삼각법 기능 주기적즉, 일정 기간 후에 반복됩니다. 결과적으로 이 구간에 대한 함수를 연구하고 발견된 속성을 다른 모든 기간으로 확장하는 것으로 충분합니다.

지침

1. 삼각함수(sin, cos, tg, ctg, sec, cosec)가 하나뿐이고 함수 내부의 각도에 어떤 숫자도 곱하지 않고 자체적으로 어떤 값으로도 증가하지 않는 원시 표현식이 주어지면 힘 - 정의를 사용하십시오. sin, cos, sec, cosec을 포함하는 표현식의 경우 과감하게 기간 2P를 설정하고 방정식에 tg, ctg - 다음 P가 포함되어 있으면 P입니다. 예를 들어 함수 y = 2 sinx + 5의 경우 기간은 2P가 됩니다.

2. 삼각 함수의 부호 아래 각도 x에 어떤 숫자를 곱하면 이 함수의 주기를 찾기 위해 일반적인 주기를 이 숫자로 나눕니다. 함수 y = sin 5x가 주어졌다고 가정해 봅시다. 사인의 일반적인 기간은 2R이며, 이를 5로 나누면 2R / 5가 됩니다. 이것은 이 표현식의 원하는 기간입니다.

3. 삼각 함수의 거듭제곱을 구하려면 거듭제곱의 균등성을 평가하십시오. 을위한 짝수 학위일반적인 기간을 반으로 줄이십시오. 예를 들어, 함수 y = 3 cos ^ 2x가 주어지면 일반적인 주기 2P는 2배 감소하므로 주기는 P와 같습니다. 함수 tg, ctg는 주기 P입니다.

4. 제품 또는 2의 몫을 포함하는 방정식이 주어지면 삼각 함수, 먼저 개별적으로 모든 기간을 찾습니다. 그런 다음 두 기간의 정수에 맞는 최소 수를 찾으십시오. 함수 y = tgx * cos5x가 주어졌다고 가정해 봅시다. 탄젠트의 경우 기간 P, 코사인 5x의 경우 기간 2P / 5. 이 두 기간에 모두 적합하도록 허용되는 최소 수는 2P이므로 원하는 기간은 2P입니다.

5. 제안한 방식으로 하기 어렵거나 결과가 의심스럽다면 정의대로 해보세요. T를 함수의 주기로 간주하면 0보다 큽니다. 방정식에서 x 대신 식 (x + T)를 대입하고 T가 매개변수 또는 숫자인 것처럼 결과 평등을 풉니다. 결과적으로 삼각 함수의 값을 찾고 가장 작은 주기를 찾을 수 있습니다. 구제의 결과로 sin(T / 2) = 0이라는 항등식을 얻는다고 가정해 보겠습니다. 수행되는 T의 최소값은 2P와 같으며 이는 작업의 결과가 됩니다.

주기적 함수는 0이 아닌 기간 후에 값을 반복하는 함수입니다. 함수의 마침표는 함수 인수에 추가될 때 함수 값을 변경하지 않는 숫자입니다.

필요할 것이예요

• 초등 수학에 대한 지식과 설문 조사의 시작.

지침

1. 함수 f(x)의 주기를 숫자 K로 표시해 보겠습니다. 우리의 임무는 이 K 값을 찾는 것입니다. 이를 위해 주기 함수의 정의를 사용하여 함수 f(x)가 다음과 같다는 것을 나타냅니다. f (x + K) = f (x).

2. x가 상수인 것처럼 미지의 K에 대한 결과 방정식을 풉니다. K 값에 따라 몇 가지 옵션이 제공됩니다.

3. K> 0이면 함수의 주기입니다. K = 0이면 함수 f(x)는 주기적이 아닙니다. 방정식 f(x + K) = f(x)에 대한 해가 존재하지 않는 경우 K가 0이 아닌 경우 이러한 함수를 비주기적이라고 하며 마침표도 없습니다.

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메모!
모든 삼각 함수는 주기적이며 차수가 2보다 큰 모든 다항식은 비주기적입니다.

유용한 조언
2개의 주기 함수로 구성된 함수의 주기는 이러한 함수 주기의 최소 보편 배수입니다.

삼각 방정식은 이유를 알 수 없는 삼각 함수를 포함하는 방정식입니다(예: 5sinx-3cosx = 7). 이를 해결하는 방법을 배우려면 몇 가지 방법을 알아야 합니다.

지침

1. 이러한 방정식의 해는 2단계로 구성됩니다. 첫 번째 단계는 방정식을 수정하여 가장 단순한 형태를 얻는 것입니다. 가장 간단한 삼각 방정식의 이름은 다음과 같습니다. Sinx = a; Cosx = 등

2. 두 번째는 얻은 가장 간단한 삼각 방정식의 솔루션입니다. 이러한 종류의 방정식을 푸는 기본적인 방법이 있습니다. 대수적 방법에 의한 솔루션. 이 방법은 대수학 과정에서 학교에서 유명합니다. 변수 대체 및 대체 방법이라고도 합니다. 감소 공식을 적용하여 변환하고 대체한 다음 나중에 루트를 찾습니다.

3. 방정식을 인수분해합니다. 먼저 모든 항을 왼쪽으로 이동하고 인수분해합니다.

4. 방정식을 동차로 축소합니다. 모든 항이 같은 차수이고 사인, 코사인이 같은 각도인 경우 방정식을 동차 방정식이라고 합니다. 이를 풀려면 먼저 모든 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해야 합니다. 모든 공통 요소를 대괄호 외부로 이동합니다. 승수와 괄호를 0으로 동일시합니다. 등가 대괄호는 더 낮은 차수의 균질 방정식을 제공하며 최고 차수에서 cos(또는 sin)로 나누어야 합니다. 받은 문제를 해결 대수 방정식황갈색에 관하여.

5. 또 다른 방법은 반 코너로 이동하는 것입니다. 방정식을 푼다고 가정해 봅시다. 3 sin x - 5 cos x = 7 반각으로 이동: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos? (x / 2) + 5 죄? (x / 2) = 7 죄? (x / 2) + 7 코사인? (x / 2), 그 후에 우리는 모든 항을 한 부분으로 가져오고(오른쪽에서 더 많이 다름) 방정식을 풉니다.

6. 액세서리 코너 입장. 정수 값을 cos(a) 또는 sin(a)로 바꿀 때. "a" 기호는 보조 각도입니다.

7. 작품을 수량화하는 방식. 여기에 적절한 공식을 적용해야 합니다. 주어진: 2 sin x sin 3x = cos 4x 좌변을 합으로 변환하여 풉니다. 즉: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. 마지막 방법은 다기능 조회라고 합니다. 식을 변형하고 Cos (x / 2) = u와 같이 변경한 다음 매개변수 u로 방정식을 풉니다. 합계를 구할 때 값을 반대로 번역합니다.

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원의 점을 고려하면 점 x, x + 2π, x + 4π 등입니다. 서로 일치합니다. 따라서 삼각함수 기능직선으로 주기적으로그들의 의미를 반복하십시오. 그 시대가 유명하다면 기능, 이 기간에 기능을 빌드하고 다른 기간에 반복할 수 있습니다.

지침

1. 마침표는 f(x) = f(x + T)와 같은 숫자 T입니다. 기간을 찾으려면 x 및 x + T를 인수로 대입하여 해당 방정식을 풉니다. 동시에 함수에 더 유명한 기간을 사용합니다. 사인 및 코사인 함수의 경우 주기는 2π이고 탄젠트 및 코탄젠트의 경우 주기는 π입니다.

2. 함수 f(x) = sin ^ 2(10x)가 주어집니다. sin ^ 2 (10x) = sin ^ 2 (10 (x + T))라는 표현을 고려하십시오. 낮추는 공식을 사용하십시오: sin ^ 2 (x) = (1 - cos 2x) / 2. 그러면 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x + T) 또는 cos 20x = cos(20x + 20T)가 됩니다. 코사인 주기가 2π임을 알면 20T ​​= 2π입니다. 따라서 T = π / 10입니다. T는 최소 수정 기간이며 2T 이후, 3T 이후, 그리고 축을 따라 다른 방향(-T, -2T 등)으로 기능이 반복됩니다.

유용한 조언
수식을 사용하여 함수의 정도를 낮춥니다. 일부 기능의 마침표에 대해 더 잘 알고 있다면 기존 기능을 알려진 기능으로 줄여 보십시오.

짝수 및 홀수 패리티에 대한 함수를 찾는 것은 함수의 그래프를 작성하고 그 동작의 특성을 이해하는 데 도움이 됩니다. 이 조사를 위해 "x" 인수와 "-x" 인수에 대해 작성된 주어진 함수를 비교해야 합니다.

지침

1. 조사하려는 함수를 y = y(x) 형식으로 작성하십시오.

2. 함수 인수를 "-x"로 바꿉니다. 이 인수를 함수식에 연결하십시오.

3. 표현을 단순화합니다.

4. 따라서 x 및 -x 인수에 대해 작성된 동일한 함수로 끝납니다. 이 두 레코드를 보세요. y(-x) = y(x)이면 짝수 함수이고, y(-x) = - y(x)이면 홀수 함수입니다. 말할 수 없는 경우 y(-x) = y(x) 또는 y(-x) = - y(x)인 함수에 대해 패리티 속성에 의해 이것은 일반 함수입니다. 즉, 짝수도 홀수도 아닙니다.

5. 당신이 만든 결과를 기록합니다. 이제 함수의 그래프를 작성하거나 함수의 속성에 대한 향후 분석 연구에 사용할 수 있습니다.

6. 또한 함수 그래프가 더 밀접하게 설정되면 함수의 짝수와 홀수에 대해 이야기할 수 있습니다. 그래프가 물리적 실험의 결과라고 가정해 봅시다. 함수의 그래프가 세로축을 기준으로 대칭이면 y(x)는 짝수 함수이고, 함수의 그래프가 가로축을 기준으로 대칭이면 x(y )는 짝수 함수입니다. x(y)는 함수 y(x)의 역함수입니다. 함수의 그래프가 원점(0,0)에 대해 대칭이면 y(x)는 홀수 함수입니다. 역함수 x(y)도 홀수입니다.

7. 함수의 짝수와 홀수에 대한 아이디어는 함수의 영역과 직접적으로 관련되어 있음을 기억하는 것이 중요합니다. 예를 들어 x = 5에 짝수 또는 홀수 함수가 존재하지 않으면 x = -5에 존재하지 않는 것으로 일반 함수에 대해 말할 수 없습니다. 홀수 및 짝수 패리티를 설정할 때 함수의 영역에 주의하십시오.

8. 짝수와 홀수에 대한 함수를 찾는 것은 함수의 값 집합을 찾는 것과 관련이 있습니다. 짝수 함수의 값 집합을 찾으려면 0의 오른쪽 또는 왼쪽으로 함수의 절반을 보는 것으로 충분합니다. x> 0의 경우 짝수 함수 y(x)가 A에서 B까지 값을 취하면 x에 대해 동일한 값을 취합니다<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 홀수 함수 y (x)는 A에서 B까지 값 범위를 취한 다음 x에서<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"삼각법"은 한 번 변의 길이에 대한 직각 삼각형의 예각 의존성에 의해 결정되는 함수를 호출하기 시작했습니다. 이러한 함수에는 우선 사인과 코사인, 두 번째로 이러한 함수에 역인 시컨트 및 코시컨트, 이 함수에서 파생된 탄젠트 및 코탄젠트, 역함수 아크사인, 역 코사인 등이 포함됩니다. 말하는 것이 더 긍정적입니다. 그러한 기능의 "해법"이 아니라 "계산", 즉 숫자 값을 찾는 것에 관한 것입니다.

지침

1. 삼각 함수의 인수를 알 수 없는 경우 이러한 함수의 정의에 따라 간접적인 방법으로 값을 계산할 수 있습니다. 이렇게 하려면 계산하려는 각도 중 하나에 대한 삼각 함수인 삼각형의 변의 길이를 알아야 합니다. 정의에 따르면 직각 삼각형에서 예각의 사인은 빗변의 길이에 대한 이 각도의 반대쪽 다리 길이의 비율입니다. 이로부터 각의 사인을 구하려면 이 두 변의 길이를 아는 것으로 충분합니다. 유사한 정의에 따르면 예각의 부비동은 빗변의 길이에 대한이 각도에 인접한 다리 길이의 비율입니다. 예각의 접선은 반대쪽 다리의 길이를 인접한 다리의 길이로 나누어 계산할 수 있으며 코탄젠트는 인접한 다리의 길이를 반대쪽 다리의 길이로 나누어야 합니다. 예각의 시컨트를 계산하려면 필요한 각도에 인접한 다리 길이에 대한 빗변 길이의 비율을 찾아야하며 코시컨트는 빗변 길이 대 빗변 길이의 비율로 결정됩니다. 반대쪽 다리의 길이.

2. 삼각 함수의 인수를 알고 있다면 삼각형의 변의 길이를 알 필요가 없습니다. 값 테이블이나 삼각 함수 계산기를 사용할 수 있습니다. 이러한 계산기는 Windows 운영 체제의 표준 프로그램 중 하나입니다. 시작하려면 Win + R 키 조합을 누르고 calc 명령을 입력한 다음 "확인" 버튼을 클릭합니다. 프로그램 인터페이스에서 "보기" 섹션을 열고 "엔지니어링" 또는 "과학자" 항목을 선호합니다. 나중에 삼각 함수의 인수를 도입하는 것이 허용됩니다. 사인, 코사인 및 탄젠트 함수를 계산하려면 값을 입력하는 것보다 나중에 해당 인터페이스 버튼(sin, cos, tg)을 클릭하고 역 아크사인, 아크코사인 및 아크탄젠트를 찾으려면 미리 Inv 확인란을 선택합니다. .

3. 대체 방법도 있습니다. 그 중 하나는 Nigma 또는 Google 검색 엔진 사이트로 이동하여 원하는 함수와 해당 인수를 검색어로 입력하는 것입니다(예: sin 0.47). 이러한 검색 엔진에는 계산기가 내장되어 있으므로 이러한 요청을 보낸 후 입력한 삼각 함수 값을 받게 됩니다.

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팁 7: 삼각 함수의 값을 감지하는 방법

삼각 함수는 변의 길이에 대한 직각 삼각형의 예각 값의 의존성에 대한 추상적 수학적 계산을 위한 도구로 처음 등장했습니다. 이제 그들은 인간 활동의 과학 및 기술 분야에서 널리 사용됩니다. 주어진 인수에서 삼각 함수의 실용적인 계산을 위해 다양한 도구를 사용할 수 있습니다. 아래에는 그 중 특히 사용 가능한 몇 가지가 설명되어 있습니다.

지침

1. 운영 체제와 함께 기본적으로 설치된 계산기 프로그램을 사용합니다. "모든 프로그램" 섹션에 있는 "일반" 하위 섹션에서 "시스템" 폴더의 "계산기" 항목을 선택하면 열립니다. 이 섹션은 "시작" 버튼을 클릭하여 운영 체제의 기본 메뉴를 열어 찾을 수 있습니다. Windows 7 버전을 사용하는 경우 기본 메뉴의 "프로그램 및 파일 찾기" 필드에 "계산기"라는 단어를 기본적으로 입력한 다음 검색 결과에서 해당 링크를 클릭할 수 있습니다.

2. 삼각 함수를 계산할 각도 값을 입력한 다음 이 함수(sin, cos 또는 tan)에 해당하는 버튼을 클릭합니다. 역 삼각 함수(아크사인, 아크코사인 또는 아크탄젠트)가 걱정되는 경우 먼저 Inv라는 글자가 있는 버튼을 클릭하십시오. 그러면 계산기의 제어 버튼에 할당된 기능이 반대로 변경됩니다.

3. 이전 버전의 OS(예: Windows XP)에서 삼각 함수에 액세스하려면 계산기 메뉴에서 "보기" 섹션을 열고 "엔지니어링" 라인을 선택하십시오. 또한 Inv 버튼 대신 오래된 버전의 프로그램 인터페이스에 동일한 비문이 표시된 확인란이 있습니다.

4. 인터넷에 접속할 수 있다면 계산기 없이 할 수 있습니다. 웹에는 다르게 구성된 삼각 함수 계산기를 제공하는 많은 서비스가 있습니다. 특히 편리한 옵션 중 하나가 Nigma 검색 엔진에 내장되어 있습니다. 기본 페이지로 이동하여 검색어 필드에 관심 값을 기본적으로 입력하십시오(예: "30도의 아크 탄젠트"). 나중에 버튼을 누르면 "발견!" 검색 엔진은 계산 결과를 계산하고 표시합니다(0.482347907101025).

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삼각법은 당사자의 서로 다른 종속성을 표현하는 기능을 이해하기 위한 수학의 한 분야입니다. 정삼각형빗변이있는 예각의 크기. 이러한 기능을 삼각함수라고 하며 작업을 용이하게 하기 위해 삼각함수 신원 .

성능 신원수학에서 평등을 나타내며 포함 된 함수 인수의 모든 값에 대해 만족합니다. 삼각법 신원- 이것들은 삼각 함수의 평등이며, 삼각 공식으로 작업을 단순화하기 위해 확인되고 허용됩니다. 삼각 함수는 직각 삼각형 다리 중 하나가 빗변의 예각 크기에 의존하는 기본 함수입니다. 일반적으로 사용되는 기본 삼각 함수는 sin(사인), cos(코사인), tg(탄젠트), ctg(코탄젠트), sec(시컨트) 및 cosec(코시컨트)입니다. 이러한 함수를 직접 함수라고 하며 사인 - 아크사인, 코사인 - 아크코사인 등의 역함수도 있습니다. 처음에는 삼각 함수가 기하학에서 반사를 발견한 후 물리학, 화학, 지리학, 광학 등 다른 과학 분야로 퍼졌습니다. 확률 이론뿐만 아니라 음향학, 음악 이론, 음성학, 컴퓨터 그래픽 및 기타 여러 분야. 먼 과거에는 천문학과 건축에서만 사용되었지만 이제는 이러한 기능이 없는 수학적 계산을 상상하기가 더 어렵습니다. 신원긴 삼각 공식으로 작업을 단순화하고 소화 가능한 형태로 가져오는 데 사용됩니다. 6개의 주요 삼각법 ID가 있으며 직접 삼각 함수와 연결되어 있습니다. tg? = 죄? / cos?; 죄 ^ 2? + cos ^ 2? = 1; 1 + tg ^ 2? = 1 / cos ^ 2 ?; 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / 죄 ^ 2 ?; 죄 (? / 2 -?) = cos?; cos (? / 2 -?) = 죄?. 이것들 신원직각삼각형에서 종횡비와 각도의 속성으로 쉽게 확인: 죄? = BC / AC = b / c; 코사인? = AB / AC = a / c; 응? = b / a. 첫 번째 정체성은 tg? = 죄? / cos? 삼각형의 종횡비와 sin을 cos로 나눌 때 c(빗변) 쪽의 제거에서 따릅니다. 아이덴티티 ctg? = cos? / sin?, 사실에서 ctg? = 1 / tg?. 피타고라스 정리 a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. 이 평등을 c ^ 2로 나누면 두 번째 항등식을 얻습니다. a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => sin ^ 2? + cos ^ 2? = 1.세 번째와 네 번째 신원각각 b ^ 2 및 a ^ 2로 나누어 얻습니다. a ^ 2 / b ^ 2 + 1 = c ^ 2 / b ^ 2 => tg ^ 2? + 1 = 1 / cos ^ 2?; 1 + b ^ 2 / a ^ 2 = c ^ 2 / a ^ 2 => 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / 죄 ^? 또는 1 + ctg ^ 2? = 1 / sin ^ 2?. 다섯 번째와 여섯 번째 기본 신원 90 °와 같은 직각 삼각형의 예각의 합을 결정하여 증명됩니다. / 2. 더 어려운 삼각법 신원: 인수 추가 공식, 이중 및 삼중 각, 차수 감소, 함수의 합 또는 곱 수정, 삼각 대입 공식, 즉 기본 삼각 함수를 tg 반각으로 표현: sin? = (2 * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2), cos? = (1 - tg ^ 2? / 2) / (1 = tg ^ 2? / 2); tg? = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).

최소한의 것을 찾아야 한다 의미매우 정확한 기능경제학과 같은 응용 문제를 해결하는 데 실제적인 관심을 나타냅니다. 거대한 의미기업가 활동의 경우 손실이 최소화됩니다.

지침

1. 최소한의 것을 발견하려면 의미 기능, 인수 x0의 어떤 값에서 부등식 y(x0)가 유지될 것인지 결정할 필요가 있습니까? y(x), 여기서 x? x0. 평소와 같이 이 문제는 특정 간격 또는 각 값 범위에서 해결됩니다. 기능지정되지 않은 경우. 솔루션의 한 측면은 고정점을 찾는 것입니다.

2. 정지점이라고 합니다 의미도함수가 있는 논증 기능사라집니다. 페르마의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수가 극값을 취하면 의미어떤 지점(이 경우 지역 최소값)에서 이 지점은 정상입니다.

3. 최저한의 의미함수는 종종 이 시점에서 정확히 취하지만, 항상 정의할 수는 없습니다. 또한 최소값이 무엇인지 정확하게 말할 수는 없습니다. 기능또는 그는 무한히 작은 것을 받아들입니다. 의미... 그런 다음 평소와 같이 감소함에 따라 중력의 한계를 찾습니다.

4. 최소값을 결정하기 위해 의미 기능, 네 단계로 구성된 일련의 작업을 수행해야 합니다. 정의 영역 찾기 기능, 고정 소수점 획득, 값 개요 기능이 지점과 간격 끝에서 최소값을 감지합니다.

5. 어떤 함수 y(x)가 점 A와 B에 경계가 있는 간격에 주어집니다. 도메인을 찾고 간격이 그것의 부분집합인지 알아내십시오.

6. 도함수 계산 기능... 결과 표현식을 0으로 설정하고 방정식의 근을 찾으십시오. 이 고정점이 간격 내에 있는지 확인하십시오. 그렇지 않은 경우 다음 단계에서 고려되지 않습니다.

7. 개방, 폐쇄, 복합 또는 측량할 수 없는 경계 유형에 대한 간격을 고려하십시오. 그것은 당신이 최소한의 것을 찾는 방법에 달려 있습니다 의미... 세그먼트 [A, B]가 닫힌 간격이라고 가정해 보겠습니다. 그것들을 함수에 연결하고 값을 계산하십시오. 정지점과 동일하게 수행하십시오. 가장 작은 합계를 선택하십시오.

8. 개방적이고 측량할 수 없는 격차로 인해 상황이 조금 더 어려워집니다. 여기서 항상 명확한 결과를 제공하지 않는 일방적인 한계를 찾아야 합니다. 예를 들어, 하나의 닫힌 경계와 하나의 구멍이 뚫린 경계[A, B)가 있는 구간의 경우 x = A에서 함수를 찾고 x에서 단측 극한 lim y를 찾아야 합니다. B-0.

기본 개념

시작하려면 정의를 기억하십시오. 짝수, 홀수 및 주기적 기능.

정의 2

짝수 함수는 독립 변수의 부호가 변경될 때 값을 변경하지 않는 함수입니다.

정의 3

일정한 시간 간격으로 값을 반복하는 함수:

T는 함수의 주기입니다.

삼각함수의 짝수와 홀수

다음 그림을 고려하십시오(그림 1).

그림 1.

여기서 $ \ overrightarrow (OA_1) = (x_1, y_1) $ 및 $ \ overrightarrow (OA_2) = (x_2, y_2) $는 $ Ox $ 축에 대해 대칭인 단위 길이의 벡터입니다.

분명히, 이러한 벡터의 좌표는 다음 관계에 의해 관련됩니다.

삼각 사인 및 코사인 함수는 단위 삼각 원을 사용하여 결정할 수 있으므로 사인 ​​함수는 홀수이고 코사인 함수는 짝수 함수가 됩니다. 즉,

삼각 함수의 주기성

다음 그림을 고려하십시오(그림 2).

그림 2.

여기서 $ \ overrightarrow (OA) = (x, y) $는 단위 길이의 벡터입니다.

벡터 $ \ overrightarrow (OA) $로 완전히 회전합시다. 즉, 이 벡터를 $ 2 \ pi $ 라디안만큼 회전시키자. 그러면 벡터가 원래 위치로 완전히 돌아갑니다.

삼각 사인 및 코사인 함수는 단위 삼각 원을 사용하여 결정할 수 있으므로 다음을 얻습니다.

즉, 사인 함수와 코사인 함수는 주기가 가장 작은 $ T = 2 \ pi $인 주기 함수입니다.

이제 접선 및 코탄젠트 함수를 고려하십시오. $ tgx = \ frac(sinx)(cosx) $이므로

$ ctgx = \ frac(cosx)(sinx) $이므로

삼각 함수의 짝수, 홀수 및 주기 사용에 대한 문제의 예

실시예 1

다음 진술을 증명하십시오.

a) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $

c) $ 죄 ((- 721) ^ 0) = - 죄1 ^ 0 $

a) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $

탄젠트는 최소주기 $ (360) ^ 0 $를 갖는 주기적 함수이므로 다음을 얻습니다.

b) $ (cos \ 왼쪽 (-13 \ pi \ 오른쪽) \) = - 1 $

코사인은 최소주기 $ 2 \ pi $를 갖는 짝수 및주기 함수이므로 다음을 얻습니다.

\ [(cos \ 왼쪽 (-13 \ pi \ right) \) = (cos 13 \ pi \) = (cos \ 왼쪽 (\ pi +6 \ cdot 2 \ pi \ right) = cos \ pi \) = - 1\]

c) $ 죄 ((- 721) ^ 0) = - 죄1 ^ 0 $

사인은 최소 주기 $ (360) ^ 0 $를 갖는 홀수 및 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.

BD | - 점 A를 중심으로 한 원호의 길이.
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.

접선( tg α)는 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따라 달라지는 삼각 함수이며, 반대쪽 다리 | BC | 인접한 다리의 길이로 |AB | ...
코탄젠트( CTG α)는 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따라 달라지는 삼각 함수로, 인접한 다리 | AB | 반대쪽 다리의 길이까지 | BC | ...

접선

어디에 N- 전체.

V 서양문학접선은 다음과 같이 표시됩니다.
.
;
;
.

접선 함수의 플롯, y = tg x

코탄젠트

어디에 N- 전체.

서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
다음 지정도 채택됩니다.
;
;
.

코탄젠트 함수 그래프, y = ctg x

접선 및 코탄젠트 속성

주기성

함수 y = tg x및 y = 씨티엑스π 주기로 주기적입니다.

동등

접선 및 코탄젠트 함수는 홀수입니다.

도메인과 가치, 증가, 감소

접선 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속적입니다(연속성 증명 참조). 탄젠트 및 코탄젠트의 주요 특성은 표에 나와 있습니다( N- 전체).

	y = tg x	y = 씨티엑스
정의 및 연속성의 영역
값 범위	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
오름차순		-
내림차순	-
과격한 수단	-	-
0, y = 0
y축과의 교차점, x = 0	y = 0	-

방식

사인과 코사인에 대한 표현

; ;
; ;
;

합과 차의 탄젠트와 코탄젠트 공식

나머지 공식은 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어

접선의 곱

접선의 합과 차 공식

이 표는 인수의 일부 값에 대한 접선 및 코탄젠트 값을 보여줍니다.

복소수 표현

쌍곡선 함수의 표현

;
;

파생상품

; .

.
함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식의 유도>>>; 코탄젠트용>>>

적분

시리즈 확장

x의 거듭제곱으로 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱 급수의 확장에 대한 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x그리고 코엑스이 다항식을 서로 나눕니다. 이것은 다음 공식을 생성합니다.

에 .

에 .
어디 비앤- 베르누이 수. 다음과 같은 반복 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디 .
또는 라플라스 공식에 따르면:

역함수

탄젠트와 코탄젠트의 역함수는 각각 아크탄젠트와 아크코탄젠트입니다.

아크탄젠트, arctg

, 어디 N- 전체.

아크코탄젠트, arcctg

, 어디 N- 전체.

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 기술 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
G. Korn, 과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.

또한보십시오:

원점을 중심으로 단위원을 구성하고 인수에 임의의 값을 지정하면 x 0축에서 계산 황소주입 NS 0, 그런 다음 단위 원의 이 각도는 어떤 점에 해당합니다. NS(그림 1) 축에 대한 투영 오점이 있을 것이다 미디엄. 세그먼트 길이 옴점의 가로 좌표의 절대 값과 동일 NS... 주어진 인수 값 x 0함수 값이 매핑됩니다. 와이= 코스 NS 0 점의 횡좌표로 NS. 따라서 포인트 V(NS 0 ;~에 0) 함수 그래프에 속함 ~에= 코스 NS(그림 2). 포인트라면 NS축의 오른쪽에 위치 OU, 토코신은 양수이고 왼쪽이면 음수입니다. 하지만 어쨌든 요점은 NS서클을 떠날 수 없습니다. 따라서 코사인은 -1에서 1 사이의 범위에 있습니다.

-1 = 코사인 NS = 1.

모든 각도에 대한 추가 회전, 2의 배수 NS, 반환점 NS같은 장소로. 따라서 기능 y =코사인 NSNS:

왜냐하면 ( NS+ 2NS) = 코사인 NS.

절대값은 같지만 부호가 반대인 두 개의 인수값을 취하면, NS그리고 - NS, 원에서 해당 점 찾기 엑스그리고 엑스. 그림에서 볼 수 있듯이 삼 축에 대한 투영 오같은 점이다 미디엄. 그렇기 때문에

왜냐하면 (- NS) = 코사인( NS),

저것들. 코사인은 짝수 함수이고, NS(–NS) = NS(NS).

따라서 함수의 속성을 조사할 수 있습니다. 와이= 코스 NS세그먼트에 , 그런 다음 패리티와 주기성을 고려합니다.

~에 NS= 0점 NS축에 놓여있다 오, 가로 좌표는 1이므로 cos 0 = 1입니다. 증가 NS가리키다 NS원을 따라 위쪽과 왼쪽으로 이동합니다. 투영은 물론 왼쪽으로만 x = NS/ 2 코사인은 0이 됩니다. 포인트 NS이 순간 최대 높이까지 상승한 다음 계속 왼쪽으로 이동하지만 이미 감소하고 있습니다. 가로 좌표는 -1과 같은 가장 작은 값에 도달할 때까지 항상 감소합니다. NS= NS... 따라서 세그먼트에서 기능 ~에= 코스 NS 1에서 -1로 단조 감소합니다(그림 4, 5).

코사인이 짝수이므로 세그먼트 [- NS, 0], 함수는 -1에서 1로 단조 증가하여 0에서 값을 취합니다. x =–NS/ 2. 여러 기간을 사용하면 물결 모양의 곡선이 나타납니다(그림 6).

그래서 기능 와이= 코스 NS점에서 0 값을 취합니다. NS= NS/2 + kp, 어디 케이 -임의의 정수. 1과 같은 최고점에 도달합니다. NS= 2kp, 즉. 2단계로 NS, 그리고 최소값은 -1과 같습니다. NS= NS + 2kp.

기능 y = 죄 x.

단위원 코너에서 NS 0은 점에 해당합니다. NS(그림 7), 축에 대한 투영 OU점이 있을 것이다 N.지함수 값 y 0 =죄 x 0점의 좌표로 정의 NS. 가리키다 V(주입 NS 0 ,~에 0) 함수 그래프에 속함 와이= 죄 NS(그림 8). 기능인 것은 분명하다. y =죄 NS주기적, 그 기간은 2 NS:

죄( NS+ 2NS) = 죄( NS).

두 인수 값의 경우 NS그리고 - , 해당 점의 투영 엑스그리고 엑스축당 OU점에 대해 대칭으로 위치 영형... 그렇기 때문에

죄(- NS) = –죄( NS),

저것들. 사인은 홀수 함수, f(- NS) = -F( NS) (그림 9).

포인트라면 NS점을 중심으로 회전 영형코너에서 NS/ 2 반시계 방향(즉, 각도가 NS증가 NS/ 2) 새 위치의 세로 좌표는 이전 위치의 가로 좌표와 같습니다. 그래서,

죄( NS+ NS/ 2) = 코사인 NS.

그렇지 않으면 사인은 코사인으로 "지연"됩니다. NS/ 2, 인수가 다음과 같이 증가하면 모든 코사인 값이 사인에서 "반복"되기 때문에 NS/ 2. 사인 그래프를 그리려면 다음과 같이 코사인 그래프를 이동하는 것으로 충분합니다. NS/ 2 오른쪽(그림 10). 사인의 매우 중요한 속성은 평등으로 표현됩니다.

평등의 기하학적 의미는 그림 1에서 볼 수 있습니다. 11. 여기 NS -반호입니다 AB, 그리고 죄 NS -해당 코드의 절반. 분명히 포인트가 가까워질수록 NS그리고 V현 길이는 호 길이에 점점 더 가까워지고 있습니다. 같은 그림에서 부등식을 쉽게 추출할 수 있습니다.

| 죄 NS| x |, 모든 항목에 유효 NS.

공식(*) 수학자들은 경이로운 극한이라고 부릅니다. 특히 죄로부터 NS» NS작게 NS.

기능 ~에= 티 x, y= ctg NS. 탄젠트와 코탄젠트라는 두 가지 다른 삼각 함수는 우리가 이미 알고 있는 사인과 코사인의 비율로 정의하는 것이 가장 쉽습니다.

사인 및 코사인과 마찬가지로 탄젠트와 코탄젠트는 주기적 함수이지만 주기는 동일합니다. NS, 즉. 사인과 코사인의 절반 크기입니다. 그 이유는 명확합니다. 사인과 코사인이 모두 부호를 변경하면 비율이 변경되지 않습니다.

코사인은 탄젠트의 분모에 있으므로 코사인이 0인 지점에서는 탄젠트가 정의되지 않습니다. NS= NS/2 + kp. 다른 모든 지점에서는 단조롭게 증가합니다. 직접 NS= NS/2 + kp접선은 수직 점근선입니다. 포인트에서 kp접선과 기울기는 각각 0과 1입니다(그림 12).

사인이 0인 경우 코탄젠트가 정의되지 않습니다. x = kp). 다른 지점에서는 단조롭게 감소하고 직선 x = kp – 그것의 수직 점근선. 포인트에서 x = 피/2 + kp코탄젠트는 사라지고 이 점의 기울기는 -1입니다(그림 13).

패리티 및 주파수.

경우에도 함수가 호출됩니다. NS(–NS) = NS(NS). 코사인 및 시컨트 함수는 짝수이고 사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 코시컨트는 홀수 함수입니다.

죄(-α) = - 죄 α	tg(-α) = - tgα
코사인(-α) = 코사인 α	CTG(-α) = - CTG α
초(-α) = 초 α	코섹(-α) = - 코섹 α

패리티 속성은 점의 대칭에서 따릅니다. NS그리고 NS- NS (그림 14) 축에 대해 NS. 이 대칭으로 점의 세로 좌표는 부호를 변경합니다(( NS;~에) 로 이동 ( NS; -와이)). 모든 함수 - 주기, 사인, 코사인, 시컨트 및 코시컨트의 주기는 2입니다. NS, 접선 및 코탄젠트 - NS:

죄(α + 2 크파이) = 죄 α	코사인 (α + 2 크파이) = 코스 α
tg(α + 크파이) = tgα	CTG(α + 크파이) = ctg α
초(α + 2 크파이) = 초 α	코섹(α + 2 크파이) = 코섹 α

사인과 코사인의 주기성은 모든 점이 NS+ 2 kp, 어디 케이= 0, ± 1, ± 2, ..., 일치하고 접선과 코탄젠트의 주기성은 점 NS+ kp접선 축에서 동일한 점을 제공하는 원의 지름이 반대인 두 점으로 교대로 떨어집니다.

삼각 함수의 주요 속성은 다음 표에 요약할 수 있습니다.

기능	도메인	많은 의미	동등	단조로움의 영역( 케이= 0, ± 1, ± 2, ...)
죄 NS	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	이상한	증가 NSО ((4 케이 – 1) NS /2, (4케이 + 1) NS/ 2), 다음과 같이 감소합니다. NSО ((4 케이 + 1) NS /2, (4케이 + 3) NS/2)
코사인 NS	– Ґ x Ґ	[–1, +1]	조차	증가 NSО ((2 케이 – 1) NS, 2kp), 다음과 같이 감소합니다. NS오 (2 kp, (2케이 + 1) NS)
tg NS	NS № NS/2 + 피케이	(–Ґ , +Ґ )	이상한	증가 NSО ((2 케이 – 1) NS /2, (2케이 + 1) NS /2)
CTG NS	NS № 피케이	(–Ґ , +Ґ )	이상한	에서 감소 NS오( kp, (케이 + 1) NS)
비서 NS	NS № NS/2 + 피케이	(-Ґ, -1] 및 [+1, + Ґ)	조차	증가 NS오 (2 kp, (2케이 + 1) NS), 다음과 같이 감소합니다. NSО ((2 케이- 1) p, 2 kp)
코섹 NS	NS № 피케이	(-Ґ, -1] 및 [+1, + Ґ)	이상한	증가 NSО ((4 케이 + 1) NS /2, (4케이 + 3) NS/ 2), 다음과 같이 감소합니다. NSО ((4 케이 – 1) NS /2, (4케이 + 1) NS /2)

주조 공식.

이 공식에 따르면 인수의 삼각 함수 값, 여기서 NS/ 2 a p는 인수 a의 함수 값으로 줄일 수 있습니다. 여기서 0 a p / 2는 동일하고 상보적입니다.

인수 b	- NS	+ 에이	NS- NS	NS+ 에이	+ 에이	+ 에이	2NS- NS
죄 b	왜냐하면	왜냐하면	죄	– 신아	– 왜냐하면	– 왜냐하면	– 신아
cos b	죄	– 신아	– 왜냐하면	– 왜냐하면	– 신아	죄	왜냐하면

따라서 삼각 함수 표에서 값은 예각에 대해서만 제공되며 예를 들어 사인 및 접선으로 제한하는 것으로 충분합니다. 이 표에는 사인 및 코사인에 대한 가장 일반적인 공식만 포함되어 있습니다. 탄젠트와 코탄젠트에 대한 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다. 형식의 인수에서 함수를 캐스팅할 때 kp/ 2 ± a, 여기서 케이- 정수, 인수 a에서 함수로:

1) 다음과 같은 경우 함수 이름이 유지됩니다. 케이가 짝수이고 다음과 같은 경우 "상보적"으로 변경됩니다. 케이이상한;

2) 오른쪽의 기호는 해당 지점에서 축소된 기능의 기호와 일치합니다. kp/ 2 ± a 각도가 예각인 경우.

예를 들어 ctg(a - NS/ 2) 우리는 다음을 확인합니다 - NS/ 2 for 0 a p / 2는 코탄젠트가 음수인 4사분면에 있으며 규칙 1에 따라 함수 이름을 변경합니다. ctg (a - NS/ 2) = -tg

덧셈 공식.

여러 각도 공식.

이 공식은 추가 공식에서 직접 파생됩니다.

죄 2a = 2 죄 a cos a;

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;

죄 3a = 3 죄 a - 4 죄 3 a;

cos 3a = 4 cos 3a - 3 cos a;

cos 3a의 공식은 François Viet이 3차 방정식을 풀 때 사용했습니다. 그는 또한 cos에 대한 표현을 처음 발견했습니다. N그리고 죄 N이것은 나중에 Moivre 공식에서 더 간단한 방법으로 구했습니다.

이중 인수에 대한 공식에서 a / 2로 바꾸면 반각 공식으로 변환될 수 있습니다.

보편적인 대체 공식.

이 공식을 사용하여 동일한 인수의 다른 삼각 함수를 포함하는 표현식을 하나의 함수 tg(a / 2)의 유리 표현식으로 다시 작성할 수 있습니다. 이는 일부 방정식을 풀 때 유용합니다.

합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식.

컴퓨터가 출현하기 전에 이러한 공식은 계산을 단순화하는 데 사용되었습니다. 계산은 로그 테이블을 사용하여 이루어졌으며 나중에는 슬라이드 룰이 사용되었습니다. 로그는 숫자를 곱하는 데 가장 적합하므로 모든 원래 표현식은 로그를 취하기에 편리한 형태로 축소되었습니다. 예를 들어:

2 죄 NS죄 b = cos ( a - b) - 코사인( a + b);

2코사 NS코사인 NS= 코스( a - b) + 코스 ( a + b);

2 죄 NS코사인 NS= 죄( a - b) + 죄( a + b).

탄젠트 및 코탄젠트 함수에 대한 공식은 위에서 얻을 수 있습니다.

학위 감소 공식.

다중 인수의 공식에서 다음 공식이 파생됩니다.

죄 2 a = (1 - cos 2a) / 2;	cos 2 a = (1 + cos 2a) / 2;
죄 3 a = (3 죄 a - 죄 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos + 코스 3가) / 4.

이 공식을 사용하여 삼각 방정식을 더 낮은 차수의 방정식으로 줄일 수 있습니다. 같은 방식으로 더 높은 사인 및 코사인 차수에 대한 감소 공식을 도출할 수 있습니다.

삼각 함수의 도함수와 적분
(죄 NS) `= 코스 NS;	(코사인 NS) `= -죄 NS;
(티 NS)` = ;	(ctg NS)` = – ;
죄 엑스 DX= –코사인 NS + 씨;	t 코스 엑스 DX= 죄 NS + 씨;
ㅜㅜ 엑스 DX= –Ln | cos NS| + 씨;	t ctg x dx =인 | 죄 NS| + 씨;

정의 영역의 각 지점에서 각 삼각 함수는 연속적이고 무한히 미분 가능합니다. 또한, 삼각함수의 미분은 삼각함수이며, 적분하면 삼각함수 또는 그 로그도 구해진다. 삼각 함수의 합리적인 조합의 적분은 항상 기본 함수입니다.

거듭제곱 및 무한 곱의 형태로 삼각 함수를 나타냅니다.

모든 삼각 함수는 거듭제곱 급수로 확장할 수 있습니다. 이 경우 함수는 sin NS b 코스 NS행으로 표시됩니다. 모든 값에 대해 수렴 NS:

이 시리즈는 죄에 대한 대략적인 표현을 얻는 데 사용할 수 있습니다. NS그리고 코사인 NS작은 값에서 NS:

에서 | 엑스 | p / 2;

0 x에서 | NS

(NS n은 베르누이 수임).

죄 함수 NS그리고 코사인 NS끝없는 작품의 형태로 제시 될 수 있습니다 :

삼각법 시스템 1, cos NS, 죄 NS, 코스 2 NS, 죄 2 NS, ¼, 코사인 엔엑스, 죄 엔엑스, ¼, 세그먼트의 형태 [- NS, NS] 함수의 직교 시스템으로 삼각 급수의 형태로 함수를 표현할 수 있습니다.

복잡한 평면으로 실제 인수의 해당 삼각 함수의 분석적 연속으로 정의됩니다. 그래서 죄 지그리고 코사인 지죄에 대한 시리즈를 사용하여 결정할 수 있습니다 NS그리고 코사인 NS, 대신에 NS놓다 지:

이 급수는 전체 평면에 수렴하므로 죄 지그리고 코사인 지- 전체 기능.

탄젠트와 코탄젠트는 다음 공식으로 정의됩니다.

Tg 기능 지그리고 CTG 지- 변형 기능. 폴란드 지그리고 초 지- 단순(1차) 및 포인트에 위치 z = 피/2 + 피 엔,기둥 ctg 지그리고 코섹 지- 또한 간단하고 포인트에 있습니다. 지 = 피엔, n = 0, ± 1, ± 2, ...

실수 인수의 삼각 함수에 유효한 모든 수식은 복소수에도 유효합니다. 특히,

죄(- 지) = – 죄 지,

왜냐하면 (- 지) = 코사인 지,

tg (- 지) = -Tg 지,

CTG(- 지) = -Ctg 지,

저것들. 짝수 및 홀수 패리티가 유지됩니다. 수식도 저장됩니다.

죄( 지 + 2NS) = 죄 지, (지 + 2NS) = 코사인 지, (지 + NS) = tg 지, (지 + NS) = ctg 지,

저것들. 주기성도 유지되며 마침표는 실제 인수의 기능과 동일합니다.

삼각 함수는 순전히 허수인 인수의 지수 함수로 표현될 수 있습니다.

뒤, 이즈 cos로 표현 지그리고 죄 지공식에 따르면:

이즈= 코스 지 + NS죄 지

이러한 공식을 공식이라고 합니다 오일러... Leonard Euler는 1743년에 그것들을 꺼냈습니다.

삼각 함수는 쌍곡선 함수로 표현할 수도 있습니다.

지 = –NS쉿 이즈, cos z = ch iz, z = –i th iz.

여기서 sh, ch 및 th는 쌍곡선 사인, 코사인 및 탄젠트입니다.

복잡한 인수의 삼각 함수 z = x + iy, 어디 NS그리고 와이- 실수는 실제 인수의 삼각 함수 및 쌍곡선 함수로 표현될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

죄( 엑스 + 아이) = 죄 NS채널 와이 + NS코사인 NS쉿 와이;

왜냐하면 ( 엑스 + 아이) = 코사인 NS채널 와이 + NS죄 NS쉿 와이.

복잡한 인수의 사인과 코사인은 절대값에서 1보다 큰 실수 값을 가질 수 있습니다. 예를 들어:

미지의 각도가 삼각 함수의 인수로 방정식에 입력되면 방정식을 삼각법이라고 합니다. 그러한 방정식은 너무 일반적이어서 그들의 방법은 솔루션은 매우 상세하고 신중하게 설계되었습니다. 와 함께다양한 기술과 공식을 사용하여 삼각 방정식은 다음 형식의 방정식으로 축소됩니다. NS(NS)= 에이, 어디 NS- 가장 단순한 삼각 함수: 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트. 그런 다음 그들은 주장을 표현합니다. NS이 함수는 알려진 값을 통해 NS.

삼각 함수는 주기적이므로 동일합니다. NS값 범위에서 인수의 무한히 많은 값에 해당하며 방정식의 해는 단일 함수로 쓸 수 없습니다 NS. 따라서 각 주요 삼각 함수의 정의 영역에서 모든 값을 각각 한 번만 취하는 섹션을 구별하고이 섹션에서 역함수를 찾습니다. 이러한 함수는 원래 함수의 이름에 접두사 arc(arc)를 귀속하여 표시하며 역삼각법이라고 합니다. 함수 또는 그냥 호 함수.

역삼각 함수.

죄 때문에 NS, 코사인 NS, tg NS그리고 CTG NS역함수를 정의할 수 있습니다. 그것들은 각각 arcsin으로 표시됩니다. NS("아크신 NS»), 아르코스 NS, 아크티지 NS및 arcctg NS... 정의에 따르면, arcsin NS그런 수가 있다 와이,뭐라고 요

죄 ~에 = NS.

다른 역삼각 함수에서도 마찬가지입니다. 그러나 이 정의에는 약간의 부정확성이 있습니다.

죄를 반성하면 NS, 코사인 NS, tg NS그리고 CTG NS좌표 평면의 첫 번째 및 세 번째 사분면의 이등분선과 관련하여 함수는 주기성으로 인해 모호해집니다. 동일한 사인(코사인, 탄젠트, 코탄젠트)은 무한한 수의 각도에 해당합니다.

모호함을 없애기 위해 각 삼각함수의 그래프에서 폭이 있는 곡선의 단면 NS, 이 경우 인수와 함수 값 사이에 일대일 대응이 관찰되어야 합니다. 원점 근처의 선택된 영역. 사인 인 세그먼트 [- NS/2, NS/ 2], 사인이 -1에서 1로 단조 증가하는 경우 코사인 - 세그먼트, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 각각 간격 (- NS/2, NS/ 2) 및 (0, NS). 구간의 각 곡선은 이등분선을 기준으로 반영되며 이제 역삼각 함수를 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 인수 값이 주어졌다고 하자 x 0, 0 Ј NS 0 Ј 1. 그런 다음 함수의 값 와이 0 = 아크신 NS 0 유일한 의미가 될 것입니다 ~에 0 , 그렇게 - NS/ 2 Ј ~에 0 Ј NS/ 2 그리고 NS 0 = 죄 와이 0 .

따라서 arcsine은 arcsin 함수입니다. NS, 세그먼트 [-1, 1]에 정의되고 각각에 대해 동일 NS그러한 값, - NS/ 2 a p / 2 sin a = NS.단위원으로 표현하면 매우 편리하다(그림 15). 언제 | 및 | 1 원 위에 세로좌표가 있는 두 점이 있습니다. NS축에 대해 대칭 에.그 중 하나는 각도에 해당합니다. NS= 아크신 NS, 그리고 다른 하나는 코너 피 - 에이. 와 함께사인의 주기성을 고려하여 방정식 sin에 대한 솔루션 NS= NS다음과 같이 작성됩니다.

x =(–1)N아크신 NS + 2피엔,

어디 N= 0, ± 1, ± 2, ...

다른 간단한 삼각 방정식도 풀립니다.

코사인 NS = NS, –1 =NS= 1;

x =± 아르코스 NS + 2피엔,

어디 NS= 0, ± 1, ± 2, ... (그림 16);

tg NS = NS;

NS= 아크티지 NS + NS N,

어디 n = 0, ± 1, ± 2, ... (그림 17);

CTG NS= NS;

NS= arcctg NS + NS N,

어디 n = 0, ± 1, ± 2, ... (그림 18).

역삼각 함수의 기본 속성:

아크신 NS(그림 19): 정의 영역 - 세그먼트 [-1, 1]; 값 범위 - [- NS/2, NS/ 2], 단조 증가 기능;

아크코스 NS(그림 20): 정의 영역 - 세그먼트 [-1, 1]; 값의 범위 -; 단조 감소 기능;

아크티지 NS(그림 21): 범위 - 모든 실수; 범위 - 간격(- NS/2, NS/ 2); 단조 증가 기능; 똑바로 ~에= –NS/ 2 그리고 y = p / 2 -수평 점근선;

arcctg NS(그림 22): 범위 - 모든 실수; 값 범위 - 간격(0, NS); 단조 감소 기능; 똑바로 와이= 0 및 y = 피- 수평 점근선.

때문에 복잡한 인수 sin의 삼각 함수 지그리고 코사인 지(실제 인수의 함수와 달리) 모든 복소수 값을 취하면 방정식 sin 지 = NS그리고 코사인 지 = NS모든 복합물에 대한 솔루션 보유 엑스그리고 와이- 실수, 부등식 발생

½| e \ e y–e-y| ≤ | 죄 지|≤½( e y + e-와이),

½| 에이–e-y| ≤ | 코사인 지|≤½( e y + e -y),

그 중 와이® Ґ은 점근적 공식을 의미합니다. NS)

| 죄 지| "1/2 이자형 |와 | ,

| 왜냐하면 지| "1/2 이자형 |와 | .

삼각 함수는 천문학 및 기하학 연구와 관련하여 처음으로 등장했습니다. 본질적으로 삼각 함수인 삼각형과 원에서 선분의 비율은 이미 3세기에 발견되었습니다. 기원전 NS. 고대 그리스 수학자들의 작품에서 – 유클리드 , 아르키메데스, 페르가의 아폴로니우스 등은 이러한 관계가 독립적인 연구 대상이 아니었기 때문에 삼각함수 자체는 연구하지 않았다. 그것들은 처음에 부분으로 간주되었으며 Aristarchus(기원전 4세기 후반 - 기원전 3세기 후반), Hipparchus(기원전 2세기), Menelaus(AD 1세기) 및 Ptolemy(AD 2세기)가 이 형식으로 사용했습니다. 구형 삼각형. 프톨레마이오스는 10-6의 정확도로 매 30인치마다 예각에 대한 첫 번째 코드 표를 편집했습니다. 이것은 사인의 첫 번째 테이블이었습니다. 비율로, sin a 함수는 이미 발견되었습니다. 아리아바트(5세기 후반). tg a 및 ctg a 함수는 al-Battani(9세기 후반 - 10세기 초반)와 Abul-Vefa(10세기)에서 발견되며, 이들은 sec a 및 cosec a도 사용합니다. Ariabhata는 이미 공식 (sin 2 a + cos 2 a) = 1뿐만 아니라 sin 및 cos 반각 공식을 알고 있었으며 3 ° 45 "를 통해 각도에 대한 사인 테이블을 작성했습니다. 가장 간단한 인수에 대한 삼각 함수의 알려진 값.(12세기) 덧셈 공식을 사용하여 1의 항으로 테이블을 구성하는 방법을 제공했습니다. 다양한 인수의 삼각 함수의 합과 차를 곱으로 변환하는 공식은 Regiomontanus에 의해 추론되었습니다. (15 세기) 및 J. Napier는 후자의 로그 발명과 관련하여 (1614) 사인 값 표 1 ". 거듭제곱 급수에서 삼각 함수의 확장을 얻습니다. I. 뉴턴(1669). 삼각 함수 이론은 L. 오일러(18세기)에 의해 현대적인 형태로 도입되었습니다. 그는 실제적이고 복잡한 논증에 대한 정의, 현재 받아들여지는 상징주의, 지수 함수사인 및 코사인 시스템의 직교성.