Punkte (±1, ±1, ±1, ±1). Mit anderen Worten, es kann als die folgende Menge dargestellt werden:

Der Tesserakt wird durch acht Hyperebenen begrenzt, deren Schnittpunkt mit dem Tesserakt selbst seine dreidimensionalen Flächen (die gewöhnliche Würfel sind) definiert. Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) zu bilden, und so weiter. Schließlich hat ein Tesserakt 8 3D-Flächen, 24 2D-Flächen, 32 Kanten und 16 Scheitelpunkte.

Beliebte Beschreibung

Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne den dreidimensionalen Raum zu verlassen.

Im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - wählen wir ein Segment AB der Länge L. Auf einer zweidimensionalen Ebene im Abstand L von AB zeichnen wir ein Segment DC parallel dazu und verbinden ihre Enden. Sie erhalten einen quadratischen CDBA. Wenn wir diese Operation mit einem Flugzeug wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel CDBAGHFE. Und indem wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um eine Distanz L verschieben, erhalten wir den CDBAGHFEKLJIOPNM-Hyperwürfel.

Konstruktion eines Tesserakts in einem Flugzeug

Das eindimensionale Segment AB dient als Seite des zweidimensionalen Quadrats CDBA, das Quadrat ist die Seite des Würfels CDBAGHFE, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Ecken und ein Würfel hat acht. Somit gibt es in einem vierdimensionalen Hyperwürfel 16 Scheitel: 8 Scheitel des ursprünglichen Würfels und 8 Scheitel, die in die vierte Dimension verschoben sind. Er hat 32 Kanten – 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten „zeichnen“ acht seiner Eckpunkte, die sich in die vierte Dimension bewegt haben. Die gleiche Überlegung gilt für die Flächen des Hyperwürfels. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen aus dem verschobenen Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen – 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels an zwei Positionen und 12 Quadrate von zwölf seiner Kanten.

Da die Seiten eines Quadrats 4 eindimensionale Segmente und die Seiten (Flächen) eines Würfels 6 zweidimensionale Quadrate sind, sind die Seiten für den „vierdimensionalen Würfel“ (Tesserakt) 8 dreidimensionale Würfel. Die Räume von gegenüberliegenden Paaren von Tesseract-Würfeln (dh die dreidimensionalen Räume, zu denen diese Würfel gehören) sind parallel. In der Figur sind dies Würfel: CDBAGHFE und KLJIOPNM, CDBAKLJI und GHFEOPNM, EFBAMNJI und GHDCOPLK, CKIAGOME und DLJBHPNF.

In ähnlicher Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel fortsetzen mehr Dimensionen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns, die Bewohner des dreidimensionalen Raums, aussehen wird. Verwenden wir dazu die bereits bekannte Methode der Analogien.

Nehmen wir den Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate auf der Ebene sehen und zeichnen können (seine nahen und fernen Seiten), die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum wie zwei kubische "Kästen" aus, die ineinander gesteckt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die "Boxen" selbst - dreidimensionale Gesichter - auf "unseren" Raum projiziert und die sie verbindenden Linien werden in Richtung der vierten Achse gestreckt. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.

So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat entsteht, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es wird von acht Würfeln begrenzt, die in Zukunft noch ziemlich hübsch aussehen werden komplexe Figur. Der vierdimensionale Hyperwürfel selbst besteht aus unendlich vielen Würfeln, genauso wie ein dreidimensionaler Würfel in unendlich viele flache Quadrate „geschnitten“ werden kann.

Indem Sie sechs Seiten eines dreidimensionalen Würfels schneiden, können Sie ihn in eine flache Figur zerlegen - eine Entwicklung. Es wird ein Quadrat auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts haben, plus ein weiteres - das Gesicht gegenüber. Eine dreidimensionale Entwicklung eines vierdimensionalen Hyperwürfels wird aus dem ursprünglichen Würfel, sechs daraus „wachsenden“ Würfeln und einem weiteren – der endgültigen „Hyperfläche“ – bestehen.

Die Eigenschaften des Tesserakts sind eine Erweiterung der Eigenschaften geometrische Formen untere Dimension in einen vierdimensionalen Raum.

Projektionen

zum zweidimensionalen Raum

Diese Struktur ist schwer vorstellbar, aber es ist möglich, einen Tesserakt in 2D- oder 3D-Räume zu projizieren. Außerdem erleichtert die Projektion auf eine Ebene das Verständnis der Lage der Scheitelpunkte des Hyperwürfels. Auf diese Weise können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Vertex-Link-Struktur veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen:

Das dritte Bild zeigt den Tesserakt in Isometrie, relativ zum Konstruktionspunkt. Diese Ansicht ist von Interesse, wenn der Tesserakt als Grundlage für ein topologisches Netzwerk verwendet wird, um mehrere Prozessoren beim parallelen Rechnen zu verbinden.

zum dreidimensionalen Raum

Eine der Projektionen des Tesserakts auf den dreidimensionalen Raum sind zwei ineinander verschachtelte dreidimensionale Würfel, deren entsprechende Ecken durch Segmente verbunden sind. Der innere und der äußere Würfel haben im 3D-Raum unterschiedliche Größen, aber im 4D-Raum sind sie gleiche Würfel. Um die Gleichheit aller Würfel des Tesserakts zu verstehen, wurde ein rotierendes Modell des Tesserakts erstellt.

• Sechs Pyramidenstümpfe an den Rändern des Tesserakts sind Bilder von gleich sechs Würfeln. Diese Würfel sind jedoch für den Tesserakt wie Quadrate (Flächen) für den Würfel. Aber tatsächlich kann ein Tesserakt in eine unendliche Anzahl von Würfeln unterteilt werden, genauso wie ein Würfel in eine unendliche Anzahl von Quadraten unterteilt werden kann oder ein Quadrat in eine unendliche Anzahl von Segmenten unterteilt werden kann.

Eine weitere interessante Projektion des Tesserakts auf den dreidimensionalen Raum ist ein rhombisches Dodekaeder mit seinen vier eingezeichneten Diagonalen, die Paare gegenüberliegender Eckpunkte in großen Rautenwinkeln verbinden. In diesem Fall werden 14 der 16 Ecken des Tesserakts in 14 Ecken des rhombischen Dodekaeders projiziert, und die Projektionen der verbleibenden 2 fallen in seinem Zentrum zusammen. Bei einer solchen Projektion auf den dreidimensionalen Raum bleibt die Gleichheit und Parallelität aller eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Seiten erhalten.

Stereopaar

Ein Stereopaar eines Tesserakts wird als zwei Projektionen auf den dreidimensionalen Raum dargestellt. Diese Darstellung des Tesserakts wurde entwickelt, um die Tiefe als vierte Dimension darzustellen. Das Stereopaar wird so betrachtet, dass jedes Auge nur eines dieser Bilder sieht, es entsteht ein stereoskopisches Bild, das die Tiefe des Tesserakts wiedergibt.

Entfaltung des Tesserakts

Die Oberfläche eines Tesserakts kann in acht Würfel entfaltet werden (ähnlich wie die Oberfläche eines Würfels in sechs Quadrate entfaltet werden kann). Es gibt 261 verschiedene Entfaltungen des Tesserakts. Die Abwicklungen eines Tesserakts können berechnet werden, indem die verbundenen Ecken auf dem Diagramm aufgetragen werden.

Tesserakt in der Kunst

• In Edwine A. Abbotts New Plain ist der Hyperwürfel der Erzähler.
• In einer Folge von The Adventures of Jimmy Neutron erfindet "Junge Genie" Jimmy einen vierdimensionalen Hyperwürfel, identisch mit der Faltschachtel aus dem Roman Glory Road (1963) von Robert Heinlein.
• Robert E. Heinlein hat Hyperwürfel in mindestens drei Science-Fiction-Geschichten erwähnt. In Das Haus der vier Dimensionen (The House That Teel Built) beschrieb er ein Haus, das als Entfaltung eines Tesserakts gebaut wurde und sich dann aufgrund eines Erdbebens in der vierten Dimension „formte“ und zu einem „echten“ Tesserakt wurde.
• In dem Roman Glory Road von Heinlein wird eine hyperdimensionale Kiste beschrieben, die innen größer war als außen.
• Henry Kuttners Geschichte "All Borog's Tenals" beschreibt ein Lernspielzeug für Kinder aus ferner Zukunft, ähnlich aufgebaut wie ein Tesseract.
• In Alex Garlands Roman ( ) wird der Begriff „Tesserakt“ eher für die dreidimensionale Entfaltung eines vierdimensionalen Hyperwürfels als für den Hyperwürfel selbst verwendet. Dies ist eine Metapher, die zeigen soll, dass das erkennende System breiter sein sollte als das erkennbare.
• Die Handlung von The Cube 2: Hypercube dreht sich um acht Fremde, die in einem „Hyperwürfel“ oder einem Netzwerk aus miteinander verbundenen Würfeln gefangen sind.
• Die TV-Serie Andromeda verwendet Tesseract-Generatoren als Verschwörungsinstrument. Sie sollen in erster Linie Raum und Zeit kontrollieren.
• Gemälde "Kreuzigung" (Corpus Hypercubus) von Salvador Dali ().
• Das Nextwave-Comicbuch zeigt ein Fahrzeug mit 5 Tesseract-Zonen.
• Auf dem Album Voivod Nothingface heißt einer der Songs "In my hypercube".
• In Anthony Pierces Roman Route Cube wird einer der orbitalen Monde von IDA als Tesseract bezeichnet, der in 3 Dimensionen komprimiert wurde.
• In der Serie "School" Black Hole "" in der dritten Staffel gibt es eine Episode "Tesseract". Lucas drückt den geheimen Knopf und die Schule beginnt „wie ein mathematischer Tesserakt Gestalt anzunehmen“.
• Der Begriff „Tesseract“ und der davon abgeleitete Begriff „Tesse“ findet sich in Madeleine L’Engles Erzählung „Wrinkle of Time“.
• TesseracT ist der Name einer britischen Djent-Gruppe.
• In der Filmreihe Marvel Cinematic Universe ist der Tesserakt ein Schlüsselelement der Handlung, ein hyperwürfelförmiges kosmisches Artefakt.
• In Robert Sheckleys Erzählung „Miss Mouse and the Fourth Dimension“ versucht ein esoterischer Schriftsteller, ein Bekannter des Autors, den Tesserakt zu sehen, indem er stundenlang auf das von ihm entworfene Gerät, einen Ball an einem Bein mit darin gesteckten Stäben, blickt welche Würfel bepflanzt sind, überklebt mit allerlei esoterischen Symbolen. Die Geschichte erwähnt Hintons Arbeit.
• In den Filmen The First Avenger, The Avengers. Tesseract ist die Energie des gesamten Universums

Andere Namen

• Hexadecachoron (Englisch) Hexadecachoron)
• Oktochoron (Englisch) Oktachoron)
• Tetrawürfel
• 4-Würfel
• Hypercube (wenn die Anzahl der Dimensionen nicht angegeben ist)

Anmerkungen

Literatur

• Charles H. Hinton. Vierte Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Mathematical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Konzepte der modernen Mathematik, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Verknüpfungen

Auf Russisch

• Transformator4D-Programm. Bildung von Modellen dreidimensionaler Projektionen von vierdimensionalen Objekten (einschließlich des Hypercube).
• Ein Programm, das die Konstruktion eines Tesserakts und all seiner affinen Transformationen mit C++-Quellen implementiert.

Auf Englisch

• Mushware Limited ist ein Tesseract-Ausgabeprogramm ( Tesseract-Trainer, lizenziert unter GPLv2) und ein 4D-Ego-Shooter ( Adanaxis; Grafiken, meist dreidimensional; es gibt eine GPL-Version in den OS-Repositories).

Polyeder
Korrekt (Platonische Körper)
Stern-Dodekaeder Stern-Ikosidodekaeder Stern-Ikosaeder Stern-Polyeder Stern-Oktaeder
konvex	Archimedische Körper Kuboktaeder Ikosidodekaeder abgeschnittener Tetraeder abgeschnittener Oktaeder abgeschnittener Ikosaeder abgeschnittener Würfel abgeschnittener Dodekaeder Rhombikuboktaeder Rhomboikosododekaeder Rhombenikosidodekaeder abgeschnittener Kuboktaeder Rhombotabgeschnittener Ikosidodekaeder Truthahnnasenwürfel Stupsnasendodekaeder Katalanische Körper Rhombododekaeder Rhombotriakontaeder Triakistetraeder Tetrakishexaeder Pentakisdodekaeder Triakisoktaeder Triakisikosaeder Deltoid-Icositetraeder Deltoidal-Hexekontaeder Pentagon-Icositetraeder Pentagon-Hexekontaeder Disdakisdodekaeder Disdakistriakontaeder Ohne vollständige räumliche Symmetrie Pyramide Prisma Bipyramide Antiprisma Zonoheder Parallelepiped Rhomboeder Prismatoid Pyramidenstumpf Pentagondodekaeder Paralleloeder
Formeln, Sätze, Theorien
Andere

Tesseract (von anderen griechischen τέσσερες ἀκτῖνες - vier Strahlen) - ein vierdimensionaler Hyperwürfel - ein Analogon eines Würfels im vierdimensionalen Raum.

Das Bild ist eine Projektion (Perspektive) eines vierdimensionalen Würfels auf einen dreidimensionalen Raum.

Laut dem Oxford Dictionary wurde das Wort „Tesseract“ 1888 von Charles Howard Hinton (1853-1907) in seinem Buch A New Age of Thought geprägt und verwendet. Später nannten einige Leute dieselbe Figur "Tetracube".

Geometrie

Ein gewöhnlicher Tesserakt im euklidischen vierdimensionalen Raum ist definiert als die konvexe Hülle von Punkten (±1, ±1, ±1, ±1). Mit anderen Worten, es kann als die folgende Menge dargestellt werden:

Der Tesserakt wird durch acht Hyperebenen begrenzt, deren Schnittpunkt mit dem Tesserakt selbst seine dreidimensionalen Flächen (die gewöhnliche Würfel sind) definiert. Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) zu bilden, und so weiter. Schließlich hat ein Tesserakt 8 3D-Flächen, 24 2D-Flächen, 32 Kanten und 16 Scheitelpunkte.

Beliebte Beschreibung

Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne den dreidimensionalen Raum zu verlassen.

Im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - wählen wir ein Segment AB der Länge L. Auf einer zweidimensionalen Ebene im Abstand L von AB zeichnen wir ein Segment DC parallel dazu und verbinden ihre Enden. Holen Sie sich das Quadrat ABCD. Wenn wir diese Operation mit einem Flugzeug wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel ABCDHEFG. Und indem wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um eine Distanz L verschieben, erhalten wir den Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Das eindimensionale Segment AB dient als Seite des zweidimensionalen Quadrats ABCD, das Quadrat ist die Seite des Würfels ABCDHEFG, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Ecken und ein Würfel hat acht. Somit gibt es in einem vierdimensionalen Hyperwürfel 16 Scheitel: 8 Scheitel des ursprünglichen Würfels und 8 Scheitel, die in die vierte Dimension verschoben sind. Er hat 32 Kanten – 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten „zeichnen“ acht seiner Eckpunkte, die sich in die vierte Dimension bewegt haben. Die gleiche Überlegung gilt für die Flächen des Hyperwürfels. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen aus dem verschobenen Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen – 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels an zwei Positionen und 12 Quadrate von zwölf seiner Kanten.

Auf ähnliche Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel mit einer größeren Anzahl von Dimensionen fortsetzen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns Bewohner des dreidimensionalen Raums aussehen wird. Verwenden wir dazu die bereits bekannte Methode der Analogien.

Entfaltung des Tesserakts

Nehmen wir den Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate auf der Ebene sehen und zeichnen können (seine nahen und fernen Seiten), die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum wie zwei kubische "Kästen" aus, die ineinander gesteckt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die „Boxen“ selbst – dreidimensionale Gesichter – auf „unseren“ Raum projiziert und die sie verbindenden Linien in die vierte Dimension gedehnt. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.

So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat entsteht, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es wird von acht Würfeln begrenzt, die in Zukunft wie eine ziemlich komplexe Figur aussehen werden. Sein Teil, der in „unserem“ Raum geblieben ist, ist mit durchgezogenen Linien gezeichnet, und der Teil, der in den Hyperraum gegangen ist, ist gestrichelt. Der vierdimensionale Hyperwürfel selbst besteht aus unendlich vielen Würfeln, genauso wie ein dreidimensionaler Würfel in unendlich viele flache Quadrate „geschnitten“ werden kann.

Indem Sie sechs Seiten eines dreidimensionalen Würfels schneiden, können Sie ihn in eine flache Figur zerlegen - ein Netz. Es wird ein Quadrat auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts haben, plus ein weiteres - das Gesicht gegenüber. Eine dreidimensionale Entwicklung eines vierdimensionalen Hyperwürfels besteht aus dem ursprünglichen Würfel, sechs Würfeln, die daraus „wachsen“, plus einem weiteren - der endgültigen „Hyperfläche“.

Die Eigenschaften eines Tesserakts sind eine Erweiterung der Eigenschaften geometrischer Figuren kleinerer Dimension in einen vierdimensionalen Raum.

Projektionen

zum zweidimensionalen Raum

Diese Struktur ist schwer vorstellbar, aber es ist möglich, einen Tesserakt in 2D- oder 3D-Räume zu projizieren. Außerdem erleichtert die Projektion auf eine Ebene das Verständnis der Lage der Scheitelpunkte des Hyperwürfels. Auf diese Weise können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Vertex-Link-Struktur veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen:


zum dreidimensionalen Raum

Die Projektion des Tesserakts auf den dreidimensionalen Raum sind zwei verschachtelte dreidimensionale Würfel, deren entsprechende Ecken durch Segmente verbunden sind. Der innere und der äußere Würfel haben im 3D-Raum unterschiedliche Größen, aber im 4D-Raum sind sie gleiche Würfel. Um die Gleichheit aller Würfel des Tesserakts zu verstehen, wurde ein rotierendes Modell des Tesserakts erstellt.

Sechs Pyramidenstümpfe an den Rändern des Tesserakts sind Bilder von gleich sechs Würfeln.
Stereopaar

Ein Stereopaar eines Tesserakts wird als zwei Projektionen auf den dreidimensionalen Raum dargestellt. Diese Darstellung des Tesserakts wurde entwickelt, um die Tiefe als vierte Dimension darzustellen. Das Stereopaar wird so betrachtet, dass jedes Auge nur eines dieser Bilder sieht, es entsteht ein stereoskopisches Bild, das die Tiefe des Tesserakts wiedergibt.

Entfaltung des Tesserakts

Die Oberfläche eines Tesserakts kann in acht Würfel entfaltet werden (ähnlich wie die Oberfläche eines Würfels in sechs Quadrate entfaltet werden kann). Es gibt 261 verschiedene Entfaltungen des Tesserakts. Die Abwicklungen eines Tesserakts können berechnet werden, indem die verbundenen Ecken auf dem Diagramm aufgetragen werden.

Tesserakt in der Kunst

In Edwine A. Abbotts New Plain ist der Hyperwürfel der Erzähler.
In einer Episode von The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius" erfindet Jimmy einen vierdimensionalen Hyperwürfel, der mit der Faltschachtel in Heinleins Glory Road von 1963 identisch ist.
Robert E. Heinlein hat Hyperwürfel in mindestens drei Science-Fiction-Geschichten erwähnt. In The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) (1940) beschrieb er ein Haus, das als Entfaltung eines Tesserakts gebaut wurde.
In Heinleins Roman Glory Road werden übergroße Gerichte beschrieben, die innen größer waren als außen.
Henry Kuttners Kurzgeschichte „Mimsy Were the Borogoves“ beschreibt ein Lernspielzeug für Kinder aus ferner Zukunft, ähnlich aufgebaut wie der Tesserakt.
In dem Roman von Alex Garland (1999) wird der Begriff "Tesseract" eher für die dreidimensionale Entfaltung eines vierdimensionalen Hyperwürfels als für den Hyperwürfel selbst verwendet. Dies ist eine Metapher, die zeigen soll, dass das erkennende System breiter sein sollte als das erkennbare.
Die Handlung von Cube 2: Hypercube dreht sich um acht Fremde, die in einem „Hyperwürfel“ oder einem Netzwerk aus verbundenen Würfeln gefangen sind.
Die TV-Serie Andromeda verwendet Tesseract-Generatoren als Verschwörungsinstrument. Sie sollen in erster Linie Raum und Zeit kontrollieren.
Das Gemälde "Kreuzigung" (Corpus Hypercubus) von Salvador Dali (1954)
Das Nextwave-Comicbuch zeigt ein Fahrzeug mit 5 Tesseract-Zonen.
Auf dem Album Voivod Nothingface heißt einer der Songs "In my hypercube".
In Anthony Pierces Roman Route Cube wird einer der orbitalen Monde von IDA als Tesseract bezeichnet, der in 3 Dimensionen komprimiert wurde.
In der Serie "School" Black Hole "" in der dritten Staffel gibt es eine Episode "Tesseract". Lucas drückt den geheimen Knopf und die Schule nimmt Gestalt an wie ein mathematischer Tesserakt.
Der Begriff „Tesseract“ und der davon abgeleitete Begriff „Tesse“ findet sich in Madeleine L’Engles Erzählung „Wrinkle of Time“

Wenn Sie ein Fan der Avengers-Filme sind, fällt Ihnen beim Wort „Tesseract“ als erstes das transparente, würfelförmige Gefäß des Infinity-Steins ein, das grenzenlose Kraft enthält.

Für Fans des Marvel-Universums ist der Tesseract ein leuchtend blauer Würfel, von dem Menschen nicht nur von der Erde, sondern auch von anderen Planeten verrückt werden. Deshalb haben sich alle Avengers zusammengeschlossen, um die Erdlinge vor einem Extrem zu schützen zerstörerische Kräfte Tesseract.

Was jedoch gesagt werden muss, ist Folgendes: Ein Tesserakt ist ein tatsächliches geometrisches Konzept, genauer gesagt eine Form, die in 4D existiert. Es ist nicht nur ein blauer Würfel aus The Avengers ... es ist ein echtes Konzept.

Ein Tesserakt ist ein Objekt in 4 Dimensionen. Aber bevor wir es im Detail erklären, fangen wir von vorne an.

Was ist eine „Messung“?

Jeder hat die Begriffe 2D und 3D gehört, die jeweils zweidimensionale oder dreidimensionale Objekte des Raums darstellen. Aber was sind das?

Eine Dimension ist nur eine Richtung, in die Sie gehen können. Wenn Sie beispielsweise eine Linie auf einem Blatt Papier zeichnen, können Sie entweder nach links/rechts (x-Achse) oder nach oben/unten (y-Achse) gehen. Wir sagen also, das Papier ist zweidimensional, da man nur in zwei Richtungen gehen kann.

Es gibt ein Gefühl von Tiefe in 3D.

Jetzt können Sie in der realen Welt zusätzlich zu den beiden oben genannten Richtungen (links/rechts und oben/unten) auch rein/raus gehen. Folglich wird im 3D-Raum ein Gefühl von Tiefe hinzugefügt. Deshalb sagen wir das wahres Leben 3-dimensional.

Ein Punkt kann 0 Dimensionen darstellen (weil er sich in keine Richtung bewegt), eine Linie 1 Dimension (Länge), ein Quadrat 2 Dimensionen (Länge und Breite) und ein Würfel 3 Dimensionen (Länge, Breite und Höhe). ).

Nehmen Sie einen 3D-Würfel und ersetzen Sie jede Fläche (die derzeit ein Quadrat ist) durch einen Würfel. Und so! Die Form, die Sie erhalten, ist der Tesserakt.

Was ist ein Tesserakt?

Einfach ausgedrückt ist ein Tesserakt ein Würfel im 4-dimensionalen Raum. Man kann auch sagen, dass dies das 4D-Äquivalent eines Würfels ist. Dies ist eine 4D-Form, bei der jede Fläche ein Würfel ist.

Eine 3D-Projektion eines Tesserakts, der eine doppelte Drehung um zwei orthogonale Ebenen ausführt.
Bild: Jason Hise

Hier ist eine einfache Möglichkeit, Dimensionen zu konzeptualisieren: Ein Quadrat ist zweidimensional; also hat jede seiner Ecken 2 Linien, die sich von ihr aus im 90-Grad-Winkel zueinander erstrecken. Der Würfel ist 3D, also hat jede seiner Ecken 3 Linien, die von ihm abgehen. Ebenso ist der Tesserakt eine 4D-Form, also hat jede Ecke 4 Linien, die sich von ihr aus erstrecken.

Warum ist es schwierig, sich einen Tesserakt vorzustellen?

Da wir Menschen uns dazu entwickelt haben, Objekte in drei Dimensionen zu rendern, macht alles, was in zusätzliche Dimensionen wie 4D, 5D, 6D usw. geht, für uns nicht viel Sinn, weil wir sie überhaupt nicht visualisieren können. Unser Gehirn kann die 4. Dimension im Raum nicht verstehen. Wir können einfach nicht daran denken.

In der Geometrie Hyperwürfel- Das n-dimensionale Analogie eines Quadrats ( n= 2) und Würfel ( n= 3). Dies ist eine geschlossene konvexe Figur, die aus Gruppen paralleler Linien besteht, die sich an gegenüberliegenden Kanten der Figur befinden und rechtwinklig miteinander verbunden sind.

Diese Zahl wird auch als bezeichnet Tesseract(Tesserakt). Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Formaler kann ein Tesserakt als ein regelmäßiges konvexes vierdimensionales Polytop (Polytop) beschrieben werden, dessen Grenze aus acht kubischen Zellen besteht.

Laut dem Oxford English Dictionary wurde das Wort „Tesseract“ 1888 von Charles Howard Hinton geprägt und in seinem Buch A New Era of Thought verwendet. Das Wort wurde aus dem Griechischen „τεσσερες ακτινες“ („vier Strahlen“) gebildet, hat die Form von vier Koordinatenachsen. Darüber hinaus wurde in einigen Quellen dieselbe Figur genannt Tetrawürfel(Tetrawürfel).

n-dimensionaler Hyperwürfel wird auch genannt n-Würfel.

Ein Punkt ist ein Hyperwürfel der Dimension 0. Wenn Sie einen Punkt um eine Längeneinheit verschieben, erhalten Sie ein Segment der Längeneinheit - einen Hyperwürfel der Dimension 1. Außerdem, wenn Sie ein Segment um eine Längeneinheit in einer senkrechten Richtung verschieben In Richtung des Segments erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 2. Wenn Sie das Quadrat um eine Längeneinheit in der Richtung senkrecht zur Ebene des Quadrats verschieben, erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 3. Dieser Vorgang kann auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert werden. Verschiebt man beispielsweise einen Würfel um eine Längeneinheit in der vierten Dimension, erhält man einen Tesserakt.

Die Familie der Hyperwürfel ist eines der wenigen regulären Polyeder, die in jeder Dimension dargestellt werden können.

Hypercube-Elemente

Dimension Hyperwürfel n hat 2 n"Seiten" (eindimensionale Linie hat 2 Punkte; zweidimensionales Quadrat - 4 Seiten; dreidimensionaler Würfel - 6 Flächen; vierdimensionaler Tesserakt - 8 Zellen). Die Anzahl der Ecken (Punkte) des Hyperwürfels ist 2 n(zum Beispiel für einen Würfel - 2 3 Eckpunkte).

Menge m-dimensionale Hyperwürfel am Rand n-Würfel gleich

Zum Beispiel gibt es am Rand eines Hyperwürfels 8 Würfel, 24 Quadrate, 32 Kanten und 16 Ecken.

Elemente von Hyperwürfeln

n-Würfel	Name	Scheitel (0-Gesicht)	Kante (1-seitig)	Kante (2-seitig)	Zelle (3-seitig)	(4-seitig)	(5-flächig)	(6-fach)	(7-fach)	(8-fach)
0-Würfel	Punkt	1
1 Würfel	Abschnitt	2	1
2-Würfel	Platz	4	4	1
3-Würfel	Würfel	8	12	6	1
4-Würfel	Tesseract	16	32	24	8	1
5-Würfel	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6-Würfel	Hexerakt	64	192	240	160	60	12	1
7-Würfel	Hepterakt	128	448	672	560	280	84	14	1
8-Würfel	Okterakt	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-Würfel	Energet	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Ebene Projektion

Die Bildung eines Hyperwürfels kann wie folgt dargestellt werden:

• Zwei Punkte A und B können zu einer Strecke AB verbunden werden.
• Zwei parallele Segmente AB und CD können zu einem Quadrat ABCD verbunden werden.
• Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH können zum Würfel ABCDEFGH verbunden werden.
• Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP können zu einem Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP verbunden werden.

Letztere Struktur ist nicht leicht vorstellbar, aber es ist möglich, ihre Projektion auf zwei oder drei Dimensionen darzustellen. Darüber hinaus können Projektionen auf eine 2D-Ebene nützlicher sein, indem die Positionen der projizierten Eckpunkte neu angeordnet werden. In diesem Fall können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen der Elemente innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Struktur der Scheitelpunktverbindungen veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen.

Die erste Abbildung zeigt, wie ein Tesserakt im Prinzip durch Zusammenfügen zweier Würfel entsteht. Dieses Schema ähnelt dem Schema zum Erstellen eines Würfels aus zwei Quadraten. Das zweite Diagramm zeigt, dass alle Kanten des Tesserakts gleich lang sind. Dieses Schema ist auch gezwungen, nach miteinander verbundenen Würfeln zu suchen. Im dritten Diagramm sind die Scheitelpunkte des Tesserakts in Übereinstimmung mit den Abständen entlang der Flächen relativ zum unteren Punkt angeordnet. Dieses Schema ist insofern interessant, als es als grundlegendes Schema für die Netzwerktopologie zum Verbinden von Prozessoren beim Organisieren von parallelem Rechnen verwendet wird: Der Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten überschreitet nicht 4 Kantenlängen, und es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Last auszugleichen.

Hyperwürfel in der Kunst

Der Hyperwürfel taucht seit 1940 in der Science-Fiction auf, als Robert Heinlein in der Geschichte „The House That Teal Built“ („And He Built a Crooked House“) ein Haus beschrieb, das in Form eines Tesserakts gebaut wurde. In der Geschichte dieses Weiters wird dieses Haus zusammengefaltet und verwandelt sich in einen vierdimensionalen Tesseract. Danach taucht der Hyperwürfel in vielen Büchern und Romanen auf.

Cube 2: Hypercube besteht aus ungefähr acht Personen, die in einem Netzwerk von Hypercubes gefangen sind.

Das Gemälde Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 von Salvador Dali, zeigt den gekreuzigten Jesus auf einem Tesseract-Scan. Dieses Gemälde ist im Museum of Art (Metropolitan Museum of Art) in New York zu sehen.

Fazit

Der Hyperwürfel ist eines der einfachsten vierdimensionalen Objekte, an dessen Beispiel Sie die ganze Komplexität und Ungewöhnlichkeit der vierten Dimension sehen können. Und was in drei Dimensionen unmöglich erscheint, ist zum Beispiel in vier unmöglichen Figuren möglich. So werden zum Beispiel die Stäbe eines unmöglichen Dreiecks in vier Dimensionen rechtwinklig verbunden. Und diese Figur wird aus allen Blickwinkeln so aussehen und nicht verzerrt sein, im Gegensatz zu den Implementierungen des unmöglichen Dreiecks im dreidimensionalen Raum (siehe Abb.

Bakalier Maria

Es werden Möglichkeiten zur Einführung des Konzepts eines vierdimensionalen Würfels (Tesseract), seine Struktur und einige Eigenschaften untersucht Die Frage, welche dreidimensionalen Objekte erhalten werden, wenn ein vierdimensionaler Würfel von Hyperebenen geschnitten wird, die parallel zu seinen dreidimensional sind dimensionale Flächen sowie durch Hyperebenen senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen. Der für die Forschung verwendete Apparat der mehrdimensionalen analytischen Geometrie wird betrachtet.

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Vorschau:

Einleitung ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hauptteil…………………………………………………………………..4

Schlussfolgerungen ………….. ……………………………………………………………..12

Referenzen…………………………………………………………..13

Einführung

Der vierdimensionale Raum hat seit langem die Aufmerksamkeit sowohl von professionellen Mathematikern als auch von Menschen auf sich gezogen, die weit davon entfernt sind, diese Wissenschaft zu praktizieren. Das Interesse an der vierten Dimension kann auf der Annahme beruhen, dass unsere dreidimensionale Welt in den vierdimensionalen Raum „eingetaucht“ ist, so wie eine Ebene in den dreidimensionalen Raum „eingetaucht“ ist, eine gerade Linie in einen „eingetaucht“ ist Ebene, und ein Punkt liegt auf einer geraden Linie. Außerdem spielt der vierdimensionale Raum eine wichtige Rolle moderne Theorie Relativitätstheorie (die sogenannte Raumzeit oder Minkowski-Raum) und kann ebenfalls als Sonderfall betrachtet werdendimensionaler euklidischer Raum (z).

Ein vierdimensionaler Würfel (Tesserakt) ist ein Objekt des vierdimensionalen Raums, das die maximal mögliche Dimension hat (so wie ein normaler Würfel ein Objekt des dreidimensionalen Raums ist). Beachten Sie, dass es auch von direktem Interesse ist, nämlich in Optimierungsproblemen der linearen Programmierung auftreten kann (als ein Bereich, in dem das Minimum oder Maximum einer linearen Funktion von vier Variablen gefunden wird) und auch in der digitalen Mikroelektronik verwendet wird (wenn Programmieren des Betriebs einer elektronischen Uhranzeige). Darüber hinaus trägt der eigentliche Prozess des Studiums eines vierdimensionalen Würfels zur Entwicklung des räumlichen Denkens und der Vorstellungskraft bei.

Daher ist die Untersuchung der Struktur und spezifischen Eigenschaften eines vierdimensionalen Würfels sehr relevant. Es sei darauf hingewiesen, dass der vierdimensionale Würfel in Bezug auf die Struktur ziemlich gut untersucht wurde. Von viel größerem Interesse ist die Natur seiner Schnitte durch verschiedene Hyperebenen. Der Hauptzweck dieser Arbeit besteht daher darin, die Struktur des Tesserakts zu untersuchen sowie die Frage zu klären, welche dreidimensionalen Objekte erhalten werden, wenn ein vierdimensionaler Würfel durch Hyperebenen parallel zu einer seiner dreidimensional geschnitten wird. dimensionale Flächen oder durch Hyperebenen senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen. Eine Hyperebene in einem vierdimensionalen Raum ist ein dreidimensionaler Unterraum. Wir können sagen, dass eine gerade Linie in einer Ebene eine eindimensionale Hyperebene ist, eine Ebene im dreidimensionalen Raum eine zweidimensionale Hyperebene.

Das Zielset bestimmte die Ziele der Studie:

1) Studieren Sie die grundlegenden Fakten der mehrdimensionalen analytischen Geometrie;

2) Untersuchung der Merkmale der Konstruktion von Würfeln mit Dimensionen von 0 bis 3;

3) Studieren Sie die Struktur eines vierdimensionalen Würfels;

4) einen vierdimensionalen Würfel analytisch und geometrisch beschreiben;

5) Erstellen Sie Modelle von Sweeps und zentralen Projektionen von dreidimensionalen und vierdimensionalen Würfeln.

6) Beschreibe mit dem Apparat der mehrdimensionalen analytischen Geometrie dreidimensionale Objekte, die man erhält, indem man einen vierdimensionalen Würfel durch Hyperebenen parallel zu einer seiner dreidimensionalen Flächen oder durch Hyperebenen senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen kreuzt.

Die auf diese Weise gewonnenen Informationen werden es ermöglichen, die Struktur des Tesserakts besser zu verstehen und eine tiefe Analogie in der Struktur und den Eigenschaften von Würfeln verschiedener Dimensionen aufzudecken.

Hauptteil

Zunächst beschreiben wir den mathematischen Apparat, den wir im Verlauf dieser Studie verwenden werden.

1) Vektorkoordinaten: wenn, dann

2) Gleichung einer Hyperebene mit einem Normalenvektor sieht aus wie hier

3) Flugzeuge und sind parallel, wenn und nur wenn

4) Der Abstand zwischen zwei Punkten wird wie folgt bestimmt: wenn, dann

5) Bedingung der Orthogonalität von Vektoren:

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie ein vierdimensionaler Würfel beschrieben werden kann. Dies kann auf zwei Arten erfolgen - geometrisch und analytisch.

Wenn wir über die geometrische Einstellungsmethode sprechen, ist es ratsam, den Prozess der Konstruktion von Würfeln zu verfolgen, beginnend mit der Nulldimension. Ein nulldimensionaler Würfel ist ein Punkt (beachten Sie übrigens, dass ein Punkt auch die Rolle einer nulldimensionalen Kugel spielen kann). Als nächstes führen wir die erste Dimension (die Abszissenachse) ein und markieren auf der entsprechenden Achse zwei Punkte (zwei nulldimensionale Würfel), die sich im Abstand von 1 voneinander befinden. Das Ergebnis ist ein Segment – ​​ein eindimensionaler Würfel. Wir merken sofort hervorstechendes Merkmal: Die Grenze (Enden) eines eindimensionalen Würfels (Segments) sind zwei nulldimensionale Würfel (zwei Punkte). Als nächstes führen wir die zweite Dimension (y-Achse) und in der Ebene einKonstruieren wir zwei eindimensionale Würfel (zwei Segmente), deren Enden einen Abstand von 1 voneinander haben (tatsächlich ist eines der Segmente eine orthogonale Projektion des anderen). Wenn wir die entsprechenden Enden der Segmente verbinden, erhalten wir ein Quadrat - einen zweidimensionalen Würfel. Auch hier stellen wir fest, dass die Grenze eines zweidimensionalen Würfels (Quadrats) aus vier eindimensionalen Würfeln (vier Segmenten) besteht. Schließlich führen wir die dritte Dimension (die Anwendungsachse) ein und konstruieren im Raumzwei Quadrate so, dass eines von ihnen eine orthogonale Projektion des anderen ist (in diesem Fall haben die entsprechenden Eckpunkte der Quadrate einen Abstand von 1 voneinander). Verbinden Sie die entsprechenden Eckpunkte mit Segmenten - wir erhalten einen dreidimensionalen Würfel. Wir sehen, dass die Grenze des dreidimensionalen Würfels aus sechs zweidimensionalen Würfeln (sechs Quadraten) besteht. Die beschriebenen Konstruktionen ermöglichen es, die folgende Regelmäßigkeit aufzudecken: bei jedem SchrittDer dimensionale Würfel "bewegt sich und hinterlässt eine Spur" inDies ist eine Messung im Abstand 1, während die Bewegungsrichtung senkrecht zum Würfel steht. Erst die formale Fortsetzung dieses Prozesses erlaubt es uns, zum Konzept eines vierdimensionalen Würfels zu gelangen. Lassen Sie uns nämlich den dreidimensionalen Würfel zwingen, sich in Richtung der vierten Dimension (senkrecht zum Würfel) in einem Abstand von 1 zu bewegen. Wir werden ähnlich wie beim vorherigen handeln, dh die entsprechenden Eckpunkte der Würfel verbinden Holen Sie sich einen vierdimensionalen Würfel. Es sei darauf hingewiesen, dass eine solche Konstruktion in unserem Raum geometrisch unmöglich ist (weil er dreidimensional ist), aber wir stoßen hier aus logischer Sicht auf keine Widersprüche. Kommen wir nun zur analytischen Beschreibung des vierdimensionalen Würfels. Es wird auch formal mit Hilfe der Analogie erhalten. So, analytische Aufgabe Der nulldimensionale Einheitswürfel hat die Form:

Die analytische Aufgabe eines eindimensionalen Einheitswürfels hat die Form:

Die analytische Aufgabe eines zweidimensionalen Einheitswürfels hat die Form:

Die analytische Aufgabe eines dreidimensionalen Einheitswürfels hat die Form:

Nun ist es sehr einfach, eine analytische Darstellung eines vierdimensionalen Würfels zu geben, nämlich:

Wie Sie sehen können, verwendeten sowohl die geometrischen als auch die analytischen Methoden zur Spezifikation eines vierdimensionalen Würfels die Analogiemethode.

Nun wollen wir mit dem Apparat der analytischen Geometrie herausfinden, welche Struktur ein vierdimensionaler Würfel hat. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, welche Elemente es enthält. Auch hier können Sie die Analogie verwenden (um eine Hypothese aufzustellen). Die Grenzen eines eindimensionalen Würfels sind Punkte (Nullwürfel), eines zweidimensionalen Würfels - Segmente (eindimensionale Würfel), eines dreidimensionalen Würfels - Quadrate (zweidimensionale Flächen). Es kann davon ausgegangen werden, dass die Grenzen des Tesserakts dreidimensionale Würfel sind. Um dies zu beweisen, wollen wir klären, was mit Ecken, Kanten und Flächen gemeint ist. Die Ecken eines Würfels sind seine Eckpunkte. Das heißt, die Koordinaten der Eckpunkte können Nullen oder Einsen sein. Somit wird eine Beziehung zwischen der Dimension eines Würfels und der Anzahl seiner Ecken gefunden. Wir wenden die kombinatorische Produktregel an - seit dem ScheitelpunktWürfel hat genauKoordinaten, von denen jede gleich Null oder Eins ist (unabhängig von allen anderen), dann gibt esSpitzen. Somit sind an jedem Scheitelpunkt alle Koordinaten fest und können gleich sein oder . Wenn wir alle Koordinaten fixieren (jede von ihnen gleich setzen oder , unabhängig von den anderen), bis auf eine, dann erhalten wir gerade Linien, die die Kanten des Würfels enthalten. Ähnlich wie beim vorherigen können wir zählen, dass es genau gibtDinge. Und wenn wir jetzt alle Koordinaten fixieren (jede von ihnen gleich setzen oder , unabhängig von den anderen), bis auf einige zwei, erhalten wir Ebenen, die zweidimensionale Flächen des Würfels enthalten. Mit der Regel der Kombinatorik finden wir, dass es genau gibtDinge. Außerdem - ähnlich - alle Koordinaten fixieren (jede von ihnen gleich setzen oder , unabhängig von den anderen), außer einigen drei, erhalten wir Hyperebenen, die dreidimensionale Flächen des Würfels enthalten. Nach der gleichen Regel berechnen wir ihre Anzahl - genauusw. Das reicht für unsere Studie. Wenden wir die erhaltenen Ergebnisse auf die Struktur eines vierdimensionalen Würfels an, und zwar in allen abgeleiteten Formeln, die wir setzen. Daher hat ein vierdimensionaler Würfel: 16 Ecken, 32 Kanten, 24 zweidimensionale Flächen und 8 dreidimensionale Flächen. Der Klarheit halber definieren wir alle seine Elemente analytisch.

Ecken eines vierdimensionalen Würfels:

Kanten eines vierdimensionalen Würfels ():

Zweidimensionale Flächen eines vierdimensionalen Würfels (ähnliche Einschränkungen):

Dreidimensionale Flächen eines vierdimensionalen Würfels (ähnliche Einschränkungen):

Nachdem nun die Struktur des vierdimensionalen Würfels und die Methoden zu seiner Definition ausreichend vollständig beschrieben sind, gehen wir zur Implementierung über Hauptziel- um die Art der verschiedenen Abschnitte des Würfels zu verdeutlichen. Beginnen wir mit dem elementaren Fall, dass die Schnitte eines Würfels parallel zu einer seiner dreidimensionalen Flächen sind. Betrachten Sie beispielsweise seine Schnitte durch Hyperebenen parallel zur FlächeAus der analytischen Geometrie ist bekannt, dass jeder solche Schnitt durch die Gleichung gegeben istSetzen wir die entsprechenden Abschnitte analytisch:

Wie Sie sehen können, haben wir eine analytische Aufgabe für einen dreidimensionalen Einheitswürfel erhalten, der in einer Hyperebene liegt

Um eine Analogie herzustellen, schreiben wir einen Abschnitt eines dreidimensionalen Würfels durch eine Ebene Wir bekommen:

Dies ist ein Quadrat, das in einer Ebene liegt. Die Analogie ist offensichtlich.

Schnitte eines vierdimensionalen Würfels durch Hyperebenengenau die gleichen Ergebnisse liefern. Auch dies werden einzelne dreidimensionale Würfel sein, die in Hyperebenen liegen bzw.

Betrachten wir nun Abschnitte eines vierdimensionalen Würfels durch Hyperebenen senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen. Lassen Sie uns dieses Problem zuerst für einen dreidimensionalen Würfel lösen. Unter Verwendung des oben beschriebenen Verfahrens zum Spezifizieren eines dreidimensionalen Einheitswürfels kommt er zu dem Schluss, dass beispielsweise ein Segment mit Enden als Hauptdiagonale genommen werden kann und . Das bedeutet, dass der Vektor der Hauptdiagonalen Koordinaten haben wird. Daher lautet die Gleichung jeder Ebene senkrecht zur Hauptdiagonalen:

Lassen Sie uns die Grenzen der Parameteränderung definieren. Als , dann erhalten wir durch Addieren dieser Ungleichungen Term für Term:

Oder .

Wenn, dann (aufgrund von Einschränkungen). Ebenso, wenn, dann . Also, bei und bei die Schnittebene und der Würfel haben genau einen gemeinsamen Punkt ( und bzw). Lassen Sie uns nun Folgendes bemerken. Wenn(wieder aufgrund der Beschränkungen der Variablen). Die entsprechenden Ebenen schneiden gleichzeitig drei Flächen, weil sonst die Schnittebene parallel zu einer von ihnen wäre, was durch die Bedingung nicht der Fall ist. Wenn, dann schneidet die Ebene alle Flächen des Würfels. Wenn, dann schneidet die Ebene die Flächen. Lassen Sie uns die entsprechenden Berechnungen präsentieren.

Lassen Dann das Flugzeugüberquert die Linie im Übrigen in gerader Linie. Grenze übrigens. Kante Ebene schneidet sich in einer geraden Linie, darüber hinaus

Lassen Dann das Flugzeugüberquert den Rand:

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Kante in einer geraden Linie, außerdem.

Diesmal werden sechs Segmente erhalten, die nacheinander gemeinsame Enden haben:

Lassen Dann das Flugzeugüberquert die Linie im Übrigen in gerader Linie. Kante Ebene schneidet sich in einer geraden Linie, und . Kante Ebene schneidet sich in einer geraden Linie, darüber hinaus . Das heißt, es werden drei Segmente erhalten, die paarweise gemeinsame Enden haben:Also für die angegebenen Werte des ParametersDie Ebene schneidet den Würfel in einem regelmäßigen Dreieck mit Eckpunkten

Hier ist also eine erschöpfende Beschreibung der ebenen Figuren, die man erhält, wenn man den Würfel mit einer Ebene senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen kreuzt. Die Hauptidee war die folgende. Es ist notwendig zu verstehen, welche Flächen die Ebene schneidet, in welchen Mengen sie sie schneidet, wie diese Mengen miteinander verbunden sind. Wenn sich beispielsweise herausstellte, dass die Ebene genau drei Flächen entlang von Segmenten schneidet, die paarweise gemeinsame Enden haben, dann war der Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck (was durch direktes Zählen der Längen der Segmente bewiesen wird), dessen Spitzen diese Enden sind der Segmente.

Mit der gleichen Apparatur und der gleichen Idee, Querschnitte zu untersuchen, lassen sich auf genau die gleiche Weise folgende Tatsachen ableiten:

1) Der Vektor einer der Hauptdiagonalen des vierdimensionalen Einheitswürfels hat Koordinaten

2) Jede Hyperebene senkrecht zur Hauptdiagonale eines vierdimensionalen Würfels kann geschrieben werden als.

3) In der Gleichung der Sekantenhyperebene der Parameterkann von 0 bis 4 variieren;

4) Bei und die Sekanten-Hyperebene und der vierdimensionale Würfel haben einen gemeinsamen Punkt ( und bzw);

5) Wann im Schnitt erhält man ein regelmäßiges Tetraeder;

6) Wann im Abschnitt wird ein Oktaeder erhalten;

7) Wann im Schnitt erhält man ein regelmäßiges Tetraeder.

Dementsprechend schneidet hier die Hyperebene den Tesserakt entlang der Ebene, auf der aufgrund der Einschränkungen der Variablen ein dreieckiger Bereich zugewiesen wird (eine Analogie - die Ebene kreuzte den Würfel entlang einer geraden Linie, auf der aufgrund der Einschränkungen von den Variablen wurde ein Segment zugeordnet). Im Fall 5) schneidet die Hyperebene genau vier dreidimensionale Tesseraktflächen, d. h. es entstehen vier Dreiecke, die paarweise gemeinsame Seiten haben, also ein Tetraeder bilden (wie man es ausrechnen kann - richtig). Im Fall 6) schneidet die Hyperebene genau acht dreidimensionale Tesseraktflächen, dh man erhält acht Dreiecke, die aufeinanderfolgend gemeinsame Seiten haben, also ein Oktaeder bilden. Fall 7) ist Fall 5) völlig ähnlich.

Veranschaulichen wir das Gesagte an einem konkreten Beispiel. Wir untersuchen nämlich den Schnitt des vierdimensionalen Würfels durch die HyperebeneAufgrund der Beschränkungen der Variablen schneidet diese Hyperebene die folgenden 3D-Flächen: Kante schneidet sich in einer EbeneAufgrund der Beschränkungen der Variablen haben wir:Erhalten Sie eine dreieckige Fläche mit ScheitelpunktenWeiter,Wir bekommen ein DreieckAm Schnittpunkt einer Hyperebene mit einem GesichtWir bekommen ein DreieckAm Schnittpunkt einer Hyperebene mit einem GesichtWir bekommen ein DreieckSomit haben die Ecken des Tetraeders die folgenden Koordinaten. So einfach zu berechnen, ist dieser Tetraeder in der Tat richtig.

Schlussfolgerungen

Im Laufe dieser Studie wurden die Hauptfakten der mehrdimensionalen analytischen Geometrie untersucht, die Merkmale der Konstruktion von Würfeln mit den Dimensionen 0 bis 3 untersucht, die Struktur eines vierdimensionalen Würfels untersucht, ein vierdimensionaler Würfel untersucht analytisch und geometrisch beschrieben, Modelle von Entwicklungen und Zentralprojektionen von dreidimensionalen und vierdimensionalen Würfeln wurden erstellt, dreidimensionale Würfel waren analytisch beschriebene Objekte, die aus dem Schnitt eines vierdimensionalen Würfels mit Hyperebenen parallel zu einer seiner dreidimensionalen dimensionale Flächen oder durch Hyperebenen senkrecht zu seiner Hauptdiagonalen.

Die Studie ermöglichte es, eine tiefe Analogie in der Struktur und den Eigenschaften von Würfeln verschiedener Abmessungen aufzudecken. Die verwendete Analogietechnik kann in der Studie z. B. angewendet werden,dimensionale Sphäre bzwdimensionales Simplex. Nämlich,Eine dimensionale Kugel kann als eine Menge von Punkten definiert werdendimensionaler Raum, der von einem bestimmten Punkt, der als Kugelmittelpunkt bezeichnet wird, gleich weit entfernt ist. Weiter,Der dimensionale Simplex kann als Teil definiert werdenDimensionsraum, begrenzt durch die Mindestzahldimensionale Hyperebenen. Zum Beispiel ist ein eindimensionaler Simplex ein Segment (Teil eines eindimensionalen Raums, der durch zwei Punkte begrenzt ist), ein zweidimensionaler Simplex ist ein Dreieck (Teil eines zweidimensionalen Raums, der durch drei gerade Linien begrenzt ist), ein dreidimensionaler Simplex ist ein Tetraeder (Teil des dreidimensionalen Raums, der von vier Ebenen begrenzt wird). Endlich,der dimensionale Simplex ist als Teil definiertDimensionsraum, begrenztHyperebene der Dimension.

Beachten Sie, dass diese Studie trotz der zahlreichen Anwendungen des Tesserakts in einigen Bereichen der Wissenschaft immer noch größtenteils eine mathematische Forschung ist.

Referenzliste

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Höhere Mathematik, Bd. 1 - M.: Drofa, 2005 - 284 p.

2) Quanten. Vierdimensionaler Würfel / Duzhin S., Rubtsov V., Nr. 6, 1986.

3) Quanten. Wie man zeichnet Dimensionswürfel / Demidovich N.B., Nr. 8, 1974.