Das Multiplizieren von Brüchen ist für Schüler immer ein Problem. Besonders schwierig ist das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen. Reden wir also über Multiplikation. Dezimalbrüche für natürliche Zahlen separat.

Was ist eine natürliche Zahl?

Natürliche Zahlen waren die ersten erfundenen numerischen Bezeichnungen der Welt. Diese Zahlen sind natürlich entstanden, da sie für das tägliche Zählen notwendig sind. Natürliche Zahlen umfassen alle Werte von 1 bis unendlich. Natürliche Zahlen enthalten keine Brüche und irrationale Werte.

Die Zahl 5 ist natürlich, aber 5.1 ist es nicht.

Was ist eine Dezimalzahl?

Dezimalbrüche entstanden später als alle anderen Unterarten von Brüchen. Mit der Komplikation der Technologie in der Welt ist das Problem zu umständlicher Berechnungen mit gewöhnlichen Brüchen entstanden. Daher wurden Dezimalbrüche verwendet.

Der Dezimalbruch hat einen Nenner, wird aber nicht im Datensatz wiedergegeben. Welche Zahl im Nenner eines Bruches steht, erkennst du an der Anzahl der Dezimalstellen in der Zahl. Der Nenner eines Dezimalbruchs enthält immer die Zehnerpotenz. Diese Potenz ist gleich der Anzahl der Dezimalstellen.

Betrachten Sie ein Beispiel:

3,758 - dieser Bruch hat einen ganzzahligen und einen Bruchteil. Wandeln Sie eine Dezimalzahl mit einem Balken in einen gemischten Bruch um. Es gibt 3 Dezimalstellen nach dem Komma, also enthält der Nenner die Zahl 10 hoch 3. Das ist 1000.

$3.758=3 (758\over(1000))$ - so sieht die umgewandelte Dezimalzahl aus.

Aufgrund der einfachen Schreibweise werden Dezimalbrüche weltweit für Berechnungen verwendet.

Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl

Lassen Sie uns die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl im Detail analysieren. Schreiben wir den Algorithmus:

• Zuerst wird der Dezimalbruch in eine natürliche Zahl umgewandelt. Entfernen Sie dazu einfach das Komma. Merken Sie sich unbedingt die Anzahl der Nachkommastellen.
• Die Zahlen werden multipliziert.
• Als Ergebnis wird die Anzahl der Zeichen, die wir uns am Anfang gemerkt haben, von rechts nach links gezählt. Es wird ein trennendes Komma gesetzt. Die resultierende Zahl ist das Ergebnis der Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl.

Analysieren wir die Operation anhand eines Beispiels:

• Wir führen die Umwandlung eines Kommas in einen Bruch durch: 3,58 wird in die Zahl 358 umgewandelt. Wir haben das Komma um 2 Stellen verschoben. Es ist wichtig zu verstehen, dass die resultierende Zahl nicht gleich der ursprünglichen ist. Das heißt, die Zahl 3,58 ist nicht gleich der Zahl 358.
• Durchführen der Multiplikation der konvertierten Zahl

• Der nächste Schritt besteht darin, die Zahl wieder in einen Bruch umzuwandeln. Denken Sie daran, dass wir ganz am Anfang das Komma um 2 Zeichen verschoben haben. Jetzt müssen Sie für die gleichen 2 Zeichen erneut zählen und ein Komma setzen

Die Zahl 2506 wird in 25.06 umgewandelt

Was haben wir gelernt?

Wir haben uns daran erinnert, was ein Dezimalbruch und eine natürliche Zahl sind. Beschrieb den Algorithmus zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl. Sie gaben ein Beispiel für die Multiplikation von Dezimalbrüchen mit einer natürlichen Zahl.

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§ 1 Anwendung der Regel zur Multiplikation von Dezimalbrüchen

In dieser Lektion lernen Sie, wie Sie die Regel zum Multiplizieren von Dezimalzahlen und die Regel zum Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Stelleneinheit wie 0,1, 0,01 usw. anwenden. Darüber hinaus werden wir die Eigenschaften der Multiplikation berücksichtigen, wenn wir die Werte von Ausdrücken finden, die Dezimalbrüche enthalten.

Lösen wir das Problem:

Die Fahrzeuggeschwindigkeit beträgt 59,8 km/h.

Wie weit fährt das Auto in 1,3 Stunden?

Wie Sie wissen, müssen Sie die Geschwindigkeit mit der Zeit multiplizieren, um einen Weg zu finden, d.h. 59,8 mal 1,3.

Schreiben wir die Zahlen in eine Spalte und fangen an, sie zu multiplizieren, ohne die Kommas zu bemerken: 8 mal 3 wird 24, 4 schreiben wir 2 in unseren Gedanken, 3 mal 9 ist 27, plus 2, wir bekommen 29, wir schreiben 9, 2 hinein unsere Gedanken. Jetzt multiplizieren wir 3 mit 5, es wird 15 und addieren 2 weitere, wir bekommen 17.

Gehen Sie zur zweiten Zeile: 1 mal 8 ist 8, 1 mal 9 ist 9, 1 mal 5 ist 5, addieren Sie diese beiden Zeilen, wir erhalten 4, 9+8 ist 17, 7 schreiben Sie 1 in Ihren Kopf, 7 +9 ist 16 plus 1, es wird 17, 7 schreiben wir 1 in unserem Kopf, 1+5 plus 1 erhalten wir 7.

Nun wollen wir sehen, wie viele Dezimalstellen in beiden Dezimalbrüchen sind! Der erste Bruch hat eine Nachkommastelle und der zweite Bruch hat eine Nachkommastelle, also insgesamt zwei Stellen. Also müssen Sie rechts im Ergebnis zwei Ziffern zählen und ein Komma setzen, d.h. wird 77,74 sein. Wenn wir also 59,8 mit 1,3 multiplizieren, erhalten wir 77,74. Die Antwort in der Aufgabe lautet also 77,74 km.

Um also zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren, benötigen Sie:

Erstens: Führen Sie die Multiplikation durch und ignorieren Sie die Kommas

Zweitens: Trennen Sie im resultierenden Produkt mit einem Komma so viele Ziffern rechts, wie in beiden Faktoren zusammen nach dem Komma stehen.

Wenn das resultierende Produkt weniger Stellen enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen, müssen eine oder mehrere Nullen vorangestellt werden.

Zum Beispiel: 0,145 mal 0,03, wir erhalten 435 im Produkt, und wir müssen 5 Ziffern rechts mit einem Komma trennen, also fügen wir 2 weitere Nullen vor der Zahl 4 hinzu, setzen ein Komma und fügen eine weitere Null hinzu. Wir erhalten die Antwort 0,00435.

§ 2 Eigenschaften der Multiplikation von Dezimalbrüchen

Beim Multiplizieren von Dezimalbrüchen bleiben dieselben Multiplikationseigenschaften erhalten, die für natürliche Zahlen gelten. Lassen Sie uns einige Aufgaben erledigen.

Aufgabe Nummer 1:

Lösen wir dieses Beispiel, indem wir das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition anwenden.

5,7 (gemeinsamer Faktor) wird aus der Klammer genommen, 3,4 plus 0,6 bleiben in Klammern. Der Wert dieser Summe ist 4, und jetzt muss 4 mit 5,7 multipliziert werden, wir erhalten 22,8.

Aufgabe Nummer 2:

Lassen Sie uns das Kommutativgesetz der Multiplikation verwenden.

Wir multiplizieren zuerst 2,5 mit 4, wir erhalten 10 ganze Zahlen, und jetzt müssen wir 10 mit 32,9 multiplizieren, und wir erhalten 329.

Außerdem können Sie beim Multiplizieren von Dezimalbrüchen Folgendes beachten:

Bei der Multiplikation einer Zahl mit einem unechten Dezimalbruch, d.h. größer oder gleich 1, es steigt oder ändert sich nicht, zum Beispiel:

Beim Multiplizieren einer Zahl mit einem echten Dezimalbruch, d.h. kleiner als 1, nimmt er ab, zum Beispiel:

Lösen wir ein Beispiel:

23,45 mal 0,1.

Wir müssen 2.345 mit 1 multiplizieren und drei Kommas von rechts trennen, wir erhalten 2.345.

Lösen wir nun ein weiteres Beispiel: 23,45 geteilt durch 10, wir müssen das Komma um eine Stelle nach links verschieben, denn 1 Null in etwas Eins ergibt 2,345.

Aus diesen beiden Beispielen können wir schließen, dass das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit 0,1, 0,01, 0,001 usw. das Teilen der Zahl durch 10, 100, 1000 usw. bedeutet, d.h. Verschieben Sie bei einem Dezimalbruch das Komma um so viele Stellen nach links, wie im Multiplikator Nullen vor 1 stehen.

Mit der resultierenden Regel finden wir die Werte der Produkte:

13,45 mal 0,01

vor der Zahl 1 stehen 2 Nullen, also verschieben wir das Komma um 2 Ziffern nach links, wir bekommen 0,1345.

0,02 mal 0,001

vor der Zahl 1 stehen 3 Nullen, das heißt wir verschieben das Komma um drei Stellen nach links, wir bekommen 0.00002.

In dieser Lektion haben Sie also gelernt, wie man Dezimalbrüche multipliziert. Dazu müssen Sie nur die Multiplikation durchführen, die Kommas ignorieren, und im resultierenden Produkt so viele Ziffern rechts mit einem Komma trennen, wie in beiden Faktoren zusammen nach dem Komma stehen. Außerdem haben wir uns mit der Regel zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit 0,1, 0,01 usw. vertraut gemacht und auch die Eigenschaften der Multiplikation von Dezimalbrüchen betrachtet.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mathematik Klasse 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. und andere 31. Aufl., ster. - M: 2013.
2. Didaktische Materialien in Mathematik Klasse 5. Autor - Popov M.A. - Jahr 2013
3. Wir kalkulieren fehlerfrei. Arbeit mit Selbstprüfung in den Mathematikklassen 5-6. Autor - Minaeva S.S. - Jahr 2014
4. Didaktische Materialien in Mathematik Klasse 5. Autoren: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrolle u unabhängige Arbeit in Mathematik Klasse 5. Autoren - Popov M.A. - Jahr 2012
6. Mathe. Klasse 5: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

In diesem Artikel betrachten wir eine Aktion wie das Multiplizieren von Dezimalbrüchen. Beginnen wir mit der Formulierung allgemeiner Prinzipien, dann zeigen wir, wie ein Dezimalbruch mit einem anderen multipliziert wird, und betrachten die Methode der Multiplikation mit einer Spalte. Alle Definitionen werden mit Beispielen illustriert. Dann werden wir analysieren, wie Dezimalbrüche korrekt mit gewöhnlichen sowie mit gemischten und natürlichen Zahlen (einschließlich 100, 10 usw.) multipliziert werden.

Als Teil dieses Materials werden wir nur die Regeln für die Multiplikation positiver Brüche ansprechen. Fälle mit negativen Zahlen werden in den Artikeln zur Multiplikation von rationalen und reellen Zahlen separat behandelt.

Lassen Sie uns die allgemeinen Prinzipien formulieren, die bei der Lösung von Problemen zur Multiplikation von Dezimalbrüchen befolgt werden müssen.

Denken Sie zuallererst daran, dass Dezimalbrüche nichts anderes sind besondere Form Aufzeichnungen von gewöhnlichen Brüchen, daher kann der Prozess ihrer Multiplikation auf den gleichen für gewöhnliche Brüche reduziert werden. Diese Regel funktioniert sowohl für endliche als auch für unendliche Brüche: Nachdem sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt wurden, ist es einfach, mit ihnen gemäß den Regeln, die wir bereits studiert haben, zu multiplizieren.

Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Beispiel 1

Berechnen Sie das Produkt von 1,5 und 0,75.

Lösung: Ersetzen Sie zuerst die Dezimalbrüche durch gewöhnliche. Wir wissen, dass 0,75 75/100 und 1,5 1510 ist. Wir können den Bruchteil reduzieren und den ganzen Teil extrahieren. Wir schreiben das Ergebnis 125 1000 als 1 , 125 .

Antworten: 1 , 125 .

Wir können die Spaltenzählmethode wie bei natürlichen Zahlen verwenden.

Beispiel 2

Multipliziere einen periodischen Bruch 0 , (3) mit einem anderen 2 , (36) .

Lassen Sie uns zuerst die ursprünglichen Brüche auf gewöhnliche reduzieren. Wir werden im Stande sein zu:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Daher ist 0 , (3) 2 , (36) = 1 3 26 11 = 26 33 .

Der resultierende gewöhnliche Bruch kann auf die Dezimalform reduziert werden, indem der Zähler durch den Nenner in einer Spalte dividiert wird:

Antworten: 0 , (3) 2 , (36) = 0 , (78) .

Wenn wir in der Bedingung des Problems unendliche nicht periodische Brüche haben, müssen wir ihre vorläufige Rundung durchführen (siehe den Artikel über das Runden von Zahlen, wenn Sie vergessen haben, wie das geht). Danach können Sie die Multiplikationsoperation mit bereits gerundeten Dezimalbrüchen durchführen. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 3

Berechne das Produkt von 5, 382 ... und 0, 2.

Lösung

Wir haben im Problem einen unendlichen Bruch, der erst auf Hundertstel gerundet werden muss. Es stellt sich heraus, dass 5, 382 ... ≈ 5, 38. Den zweiten Faktor auf Hundertstel zu runden ist nicht sinnvoll. Jetzt können Sie das gewünschte Produkt berechnen und das Ergebnis aufschreiben: 5, 38 0, 2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1, 076.

Antworten: 5,382… 0,2 ≈ 1,076.

Die Spaltenzählmethode lässt sich nicht nur auf natürliche Zahlen anwenden. Wenn wir Dezimalzahlen haben, können wir sie auf genau die gleiche Weise multiplizieren. Lassen Sie uns die Regel ableiten:

Bestimmung 1

Die Multiplikation von Dezimalbrüchen mit einer Spalte erfolgt in 2 Schritten:

1. Wir führen eine Multiplikation mit einer Spalte durch, ohne auf Kommas zu achten.

2. Wir setzen einen Dezimalpunkt in die letzte Zahl und trennen sie so viele Ziffern auf der rechten Seite, wie beide Faktoren zusammen Dezimalstellen enthalten. Wenn im Ergebnis dafür nicht genügend Zahlen vorhanden sind, fügen wir links Nullen hinzu.

Wir werden Beispiele für solche Berechnungen in der Praxis analysieren.

Beispiel 4

Multiplizieren Sie die Dezimalstellen 63, 37 und 0, 12 mit einer Spalte.

Lösung

Lassen Sie uns zunächst die Multiplikation von Zahlen durchführen und dabei die Dezimalstellen ignorieren.

Jetzt müssen wir an der richtigen Stelle ein Komma setzen. Es trennt die vier Ziffern auf der rechten Seite, da die Summe der Dezimalstellen in beiden Faktoren 4 ist. Sie müssen keine Nullen hinzufügen, weil Zeichen reichen.

Antworten: 3,37 0,12 = 7,6044.

Beispiel 5

Berechnen Sie, wie viel 3,2601 mal 0,0254 ist.

Lösung

Wir zählen ohne Kommas. Wir erhalten folgende Zahl:

Wir setzen ein Komma, das 8 Ziffern auf der rechten Seite trennt, weil die ursprünglichen Brüche zusammen 8 Dezimalstellen haben. Aber unser Ergebnis hat nur sieben Stellen, und wir können auf zusätzliche Nullen nicht verzichten:

Antworten: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Wie man eine Dezimalzahl mit 0,001, 0,01, 01 usw. multipliziert

Sie müssen oft Dezimalzahlen mit solchen Zahlen multiplizieren, daher ist es wichtig, dies schnell und genau tun zu können. Wir schreiben eine spezielle Regel auf, die wir bei einer solchen Multiplikation verwenden werden:

Bestimmung 2

Wenn wir die Dezimalzahl mit 0, 1, 0, 01 usw. multiplizieren, erhalten wir am Ende eine Zahl, die wie der ursprüngliche Bruch aussieht, wobei der Dezimalpunkt um die erforderliche Anzahl von Stellen nach links verschoben ist. Wenn nicht genügend Ziffern zum Übertragen vorhanden sind, müssen Sie links Nullen hinzufügen.

Um also 45, 34 mit 0, 1 zu multiplizieren, muss das Komma im ursprünglichen Dezimalbruch um ein Zeichen verschoben werden. Wir landen bei 4.534.

Beispiel 6

Multiplizieren Sie 9,4 mit 0,0001.

Lösung

Wir müssen das Komma entsprechend der Anzahl der Nullen im zweiten Faktor auf vier Stellen verschieben, aber die Zahlen im ersten reichen dafür nicht aus. Wir ordnen die notwendigen Nullen zu und erhalten 9, 4 0, 0001 = 0, 00094.

Antworten: 0 , 00094 .

Für unendliche Dezimalstellen verwenden wir die gleiche Regel. Also zum Beispiel 0 , (18) 0 , 01 = 0 , 00 (18) oder 94 , 938 … 0 , 1 = 9 , 4938 … . usw.

Der Prozess einer solchen Multiplikation unterscheidet sich nicht von der Aktion, zwei Dezimalbrüche zu multiplizieren. Es ist praktisch, die Multiplikationsmethode in einer Spalte zu verwenden, wenn die Bedingung der Aufgabe einen letzten Dezimalbruch enthält. In diesem Fall müssen alle Regeln berücksichtigt werden, über die wir im vorherigen Absatz gesprochen haben.

Beispiel 7

Berechnen Sie, wie viel 15 2, 27 sein wird.

Lösung

Multiplizieren Sie die ursprünglichen Zahlen mit einer Spalte und trennen Sie die beiden Kommas.

Antworten: 15 2,27 = 34,05.

Wenn wir die Multiplikation eines periodischen Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl durchführen, müssen wir zuerst den Dezimalbruch in einen gewöhnlichen ändern.

Beispiel 8

Berechne das Produkt von 0 , (42) und 22 .

Wir bringen den periodischen Bruch in die Form eines gewöhnlichen Bruchs.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Das Endergebnis kann als periodischer Dezimalbruch als 9 , (3) geschrieben werden.

Antworten: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Unendliche Brüche müssen vor dem Zählen gerundet werden.

Beispiel 9

Berechnen Sie, wie viel 4 2 , 145 ... sein wird.

Lösung

Runden wir den ursprünglichen unendlichen Dezimalbruch auf Hundertstel auf. Danach kommen wir zur Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einem letzten Dezimalbruch:

4 2, 145 ... ≈ 4 2, 15 = 8, 60.

Antworten: 4 2,145 ... ≈ 8,60.

Wie man eine Dezimalzahl mit 1000, 100, 10 usw. multipliziert

Das Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit 10, 100 usw. findet sich häufig in Problemen, daher werden wir diesen Fall separat analysieren. Die grundlegende Multiplikationsregel lautet:

Bestimmung 3

Um eine Dezimalzahl mit 1000, 100, 10 usw. zu multiplizieren, müssen Sie ihr Komma je nach Multiplikator um 3, 2, 1 Stellen verschieben und zusätzliche Nullen links weglassen. Wenn es nicht genug Stellen gibt, um das Komma zu verschieben, fügen wir rechts so viele Nullen hinzu, wie wir brauchen.

Lassen Sie uns ein Beispiel zeigen, wie es geht.

Beispiel 10

Führen Sie die Multiplikation von 100 und 0,0783 durch.

Lösung

Dazu müssen wir das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben. Wir erhalten am Ende 007, 83. Die Nullen auf der linken Seite können weggelassen werden und das Ergebnis kann als 7, 38 geschrieben werden.

Antworten: 0,0783 100 = 7,83.

Beispiel 11

Multiplizieren Sie 0,02 mit 10.000.

Lösung: Wir verschieben das Komma um vier Stellen nach rechts. Im ursprünglichen Dezimalbruch haben wir dafür nicht genügend Vorzeichen, also müssen wir Nullen hinzufügen. In diesem Fall genügen drei Nullen. Als Ergebnis stellte sich 0, 02000 heraus, verschieben Sie das Komma und erhalten Sie 00200, 0. Wenn wir die Nullen auf der linken Seite ignorieren, können wir die Antwort als 200 schreiben.

Antworten: 0,02 10.000 = 200.

Die von uns angegebene Regel funktioniert genauso bei unendlichen Dezimalbrüchen, aber hier solltest du sehr vorsichtig mit dem Punkt des letzten Bruchs sein, da es leicht ist, einen Fehler darin zu machen.

Beispiel 12

Berechnen Sie das Produkt von 5,32 (672) mal 1000 .

Lösung: Zuerst schreiben wir den periodischen Bruch als 5, 32672672672 ..., damit die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Danach können wir das Komma auf die gewünschte Anzahl von Zeichen (drei) verschieben. Als Ergebnis erhalten wir 5326 , 726726 ... Lassen Sie uns den Punkt in Klammern setzen und die Antwort als 5 326 , (726) schreiben.

Antworten: 5 . 32 (672) 1 000 = 5 326 . (726) .

Wenn es unter den Bedingungen des Problems unendliche nicht periodische Brüche gibt, die mit zehn, einhundert, eintausend usw. multipliziert werden müssen, vergessen Sie nicht, sie vor dem Multiplizieren zu runden.

Um diese Art der Multiplikation durchzuführen, müssen Sie den Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch darstellen und dann die bereits bekannten Regeln befolgen.

Beispiel 13

Multipliziere 0 , 4 mit 3 5 6

Lösung

Lassen Sie uns zuerst die Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln. Wir haben: 0 , 4 = 4 10 = 2 5 .

Wir haben die Antwort als gemischte Zahl erhalten. Sie können es als periodischen Bruch 1, 5 (3) schreiben.

Antworten: 1 , 5 (3) .

Wenn ein unendlicher nicht periodischer Bruch in die Berechnung einbezogen wird, müssen Sie ihn auf eine bestimmte Zahl aufrunden und erst dann multiplizieren.

Beispiel 14

Berechnen Sie das Produkt von 3,5678. . . 2 3

Lösung

Den zweiten Faktor können wir darstellen als 2 3 = 0, 6666 …. Als nächstes runden wir beide Faktoren auf die tausendste Stelle. Danach müssen wir das Produkt zweier letzter Dezimalbrüche 3,568 und 0,667 berechnen. Lassen Sie uns die Spalte zählen und die Antwort erhalten:

Das Endergebnis muss auf Tausendstel gerundet werden, da wir die ursprünglichen Zahlen auf diese Kategorie gerundet haben. Wir erhalten, dass 2,379856 ≈ 2,380.

Antworten: 3, 5678. . . 2 3 ≈ 2,380

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In diesem Lernprogramm werden wir uns jede dieser Operationen einzeln ansehen.

Unterrichtsinhalt

Dezimalstellen hinzufügen

Wie wir wissen, hat eine Dezimalzahl einen ganzzahligen Teil und einen Bruchteil. Beim Addieren von Dezimalzahlen werden die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addiert.

Addieren wir zum Beispiel die Dezimalstellen 3,2 und 5,3. Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen.

Zuerst schreiben wir diese beiden Brüche in eine Spalte, wobei die ganzzahligen Teile unter den ganzzahligen Teilen stehen müssen und die gebrochenen unter den gebrochenen. In der Schule wird diese Anforderung genannt "Komma unter Komma".

Schreiben wir die Brüche so in eine Spalte, dass das Komma unter dem Komma steht:

Wir fangen an, die Bruchteile zu addieren: 2 + 3 \u003d 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile: 3 + 5 = 8. Wir schreiben die Acht in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu folgen wir wieder der Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 8.5. Der Ausdruck 3,2 + 5,3 ist also gleich 8,5

Tatsächlich ist nicht alles so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch hier gibt es Fallstricke, über die wir jetzt sprechen werden.

Stellen in Dezimalstellen

Dezimalzahlen haben wie gewöhnliche Zahlen ihre eigenen Ziffern. Das sind Zehntelstellen, Hundertstelstellen, Tausendstelstellen. In diesem Fall beginnen die Ziffern nach dem Komma.

Die erste Nachkommastelle ist für die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle für die Hundertstelstelle, die dritte Nachkommastelle für die Tausendstelstelle zuständig.

Dezimalziffern speichern einige nützliche Informationen. Insbesondere geben sie an, wie viele Zehntel, Hundertstel und Tausendstel in einer Dezimalzahl enthalten sind.

Betrachten Sie zum Beispiel die Dezimalzahl 0,345

Die Position, an der sich das Tripel befindet, wird aufgerufen zehnter Platz

Die Position, an der sich die Vier befindet, wird aufgerufen Hundertstel Stelle

Die Position, an der sich die Fünf befindet, wird aufgerufen Tausendstel

Schauen wir uns diese Figur an. Wir sehen, dass es in der Kategorie der Zehntel eine Drei gibt. Dies deutet darauf hin, dass der Dezimalbruch 0,345 drei Zehntel enthält.

Wenn wir die Brüche addieren, erhalten wir den ursprünglichen Dezimalbruch 0,345

Es ist ersichtlich, dass wir zuerst die Antwort erhalten haben, sie aber in einen Dezimalbruch umgewandelt haben und 0,345 erhalten haben.

Beim Addieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Prinzipien und Regeln wie beim Addieren gewöhnlicher Zahlen. Die Addition von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise: Zehntel werden zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert.

Daher muss beim Addieren von Dezimalbrüchen die Regel befolgt werden "Komma unter Komma". Ein Komma unter einem Komma sorgt für die gleiche Reihenfolge, in der Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert werden.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4

Zunächst addieren wir die Nachkommastellen 5 + 4 = 9. Wir schreiben die Neun in die Nachkommastellen unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 1 + 3 = 4. Wir schreiben die vier in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu beachten wir wieder die Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 4.9. Der Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4 ist also 4,9

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,51 + 1,22

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die Regel "Komma unter Komma" beachten.

Addiere zuerst den Bruchteil, nämlich die Hundertstel 1+2=3. Wir schreiben das Tripel in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere nun Zehntel von 5+2=7. Die sieben schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 3+1=4 hinzu. Wir schreiben die vier im ganzen Teil unserer Antwort auf:

Wir trennen den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma, wobei wir die „Komma unter dem Komma“-Regel beachten:

Habe die Antwort 4.73. Der Wert des Ausdrucks 3,51 + 1,22 ist also 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Wie bei gewöhnlichen Zahlen gilt auch beim Addieren von Dezimalbrüchen . In diesem Fall wird eine Ziffer in die Antwort geschrieben und der Rest auf die nächste Ziffer übertragen.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27

Diesen Ausdruck schreiben wir in eine Spalte:

Addiere Hundertstel von 5+7=12. Die Zahl 12 passt nicht in den hundertsten Teil unserer Antwort. Deshalb schreiben wir im hundertsten Teil die Zahl 2 und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die Zehntel von 6+2=8 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 9. Wir schreiben die Zahl 9 in das Zehntel unserer Antwort:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 2+3=5 hinzu. Wir schreiben die Zahl 5 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Habe die Antwort 5.92. Der Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27 ist also 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8

Schreiben Sie diesen Ausdruck in eine Spalte

Wir addieren die Bruchteile 5 + 8 = 13. Die Zahl 13 passt nicht in den Bruchteil unserer Antwort, also schreiben wir zuerst die Zahl 3 auf und übertragen die Einheit auf die nächste Ziffer, bzw. übertragen sie auf die ganze Zahl Teil:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 9+2=11 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 12. Wir schreiben die Zahl 12 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 12.3. Der Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8 ist also 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Bei der Addition von Dezimalbrüchen muss die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich sein. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese Stellen im Bruchteil mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 12,725 + 1,7

Bevor wir diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben, lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Der Dezimalbruch 12,725 hat drei Stellen nach dem Komma, während der Bruch 1,7 nur eine hat. Also musst du im Bruch 1,7 am Ende zwei Nullen hinzufügen. Dann erhalten wir den Bruchteil 1.700. Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und mit der Berechnung beginnen:

Addiere Tausendstel von 5+0=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den tausendsten Teil unserer Antwort:

Addiere Hundertstel von 2+0=2. Wir schreiben die Zahl 2 in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere Zehntel von 7+7=14. Die Zahl 14 passt nicht in ein Zehntel unserer Antwort. Deshalb schreiben wir zuerst die Zahl 4 auf und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 12+1=13 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 14. Wir schreiben die Zahl 14 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 14.425. Der Wert des Ausdrucks 12,725+1,700 ist also 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Subtraktion von Dezimalstellen

Beim Subtrahieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Addieren: „ein Komma unter einem Komma“ und „gleich viele Stellen nach dem Komma“.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die „Komma unter Komma“-Regel beachten:

Wir berechnen den Bruchteil 5−2=3. Wir schreiben die Zahl 3 in den zehnten Teil unserer Antwort:

Berechnen Sie den ganzzahligen Teil 2−2=0. Wir schreiben Null in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben die Antwort 0,3. Der Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2 ist also gleich 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7,353 - 3,1

Dieser Ausdruck hat eine andere Anzahl von Nachkommastellen. Beim Bruch 7,353 gibt es drei Nachkommastellen und beim Bruch 3,1 nur eine. Das bedeutet, dass beim Bruch 3.1 zwei Nullen am Ende hinzugefügt werden müssen, damit die Anzahl der Stellen in beiden Brüchen gleich ist. Dann bekommen wir 3.100.

Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und berechnen:

Habe die Antwort 4.253. Der Wert des Ausdrucks 7,353 − 3,1 ist also 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Wie bei gewöhnlichen Zahlen müssen Sie manchmal eine vom benachbarten Bit ausleihen, wenn eine Subtraktion unmöglich wird.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39

Subtrahiere Hundertstel von 6−9. Subtrahieren Sie von der Zahl 6 nicht die Zahl 9. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Aus der Zahl 6 wird durch Ausleihen von der Nachbarziffer die Zahl 16. Jetzt können wir die Hundertstel von 16−9=7 berechnen. Wir schreiben die sieben in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Ziehe jetzt Zehntel ab. Da wir eine Einheit in die Kategorie der Zehntel genommen haben, hat sich die Zahl, die sich dort befand, um eine Einheit verringert. Mit anderen Worten, die zehnte Stelle ist jetzt nicht die Zahl 4, sondern die Zahl 3. Berechnen wir die Zehntel von 3−3=0. Wir schreiben Null in den zehnten Teil unserer Antwort:

Subtrahiere nun die ganzzahligen Teile 3−2=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.07. Der Wert des Ausdrucks 3,46−2,39 ist also gleich 1,07

3,46−2,39=1,07

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3−1,2

Dieses Beispiel subtrahiert eine Dezimalzahl von einer ganzen Zahl. Schreiben wir diesen Ausdruck so in eine Spalte, dass der ganzzahlige Teil des Dezimalbruchs 1,23 unter der Zahl 3 steht

Lassen Sie uns nun die Anzahl der Nachkommastellen gleich machen. Setzen Sie dazu nach der Zahl 3 ein Komma und fügen Sie eine Null hinzu:

Jetzt Zehntel subtrahieren: 0−2. Subtrahieren Sie nicht die Zahl 2 von 0. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Indem Sie eins von der benachbarten Ziffer leihen, wird aus 0 die Zahl 10. Jetzt können Sie die Zehntel von 10−2=8 berechnen. Die acht schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Subtrahiere nun die ganzen Teile. Früher befand sich die Zahl 3 in der ganzen Zahl, aber wir haben uns eine Einheit davon geliehen. Als Ergebnis wurde daraus die Zahl 2. Daher subtrahieren wir 1 von 2. 2−1=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.8. Der Wert des Ausdrucks 3−1,2 ist also 1,8

Dezimale Multiplikation

Dezimalzahlen zu multiplizieren ist einfach und macht sogar Spaß. Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, musst du sie wie normale Zahlen multiplizieren und die Kommas ignorieren.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen zählen, dann rechts in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen zählen und ein Komma setzen.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5

Wir multiplizieren diese Dezimalbrüche als gewöhnliche Zahlen, wobei wir die Kommas ignorieren. Um die Kommas zu ignorieren, können Sie sich vorübergehend vorstellen, dass sie ganz fehlen:

Wir haben 375. Bei dieser Zahl muss der ganze Teil vom Bruchteil mit einem Komma getrennt werden. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Bruchteilen von 2,5 und 1,5 zählen. Beim ersten Bruch steht eine Nachkommastelle, beim zweiten Bruch ebenfalls eine. Insgesamt zwei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 375 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 3,75. Der Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5 ist also 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7

Lassen Sie uns diese Dezimalstellen multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren:

Wir haben 34695. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 12,85 und 2,7 berechnen. Beim Bruch 12,85 stehen zwei Nachkommastellen, beim Bruch 2,7 eine Stelle – also insgesamt drei Stellen.

Wir kehren zur Nummer 34695 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Ich habe die Antwort 34.695 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7 ist also 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer regulären Zahl

Manchmal gibt es Situationen, in denen Sie einen Dezimalbruch mit einer regulären Zahl multiplizieren müssen.

Um eine Dezimalzahl und eine gewöhnliche Zahl zu multiplizieren, müssen Sie sie unabhängig vom Komma in der Dezimalzahl multiplizieren. Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Stellen nach dem Dezimalkomma im Dezimalbruch zählen, dann die gleiche Anzahl von Stellen rechts in der Antwort zählen und ein Komma setzen.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,54 mit 2

Wir multiplizieren den Dezimalbruch 2,54 mit der üblichen Zahl 2, wobei wir das Komma ignorieren:

Wir haben die Nummer 508. In dieser Nummer müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,54 zählen. Der Bruch 2,54 hat zwei Nachkommastellen.

Wir kehren zur Nummer 508 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 5.08. Der Wert des Ausdrucks 2,54 × 2 ist also 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit regulären Zahlen. Es ist notwendig, die Multiplikation durchzuführen, das Komma im Dezimalbruch zu ignorieren, dann in der Antwort den ganzzahligen Teil vom Bruchteil zu trennen und rechts die gleiche Anzahl von Ziffern zu zählen, wie es Ziffern nach dem Dezimalkomma in der Dezimalzahl gab Fraktion.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,88 mit 10

Lassen Sie uns den Dezimalbruch 2,88 mit 10 multiplizieren und dabei das Komma im Dezimalbruch ignorieren:

Wir haben 2880. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,88 zählen. Wir sehen, dass im Bruch 2,88 zwei Nachkommastellen stehen.

Wir kehren zur Nummer 2880 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 28.80. Wir verwerfen die letzte Null - wir erhalten 28,8. Der Wert des Ausdrucks 2,88 × 10 ist also 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass sich das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts verschiebt, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 2,88 × 10 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, schauen wir uns sofort den Faktor 10 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um eine Stelle nach rechts, wir erhalten 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Versuchen wir, 2,88 mit 100 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 100 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um zwei Stellen nach rechts, wir erhalten 288

2,88 x 100 = 288

Versuchen wir, 2,88 mit 1000 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 1000 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir beim Bruch 2,88 das Komma um drei Stellen nach rechts. Die dritte Ziffer fehlt, also fügen wir eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Multiplizieren von Dezimalstellen mit 0,1 0,01 und 0,001

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 funktioniert genauso wie das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl. Es ist notwendig, Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu multiplizieren und ein Komma in die Antwort zu setzen, wobei rechts so viele Ziffern zu zählen sind, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Multiplizieren Sie beispielsweise 3,25 mit 0,1

Wir multiplizieren diese Brüche wie gewöhnliche Zahlen und ignorieren dabei die Kommas:

Wir haben 325. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 3,25 und 0,1 berechnen. Beim Bruch 3,25 gibt es zwei Nachkommastellen, beim Bruch 0,1 eine Nachkommastelle. Insgesamt drei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 325 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern rechts zählen und ein Komma setzen. Nachdem wir drei Ziffern gezählt haben, stellen wir fest, dass die Zahlen zu Ende sind. In diesem Fall müssen Sie eine Null hinzufügen und ein Komma setzen:

Wir haben die Antwort 0,325 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 3,25 × 0,1 ist also 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach links wandert, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 3,25 × 0,1 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, betrachten wir sofort den Faktor 0,1. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um eine Stelle nach links. Wenn wir das Komma um eine Ziffer nach links verschieben, sehen wir, dass vor der Drei keine Ziffer mehr steht. Fügen Sie in diesem Fall eine Null hinzu und setzen Sie ein Komma. Als Ergebnis erhalten wir 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,01 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,01 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um zwei Stellen nach links, wir erhalten 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,001 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,001 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um drei Stellen nach links, wir erhalten 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Verwechseln Sie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,001 und 0,001 nicht mit dem Multiplizieren mit 10, 100, 1000. Häufiger Fehler die meisten Leute.

Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 wird das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Und beim Multiplizieren mit 0,1, 0,01 und 0,001 wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Wenn es anfangs schwierig ist, sich zu erinnern, können Sie die erste Methode verwenden, bei der die Multiplikation wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt wird. In der Antwort müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennen, indem Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Dividieren einer kleineren Zahl durch eine größere. Fortgeschrittenes Level.

In einer der vorherigen Lektionen haben wir gesagt, dass beim Teilen einer kleineren Zahl durch eine größere ein Bruch erhalten wird, in dessen Zähler der Dividende und in dessen Nenner der Divisor steht.

Um zum Beispiel einen Apfel in zwei Teile zu teilen, musst du 1 (ein Apfel) in den Zähler und 2 (zwei Freunde) in den Nenner schreiben. Das Ergebnis ist ein Bruchteil. Also bekommt jeder Freund einen Apfel. Mit anderen Worten, ein halber Apfel. Ein Bruchteil ist die Antwort auf ein Problem wie man einen apfel zwischen zwei teilt

Es stellt sich heraus, dass Sie dieses Problem weiter lösen können, wenn Sie 1 durch 2 dividieren. Schließlich bedeutet ein Bruchstrich in jedem Bruch eine Division, was bedeutet, dass diese Division auch in einem Bruch erlaubt ist. Aber wie? Wir sind daran gewöhnt, dass der Dividenden immer größer als der Divisor ist. Und hier ist im Gegenteil der Dividenden kleiner als der Divisor.

Alles wird klar, wenn wir uns daran erinnern, dass ein Bruch Zerkleinern, Teilen, Teilen bedeutet. Das bedeutet, dass das Gerät in beliebig viele Teile zerlegt werden kann und nicht nur in zwei Teile.

Wenn Sie eine kleinere Zahl durch eine größere teilen, erhalten Sie einen Dezimalbruch, bei dem der ganzzahlige Teil 0 (Null) ist. Der Bruchteil kann alles sein.

Teilen wir also 1 durch 2. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Man kann nicht einfach so in zwei geteilt werden. Wenn Sie eine Frage stellen "wie viele zwei sind in einer" , dann ist die Antwort 0. Daher schreiben wir privat 0 und setzen ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir wie üblich den Quotienten mit dem Divisor, um den Rest herauszuziehen:

Der Moment ist gekommen, in dem die Einheit in zwei Teile geteilt werden kann. Fügen Sie dazu rechts neben der empfangenen eine weitere Null hinzu:

Wir haben 10. Wir teilen 10 durch 2, wir bekommen 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt nehmen wir den letzten Rest heraus, um die Berechnung abzuschließen. Multipliziere 5 mit 2, wir bekommen 10

Wir haben die Antwort 0,5 bekommen. Der Bruch ist also 0,5

Ein halber Apfel kann auch mit dem Dezimalbruch 0,5 geschrieben werden. Wenn wir diese beiden Hälften (0,5 und 0,5) addieren, erhalten wir wieder den ursprünglichen einen ganzen Apfel:

Dieser Punkt kann auch verstanden werden, wenn wir uns vorstellen, wie 1 cm in zwei Teile geteilt wird. Wenn Sie 1 Zentimeter in 2 Teile teilen, erhalten Sie 0,5 cm

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4:5

Wie viele Fünfer sind vier? Ganz und gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben Null unter die Vier. Subtrahieren Sie diese Null sofort vom Dividenden:

Beginnen wir nun damit, die vier in 5 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu addieren wir rechts von 4 Null und teilen 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben die Acht privat.

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 8 mit 5 multiplizieren und erhalten 40:

Wir haben die Antwort 0,8 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 4: 5 ist also 0,8

Beispiel 3 Finden Sie den Wert von Ausdruck 5: 125

Wie viele Zahlen 125 sind in fünf? Ganz und gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben 0 unter die fünf. Ziehe sofort von den fünf 0 ab

Beginnen wir nun damit, die fünf in 125 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu schreiben wir rechts von diesen fünf eine Null:

Teilen Sie 50 durch 125. Wie viele Zahlen 125 sind 50? Ganz und gar nicht. Also schreiben wir in den Quotienten wieder 0

Wir multiplizieren 0 mit 125, wir erhalten 0. Wir schreiben diese Null unter 50. Subtrahieren Sie sofort 0 von 50

Jetzt teilen wir die Zahl 50 in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von 50 eine weitere Null:

Teilen Sie 500 durch 125. Wie viele Zahlen sind 125 in der Zahl 500. In der Zahl 500 gibt es vier Zahlen 125. Wir schreiben die vier privat:

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 4 mit 125 multiplizieren und erhalten 500

Wir haben die Antwort 0,04 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 5: 125 ist also 0,04

Division von Zahlen ohne Rest

Setzen wir also ein Komma in den Quotienten nach der Einheit, um anzuzeigen, dass die Division der ganzzahligen Teile beendet ist, und fahren wir mit dem Bruchteil fort:

Null zum Rest addieren 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat:

40−40=0. Im Rest 0 erhalten. Damit ist die Teilung vollständig abgeschlossen. Die Division von 9 durch 5 ergibt eine Dezimalzahl von 1,8:

9: 5 = 1,8

Beispiel 2. Teilen Sie 84 ohne Rest durch 5

Zuerst teilen wir wie gewohnt 84 durch 5 mit Rest:

Privat erhalten 16 und 4 weitere in der Bilanz. Jetzt dividieren wir diesen Rest durch 5. Wir setzen ein Komma in das Private und addieren 0 zum Rest 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht im Quotienten nach dem Komma:

und vervollständigen Sie das Beispiel, indem Sie prüfen, ob noch ein Rest vorhanden ist:

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine normale Zahl

Ein Dezimalbruch besteht bekanntlich aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Wenn Sie einen Dezimalbruch durch eine normale Zahl dividieren, benötigen Sie zunächst:

• dividiere den ganzzahligen Teil des Dezimalbruchs durch diese Zahl;
• Nachdem der ganzzahlige Teil dividiert wurde, müssen Sie sofort ein Komma in den privaten Teil setzen und die Berechnung wie bei einer normalen Division fortsetzen.

Teilen wir zum Beispiel 4,8 durch 2

Schreiben wir dieses Beispiel als Ecke:

Jetzt teilen wir den ganzen Teil durch 2. Vier geteilt durch zwei ist zwei. Wir schreiben die Zwei privat und setzen sofort ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und sehen, ob bei der Division ein Rest übrig bleibt:

4−4=0. Der Rest ist Null. Wir schreiben noch keine Null, da die Lösung noch nicht abgeschlossen ist. Dann rechnen wir weiter, wie bei der gewöhnlichen Division. Nehmen Sie 8 ab und teilen Sie es durch 2

8: 2 = 4. Wir schreiben die Vier in den Quotienten und multiplizieren ihn gleich mit dem Divisor:

Habe die Antwort 2.4. Ausdruckswert 4,8: ​​2 entspricht 2,4

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 8,43:3

Wir teilen 8 durch 3, wir erhalten 2. Setzen Sie sofort ein Komma nach den beiden:

Nun multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor 2 × 3 = 6. Wir schreiben die Sechs unter die Acht und finden den Rest:

Wir teilen 24 durch 3, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat. Wir multiplizieren es sofort mit dem Divisor, um den Rest der Division zu finden:

24−24=0. Der Rest ist Null. Null ist noch nicht aufgezeichnet. Nehmen Sie die letzten drei des Dividenden und dividieren Sie durch 3, wir erhalten 1. Multiplizieren Sie sofort 1 mit 3, um dieses Beispiel zu vervollständigen:

Habe die Antwort 2.81. Der Wert des Ausdrucks 8,43: 3 ist also gleich 2,81

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl

Um einen Dezimalbruch in einen Dezimalbruch zu teilen, verschieben Sie im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, die nach dem Dezimalkomma im Divisor stehen, und dividieren Sie dann durch eine reguläre Zahl.

Teilen Sie zum Beispiel 5,95 durch 1,7

Lassen Sie uns diesen Ausdruck als Ecke schreiben

Jetzt verschieben wir im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, wie es im Divisor nach dem Komma gibt. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also müssen wir im Dividenden und im Divisor das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Übertragen:

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben wurde, wurde aus dem Dezimalbruch 5,95 ein Bruch 59,5. Und der Dezimalbruch 1,7 verwandelte sich nach dem Verschieben des Dezimalkommas um eine Ziffer nach rechts in die übliche Zahl 17. Und wir wissen bereits, wie man den Dezimalbruch durch die übliche Zahl dividiert. Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Das Komma wird nach rechts verschoben, um die Trennung zu erleichtern. Dies ist möglich, da sich der Quotient beim Multiplizieren oder Dividieren des Dividenden und des Divisors mit derselben Zahl nicht ändert. Was bedeutet das?

Dies ist eines der interessanten Merkmale der Teilung. Nennt sich Privateigentum. Betrachten Sie Ausdruck 9: 3 = 3. Wenn in diesem Ausdruck der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Quotient 3 nicht.

Lassen Sie uns den Dividenden und den Divisor mit 2 multiplizieren und sehen, was passiert:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, hat sich der Quotient nicht verändert.

Dasselbe passiert, wenn wir im Dividenden und im Divisor ein Komma führen. Im vorherigen Beispiel, wo wir 5,91 durch 1,7 dividiert haben, haben wir das Komma im Dividenden und Divisor um eine Stelle nach rechts verschoben. Nach dem Verschieben des Kommas wurde der Bruch 5,91 in den Bruch 59,1 und der Bruch 1,7 in die übliche Zahl 17 umgewandelt.

Tatsächlich fand innerhalb dieses Prozesses eine Multiplikation mit 10 statt, die so aussah:

5,91 × 10 = 59,1

Daher hängt die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor davon ab, womit der Dividende und der Divisor multipliziert werden. Mit anderen Worten, die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor bestimmt, wie viele Stellen im Dividenden und im Divisor das Komma nach rechts verschoben wird.

Dezimalteilung durch 10, 100, 1000

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Teilen wir zum Beispiel 2,1 durch 10. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie es Nullen im Divisor gibt.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 2.1: 10. Wir schauen uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach links verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach links und sehen, dass keine Ziffern mehr übrig sind. In diesem Fall fügen wir vor der Zahl eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 0,21

Versuchen wir, 2,1 durch 100 zu teilen. Die Zahl 100 enthält zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 100 = 0,021

Versuchen wir, 2,1 durch 1000 zu teilen. Die Zahl 1000 enthält drei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 1000 = 0,0021

Dezimalteilung durch 0,1, 0,01 und 0,001

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 0,1, 0,01 und 0,001 erfolgt auf die gleiche Weise wie bei . Im Dividenden und im Divisor müssen Sie das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie im Divisor nach dem Komma stehen.

Teilen wir zum Beispiel 6,3 durch 0,1. Zunächst verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um eine Stelle nach rechts.

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschoben wurde, wird aus dem Dezimalbruch 6,3 die übliche Zahl 63, und aus dem Dezimalbruch 0,1 wird nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Ziffer nach rechts eins. Und 63 durch 1 zu teilen ist sehr einfach:

Der Wert des Ausdrucks 6,3: 0,1 ist also gleich 63

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 6.3:0.1. Schauen wir uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach rechts verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach rechts und erhalten 63

Versuchen wir, 6,3 durch 0,01 zu teilen. Der Divisor 0,01 hat zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach rechts verschieben. Aber im Dividenden gibt es nur eine Nachkommastelle. In diesem Fall muss am Ende noch eine Null hinzugefügt werden. Als Ergebnis erhalten wir 630

Versuchen wir, 6,3 durch 0,001 zu teilen. Der Divisor von 0,001 hat drei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach rechts verschieben:

6,3: 0,001 = 6300

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

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Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie interessiert sind diese Arbeit Bitte laden Sie die Vollversion herunter.

Das Ziel des Unterrichts:

• Machen Sie die Schüler auf unterhaltsame Weise mit der Regel bekannt, einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl, mit einer Biteinheit zu multiplizieren, und mit der Regel, einen Dezimalbruch als Prozentsatz auszudrücken. Entwickeln Sie die Fähigkeit, das erworbene Wissen bei der Lösung von Beispielen und Problemen anzuwenden.
• Das logische Denken der Schüler zu entwickeln und zu aktivieren, die Fähigkeit, Muster zu erkennen und zu verallgemeinern, das Gedächtnis zu stärken, die Fähigkeit zur Zusammenarbeit, Unterstützung zu leisten, ihre Arbeit und die Arbeit der anderen zu bewerten.
• Interesse an Mathematik, Aktivität, Mobilität, Kommunikationsfähigkeit fördern.

Ausrüstung: interaktive Tafel, ein Poster mit einem Chiffrogramm, Poster mit Aussagen von Mathematikern.

Während des Unterrichts

1. Zeit organisieren.
2. Mündliches Zählen ist eine Verallgemeinerung von zuvor gelerntem Material, Vorbereitung auf das Studium von neuem Material.
3. Erklärung des neuen Materials.
4. Hausaufgabe.
5. Mathematischer Sportunterricht.
6. Verallgemeinerung und Systematisierung des erworbenen Wissens auf spielerische Weise mit Hilfe eines Computers.
7. Benotung.

2. Leute, heute wird unsere Stunde etwas ungewöhnlich, denn ich werde sie nicht alleine verbringen, sondern mit meinem Freund. Und mein Freund ist auch ungewöhnlich, jetzt wirst du ihn sehen. (Ein Cartoon-Computer erscheint auf dem Bildschirm.) Mein Freund hat einen Namen und er kann sprechen. Wie ist dein Name, Freund? Komposha antwortet: "Mein Name ist Komposha." Bist du bereit, mir heute zu helfen? JAWOHL! Dann fangen wir mit dem Unterricht an.

Heute habe ich ein verschlüsseltes Chiffre erhalten, Leute, das wir gemeinsam lösen und entziffern müssen. (An der Tafel hängt ein Poster mit einer mündlichen Erklärung zum Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen, wodurch die Jungs den folgenden Code erhalten 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha hilft, den empfangenen Code zu entschlüsseln. Als Ergebnis der Dekodierung wird das Wort MULTIPLIKATION erhalten. Multiplikation ist Stichwort Themen des heutigen Unterrichts. Das Thema der Lektion wird auf dem Monitor angezeigt: „Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl“

Leute, wir wissen, wie die Multiplikation natürlicher Zahlen durchgeführt wird. Heute betrachten wir die Multiplikation von Dezimalzahlen mit einer natürlichen Zahl. Die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer natürlichen Zahl kann als Summe der Glieder betrachtet werden, von denen jedes gleich diesem Dezimalbruch ist, und die Anzahl der Glieder ist gleich dieser natürlichen Zahl. Beispiel: 5.21 3 \u003d 5,21 + 5, 21 + 5,21 \u003d 15,63 Also 5,21 3 = 15,63. Wenn wir 5,21 als gewöhnlichen Bruch einer natürlichen Zahl darstellen, erhalten wir

Und in diesem Fall haben wir dasselbe Ergebnis von 15,63 erhalten. Nehmen wir nun, das Komma ignorierend, die Zahl 521 statt der Zahl 5,21 und multiplizieren mit der gegebenen natürlichen Zahl. Dabei müssen wir bedenken, dass bei einem der Faktoren das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben wird. Wenn wir die Zahlen 5, 21 und 3 multiplizieren, erhalten wir ein Produkt gleich 15,63. In diesem Beispiel verschieben wir nun das Komma um zwei Stellen nach links. Um wie oft also einer der Faktoren erhöht wurde, wurde das Produkt um so viele Male reduziert. Basierend auf den ähnlichen Punkten dieser Methoden ziehen wir eine Schlussfolgerung.

Um eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, benötigen Sie:
1) Ignorieren Sie das Komma, führen Sie die Multiplikation natürlicher Zahlen durch;
2) Trennen Sie im resultierenden Produkt mit einem Komma rechts so viele Zeichen, wie ein Dezimalbruch vorhanden ist.

Auf dem Monitor werden folgende Beispiele angezeigt, die wir zusammen mit Komposha und den Jungs analysieren: 5,21 3 = 15,63 und 7,624 15 = 114,34. Nachdem ich die Multiplikation mit einer runden Zahl 12,6 50 \u003d 630 gezeigt habe. Als nächstes wende ich mich der Multiplikation eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit zu. Folgende Beispiele zeigen: 7.423 100 \u003d 742,3 und 5,2 1000 \u003d 5200. Also führe ich die Regel zum Multiplizieren eines Dezimalbruchs mit einer Biteinheit ein:

Um einen Dezimalbruch mit den Biteinheiten 10, 100, 1000 usw. zu multiplizieren, muss das Komma in diesem Bruch um so viele Stellen nach rechts verschoben werden, wie es Nullen im Biteinheitsdatensatz gibt.

Ich beende die Erklärung mit dem Ausdruck eines Dezimalbruchs in Prozent. Ich gebe die Regel ein:

Um eine Dezimalzahl als Prozentsatz auszudrücken, multipliziere sie mit 100 und füge das %-Zeichen hinzu.

Ich gebe ein Beispiel auf einem Computer 0,5 100 \u003d 50 oder 0,5 \u003d 50%.

4. Am Ende der Erklärung gebe ich den Jungs eine Hausaufgabe, die auch auf dem Computermonitor angezeigt wird: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Damit sich die Jungs ein wenig ausruhen, um das Thema zu festigen, machen wir zusammen mit Komposha eine mathematische Sportstunde. Alle stehen auf, zeigen der Klasse die gelösten Beispiele und sie müssen antworten, ob das Beispiel richtig oder falsch ist. Wenn das Beispiel richtig gelöst ist, heben sie die Hände über den Kopf und klatschen in die Handflächen. Wird das Beispiel nicht richtig gelöst, strecken die Jungs die Arme seitlich aus und kneten mit den Fingern.

6. Und jetzt hast du ein wenig Ruhe, du kannst die Aufgaben lösen. Öffnen Sie Ihr Lehrbuch auf Seite 205, № 1029. In dieser Aufgabe ist es notwendig, den Wert von Ausdrücken zu berechnen:

Aufgaben werden auf dem Computer angezeigt. Wenn sie gelöst sind, erscheint ein Bild mit dem Bild eines Bootes, das, wenn es vollständig zusammengebaut ist, davonsegelt.

Nr. 1031 Berechnen:

Beim Lösen dieser Aufgabe am Computer entwickelt sich die Rakete allmählich, löst das letzte Beispiel, die Rakete fliegt davon. Der Lehrer gibt den Schülern eine kleine Information: „Jedes Jahr starten Raumschiffe vom Kosmodrom Baikonur aus Kasachstan zu den Sternen. Kasachstan baut in der Nähe von Baikonur sein neues Kosmodrom Baiterek.

Nr. 1035. Aufgabe.

Wie weit fährt ein Auto in 4 Stunden, wenn die Geschwindigkeit des Autos 74,8 km/h beträgt?

Begleitet wird diese Aufgabe von einem Sounddesign und der Darstellung eines kurzen Zustands der Aufgabe auf dem Monitor. Wenn das Problem gelöst ist, richtig, dann beginnt das Auto, sich vorwärts zur Zielflagge zu bewegen.

№ 1033. Schreiben Sie Dezimalzahlen in Prozent.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Wenn Sie jedes Beispiel lösen, erscheint ein Buchstabe, wenn die Antwort erscheint, was zu einem Wort führt Gut gemacht.

Der Lehrer fragt Komposha, warum erscheint dieses Wort? Komposha antwortet: „Gut gemacht, Jungs!“ und verabschiede dich von allen.

Der Lehrer fasst den Unterricht zusammen und ordnet Noten zu.