a, b] sebagai perbezaan nombor asli. Pada masa yang sama, ia telah ditubuhkan bahawa setiap elemen daripada set yang dibina Z diwakili sebagai perbezaan dua yang semula jadi. Ini akan membantu mengesahkan aksiom minima.
biarlah M – subset Z, mengandungi N* dan bersama-sama dengan mana-mana unsur A Dan b perbezaan mereka a – b. Mari kita buktikan dalam kes ini M =Z. Memang mana-mana elemen dari Z diwakili sebagai perbezaan dua nombor asli, yang mengikut syarat tergolong M beserta perbezaannya.
Z
Teorem 2. Teori aksiomatik integer adalah kategori.
Bukti. Mari kita buktikan bahawa mana-mana dua model di mana semua aksiom teori ini dipenuhi adalah isomorfik.
Biarkan á Z 1, +, ×, N 1 ñ dan á Z 2 , +, ×, N 2 ñ – dua model teori kami. Tegasnya, operasi di dalamnya mesti ditunjukkan oleh simbol yang berbeza. Kami akan menjauhkan diri daripada keperluan ini agar tidak mengacaukan pengiraan: setiap kali jelas apa operasi kita bercakap tentang. Elemen kepunyaan model yang sedang dipertimbangkan akan disediakan dengan indeks 1 atau 2 yang sepadan.
Kami akan mentakrifkan pemetaan isomorfik dari model pertama hingga yang kedua. Kerana N 1 dan N 2 ialah semiring nombor asli, maka terdapat pemetaan isomorfik j semiring pertama ke kedua. Mari kita tentukan pemetaan f: Z 1® Z 2. Setiap integer X 1 Î Z 1 diwakili sebagai perbezaan dua yang semula jadi:
X 1 =a 1 – b 1 . Kami percaya
f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).
Mari kita buktikan f– isomorfisme. Pemetaan ditakrifkan dengan betul: jika X 1 = di 1 di mana y 1 = c 1 – d 1, kemudian
a 1 – b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1) Þ
Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (y 1).
Ia berikutan itu f – pemetaan satu-satu Z 1 dalam Z 2. Tetapi untuk sesiapa sahaja X 2 daripada Z 2 unsur semula jadi boleh didapati a 2 dan b 2 sedemikian X 2 =a 2 – b 2. Memandangkan j ialah isomorfisme, unsur-unsur ini mempunyai imej songsang a 1 dan b 1 . Bermaksud, x 2 = j( a 1) –
j( b 1) =
= f (a 1 – b 1), dan untuk setiap elemen daripada Z 2 ialah prototaip. Oleh itu surat-menyurat f satu-satu. Mari periksa sama ada ia menjimatkan operasi.
Jika X 1 =a 1 – b 1 , y 1 =c 1 –d 1, kemudian
X 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),
f(X 1 + y 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =
J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).
Begitu juga, ia disahkan bahawa pendaraban dipelihara. Ini menetapkan bahawa f ialah isomorfisme, dan teoremnya terbukti.
Senaman
1. Buktikan bahawa mana-mana cincin yang termasuk sistem nombor asli juga termasuk cincin integer.
2. Buktikan bahawa setiap gelang komutatif tertib minimum dengan identiti adalah isomorfik kepada gelang integer.
3. Buktikan bahawa setiap gelang tersusun dengan satu dan tiada pembahagi sifar mengandungi hanya satu subring isomorfik kepada gelang integer.
4. Buktikan bahawa gelang matriks tertib kedua di atas medan nombor nyata mengandungi banyak subring yang isomorfik kepada gelang integer.
Medan nombor rasional
Takrifan dan pembinaan sistem nombor rasional dijalankan dengan cara yang sama seperti yang dilakukan untuk sistem integer.
Definisi. Sistem nombor rasional ialah medan minimum yang merupakan lanjutan daripada cincin integer.
Selaras dengan definisi ini, kita memperoleh pembinaan aksiomatik sistem nombor rasional berikut.
Istilah utama:
Q– set nombor rasional;
0, 1 – pemalar;
+, × – operasi binari pada Q;
Z– subset Q, set integer;
Å, Ä – operasi binari pada Z.
Aksiom:
saya. Aksiom medan.
(S1) a+ (b+c) = (a+b) + c.
(S2) a + b = b + a.
(S3) (" a) a + 0 = a.
(S4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.
(S5) a× ( b× c) = (a× b) × c.
(S6) a× b = b× a.
(S7) A× 1 = A.
(S8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.
(S9) ( a+b) × c = a × c + b× c.
II. Aksiom lanjutan.
(S10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – gelang nombor asli.
(S11) Z Í Q.
(S12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.
(S13) (" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.
III. Aksiom keminimuman.
(S14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 О M)Þ M = Q.
Nombor a× b–1 dipanggil hasil bagi nombor A Dan b, dilambangkan a/b atau .
Teorem 1. Setiap nombor rasional boleh diwakili sebagai hasil bagi dua integer.
Bukti. biarlah M– satu set nombor rasional yang boleh diwakili sebagai hasil bagi dua integer. Jika n- keseluruhan, kemudian n = n/1 milik M, oleh itu, ZÍ M. Jika a, bÎ M, Itu a = k/l, b = m/n, di mana k, l, m, nÎ Z. Oleh itu, a/b=
= (kn) / (lm)Î M. Mengikut aksiom (Q14) M= Q, dan teorem itu terbukti.
Teorem 2. Medan nombor rasional boleh disusun secara linear dan ketat, dan dengan cara yang unik. Susunan dalam bidang nombor rasional ialah Archimedean dan meneruskan susunan dalam gelang integer.
Bukti. Mari kita nyatakan dengan Q+ set nombor yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana kl> 0. Adalah mudah untuk melihat bahawa keadaan ini tidak bergantung kepada jenis pecahan yang mewakili nombor.
Mari kita semak itu Q + – bahagian positif dalam bidang tersebut Q. Sejak untuk integer kl tiga kes mungkin: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, maka untuk a = kita mendapat satu daripada tiga kemungkinan: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Selanjutnya, jika a = , b = tergolong Q+ , kemudian kl > 0, mn> 0. Kemudian a + b = , dan ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Jadi a + bО Q + . Ia boleh disahkan dengan cara yang sama seperti abО Q + . Oleh itu, Q + – bahagian positif dari bidang tersebut Q.
biarlah Q++ – beberapa bahagian positif dalam bidang ini. Kami ada
l =.l 2 О Q ++ .
Dari sini NÍ Q++. Mengikut Teorem 2.3.4, songsangan bagi nombor asli juga tergolong dalam Q++. Kemudian Q + Í Q++. Berdasarkan Teorem 2.3.6 Q + =Q++. Oleh itu, pesanan yang ditakrifkan oleh bahagian positif juga bertepatan Q+ dan Q ++ .
Kerana Z + = NÍ Q+ , maka perintahnya ialah Q terus order masuk Z.
Biarkan sekarang a => 0, b => 0. Oleh kerana tertib dalam gelang integer Archimedean, maka untuk positif kn Dan ml ada sesuatu yang semula jadi Dengan seperti itu Dengan× kn>ml. Dari sini Dengan a = Dengan> = b. Ini bermakna susunan dalam bidang nombor rasional ialah Archimedean.
Senaman
1. Buktikan bahawa medan nombor rasional adalah tumpat, iaitu, untuk sebarang nombor rasional a < b ada rasionalnya r seperti itu a < r < b.
2. Buktikan bahawa persamaan X 2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam Q.
3. Buktikan bahawa set Q boleh dikira.
Teorem 3. Teori aksiomatik nombor rasional adalah konsisten.
Bukti. Ketekalan teori aksiomatik nombor rasional dibuktikan dengan cara yang sama seperti untuk integer. Untuk melakukan ini, model dibina di mana semua aksiom teori itu dipenuhi.
Sebagai asas kita ambil set
Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.
Unsur-unsur set ini ialah pasangan ( a, b) integer. Dengan pasangan sedemikian kita akan memahami hasil bagi integer a/b. Selaras dengan ini, kami menetapkan sifat pasangan.
Mari kita perkenalkan pada set Z´ Z* hubungan kesamarataan:
(a, b) = (c,d) Û iklan = bc.
Kami ambil perhatian bahawa ia adalah hubungan kesetaraan dan mempunyai hak untuk dipanggil kesaksamaan. Set faktor set Z´ Z* mengikut hubungan kesamarataan ini kita nyatakan dengan Q. Kami akan memanggil unsurnya sebagai nombor rasional. Kelas yang mengandungi pasangan ( a, b), nyatakan dengan [ a, b].
Mari kita perkenalkan dalam set yang dibina Q operasi tambah dan darab. Ini akan membantu kita memahami elemen [ a, b] sebagai peribadi a/b. Selaras dengan ini, kami menganggap mengikut definisi:
[a, b] + [c,d] = [iklan+bc, bd];
[a, b] × [ c,d] = [ac, bd].
Kami menyemak ketepatan definisi operasi ini, iaitu, keputusan tidak bergantung pada pilihan elemen a Dan b, mentakrifkan pasangan [ a, b]. Ini dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam pembuktian Teorem 3.2.1.
Peranan sifar dimainkan oleh pasangan. Mari kita nyatakan dengan 0 . sungguh,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].
Bertentangan dengan [ a, b] ialah pasangan –[ a, b] = [–a, b]. sungguh,
[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .
Unit ialah pasangan = 1 . Balikkan kepada pasangan [ a, b] - sepasang [ b,a].
Sekarang mari kita semak aksiom sambungan. Mari kita wujudkan surat-menyurat
f: Z ® Q mengikut peraturan
f(n) = [n, 1].
Kami menyemak bahawa ini adalah surat-menyurat satu dengan satu antara Z dan beberapa subset Q, yang kami nyatakan dengan Z*. Kami selanjutnya menyemak bahawa ia mengekalkan operasi, yang bermaksud ia mewujudkan isomorfisme antara Z dan di bawah gelanggang Z* V Q. Ini bermakna aksiom sambungan telah disahkan.
Mari kita nyatakan pasangan [ n, 1] daripada Z*, sepadan dengan nombor asli n, melalui n . Kemudian untuk pasangan sewenang-wenangnya [ a, b] kita ada
[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .
Ini membenarkan idea pasangan [ a, b] sebagai hasil bagi integer. Pada masa yang sama, ia telah ditubuhkan bahawa setiap elemen daripada set yang dibina Q diwakili sebagai hasil bagi dua integer. Ini akan membantu mengesahkan aksiom minima. Pengesahan dijalankan seperti dalam Teorem 3.2.1.
Oleh itu, untuk sistem yang dibina Q semua aksiom teori integer berpuas hati, iaitu, kami telah membina model teori ini. Teorem telah terbukti.
Teorem 4. Teori aksiomatik nombor rasional adalah kategori.
Buktinya serupa dengan Teorem 3.2.2.
Teorem 5. Medan tertib Archimedean ialah lanjutan daripada medan nombor rasional.
Buktinya adalah latihan.
Teorem 6. biarlah F– Medan perintah Archimedean, a > b, di mana a, bÎ F. Terdapat nombor rasional Î F seperti itu a > > b.
Bukti. biarlah a > b³ 0. Kemudian a–b> 0, dan ( a–b) –1 > 0. Ada yang semulajadi T seperti itu m×1 > ( a–b) –1 , dari mana m –1 < a–b £ A. Tambahan pula, terdapat semula jadi k seperti itu k× m–1³ a. biarlah k ialah nombor terkecil yang dimiliki oleh ketidaksamaan ini. Kerana k> 1, maka kita boleh meletakkan k = n + 1, n Î N. Di mana
(n+ 1)× m–1³ a, n× m –1 < a. Jika n× m–1 £ b, Itu a = b + (a–b) > b+m–1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Percanggahan. Bermaksud, a >n× m –1 > b.
Senaman
4. Buktikan bahawa mana-mana medan yang termasuk cincin integer juga termasuk medan nombor rasional.
5. Buktikan bahawa setiap medan tertib minimum adalah isomorfik kepada medan nombor rasional.
Nombor sebenar
Dalam pembinaan aksiomatik mana-mana teori matematik, tertentu peraturan:
· beberapa konsep teori dipilih sebagai asas dan diterima tanpa definisi;
· setiap konsep teori yang tidak terkandung dalam senarai asas diberi definisi;
· aksiom dirumuskan - cadangan bahawa dalam teori tertentu diterima tanpa bukti; mereka mendedahkan sifat-sifat konsep asas;
· setiap proposisi teori yang tidak terkandung dalam senarai aksiom mesti dibuktikan; Proposisi sedemikian dipanggil teorem dan dibuktikan berdasarkan aksiom dan teorem.
Dalam pembinaan aksiomatik sesuatu teori, semua pernyataan diperoleh daripada aksiom melalui bukti.
Oleh itu, keperluan khas dikenakan kepada sistem aksiom. keperluan:
· ketekalan (sistem aksiom dipanggil konsisten jika dua proposisi yang saling eksklusif tidak boleh disimpulkan secara logik daripadanya);
· kebebasan (sistem aksiom dipanggil bebas jika tiada aksiom sistem ini adalah akibat daripada aksiom lain).
Satu set dengan hubungan yang dinyatakan di dalamnya dipanggil model sistem aksiom tertentu jika semua aksiom sistem yang diberikan berpuas hati di dalamnya.
Terdapat banyak cara untuk membina sistem aksiom bagi set nombor asli. Sebagai contoh, jumlah nombor atau hubungan tertib boleh diambil sebagai konsep asas. Walau apa pun, anda perlu mentakrifkan sistem aksiom yang menerangkan sifat konsep asas.
Mari kita berikan sistem aksiom, menerima konsep asas operasi penambahan.
Set bukan kosong N kami memanggilnya satu set nombor asli jika operasi ditakrifkan di dalamnya (a; b) → a + b, dipanggil penambahan dan mempunyai sifat berikut:
1. penambahan adalah komutatif, iaitu. a + b = b + a.
2. penambahan adalah bersekutu, iaitu. (a + b) + c = a + (b + c).
4. dalam mana-mana set A, yang merupakan subset bagi set N, Di mana A ada nombor dan sebagainya bahawa segala-galanya Ha, adalah sama a+b, Di mana bN.
Aksiom 1 - 4 cukup untuk membina keseluruhan aritmetik nombor asli. Tetapi dengan pembinaan sedemikian tidak mungkin lagi bergantung pada sifat set terhingga yang tidak dicerminkan dalam aksiom ini.
Mari kita ambil sebagai konsep utama perhubungan "ikut terus...", yang ditakrifkan pada set bukan kosong N. Kemudian siri nombor semula jadi akan menjadi set N, di mana hubungan "ikut serta-merta" ditakrifkan, dan semua elemen N akan dipanggil nombor asli, dan yang berikut berlaku: Aksiom Peano:
AXIOM 1.
Dengan banyaknyaNterdapat unsur yang tidak langsung mengikut mana-mana elemen set ini. Kami akan memanggilnya perpaduan dan menandakannya dengan simbol 1.
AXIOM 2.
Bagi setiap elemen a daripadaNterdapat satu unsur a serta-merta mengikuti a.
AXIOM 3.
Bagi setiap elemen a daripadaNTerdapat paling banyak satu elemen serta-merta diikuti dengan a.
AXOIMA 4.
Mana-mana subset M bagi set ituNbertepatan denganN, jika ia mempunyai sifat berikut: 1) 1 terkandung dalam M; 2) daripada fakta bahawa a terkandung dalam M, ia mengikuti bahawa a juga terkandung dalam M.
Sekumpulan N, untuk unsur-unsur yang hubungannya "mengikut langsung..." ditubuhkan, memuaskan aksiom 1 - 4, dipanggil set nombor asli , dan unsur-unsurnya ialah nombor asli.
Jika sebagai satu set N pilih beberapa set khusus di mana hubungan khusus "ikut terus..." diberikan, memuaskan aksiom 1 - 4, maka kita mendapat berbeza tafsiran (model) diberi sistem aksiom.
Model standard sistem aksiom Peano ialah model yang timbul dalam proses tersebut perkembangan sejarah masyarakat siri nombor: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Model aksiom Peano boleh terdiri daripada set boleh dikira.
Contohnya, I, II, III, IIII, ...
oh oh oh oh oh...
satu dua tiga empat, …
Mari kita pertimbangkan urutan set di mana set (oo) ialah elemen awal, dan setiap set berikutnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan menambah satu lagi bulatan (Rajah 15).
Kemudian N terdapat satu set yang terdiri daripada set bentuk yang diterangkan, dan ia adalah model sistem aksiom Peano.
Memang dalam banyak-banyak N terdapat unsur (oo) yang tidak serta merta mengikut mana-mana unsur set yang diberikan, i.e. Aksiom 1 berpuas hati untuk setiap set A daripada populasi yang dipertimbangkan terdapat satu set yang diperoleh daripada A dengan menambah satu bulatan, i.e. Axiom 2 memegang Untuk setiap set A terdapat paling banyak satu set dari mana satu set terbentuk A dengan menambah satu bulatan, i.e. Aksiom 3 memegang Jika MN dan diketahui ramai A terkandung dalam M, ia berikutan bahawa set yang terdapat satu bulatan lebih daripada dalam set A, juga terkandung dalam M, Itu M =N, dan oleh itu aksiom 4 berpuas hati.
Dalam takrifan nombor asli, tiada satu pun aksiom boleh ditinggalkan.
Mari kita tentukan set manakah yang ditunjukkan dalam Rajah. 16 ialah model aksiom Peano.
|
Penyelesaian. Rajah 16 a) menunjukkan satu set di mana aksiom 2 dan 3 dipenuhi Sesungguhnya, bagi setiap elemen terdapat satu yang unik serta-merta mengikutinya, dan terdapat unsur unik yang mengikutinya. Tetapi dalam set ini, aksiom 1 tidak berpuas hati (aksiom 4 tidak masuk akal, kerana tiada unsur dalam set yang tidak segera mengikuti mana-mana yang lain). Oleh itu, set ini bukan model aksiom Peano.
Rajah 16 b) menunjukkan satu set di mana aksiom 1, 3 dan 4 berpuas hati, tetapi di belakang unsur A dua elemen serta-merta mengikuti, dan bukan satu, seperti yang diperlukan dalam aksiom 2. Oleh itu, set ini bukan model aksiom Peano.
Dalam Rajah. 16 c) menunjukkan satu set di mana aksiom 1, 2, 4 dipenuhi, tetapi unsur Dengan serta-merta mengikuti dua elemen serta-merta. Oleh itu, set ini bukan model aksiom Peano.
Dalam Rajah. 16 d) menunjukkan set yang memenuhi aksiom 2, 3, dan jika kita mengambil nombor 5 sebagai elemen awal, maka set ini akan memenuhi aksiom 1 dan 4. Iaitu, dalam set ini untuk setiap elemen terdapat satu yang unik serta-merta mengikutinya, dan terdapat satu elemen yang mengikutinya. Terdapat juga elemen yang tidak mengikuti mana-mana elemen set ini, ini adalah 5 , mereka. Axiom 1 berpuas hati Oleh itu, Axiom 4 juga akan berpuas hati Oleh itu, set ini adalah model aksiom Peano.
Menggunakan aksiom Peano, kita boleh membuktikan beberapa pernyataan Sebagai contoh, kita akan membuktikan bahawa untuk semua nombor asli ketaksamaan x x.
Bukti. Mari kita nyatakan dengan A set nombor asli yang a. Nombor 1 kepunyaan A, kerana ia tidak mengikuti sebarang nombor daripada N, yang bermaksud ia tidak mengikuti dengan sendirinya: 1 1. biarlah aA, Kemudian a. Mari kita nyatakan A melalui b. Berdasarkan aksiom 3, Ab, mereka. b b Dan bA.
Sistem integer
Mari kita ingat bahawa siri semula jadi muncul untuk menyenaraikan objek. Tetapi jika kita ingin melakukan beberapa tindakan dengan objek, maka kita memerlukan operasi aritmetik pada nombor. Iaitu, jika kita ingin menyusun epal atau membahagikan kek, kita perlu menterjemahkan tindakan ini ke dalam bahasa nombor.
Sila ambil perhatian bahawa untuk memperkenalkan operasi + dan * ke dalam bahasa nombor asli, adalah perlu untuk menambah aksiom yang mentakrifkan sifat operasi ini. Tetapi kemudian set nombor asli itu sendiri juga mengembang.
Mari lihat bagaimana set nombor asli berkembang. Operasi paling mudah, yang merupakan salah satu yang pertama diperlukan, ialah penambahan. Jika kita ingin mentakrifkan operasi penambahan, kita mesti menentukan songsangannya - penolakan. Sebenarnya, jika kita tahu apa yang akan menjadi hasil tambah, contohnya, 5 dan 2, maka kita sepatutnya dapat menyelesaikan masalah seperti: apa yang perlu ditambah kepada 4 untuk mendapat 11. Iaitu, masalah yang berkaitan dengan penambahan pasti akan memerlukan keupayaan untuk melakukan tindakan songsang - penolakan. Tetapi jika menambah nombor asli memberikan nombor asli lagi, maka menolak nombor asli memberikan hasil yang tidak sesuai dengan N. Beberapa nombor lain diperlukan. Dengan analogi dengan penolakan yang boleh difahami daripada lebih Peraturan menolak yang lebih kecil daripada yang lebih kecil telah diperkenalkan - ini adalah bagaimana integer negatif muncul.
Dengan menambah siri semula jadi dengan operasi + dan -, kami tiba di set integer.
Z=N+operasi(+-)
Sistem nombor rasional sebagai bahasa aritmetik
Sekarang mari kita pertimbangkan tindakan paling kompleks seterusnya - pendaraban. Pada dasarnya, ini adalah penambahan berulang. Dan hasil darab integer kekal sebagai integer.
Tetapi operasi songsang kepada pendaraban ialah bahagi. Tetapi ia tidak selalu memberikan hasil yang terbaik. Dan sekali lagi kita berhadapan dengan dilema - sama ada untuk menerima kerana keputusan pembahagian mungkin "tidak wujud", atau untuk menghasilkan nombor beberapa jenis baru. Ini adalah bagaimana nombor rasional muncul.
Mari kita ambil sistem integer dan tambahkan dengan aksiom yang mentakrifkan operasi pendaraban dan pembahagian. Kami memperoleh sistem nombor rasional.
Q=Z+operasi(*/)
Jadi, bahasa nombor rasional membolehkan kita menghasilkan semua operasi aritmetik atas nombor. Bahasa nombor asli tidak mencukupi untuk ini.
Mari kita berikan takrifan aksiomatik sistem nombor rasional.
Definisi. Satu set Q dipanggil set nombor rasional, dan unsur-unsurnya dipanggil nombor rasional, jika set keadaan berikut, dipanggil aksiomatik nombor rasional, dipenuhi:
Aksiom operasi tambah. Untuk setiap pasangan yang ditempah x,y unsur daripada Q beberapa elemen ditakrifkan x+yОQ, dipanggil jumlah X Dan di. Dalam kes ini, syarat berikut dipenuhi:
1. (Kewujudan sifar) Terdapat unsur 0 (sifar) seperti mana-mana XÎQ
X+0=0+X=X.
2. Bagi mana-mana elemen XО Q ada unsur - XО Q (bertentangan X) seperti itu
X+ (-X) = (-X) + X = 0.
3. (Komutatif) Untuk sebarang x,yО Q
4. (Associativity) Untuk sebarang x,y,zО Q
x + (y + z) = (x + y) + z
Aksiom operasi pendaraban.
Untuk setiap pasangan yang ditempah x, y unsur daripada Q beberapa unsur ditakrifkan xyО Q, dipanggil produk X Dan u. Dalam kes ini, syarat berikut dipenuhi:
5. (Kewujudan unsur unit) Terdapat unsur 1 О Q yang bagi mana-mana XО Q
X . 1 = 1. x = x
6. Bagi mana-mana elemen XО Q , ( X≠ 0) terdapat unsur songsang X-1 ≠0 sedemikian
X. x -1 = x -1. x = 1
7. (Associativity) Bagi mana-mana x, y, zО Q
X . (y . z) = (x . y) . z
8. (Komutatif) Untuk sebarang x, yО Q
Aksiom perkaitan antara penambahan dan pendaraban.
9. (Pengagihan) Untuk sebarang x, y, zО Q
(x+y) . z = x . z+y . z
Aksiom perintah.
Mana-mana dua elemen x, y,О Q masukkan ke dalam hubungan perbandingan ≤. Dalam kes ini, syarat berikut dipenuhi:
10. (X≤di)L ( di≤x) ó x=y
11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z
12. Untuk sesiapa sahaja x, yО Q atau x< у, либо у < x .
Sikap< называется строгим неравенством,
Hubungan = dipanggil kesamaan unsur dari Q.
Aksiom perkaitan antara penambahan dan susunan.
13. Untuk sebarang x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z
Aksiom perkaitan antara pendaraban dan susunan.
14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)
Aksiom kesinambungan Archimedes.
15. Untuk mana-mana a > b > 0, wujud m О N dan n О Q supaya m ³ 1, n< b и a= mb+n.
*****************************************
Oleh itu, sistem nombor rasional ialah bahasa aritmetik.
Walau bagaimanapun, bahasa ini tidak mencukupi untuk menyelesaikan masalah pengkomputeran praktikal.
Kaedah aksiomatik dalam matematik.
Konsep asas dan hubungan teori aksiomatik siri semula jadi. Definisi nombor asli.
Penambahan nombor asli.
Pendaraban nombor asli.
Sifat bagi set nombor asli
Penolakan dan pembahagian nombor asli.
Kaedah aksiomatik dalam matematik
Dalam pembinaan aksiomatik mana-mana teori matematik, prinsip berikut diperhatikan: peraturan tertentu:
1. Beberapa konsep teori dipilih sebagai utama dan diterima tanpa definisi.
2. Dirumuskan aksiom, yang dalam teori ini diterima tanpa bukti, mereka mendedahkan sifat-sifat konsep asas.
3. Setiap konsep teori yang tidak terkandung dalam senarai asas diberikan takrifan, ia menerangkan maksudnya dengan bantuan konsep utama dan sebelumnya.
4. Setiap proposisi teori yang tidak terkandung dalam senarai aksiom mesti dibuktikan. Cadangan sedemikian dipanggil teorem dan buktikannya berdasarkan aksiom dan teorem sebelum yang sedang dipertimbangkan.
Sistem aksiom hendaklah:
a) konsisten: kita mesti yakin bahawa, dengan membuat semua kesimpulan yang mungkin daripada sistem aksiom tertentu, kita tidak akan sampai kepada percanggahan;
b) berdikari: tiada aksiom sepatutnya menjadi akibat daripada aksiom lain sistem ini.
V) penuh, jika dalam rangka kerjanya adalah sentiasa mungkin untuk membuktikan sama ada pernyataan yang diberikan atau penolakannya.
Pengalaman pertama pembinaan teori aksiomatik boleh dianggap sebagai pembentangan geometri oleh Euclid dalam "Unsur"nya (abad ke-3 SM). Sumbangan penting kepada pembangunan kaedah aksiomatik untuk membina geometri dan algebra telah dibuat oleh N.I. Lobachevsky dan E. Galois. Pada akhir abad ke-19. Ahli matematik Itali Peano membangunkan sistem aksiom untuk aritmetik.
Konsep asas dan hubungan teori aksiomatik nombor asli. Definisi nombor asli.
Sebagai konsep asas (tidak ditentukan) dalam set tertentu N dipilih sikap , dan juga menggunakan konsep set-teoretik, serta peraturan logik.
Unsur tersebut serta-merta mengikuti unsur tersebut A, menandakan A".
Hubungan "ikut terus" memenuhi aksiom berikut:
Aksiom Peano:
Aksiom 1. Dengan banyaknya N ada unsur langsung bukan seterusnya bukan untuk mana-mana elemen set ini. Jom panggil dia unit dan dilambangkan dengan simbol 1 .
Aksiom 2. Bagi setiap elemen A daripada N hanya ada satu unsur A" , serta-merta mengikuti A .
Aksiom 3. Bagi setiap elemen A daripada N terdapat paling banyak satu elemen yang segera diikuti oleh A .
Aksiom 4. Mana-mana subset M set N bertepatan dengan N , jika ia mempunyai sifat berikut: 1) 1 terkandung dalam M ; 2) daripada fakta bahawa A terkandung dalam M , ia mengikuti itu A" terkandung dalam M.
Definisi 1. Sekumpulan N , untuk unsur-unsurnya hubungan itu diwujudkan "terus ikut", aksiom yang memuaskan 1-4, dipanggil set nombor asli, dan unsur-unsurnya ialah nombor asli.
Takrifan ini tidak mengatakan apa-apa tentang sifat unsur-unsur set N . Jadi ia boleh jadi apa sahaja. Memilih sebagai satu set N beberapa set khusus di mana hubungan khusus "mengikut terus" diberikan, memuaskan aksiom 1-4, kita dapat model sistem ini aksiom.
Model standard sistem aksiom Peano ialah satu siri nombor yang muncul dalam proses perkembangan sejarah masyarakat: 1,2,3,4,... Siri semula jadi bermula dengan nombor 1 (aksiom 1); setiap nombor asli diikuti dengan serta-merta oleh nombor asli tunggal (aksiom 2); setiap nombor asli serta-merta mengikuti paling banyak satu nombor asli (aksiom 3); bermula dari nombor 1 dan bergerak ke nombor asli serta-merta mengikuti satu sama lain, kita memperoleh keseluruhan set nombor ini (aksiom 4).
Jadi, kami memulakan pembinaan aksiomatik sistem nombor asli dengan memilih asas "mengikut terus" hubungan dan aksiom yang menerangkan sifatnya. Pembinaan lanjut teori melibatkan pertimbangan sifat-sifat nombor asli dan operasi yang diketahui padanya. Mereka mesti didedahkan dalam definisi dan teorem, i.e. diperoleh secara logik semata-mata daripada hubungan "mengikut terus", dan aksiom 1-4.
Konsep pertama yang akan kita perkenalkan selepas mentakrifkan nombor asli ialah sikap "segera mendahului" , yang sering digunakan apabila mempertimbangkan sifat siri semula jadi.
Definisi 2. Jika nombor asli b langsung mengikuti nombor asli A, nombor itu A dipanggil serta-merta sebelum ini(atau sebelumnya) nombor b .
Hubungan "mendahului" mempunyai beberapa sifat.
Teorem 1. Unit tidak mempunyai nombor asli sebelum ini.
Teorem 2. Setiap nombor asli A, selain daripada 1, mempunyai satu nombor terdahulu b, seperti itu b"= A.
Pembinaan aksiomatik teori nombor asli tidak dipertimbangkan sama ada dalam permulaan atau dalam sekolah Menengah. Walau bagaimanapun, sifat-sifat hubungan "mengikut secara langsung", yang dicerminkan dalam aksiom Peano, adalah subjek kajian dalam kursus awal matematik. Sudah berada di gred pertama, apabila mempertimbangkan nombor sepuluh pertama, ia menjadi jelas bagaimana setiap nombor boleh diperolehi. Konsep "mengikut" dan "mendahului" digunakan. Setiap nombor baharu bertindak sebagai kesinambungan segmen yang dikaji bagi siri nombor semula jadi. Pelajar yakin bahawa setiap nombor diikuti oleh yang seterusnya, dan, lebih-lebih lagi, hanya satu perkara, bahawa siri semula jadi nombor adalah tidak terhingga.
Penambahan nombor asli
Mengikut peraturan untuk membina teori aksiomatik, takrif penambahan nombor asli mesti diperkenalkan hanya menggunakan hubungan "ikut terus", dan konsep "nombor asli" Dan "nombor sebelumnya".
Mari kita pendahulukan definisi penambahan dengan pertimbangan berikut. Jika kepada sebarang nombor asli A tambah 1, kita dapat nombor A", serta merta mengikuti A, iaitu A+ 1= a" dan oleh itu kita mendapat peraturan untuk menambah 1 kepada sebarang nombor asli. Tetapi bagaimana untuk menambah nombor A nombor asli b, berbeza dengan 1? Mari kita gunakan fakta berikut: jika kita tahu bahawa 2 + 3 = 5, maka jumlahnya ialah 2 + 4 = 6, yang serta-merta mengikuti nombor 5. Ini berlaku kerana dalam jumlah 2 + 4 sebutan kedua ialah nombor serta-merta berikutan. nombor 3. Oleh itu, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". DALAM Pandangan umum kita ada , .
Fakta-fakta ini menjadi asas kepada definisi penambahan nombor asli dalam teori aksiomatik.
Definisi 3. Menambah nombor asli ialah operasi algebra yang mempunyai sifat berikut:
Nombor a + b dipanggil jumlah nombor A Dan b , dan nombor itu sendiri A Dan b - syarat.
