Städtische Bildungseinrichtung „Sekundarstufe“ allgemein bildende Schule Nr. 24"

Stadt Podolsk

Moskau Region

Bericht

« Kristallsymmetrie»

Durchgeführt:

Orlowa

Olga Romanowna,

Schüler 10 Klasse „G“

Wissenschaftlicher Leiter:

Eljuschtschew Oleg Wladimirowitsch,

Lehrer

Mathematiker

Jahr 2012.

Planen.

ICHEinführung. Das Konzept der Symmetrie.

II Hauptteil.

1) gleiche Teile und Figuren in Geometrie und Kristallographie;

2) Kristalle und ihre Struktur;

3)Elementarzellen zum Kristall;

4) Symmetrie und Anisotropie kristalliner Polyeder;

5) Symmetrie und ihre Elemente;

6) Gruppen oder Arten von Symmetrie;

7) Kristallsysteme;

9) Symmetrie echter Kristalle;

IIIAbschluss. Symmetrie als kristallphysikalische Forschungsmethode.

Symmetrie der Kristalle.

griechisches Wort„Symmetrie“ bedeutet ins Russische übersetzt „Verhältnismäßigkeit“. Im Allgemeinen kann Symmetrie als die Fähigkeit einer Figur definiert werden, ihre Teile auf natürliche Weise zu wiederholen. Der Begriff der Symmetrie ist im Alltag weit verbreitet. Als symmetrisch werden beispielsweise Blütenkronen, Schmetterlingsflügel und Schneesterne bezeichnet. Die Menschheit nutzt das Konzept der Symmetrie seit langem und wendet es in den unterschiedlichsten Bereichen ihrer Tätigkeit an. Die mathematische Weiterentwicklung der Symmetrielehre erfolgte jedoch erst in der zweiten HälfteXIX Jahrhundert.

Eine symmetrische Figur sollte aus sich regelmäßig wiederholenden gleichen Teilen bestehen. Daher basiert die Idee symmetrischer Figuren auf dem Konzept gleicher Teile.

„Zwei Figuren heißen einander gleich, wenn es zu jedem Punkt der einen Figur einen entsprechenden Punkt der anderen Figur gibt und der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der einen Figur gleich dem Abstand zwischen zwei entsprechenden Punkten der anderen Figur ist.“

Der Begriff der Figurengleichheit ist dieser Definition zufolge viel weiter gefasst als der entsprechende Begriff der Elementargeometrie. In der Elementargeometrie werden als gleiche Figuren üblicherweise solche bezeichnet, die, wenn sie einander überlagert werden, mit allen ihren Punkten zusammenfallen. Als gleich gelten in der Kristallographie nicht nur kompatible gleiche Figuren, sondern auch Figuren, die sich wie ein Objekt und dessen Spiegelbild aufeinander beziehen.

Bisher haben wir darüber gesprochen geometrische Formen Oh. Wenn wir zu Kristallen kommen, müssen wir bedenken, dass es sich um reale Körper handelt und dass ihre gleichen Teile nicht nur geometrisch gleich, sondern auch physikalisch identisch sein müssen.

Als Kristalle werden im Allgemeinen Feststoffe bezeichnet, die sich unter natürlichen oder Laborbedingungen in Form von Polyedern bilden.

Die Oberfläche solcher Polyeder wird durch mehr oder weniger perfekte Ebenen begrenzt – Flächen, die sich entlang gerader Linien schneiden – Kanten. Die Schnittpunkte der Kanten bilden die Eckpunkte.

Die geometrisch korrekte Form von Kristallen wird in erster Linie durch ihre streng regelmäßige innere Struktur bestimmt.

In allen Kristallstrukturen lassen sich viele unterscheiden identische Atome, angeordnet wie Knoten eines räumlichen Gitters. Um sich ein solches Gitter vorzustellen, ist es notwendig, den Raum im Geiste spurlos mit einer Reihe gleicher Parallelepipede zu füllen, die parallel ausgerichtet sind und entlang der gesamten Flächen aneinandergrenzen. Das einfachste Beispiel für solche Parallelepipedsysteme ist eine Ansammlung von Würfeln oder Ziegeln, die eng nebeneinander liegen. Wenn wir in solchen imaginären Parallelepipeden die entsprechenden Punkte auswählen, beispielsweise deren Mittelpunkte oder beliebige andere Punkte, dann erhalten wir ein sogenanntes räumliches Gitter. Die ausgewählten entsprechenden Punkte werden Knoten genannt. In realen Kristallstrukturen können die Plätze von Raumgitterknoten durch einzelne Atome, Ionen oder Atomgruppen besetzt sein.

Die Gitterstruktur ist ausnahmslos für alle Kristalle charakteristisch.

Die vollständigste Definition eines Kristalls wird also so lauten: Kristalle sind alle festen Körper, in denen Teilchen (Atome, Ionen, Moleküle) regelmäßig in Form von räumlichen Gitterknoten angeordnet sind.

Feststoffe, in denen die Teilchen zufällig angeordnet sind, werden als amorph bezeichnet. Beispiele für amorphe Gebilde sind Glas, Kunststoffe, Harze und Leim. Eine amorphe Substanz ist nicht stabil und neigt dazu, mit der Zeit zu kristallisieren. Auf diese Weise „kristallisiert“ das Glas und bildet Aggregate aus kleinen Kristallen.

Beispiele für Kristalle sind Würfel aus Speisesalz, sechseckige Prismen aus Bergkristall mit spitzen Enden, Oktaeder aus Diamant und Dodekaeder aus Granat.

In einer modernen Beschreibung eines Minerals werden notwendigerweise die Parameter seiner Elementarzelle angegeben – der kleinsten Gruppe von Atomen, deren parallele Bewegung die gesamte Struktur einer bestimmten Substanz aufbauen kann. Obwohl die Anzahl der Atome in einer Elementarzelle und ihre Art bei jedem Mineral unterschiedlich sind, gibt es in natürlichen Kristallen nur sieben Arten von Elementarzellen, die, millionenfach wiederholt im dreidimensionalen Raum, unterschiedliche Kristalle bilden. Jeder Zelltyp entspricht einem bestimmten System, das es ermöglicht, alle Kristalle in sieben Gruppen einzuteilen.

Das Aussehen von Kristallen hängt maßgeblich von der Form der Elementarzellen und ihrer Lage im Raum ab. Aus kubischen Elementarzellen können große kubische Kristalle gewonnen werden. Gleichzeitig ermöglicht die abgestufte Anordnung der „Würfel“ die Erstellung komplexerer Formen.

Elementarzellen sind immer so angeordnet, dass die Kanten des wachsenden Kristalls und die von ihnen gebildeten Winkel nicht zufällig, sondern in der richtigen Reihenfolge vorliegen. Jeder Facettentyp hat eine bestimmte Position relativ zur Achse, Ebene oder zum Symmetriezentrum eines bestimmten Minerals. Die Kristallographie basiert auf den Gesetzen der Symmetrie, nach denen Kristalle in bestimmte Systeme eingeteilt werden.

In der Natur, in wissenschaftlichen und industriellen Labors, wachsen Kristalle in Form schöner, regelmäßiger Polyeder mit flachen Flächen und geraden Kanten. Symmetrie und Regelmäßigkeit der äußeren Form natürlicher kristalliner Polyeder - Besonderheit Kristalle, aber nicht erforderlich. Unter Fabrik- und Laborbedingungen werden häufig Kristalle gezüchtet, die nicht polyedrisch sind, deren Eigenschaften sich dadurch jedoch nicht ändern. Aus natürlichen und künstlich gezüchteten Kristallen werden Platten, Prismen, Stäbe und Linsen ausgeschnitten, in denen keine Spuren der äußeren Vielschichtigkeit des Kristalls vorhanden sind, die erstaunliche Symmetrie der Struktur und Eigenschaften der kristallinen Substanz jedoch erhalten bleibt.

Die Erfahrung zeigt, dass der Kristall wieder in Form eines regelmäßigen, symmetrischen Polygons wächst, wenn man ein Kristallfragment oder eine Kristallplatte in eine Lösung oder Schmelze derselben Substanz legt und es frei wachsen lässt. Dies liegt daran, dass die Kristallwachstumsgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen unterschiedlich ist. Dies ist nur ein Beispiel für Anisotropie physikalische Eigenschaften Kristall.

Anisotropie und Symmetrie - Eigenschaften Kristalle aufgrund der Regelmäßigkeit und Symmetrie ihrer inneren Struktur. In einem kristallinen Polyeder und in einer daraus geschnittenen Platte liegt eine ebenso regelmäßige, symmetrische, periodische Anordnung der Teilchen vor. Die Partikel, aus denen Kristalle bestehen, bilden regelmäßige, symmetrische Reihen, Netzwerke und Gitter.

Steine, Metalle, chemische Produkte – organische und anorganische, darunter so komplexe wie Baumwoll- und Kunstseidenfasern, menschliche und tierische Knochen und schließlich so komplex organisierte Objekte wie Viren, Hämoglobin, Insulin, DNA und viele andere – haben eine Regelmäßigkeit Interne Struktur. Jede kristalline Substanz hat eine bestimmte Ordnung, ein charakteristisches „Muster“ und eine Symmetrie in der Anordnung der Partikel, festgelegte Abstände zwischen den Partikeln, und alle diese Muster können qualitativ und quantitativ bestimmt werden.

Alles oben Gesagte gilt für ideal entwickelte Kristalle. Aber perfekte geometrische Formen findet man in der Natur selten. Am häufigsten sind Kristalle aufgrund einer ungleichmäßigen Entwicklung der Flächen deformiert oder weisen gebrochene, gekrümmte Linien auf, während die Winkel zwischen verschiedenen Flächen erhalten bleiben. Kristalle können in geometrisch geordneten Aggregaten oder in völliger Unordnung wachsen. Es ist nicht ungewöhnlich, dass Mineralien eine Kombination verschiedener kristallographischer Formen aufweisen. Manchmal behindern bestimmte Hindernisse das Wachstum eines Kristalls, wodurch sich die innere Kristallstruktur nicht optimal in der äußeren Form widerspiegelt und das Mineral unregelmäßige Verwachsungen oder dichte Massen bildet. Gleichzeitig können sich nach dem Gesetz der Konstanz der Facettenwinkel in Kristallen einer bestimmten Substanz sowohl die Größe der Flächen als auch ihre Form ändern, die Winkel zwischen den entsprechenden Flächen bleiben jedoch konstant. Daher ist es beim Studium der Symmetrie und allgemein der Geometrie realer Kristalle notwendig, sich auf die Winkel zwischen den Flächen zu verlassen.

Wenn man sich mit diesem Abschnitt der Kristallographie vertraut macht, kann man nicht auf die Verwendung geometrisch regelmäßiger Polyeder verzichten, die idealisierte Modelle bestimmter Kristalle darstellen.

Die Lehre von der Kristallsymmetrie basiert auf der Geometrie. Allerdings verdankt dieser Wissenschaftszweig seine Entwicklung vor allem Wissenschaftlern, die auf dem Gebiet der Kristallographie tätig sind. Die brillantesten Leistungen sind mit den Namen von Kristallographen verbunden, unter denen die Namen zweier russischer Akademiker hervorstechen – A.V. Gadolin und E.S.

Nun ist es notwendig, über die Symmetrie selbst und ihre Elemente zu sprechen. Die Definition von Symmetrie erwähnte die regelmäßige Wiederholung gleicher Teile von Figuren. Um das Konzept dieses Musters zu verdeutlichen, werden imaginäre Hilfsbilder (Punkte, Geraden, Ebenen) verwendet, relativ zu denen gleiche Teile der Figuren korrekt wiederholt werden. Solche Bilder werden Symmetrieelemente genannt.

Beispiele für die genannten Elemente sind: Inversionszentrum, Achsen und Symmetrieebenen.

Um die eine oder andere Achse zu charakterisieren, muss der Wert des kleinsten Drehwinkels ermittelt werden, der die Figur in Ausrichtung bringt. Dieser Winkel wird als Elementardrehwinkel der Achse bezeichnet.

Der elementare Drehwinkel jeder Symmetrieachse ist eine ganze Zahl mal 360°:

Wo N- eine ganze Zahl, die als Reihenfolge (Name) der Achse bezeichnet wird.

Die Ordnung der Symmetrieachse entspricht einer Zahl, die angibt, wie oft der Elementardrehwinkel in 360° enthalten ist. Gleichzeitig gibt die Reihenfolge der Achse die Anzahl der Kombinationen der Figur mit sich selbst während einer vollständigen Drehung um eine bestimmte Achse an.

Jede Achse hat ihren eigenen elementaren Drehwinkel:

bei N=1 α=360°

N=2 α=180°

N=3 α=120°

N=4 α=90°

N=5 α=72°

N=6 α=60° usw.

In der Geometrie gibt es eine endlose Reihe von Achsen mit verschiedenen ganzzahligen Namen. Allerdings wird die Symmetrie von Kristallen durch eine endliche Menge von Achsen beschrieben. Ihre Zahl wird durch die Existenz eines räumlichen Gitters begrenzt. Das Gitter verbietet die Implementierung von Achsen fünfter Ordnung und Achsen höherer als sechster Ordnung in Kristallen.

Darüber hinaus gibt es sogenannte Inversionsachsen.

Ein solches Symmetrieelement ist sozusagen eine Kombination aus einer einfachen Symmetrieachse und einem Inversionszentrum, die nicht getrennt, sondern zusammen wirken. Da das Inversionszentrum nur als integraler Bestandteil der Inversionsachse beteiligt ist, erscheint es möglicherweise nicht als unabhängiges Symmetrieelement. Bei allen Modellen, bei denen Inversionsachsen bestimmt werden müssen, gibt es kein Inversionszentrum.

In der Kristallographie wird ein Satz von Symmetrieelementen als Symmetrietyp eines kristallinen Polyeders bezeichnet.

Alle Gruppen (Typen) der Kristallsymmetrie wurden 1820 vom deutschen Professor für Mineralogie I. Hessel ermittelt. Es waren 32 davon, doch seine Ergebnisse wurden von der wissenschaftlichen Gemeinschaft nicht wahrgenommen, teils aufgrund einer erfolglosen Präsentation, teils weil Hessels Artikel in einer unzugänglichen Publikation veröffentlicht wurde.

Unabhängig von Hessel wurde die Ableitung von 32 Gruppen (Typen) der Kristallsymmetrie im Jahr 1867 von einem russischen Akademiker, Professor an der Artillerie-Akademie und Amateurkristallographen, General A.V. Gadolin, durchgeführt. Seine Arbeit wurde von Fachleuten sofort hoch geschätzt.

Kristallsymmetriegruppen oder, wie sie allgemein genannt werden, Symmetrietypen werden zweckmäßigerweise in Systeme unterteilt, die Gruppen mit ähnlichen Symmetrieelementen vereinen. Es gibt sechs solcher Systeme – triklin, monoklin, rhombisch, tetragonal, hexagonal und kubisch.

Kristallographen studieren äußere Form Kristalle und ihre Struktur, trigonale Kristalle werden oft aus dem hexagonalen System isoliert. Somit werden alle Kristalle in sieben Kristalle unterteilt (von griechisch „syn“ – zusammen, „gonia“ – Winkel): triklin, monoklin, rhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal und kubisch. In der Kristallographie ist ein System eine Gruppe von Symmetrietypen, die ein oder mehrere ähnliche Symmetrieelemente mit der gleichen Anzahl an Einheitsrichtungen aufweisen. Es ist wichtig zu beachten, dass räumliche Gitter, die zu Kristallen desselben Systems gehören, Elementarzellen mit derselben Symmetrie aufweisen müssen.

Die Namen des Systems werden wie folgt erklärt: In Kristallen des triklinen Systems sind alle drei Winkel zwischen den Kanten des Parallelepipeds schräg [clino (Griechisch) – Neigung]. Bei monoklinen Kristallen gibt es nur einen schrägen Winkel zwischen den angegebenen Kanten (die anderen beiden sind gerade). Das Rautensystem zeichnet sich dadurch aus, dass die damit verbundenen einfachen Formen oft die Form von Rauten haben.

Die Bezeichnungen „trigonales“, „tetragonales“, „hexagonales“ System weisen auf die typische Symmetrie der hier genannten Kristalle hin. Das trigonale System wird oft als Rhomboeder bezeichnet, da die meisten Symmetrietypen dieses Systems durch eine einfache Form namens Rhomboeder gekennzeichnet sind.

Kristalle des kubischen Systems zeichnen sich durch räumliche Gitter aus, deren Elementarquader die Form von Würfeln haben.

Triklinisches System. Eine Syngonie mit den primitivsten Kristallformen und sehr einfacher Symmetrie. Die charakteristische Form des triklinen Systems ist ein schiefes Prisma. Typische Vertreter: Türkis und Rhodonit.

Monoklines System. Charakteristisch sind Prismen mit einem Parallelogramm an der Basis. Das monokline System umfasst Kristalle von Mineralien wie Alabaster, Malachit und Jade.

Rhombisches System. Die charakteristischen Formen sind rhombisches Prisma, Pyramide und Bipyramide. Typische Mineralien dieses Systems sind Topas, Chrysoberyll und Olivin.

Trigonales System. Einfache Formen sind trigonale Prismen, Pyramiden, Bipyramiden sowie Rhomboeder und Skalenoeder. Beispiele für trigonale Mineralien sind Calcit, Quarz und Turmalin.

Sechseckiges System. Typische Formen: 6- oder 12-seitige Prismen, Pyramiden und Bipyramiden. In dieser Syngonie werden Beryll und Vanadinit (als Vanadiumerz verwendet) unterschieden.

Tetragonales System. Einfache Formen sind tetragonale Prismen, Pyramiden und Bipyramiden. In dieser Syngonie kristallisieren Zirkon und Rutil.

Kubisches System. Einfache Formen: Würfel, Oktaeder, Tetraeder. Fluorit, Diamant und Pyrit kristallisieren im kubischen System.

Syngonien wiederum werden in drei Kategorien eingeteilt: niedriger, mittel, höher.

Kristalle der niedrigsten Kategorie zeichnen sich durch das Vorhandensein mehrerer Einheitsrichtungen (die einzige Richtung, die sich im Kristall nicht wiederholt, wird als Einheitsrichtung bezeichnet) und das Fehlen von Symmetrieachsen mit einer höheren Ordnung als 2 aus. Dazu gehören drei Kristallsysteme: triklin , monoklin und orthorhombisch.

Kristalle der mittleren Kategorie haben eine Einheitsrichtung, die mit einer einzelnen Ordnungsachse höher als 2 zusammenfällt. Dazu gehören auch drei Systeme: trigonal, tetragonal und hexagonal.

In Kristallen der höchsten Kategorie gibt es mangels einzelner Richtungen immer mehrere Ordnungsachsen höher als 2. Dazu gehört auch ein kubisches System.

Bisher wurden idealisierte Modelle kristalliner Polyeder betrachtet.

Es ist viel schwieriger, die Symmetrie echter Kristalle zu bestimmen. Oben haben wir die ungleichmäßige Entwicklung symmetrischer Kristallflächen aufgrund des ungleichmäßigen Flusses der Zuführlösung zu ihnen festgestellt. In dieser Hinsicht hat der Würfel eines echten Kristalls oft die Form eines abgeflachten oder länglichen Parallelepipeds. Darüber hinaus fehlen manchmal sogar teilweise symmetrische Kanten. Basierend auf den äußeren Formen echter Kristalle ist es daher leicht, fälschlicherweise deren tatsächliche Symmetrie herabzusetzen.

Hier helfen genaue Messungen der Winkel zwischen den Flächen, aus denen sich die wahre Symmetrie des Polyeders leicht wiederherstellen lässt. Umgekehrte Fehler treten jedoch häufig auf, wenn Kristallen eine höhere Symmetrie als die tatsächliche zugeordnet wird.

Interessant ist auch, dass dieselben Stoffe unter unterschiedlichen Bedingungen völlig unterschiedliche Kristallstrukturen und damit unterschiedliche Mineralien bilden können. Ein markantes Beispiel ist Kohlenstoff: Hat er ein hexagonales System, entsteht Graphit, hat er ein kubisches System, entsteht Diamant.

Symmetrie, Periodizität und Regelmäßigkeit der Struktur sind also die Hauptmerkmale des kristallinen Zustands einer Substanz.

Die Art und Weise, wie ein Kristall von innen strukturiert ist, beeinflusst zwangsläufig sein Aussehen und seine Form. Die Form eines Kristalls lässt uns erahnen, in welcher Reihenfolge die Teilchen in seiner Struktur verbunden sind. Und natürlich können wir mit großer Sicherheit sagen, dass in einem oktaedrischen Fluoritkristall, einer hexagonalen Graphitplatte und einem lamellaren Barytkristall die Partikel unterschiedlich angeordnet sind. Aber in den „Würfeln“ von Halit und Bleiglanz sind sie sehr ähnlich angeordnet, obwohl diese Mineralien unterschiedliche chemische Zusammensetzungen haben.

Symmetrie hilft, all diese Unterschiede und Gemeinsamkeiten zu beschreiben.

Symmetrie beschränkt sich jedoch nicht nur auf die Identifizierung von Mustern in der Anordnung von Teilchen in räumlichen Gittern und in der äußeren Form von Kristallen. Darüber hinaus hängen alle physikalischen Eigenschaften eng mit der Symmetrie zusammen. Es bestimmt, welche physikalischen Eigenschaften ein bestimmter Kristall haben kann oder nicht. Es bestimmt die Anzahl der benötigten unabhängigen Größen volle Eigenschaften einer gegebenen physikalischen Eigenschaft und die Richtung ihrer Messungen in Bezug auf die Symmetrieelemente, d. h. bestimmt die Art der Anisotropie der physikalischen Eigenschaften. Darüber hinaus erwies es sich als möglich, mathematischen Größen Symmetrie zuzuschreiben – Skalaren, Vektoren, die die physikalischen Eigenschaften von Kristallen beschreiben. Und schließlich wir selbst physikalische Phänomene In Kristallen kann die eine oder andere Symmetrie zugeschrieben werden, die mit der Symmetrie der mathematischen Größen zusammenfällt, die diese Phänomene beschreiben.

Referenzliste

1. A.S.Sonin. „Kurs der makroskopischen Kristallphysik“, M., „Science“, 2006.

2. M.P.Shaskolskaya. „Kristallographie“, M., „Higher School“, 1984.

3.G.M.Popov, I.I.Shafranovsky. „Kristallographie“, M., „Higher School“, 1972.

4. M. Aksenova, V. Volodin. Enzyklopädie für Kinder. Geologie, M., „Avanta +“, 2006

5.A.Zharkova. „Mineralien. Schätze der Erde“, M., „De Agostini“, 2009

Erläuterungen.

Das Thema meines Aufsatzes ist die Symmetrie von Kristallen. Der Zweck meines Aufsatzes besteht darin, über die Symmetrie von Kristallen zu sprechen. Die Ziele meiner Arbeit bestehen darin, die Elemente der Symmetrie zu untersuchen, über die Bedeutung der Symmetrie bei der Untersuchung der Eigenschaften von Kristallen zu sprechen und die erhaltenen Daten zu verallgemeinern. Das Thema meiner Forschung sind Kristalle. Bei der Recherche habe ich auf vielfältige Literatur zurückgegriffen. Eine der Hauptquellen war M.P. Shaskolskayas Buch „Crystallography“, das viele Artikel über die Struktur von Kristallen und die Symmetrie selbst enthielt. Ich habe auch das Buch „Kristallographie“ von G.M. Popov und I.I. Shafranovsky verwendet, in dem ich viele interessante Informationen gefunden habe. Für mehr Detaillierte Analyse und der Geschichte über die Symmetrie von Kristallen habe ich andere Literatur, Zeitschriften und Enzyklopädien verwendet.

Thesen.

Das ins Russische übersetzte griechische Wort „Symmetrie“ bedeutet „Verhältnismäßigkeit“. Im Allgemeinen kann Symmetrie als die Fähigkeit einer Figur definiert werden, ihre Teile auf natürliche Weise zu wiederholen.

Als gleich gelten in der Kristallographie nicht nur kompatible gleiche Figuren, sondern auch Figuren, die sich wie ein Objekt und dessen Spiegelbild aufeinander beziehen.

Alle Kristalle bestehen aus Materialpartikeln, die geometrisch korrekt im Raum angeordnet sind. Die geordnete Verteilung von Atomen, Ionen und Molekülen unterscheidet den kristallinen Zustand vom nichtkristallinen Zustand, in dem der Grad der Ordnung völlig vernachlässigbar ist.

Kristalle sind alle Festkörper, in denen Teilchen (Atome, Ionen, Moleküle) regelmäßig in Form von Knotenpunkten räumlicher Gitter angeordnet sind.

In einer modernen Beschreibung eines Minerals werden notwendigerweise die Parameter seiner Elementarzelle angegeben – der kleinsten Gruppe von Atomen, deren parallele Bewegung die gesamte Struktur einer bestimmten Substanz aufbauen kann.

Anisotropie und Symmetrie sind aufgrund der Regelmäßigkeit und Symmetrie ihrer inneren Struktur charakteristische Merkmale von Kristallen.

Symmetrieelemente sind geometrische Hilfsbilder (Punkte, Geraden, Ebenen), mit deren Hilfe die Symmetrie von Figuren sichtbar gemacht wird.

Das Umkehrzentrum ist ein besonderer Punkt innerhalb einer Figur, der dadurch gekennzeichnet ist, dass jede durch ihn gezogene Gerade auf beiden Seiten der Figur in gleichen Abständen auf identische (entsprechende) Punkte der Figur trifft. Einen solchen Punkt in der Geometrie nennt man Symmetriezentrum.

Eine Symmetrieebene ist eine Ebene, die eine Figur in zwei spiegelgleiche gleiche Teile teilt, die als Objekt und dessen Spiegelbild relativ zueinander angeordnet sind.

Die Symmetrieachse ist eine gerade Linie, um die sich gleiche Teile der Figur mehrmals wiederholen.

Eine Inversionsachse ist eine solche Gerade, bei deren Drehung um einen bestimmten Winkel mit anschließender (oder vorläufiger) Spiegelung am Mittelpunkt der Figur, wie im Umkehrzentrum, die Figur mit sich selbst vereint wird.

Alle Kristalle sind in sieben Kristalle unterteilt (von griechisch „syn“ – zusammen, „gonia“ – Winkel): triklin, monoklin, rhombisch, trigonal, tetragonal, hexagonal und kubisch. In der Kristallographie ist ein System eine Gruppe von Symmetrietypen, die ein oder mehrere ähnliche Symmetrieelemente mit der gleichen Anzahl an Einheitsrichtungen aufweisen.

Dieselben Stoffe können unter unterschiedlichen Bedingungen völlig unterschiedliche Kristallstrukturen und damit unterschiedliche Mineralien bilden. Ein markantes Beispiel ist Kohlenstoff: Hat er ein hexagonales System, entsteht Graphit, hat er ein kubisches System, entsteht Diamant.

Die Art und Weise, wie ein Kristall von innen strukturiert ist, beeinflusst zwangsläufig sein Aussehen und seine Form. Die Form eines Kristalls lässt uns erahnen, in welcher Reihenfolge die Teilchen in seiner Struktur verbunden sind.

Darüber hinaus hängen alle physikalischen Eigenschaften eng mit der Symmetrie zusammen. Es bestimmt, welche physikalischen Eigenschaften ein bestimmter Kristall haben kann oder nicht. Sie bestimmt die Anzahl unabhängiger Größen, die zur vollständigen Charakterisierung einer bestimmten physikalischen Eigenschaft erforderlich sind, sowie die Richtungen ihrer Messungen im Verhältnis zu den Symmetrieelementen, d. h. bestimmt die Art der Anisotropie der physikalischen Eigenschaften.

Symmetrie durchdringt die gesamte Kristallphysik und dient als spezifische Methode zur Untersuchung der physikalischen Eigenschaften von Kristallen.

Daher besteht die Hauptmethode der Kristallographie darin, die Symmetrie von Phänomenen, Eigenschaften, Struktur und äußerer Form von Kristallen festzustellen.

Anwendung.

Die gesamte Vielfalt der Kristalle lässt sich auf die folgenden sieben kristallographischen Hauptsysteme bzw. Systeme zurückführen.

Singapur- Ähnlichkeit (Ähnlichkeit der Winkel).

Erstes System: - Kubisch

Die Knoten des Kristallgitters bilden einen Würfel, dessen Gitterparameter gleich sind a=b=c und Winkel a=b=g=90⁰

Abbildung 14. Kubische Zelle.

In diesem Gitter kristallisieren alle Kristalle der n-ten Leiter (Si, Ge, GaAs, Cu) und Alkalihalogenidkristalle (LiF, NaCl, KCl).

Kristalle mit kubischem Gitter gehören zur höchsten Symmetriekategorie. In diesen Kristallen ist die Anisotropie der Eigenschaften in verschiedenen Richtungen schwach ausgeprägt. Viele physikalische Eigenschaften dieser Kristalle sind isotrop: Wärmeleitfähigkeit, elektrische Leitfähigkeit,

Der Brechungsindex ist in allen Richtungen gleich.

Die äußere Form dieser Kristalle ist normalerweise isometrisch, d. h. entwickelte sich in alle Richtungen ungefähr gleich. Die Kristalle haben die Form eines Würfels (6 Flächen) oder eines Oktaeders (8 Flächen). Bei diesen Kristallen ist die Anisotropie von Eigenschaften wie Elastizität und elektrooptischer Effekt viel weniger ausgeprägt als bei Kristallen anderer Kategorien.

Kristallographische Kategorien, Systeme und Koordinatensysteme.

Symmetrieebenen, Symmetrieachsen und Symmetriezentren bilden sich in Kristallen in unterschiedlichen Kombinationen aus. Zum Beispiel: Kristalle mit kubischem Gitter (Halbleiter und Alkalihalogenidkristalle) haben den gleichen Satz von Symmetrieelementen: Symmetrieebenen m (P) - 9, 3 Achsen vierter Ordnung 4(L 4), 4 Achsen dritter Ordnung 3( L 3), 6 Achsen zweiter Ordnung 2 (L 2) und ein Symmetriezentrum (C), keine einzelnen Richtungen.

Kategorien der Symmetrie: Es gibt drei davon: die höchste, die mittlere und die niedrigste. Diese Einteilung in Kategorien erfolgt entsprechend der Symmetrie und Anzahl der Einheitsrichtungen des Kristalls. Die Symmetrie eines Würfels oder Oktaeders ist charakteristisch für Kristalle der höchsten Kategorie. (Siehe kubisches Gitter)

Tetragonal – Hauptsymmetrieachse 4 oder ; a=b≠c, a=b=g=90°

Die Form der Elementarzelle ist ein Prisma mit quadratischer Grundfläche.

Abbildung 15. Tetragonale Zelle.

Das tetragonale System umfasst KDP- und ADP-Kristalle (künstlich)

(Kaliumdihydrogenphosphat und Ammoniumdihydrogenphosphat), Selait MgF 2.

Trigonal – Hauptsymmetrieachse 3 oder ; a=b≠c, a=b=90°, g=120°

Abbildung 16. Trigonale Zelle.

Die Form der Elementarzelle ist ein Prisma mit einer rhombischen Basis und einem Winkel von 120°

Das trigonale System umfasst Kristalle aus CalcitCaCO 3 (natürlich und künstlich), Quarz (a-SiO 2), Niobat und Lithiumtantalat (LiNbO 3 und LiTaO 3).

Sechseckig - Hauptsymmetrieachse 6 oder

a=b≠c, a=b=90°, g=120°

Abbildung 17. Sechseckige Zelle.

Die Form der Elementarzelle ist ein Prisma mit einer rhombischen Grundfläche und einem Winkel von 120°. Drei solcher Prismen bilden ein sechseckiges Prisma und keine primitive sechseckige Zelle mehr. Das hexagonale System umfasst Quarzkristalle (b-Quarz).

Rhombisch– drei Achsen 2 und drei Ebenen m der Symmetrie a≠b≠c, a=b=g=90°

Abbildung 18. Rhombische Zelle.

Kristalliner Schwefel gehört zum orthorhombischen System.

Monoklin– Achse 2 oder Symmetrieebene m, a≠b≠c, a=b=g=90°

In der Struktur von Kristallen kommen zu den in der Punktsymmetriegruppe enthaltenen endlichen Symmetrietransformationen unendliche symmetrische Transformationen hinzu.

Grundlegende unendliche Transformation - übertragen, diese. eine sich unendlich wiederholende Übertragung entlang einer geraden Linie um dieselbe bestimmte Entfernung, die als Übersetzungsperiode bezeichnet wird. Die Kombination von Übersetzungen mit jedem der Symmetrieelemente erzeugt neue Symmetrieelemente, die sich im Raum endlos wiederholen. Somit beträgt die Menge der gemeinsam wirkenden Symmetrieebenen eine Parallelverschiebung um einen Betrag, der der halben Translationsperiode entlang der Ebene entspricht Ebene der gleitenden Reflexion. Eine symmetrische Transformation durch eine gleitende Reflexionsebene kann beschrieben werden, indem man angibt, wie sich die Koordinaten eines beliebigen Punktes X, Y, Z ändern. Die Kombination der Symmetrieachse und der Translation entlang dieser Achse ergibt zusammen die spiralförmige Symmetrieachse. Spiralachsen im kristallinen Raum können nur die Ordnungen 2,3,4 und 6 haben. Es gibt linke und rechte Spiralachsen.

Jede Struktur ist durch ihren Satz elementarer Übersetzungen oder gekennzeichnet Rundfunkgruppe, was bestimmt räumliches Gitter.

Je nach Größenverhältnis und gegenseitiger Orientierung der drei Haupttranslationen a, b, c erhält man Gitter, die sich in ihrer Symmetrie voneinander unterscheiden. Symmetrie begrenzt die Anzahl möglicher Gitter. Alle Kristallstrukturen werden durch 14 Translationsgruppen beschrieben, die 14 Bravais-Gittern entsprechen. Bravais-Gitter heißt ein unendliches Punktsystem, das durch die translatorische Wiederholung eines Punktes entsteht.

Die 14 Bravais-Gitter unterscheiden sich in der Form der Elementarzellen und in der Symmetrie voneinander und sind in 6 Systeme unterteilt (siehe Tabelle).

Elementarzellen in Bravais-Gittern werden so gewählt, dass 1) ihre Symmetrie der Symmetrie des gesamten Gitters entspricht (genauer gesagt, sie muss mit der Symmetrie der holoedrischen Klasse des Systems übereinstimmen, zu dem der Kristall gehört), 2) die Anzahl der rechte Winkel und gleiche Seiten sind maximal und 3) Volumenzellen sind minimal.

In der Struktur eines Kristalls können Wrawe-Gitter ineinander eingefügt werden, und an den Stellen verschiedener Gitter können sich sowohl identische als auch unterschiedliche Atome befinden, sowohl sphärisch symmetrisch als auch mit echter kristallographischer Symmetrie. Alle Arten von Strukturen werden durch 230 Raumsymmetriegruppen beschrieben, die aus Kombinationen von Symmetrieelementen unendlicher Strukturen gebildet werden. (Raumgruppe Symmetrie ist die Kombination aller möglichen Symmetrieumwandlungen der Kristallstruktur.

Die Multiplikation von Symmetrieelementen von Strukturen gehorcht den Sätzen 1-6. Darüber hinaus entstehen durch die Hinzufügung endloser Wiederholungen neue Kombinationen.

Satz 7. Die aufeinanderfolgende Spiegelung in zwei parallelen Symmetrieebenen entspricht einer Übersetzung auf den Parameter t=2a, wobei a der Abstand zwischen den Ebenen ist.

Satz 7a. Jede Translation t kann durch Reflexion in zwei parallelen Ebenen ersetzt werden, die durch einen Abstand T/ 2 voneinander getrennt sind .

Satz 8. Die Symmetrieebene und die dazu senkrechte Verschiebung mit dem Parameter t erzeugen neue „eingefügte“ Symmetrieebenen parallel zur erzeugenden Ebene, die ihr in ihrem Typ ähnlich und von ihr beabstandet sind.

Satz 9. Symmetrie- und Translationsebene t, die mit der Ebene einen Winkel bildet , eine gleitende Reflexionsebene erzeugen, die parallel zur erzeugenden Ebene verläuft und von dieser in Translationsrichtung um den Betrag beabstandet ist ( T/2), Sünde Der Schlupfbetrag entlang der erzeugten Ebene ist gleich t*cos

Satz 10. Symmetrieachse mit Drehwinkel und die dazu senkrechte Translation T erzeugt dieselbe Symmetrieachse, parallel zur gegebenen, im Abstand (t/2) sin( ) und liegt auf einer Linie senkrecht zur Translation in der Mitte.

Satz 11.und die Translation t und die Translation t senkrecht dazu erzeugen eine Schraubenachse mit dem gleichen Winkel und der gleichen Translation, parallel zur gegebenen Achse, von ihr um (t/2) beabstandet. Sünde(/2) und liegt auf einer Geraden senkrecht zur Translation t in seiner Mitte.

Satz 12. Symmetrieachse mit Drehwinkel und Übersetzung macht einen Winkel damit , erzeugen eine helikale Symmetrieachse.

Satz 13. Spiralförmige Symmetrieachse mit Drehwinkel und Translation t 1 und Translation t, wodurch ein Winkel mit der Achse entsteht erzeugt eine helikale Symmetrieachse mit gleichem Drehwinkel.

Satz 14. Inversionsdrehachse mit Drehwinkel und eine Translation senkrecht dazu erzeugen dieselbe Inversions-Rotationsachse parallel zur erzeugenden Achse.

Satz 15. Inversion – Drehachse mit Drehwinkel und ausgestrahlt , Winkel mit dieser Achse , erzeugen Sie eine Inversionsachse mit derselben Drehung parallel zu diesem.

AUFGABEN

1. Schreiben Sie eine Matrixdarstellung aller in der Punktgruppe mmm enthaltenen Symmetrieoperationen auf.

2. Finden Sie die Matrixdarstellung und Reihenfolge der Symmetriegruppe der Tieftemperaturmodifikation von Quarz.

3. Der Satz von Euler ist bekannt: Die Resultierende zweier sich schneidender Symmetrieachsen ist die dritte Symmetrieachse, die durch den Schnittpunkt der ersten beiden verläuft. Veranschaulichen Sie anhand der Matrixdarstellung von Symmetrieelementen den Satz von Euler am Beispiel der Klasse 4 2 2.

4. Der Kristall wird um 90° gedreht, gefolgt von einer Reflexion am Inversionszentrum und dann um 180° um eine Richtung senkrecht zur Achse der ersten Drehung. Finden Sie eine Matrixdarstellung der Symmetrieoperation, die zum gleichen Ergebnis führt.

5. Der Kristall wird um 120° gedreht und dann am Inversionszentrum reflektiert. Finden Sie eine Matrixdarstellung der Symmetrieoperation, die zum gleichen Ergebnis führt. Zu welcher Symmetrieelementgruppe gehört diese Operation?

Alle Informationen über Kristalle, die zur Lösung von Problemen erforderlich sind, finden Sie hier sehen in Tabellen am Ende der Beschreibung.

6. Finden Sie mithilfe der Matrixdarstellung der Symmetrieelemente eine Symmetrieoperation, deren Wirkung das gleiche Ergebnis liefern würde wie die Wirkung zweier Achsen zweiter Ordnung, die sich in einem Winkel von 90° schneiden.

7. Finden Sie eine Matrixdarstellung der Symmetrieoperation, deren Wirkung das gleiche Ergebnis liefert wie die Wirkung von Achsen zweiter Ordnung, die in einem Winkel von 60° zueinander angeordnet sind. Zu welcher Symmetrieelementgruppe gehört diese Operation?

8. Finden Sie die Matrixdarstellung und Reihenfolge der Punktsymmetriegruppe von Kaliumdihydrogenphosphat (KDP) für die Standard- und Nichtstandardauswahl (4 m2) der kristallphysikalischen Koordinatenachsen.

9. Finden Sie die Matrixdarstellung der Punktsymmetriegruppe 6 2 2.

10. Finden Sie die Matrixdarstellung und -reihenfolge von Gruppe 6.

11. Überprüfen Sie anhand der Matrixdarstellung von Symmetrieoperationen die Gültigkeit des EULER-Theorems am Beispiel der Punktgruppe 2 2 2,

12. Überprüfen Sie die Gültigkeit des Satzes von Euler am Beispiel von Achsen zweiter Ordnung, die in einem Winkel von 45° zueinander stehen.

13. Wie ist die Reihenfolge der folgenden Symmetriegruppen: m t, 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Notieren Sie das Generatorsystem für Gruppe 4/mmm.

15. Prüfen Sie am Beispiel der Punktsymmetriegruppe 2/m, ob alle Gruppenaxiome erfüllt sind.

16. Überprüfen Sie anhand der Matrixdarstellung von Symmetrieoperationen die Gültigkeit des Satzes: Die Kombination einer Achse gerader Ordnung und einer dazu senkrechten Ebene ergibt das Symmetriezentrum.

17. Beweisen Sie, dass es im Kristallgitter keine Symmetrieachse fünfter Ordnung gibt.

18. Wie viele Atome gibt es in einer Elementarzelle bei a) einfachen, b) körperzentrierten und c) flächenzentrierten kubischen Gittern?

19. Wie viele Atome gibt es in der Elementarzelle eines hexagonal dicht gepackten Gitters?

20. Bestimmen Sie die Segmente, die auf den Gitterachsen durch die Ebene (125) abgeschnitten werden.

21. Finden Sie die Indizes der Ebenen, die durch die Knotenpunkte des Kristallgitters mit den Koordinaten 9 10 30 verlaufen, wenn Gitterparameter a = 3, B=5 und c==6.

22. Gegeben sind die Flächen (320) und (11О). Finden Sie das Symbol der Kanten ihres Schnittpunkts.

23. Gegeben seien zwei Kanten und . Finden Sie das Symbol des Gesichts, in dem sie gleichzeitig liegen.

24. Die Lage der Ebenen im Sechsecksystem wird anhand von vier Indizes bestimmt. Finden Sie den Index i in den Ebenen (100), (010), (110) und (211) des hexagonalen Systems.

25. Die Elementarzelle von Magnesium gehört zum hexagonalen System und hat Parameter a=3,20 und c=5,20. Bestimmen Sie die reziproken Gittervektoren.

26. Drücken Sie die Winkel zwischen den reziproken Gittervektoren durch die Winkel des direkten Gitters aus.

27. Zeigen Sie, dass die Umkehrung eines kubisch raumzentrierten Gitters kubisch flächenzentriert sein wird.

28. Finden Sie die reziproken Gittervektoren für einen Calcitkristall (CaCO 3), wenn A=6,36 , =46°6".

29. Beweisen Sie, dass der Abstand zwischen den Ebenen (hkl) Kristallgitter ist gleich dem Kehrwert der Länge des Vektors r*hkl vom Ursprung bis zum Punkt hkl des reziproken Gitters.

30. Im triklinen Gitter von Kyanit (Al 2 O 3, SiO 2) Parameter a, b, c und Winkel , , Elementarzelle sind jeweils gleich 7,09; 7,72; 5.56 Und; 90°55 ; 101°2; 105°44. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Ebenen (102).

31. Wie groß sind die Abstände zwischen den Ebenen (100), (110) und (111) in einem kubischen Gitter mit dem Parameter A

32. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen (201) und (310) in rhombischem Schwefel mit Gitterparametern a=10,437 ,B=12,845 Und, MIT. =24,369

33. Berechnen Sie den Winkel zwischen den (111)- und (102)-Ebenen eines tetragonalen Galliumkristalls mit Gitterparametern a=4,50 ,c= 7,64 8.

34. Finden Sie den Winkel, den die (100)- und (010)-Flächen des kubischen Kristalls bilden.

35. Beweisen Sie, dass in einem kubischen Kristall jede Richtung senkrecht zur Ebene verläuft (hkl) mit den gleichen Werten der Miller-Indizes.

36. Bestimmen Sie den Winkel zwischen der durchgezogenen Diagonale und der Kante des Würfels.

37. Bestimmen Sie den Winkel zwischen zwei Richtungen und in einem Kristall aus Triglycinsulfat ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) mit Elementarzellenparametern a = 9,42 ,B=12,64,c=5,73 und Monoklinitätswinkel =PO°23 .

38. Berechnen Sie den Winkel zwischen zwei Geraden und in einem rhombischen Gitter aus Kupfersulfat mit Gitterparametern A =4,88 ,b=6,66 Und. C =8,32 .

A. I. Syomke,
, Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 11, Bezirk Jeisk, Region Krasnodar.

Kristallsymmetrie

Lernziele: Lehrreich– Kenntnis der Symmetrie von Kristallen; Festigung der Kenntnisse und Fähigkeiten zum Thema „Eigenschaften von Kristallen“ Lehrreich– Bildung weltanschaulicher Konzepte (Ursache-Wirkungs-Beziehungen in der umgebenden Welt, Erkenntnis der umgebenden Welt und der Menschheit); moralische Erziehung (Förderung der Liebe zur Natur, des Sinns für kameradschaftliche gegenseitige Hilfe, Ethik der Gruppenarbeit) Entwicklung– Entwicklung des unabhängigen Denkens, Lesen und Schreiben mündliche Rede, Fähigkeiten der Forschung, des Experimentierens, der Suche und der praktischen Arbeit.

Symmetrie... ist die Idee durch
was der Mensch seit Jahrhunderten versucht hat
Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen.
Hermann Weil

Physikalisches Wörterbuch

• Kristall – aus dem Griechischen. κρύσταλλος – wörtlich Eis, Bergkristall.
• Die Symmetrie von Kristallen ist eine Gesetzmäßigkeit der atomaren Struktur, der äußeren Form und der physikalischen Eigenschaften von Kristallen, die darin besteht, dass ein Kristall durch Rotationen, Spiegelungen, parallele Übertragungen (Translationen) und andere Symmetrietransformationen mit sich selbst verbunden werden kann Kombinationen dieser Transformationen.

Einführungsphase

Kristallsymmetrie ist das allgemeinste Muster, das mit der Struktur und den Eigenschaften einer kristallinen Substanz verbunden ist. Es ist eines der verallgemeinernden Grundkonzepte der Physik und der Naturwissenschaften im Allgemeinen. Nach der Symmetriedefinition von E.S. Fedorov: „Symmetrie ist die Eigenschaft geometrischer Figuren, ihre Teile zu wiederholen, oder genauer gesagt, ihre Eigenschaft, in verschiedenen Positionen mit der ursprünglichen Position in Einklang zu kommen.“ Ein symmetrisches Objekt ist also ein Objekt, das durch bestimmte Transformationen mit sich selbst kombiniert werden kann: Drehungen um Symmetrieachsen oder Spiegelungen in Symmetrieebenen. Solche Transformationen werden üblicherweise aufgerufen symmetrische Operationen. Nach einer Symmetrietransformation sind Teile eines Objekts, die sich an einem Ort befanden, dieselben wie Teile, die sich an einem anderen Ort befanden, was bedeutet, dass ein symmetrisches Objekt gleiche Teile hat (kompatibel und gespiegelt). Die innere Atomstruktur von Kristallen ist dreidimensional periodisch, d. h. sie wird als Kristallgitter beschrieben. Die Symmetrie der äußeren Form (Schliff) eines Kristalls wird durch die Symmetrie seiner inneren Atomstruktur bestimmt, die auch die Symmetrie der physikalischen Eigenschaften des Kristalls bestimmt.

Forschung 1. Beschreibung der Kristalle

Das Kristallgitter kann haben verschiedene Arten Symmetrie. Die Symmetrie eines Kristallgitters bezieht sich auf die Eigenschaften des Gitters, bei bestimmten räumlichen Verschiebungen mit sich selbst zusammenzufallen. Wenn das Gitter mit sich selbst zusammenfällt, wenn eine Achse um einen Winkel von 2π/ gedreht wird N, dann heißt diese Achse Symmetrieachse N-te Ordnung.

Außer der trivialen Achse 1. Ordnung sind nur Achsen 2., 3., 4. und 6. Ordnung möglich.

Zur Beschreibung von Kristallen verwenden verschiedene Gruppen Symmetrien, von denen die wichtigsten sind Raumsymmetriegruppen, Beschreibung der Struktur von Kristallen auf atomarer Ebene und Punktsymmetriegruppen, Beschreibung ihrer äußeren Form. Letztere werden auch genannt Kristallographische Klassen. Die Bezeichnungen der Punktgruppen enthalten Symbole der ihnen innewohnenden Hauptsymmetrieelemente. Diese Gruppen werden entsprechend der Symmetrie der Form der Elementarzelle des Kristalls in sieben kristallographische Systeme zusammengefasst – triklin, monoklin, rhombisch, tetragonal, trigonal, hexagonal und kubisch. Die Zugehörigkeit eines Kristalls zu der einen oder anderen Symmetriegruppe und einem anderen System wird durch Winkelmessung oder Röntgenbeugungsanalyse bestimmt.

In der Reihenfolge zunehmender Symmetrie sind kristallographische Systeme wie folgt angeordnet (die Bezeichnungen der Achsen und Winkel sind aus der Abbildung ersichtlich):

Triklinisches System. Charakteristische Eigenschaft: a ≠ b ≠ c;α ≠ β ≠ γ. Die Elementarzelle hat die Form eines schrägen Parallelepipeds.

Monoklines System. Charakteristische Eigenschaft: Zwei Winkel sind rechts, der dritte unterscheidet sich von rechts. Somit, a ≠ b ≠ c; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Parallelepipeds mit einem Rechteck an der Basis.

Rhombisches System. Alle Winkel sind rechte Winkel, alle Kanten sind unterschiedlich: a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines rechteckigen Parallelepipeds.

Tetragonales System. Alle Winkel sind rechte Winkel, zwei Kanten sind gleich: a = b ≠ c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche.

Rhomboedrisches (trigonales) System. Alle Kanten sind gleich, alle Winkel sind gleich und unterscheiden sich von rechten Winkeln: a = b = c; α = β = γ ≠ 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Würfels, der durch Druck oder Zug entlang der Diagonale verformt wird.

Sechseckiges System. Die Kanten und Winkel zwischen ihnen erfüllen die folgenden Bedingungen: a = b ≠ c; α = β = 90°; γ = 120°. Wenn man drei Elementarzellen zusammenfügt, erhält man ein regelmäßiges sechseckiges Prisma. Mehr als 30 Elemente haben eine hexagonale Packung (C in der allotropen Modifikation von Graphit, Be, Cd, Ti usw.).

Kubisches System. Alle Kanten sind gleich, alle Winkel sind richtig: a = b = c; α = β = γ = 90°. Die Elementarzelle hat die Form eines Würfels. Im kubischen System gibt es drei Arten von sogenannten Bravais-Gitter: primitiv ( A), körperzentriert ( B) und flächenzentriert ( V).

Ein Beispiel für ein kubisches System sind Kristalle aus Speisesalz (NaCl, G). Größere Chlorionen (helle Kugeln) bilden eine dichte kubische Packung, in deren freien Knoten (an den Ecken eines regelmäßigen Oktaeders) Natriumionen (schwarze Kugeln) liegen.

Ein weiteres Beispiel für ein kubisches System ist das Diamantgitter ( D). Es besteht aus zwei kubisch flächenzentrierten Bravais-Gittern, die um ein Viertel der Länge der Raumdiagonale des Würfels verschoben sind. Ein solches Gitter besitzen beispielsweise die chemischen Elemente Silizium, Germanium sowie die allotrope Modifikation Zinn – Grauzinn.

Experimentelle Arbeit „Beobachtung kristalline Körper»

Ausrüstung: Lupe oder Kurzbrennweitenlinse in einem Rahmen, eine Reihe kristalliner Körper.

Ausführungsauftrag

1. Untersuchen Sie die Kristalle des Speisesalzes mit einer Lupe. Bitte beachten Sie, dass sie alle wie Würfel geformt sind. Ein Einkristall wird genannt Einkristall(hat ein makroskopisch geordnetes Kristallgitter). Die Haupteigenschaft kristalliner Körper ist die Abhängigkeit der physikalischen Eigenschaften des Kristalls von der Richtung – Anisotropie.
2. Untersuchen Sie die Kupfersulfatkristalle und achten Sie auf das Vorhandensein flacher Kanten an den einzelnen Kristallen. Die Winkel zwischen den Kanten betragen nicht 90°.
3. Betrachten Sie Glimmerkristalle in Form dünner Platten. Das Ende einer der Glimmerplatten ist in viele dünne Blätter gespalten. Es ist schwierig, eine Glimmerplatte zu zerreißen, aber es ist leicht, sie entlang von Ebenen in dünnere Schichten zu spalten ( Festigkeitsanisotropie).
4. Betrachten Sie polykristalline Feststoffe (Bruch eines Stücks Eisen, Gusseisen oder Zink). Bitte beachten Sie: An der Bruchstelle können Sie kleine Kristalle erkennen, aus denen das Metallstück besteht. Die meisten in der Natur vorkommenden und durch Technologie hergestellten Feststoffe sind eine Ansammlung kleiner Kristalle, die in zufälliger Ausrichtung miteinander verschmolzen sind. Im Gegensatz zu Einkristallen sind Polykristalle isotrop, das heißt, ihre Eigenschaften sind in allen Richtungen gleich.

Forschungsarbeit 2. Symmetrie von Kristallen (Kristallgitter)

Kristalle können die Form verschiedener Prismen annehmen, deren Basis ein regelmäßiges Dreieck, Quadrat, Parallelogramm und Sechseck ist. Die Klassifizierung von Kristallen und die Erklärung ihrer physikalischen Eigenschaften kann nicht nur auf der Form der Elementarzelle basieren, sondern auch auf anderen Arten von Symmetrie, beispielsweise der Rotation um eine Achse. Die Symmetrieachse ist eine um 360° gedrehte Gerade, um die sich der Kristall (sein Gitter) mehrfach mit sich selbst ausrichtet. Die Anzahl dieser Kombinationen wird aufgerufen Ordnung der Symmetrieachse. Es gibt Kristallgitter mit Symmetrieachsen 2., 3., 4. und 6. Ordnung. Mögliche Symmetrie des Kristallgitters relativ zur Symmetrieebene sowie Kombinationen verschiedene Typen Symmetrie.

Der russische Wissenschaftler E.S. Fedorov stellte fest, dass 230 verschiedene Raumgruppen alle möglichen in der Natur vorkommenden Kristallstrukturen abdecken. Evgraf Stepanovich Fedorov (22. Dezember 1853 – 21. Mai 1919) – russischer Kristallograph, Mineraloge, Mathematiker. Der größte Erfolg von E.S. Fedorov – eine rigorose Ableitung aller möglichen Raumgruppen im Jahr 1890. Damit beschrieb Fedorov die Symmetrien der gesamten Vielfalt der Kristallstrukturen. Gleichzeitig löste er tatsächlich das seit der Antike bekannte Problem möglicher symmetrischer Figuren. Darüber hinaus schuf Evgraf Stepanovich ein universelles Gerät für kristallographische Messungen – den Tisch von Fedorov.

Experimentelle Arbeit „Demonstration von Kristallgittern“

Ausrüstung: Modelle von Kristallgittern aus Natriumchlorid, Graphit, Diamant.

Ausführungsauftrag

1. Bauen Sie ein Modell eines Natriumchloridkristalls zusammen ( eine Zeichnung liegt bei). Bitte beachten Sie, dass Kugeln einer Farbe Natriumionen imitieren und die andere – Chlorionen. Jedes Ion in einem Kristall erfährt in der Nähe eines Knotenpunkts des Kristallgitters eine thermische Schwingungsbewegung. Verbindet man diese Knotenpunkte mit geraden Linien, entsteht ein Kristallgitter. Jedes Natriumion ist von sechs Chlorionen umgeben und umgekehrt ist jedes Chlorion von sechs Natriumionen umgeben.
2. Wählen Sie eine Richtung entlang einer der Gitterkanten. Bitte beachten Sie: Weiße und schwarze Kugeln – Natrium- und Chlorionen – wechseln sich ab.
3. Wählen Sie die Richtung entlang der zweiten Kante: Weiße und schwarze Kugeln – Natrium- und Chlorionen – wechseln sich ab.
4. Wählen Sie die Richtung entlang der dritten Kante: Weiße und schwarze Kugeln – Natrium- und Chlorionen – wechseln sich ab.
5. Zeichnen Sie im Geiste eine gerade Linie entlang der Diagonale des Würfels – darauf befinden sich nur weiße oder nur schwarze Kugeln, also Ionen eines Elements. Diese Beobachtung kann als Grundlage für die Erklärung des für kristalline Körper charakteristischen Phänomens der Anisotropie dienen.
6. Die Größen der Ionen im Gitter sind nicht gleich: Der Radius des Natriumions ist etwa doppelt so groß wie der Radius des Chlorions. Dadurch werden die Ionen im Kochsalzkristall so angeordnet, dass die Gitterlage stabil ist, also ein Minimum an potentieller Energie vorhanden ist.
7. Bauen Sie ein Modell des Kristallgitters aus Diamant und Graphit zusammen. Die unterschiedliche Packung der Kohlenstoffatome in den Gittern von Graphit und Diamant führt zu erheblichen Unterschieden in ihren physikalischen Eigenschaften. Solche Stoffe nennt man allotrop.
8. Ziehen Sie aus den Beobachtungsergebnissen eine Schlussfolgerung und skizzieren Sie die Kristallarten.

1. Almandin. 2. Islandholm. 3. Apatit. 4. Eis. 5. Speisesalz. 6. Staurolith (doppelt). 7. Calcit (doppelt). 8. Gold.

Forschungsarbeit 3. Gewinnung von Kristallen

Kristalle aus einer Reihe von Elementen und vielen Chemikalien verfügen über bemerkenswerte mechanische, elektrische, magnetische, Optische Eigenschaften. Die Entwicklung von Wissenschaft und Technologie hat dazu geführt, dass viele in der Natur selten vorkommende Kristalle für die Herstellung von Teilen für Geräte, Maschinen und für die wissenschaftliche Forschung sehr notwendig geworden sind. Es stellte sich die Aufgabe, eine Technologie zur Herstellung von Einkristallen aus vielen Elementen und chemischen Verbindungen zu entwickeln. Wie Sie wissen, ist Diamant ein Kohlenstoffkristall, Rubin und Saphir sind Aluminiumoxidkristalle mit verschiedenen Verunreinigungen.

Die gebräuchlichsten Methoden zur Züchtung von Einkristallen sind die Schmelzkristallisation und die Lösungskristallisation. Kristalle aus einer Lösung werden durch langsames Verdampfen eines Lösungsmittels aus einer gesättigten Lösung oder durch langsames Absenken der Temperatur der Lösung gezüchtet.

Experimentelle Arbeit „Kristalle züchten“

Ausrüstung: gesättigte Lösungen von Kochsalz, Ammoniumchlorid, Hydrochinon, Ammoniumchlorid, ein Glasobjektträger, ein Glasstab, eine Lupe oder eine gerahmte Linse.

Ausführungsauftrag

1. Nehmen Sie mit einem Glasstab einen kleinen Tropfen einer gesättigten Kochsalzlösung und geben Sie ihn auf einen vorgewärmten Glasobjektträger ( Lösungen werden im Voraus vorbereitet und in kleinen, mit Stopfen verschlossenen Kolben oder Reagenzgläsern aufbewahrt).
2. Wasser aus warmem Glas verdunstet relativ schnell und Kristalle beginnen aus der Lösung zu fallen. Nehmen Sie eine Lupe und beobachten Sie den Kristallisationsprozess.
3. Das effektivste Experiment ist mit Ammoniumdichromat. An den Rändern und dann über die gesamte Oberfläche des Tropfens erscheinen goldorange Zweige mit dünnen Nadeln, die ein bizarres Muster bilden.
4. Man kann deutlich die ungleichen Geschwindigkeiten des Kristallwachstums in verschiedenen Richtungen – Wachstumsanisotropie – in Hydrochinon erkennen.
5. Ziehen Sie aus den Beobachtungsergebnissen eine Schlussfolgerung und skizzieren Sie die Arten der erhaltenen Kristalle.

Forschungsarbeit 4. Anwendungen von Kristallen

Kristalle haben die bemerkenswerte Eigenschaft der Anisotropie (mechanisch, elektrisch, optisch usw.). Der Einsatz von Kristallen ist aus der modernen Produktion nicht mehr wegzudenken.

Kristall		Anwendungsbeispiel
	Exploration und Bergbau	Bohrwerkzeuge
	Schmuckindustrie	Dekorationen
	Instrumentierung	Marinechronometer – hochpräzise Geräte
	Fertigungsindustrie	Diamantlager
	Instrumentierung	Stützsteine ​​beobachten
	Chemische Industrie	Faserziehmatrizen
	Wissenschaftliche Forschung	Rubinlaser
	Schmuckindustrie	Dekorationen
Germanium, Silizium	Elektronik-Industrie	Halbleiterschaltungen und -geräte
Fluorit, Turmalin, Islandspat	Optoelektronik-Industrie	Optische Instrumente
Quarz, Glimmer	Elektronik-Industrie	Elektronische Geräte (Kondensatoren usw.)
Saphir, Amethyst	Schmuckindustrie	Dekorationen
	Fertigungsindustrie	Graphitfett
	Maschinenbau	Graphitfett

Interessante Information

Wer hat Flüssigkristalle entdeckt und wann? Wo werden LCDs eingesetzt?

Ende des 19. Jahrhunderts. Der deutsche Physiker O. Lehmann und der österreichische Botaniker F. Reinitzer machten darauf aufmerksam, dass sich einige amorphe und flüssige Stoffe durch eine sehr geordnete parallele Anordnung länglicher Moleküle auszeichnen. Später wurden sie nach dem Grad der strukturellen Ordnung benannt Flüssigkristalle(LCD). Es gibt smektische Kristalle (mit schichtweiser Anordnung der Moleküle), nematische (mit zufällig parallel verschobenen länglichen Molekülen) und cholesterische Kristalle (in ihrer Struktur den nematischen Kristallen ähnlich, zeichnen sich jedoch durch eine größere Beweglichkeit der Moleküle aus). Es wurde festgestellt, dass unter äußeren Einflüssen beispielsweise geringe Größenordnungen auftreten elektrische Spannung, mit Temperaturänderungen, Spannung Magnetfeld die optische Transparenz des LC-Moleküls ändert sich. Es stellte sich heraus, dass dies auf die Neuorientierung der Molekülachsen in Richtung senkrecht zum Ausgangszustand zurückzuführen ist.

Flüssigkristalle: A) smektisch; B) nematisch; V) cholesterisch.
URL: http://www.superscreen.ru

Funktionsprinzip der LCD-Anzeige:
links – das elektrische Feld ist ausgeschaltet, Licht dringt durch das Glas; rechts – das Feld ist eingeschaltet, das Licht dringt nicht durch, schwarze Symbole sind sichtbar (die URL ist dieselbe)

In den Nachkriegsjahren kam es zu einer weiteren Welle wissenschaftlichen Interesses an Flüssigkristallen. Unter den kristallographischen Forschern sagte unser Landsmann I.G. Tschistjakow. Ende der 60er Jahre. Amerikanisches Unternehmen des letzten Jahrhunderts RCA begann mit der ersten ernsthaften Forschung zur Verwendung nematischer LCDs zur visuellen Anzeige von Informationen. Allerdings war das japanische Unternehmen allen voraus Scharf, das 1973 ein alphanumerisches Flüssigkristall-Mosaikpanel vorschlug – ein LCD-Display ( LCD – Flüssigkristallanzeige). Hierbei handelte es sich um einfarbige Anzeiger mittlerer Größe, bei denen Polysegment-Elektroden hauptsächlich zur Nummerierung verwendet wurden. Der Beginn der „Indikatorrevolution“ führte dazu, dass Zeigermechanismen (in elektrischen Messgeräten, Armbanduhren, Armbanduhren, Funkgeräten für Haushalt und Industrie) fast vollständig durch Mittel zur visuellen Anzeige von Informationen in digitaler Form ersetzt wurden – genauer, mit einem Fehler -Kostenlose Lektüre.

Flüssigkristallanzeigen verschiedener Art. URL: http://www.permvelikaya.ru; http://www.gio.gov.tw; http://www.radiokot.ru

Dank der Erfolge der Mikroelektronik ersetzten Taschen- und Tischrechner Rechenmaschinen, Abakus und Rechenschieber. Die lawinenartige Senkung der Kosten integrierter Schaltkreise hat sogar zu Phänomenen geführt, die eindeutig im Widerspruch zu technischen Trends stehen. So sind moderne digitale Armbanduhren deutlich günstiger als Frühlingsuhren, die aufgrund der Trägheit des Denkens weiterhin beliebt sind und in die Kategorie „Prestige“ aufsteigen.

Welche Parameter bestimmen die Form von Schneeflocken? Welche Wissenschaft und zu welchen Zwecken untersucht sie Schnee, Eis, Schneeflocken?

Das erste Album mit unter dem Mikroskop angefertigten Skizzen verschiedener Schneeflocken erschien Anfang des 19. Jahrhunderts. in Japan . Es wurde vom Wissenschaftler Doi Chishitsura erstellt. Fast hundert Jahre später erstellte ein anderer japanischer Wissenschaftler, Ukishiro Nakaya, eine Klassifizierung von Schneeflocken. Seine Forschungen bewiesen, dass die verzweigten, sechszackigen Schneeflocken, die wir gewohnt sind, nur bei einer bestimmten Temperatur erscheinen: 14–17 °C. In diesem Fall sollte die Luftfeuchtigkeit sehr hoch sein. In anderen Fällen können Schneeflocken verschiedene Formen annehmen.

Die häufigste Form von Schneeflocken sind Dendriten (aus dem Griechischen δέντρο – Baum). Die Strahlen dieser Kristalle ähneln Baumzweigen.

Die Wissenschaft beschäftigt sich mit der Welt von Schnee und Eis Glaziologie. Es entstand im 17. Jahrhundert. nachdem der Schweizer Naturforscher O. Saussure ein Buch über Alpengletscher veröffentlicht hatte. Die Glaziologie steht an der Schnittstelle vieler anderer Wissenschaften, vor allem der Physik, Geologie und Hydrologie. Um zu wissen, wie man Lawinen und Eis verhindern kann, muss man sich mit Eis und Schnee befassen. Schließlich werden weltweit jährlich Millionen für die Bekämpfung ihrer Folgen ausgegeben. Aber wenn man die Beschaffenheit von Schnee und Eis kennt, kann man viel Geld sparen und viele sparen Menschenleben. Eis kann uns auch etwas über die Geschichte der Erde erzählen. Zum Beispiel in den 70er Jahren. Glaziologen untersuchten die Eisdecke der Antarktis, bohrten Brunnen und untersuchten die Eigenschaften des Eises in verschiedenen Schichten. Dadurch war es möglich, mehr über die vielen Klimaveränderungen zu erfahren, die sich im Laufe von 400.000 Jahren auf unserem Planeten ereignet haben.

Unterhaltsame und ungewöhnliche Aufgaben(Gruppenarbeit)

An den Ufern des Nordkanals, im Nordosten der Insel Irland, erheben sich die niedrigen Antrim Mountains. Sie bestehen aus schwarzen Basalten – Spuren der Aktivität antiker Vulkane, die entlang einer riesigen Verwerfung entstanden, die Irland vor 60 Millionen Jahren von Großbritannien trennte. Ströme schwarzer Lava, die aus diesen Kratern flossen, bildeten die Küstenberge an der irischen Küste und auf den Hebrideninseln jenseits des Nordkanals. Dieser Basalt ist ein erstaunlicher Stein! Flüssig, in geschmolzener Form leicht fließend (Basaltströme strömen manchmal mit Geschwindigkeiten von bis zu 50 km/h an den Hängen von Vulkanen entlang), beim Abkühlen und Aushärten reißt es und bildet regelmäßige sechseckige Prismen. Aus der Ferne ähneln die Basaltfelsen riesigen Orgeln mit Hunderten von schwarzen Pfeifen. Und wenn ein Lavastrom ins Wasser fließt, entstehen manchmal so bizarre Formationen, dass man kaum an ihren magischen Ursprung glauben kann. Dies ist genau das Naturphänomen, das am Fuße von Antrim beobachtet werden kann. Hier trennt sich eine Art „Straße ins Nirgendwo“ vom Vulkanmassiv. Der Damm erhebt sich 6 m über dem Meer und besteht aus etwa 40.000 Basaltsäulen. Es sieht aus wie eine unvollendete Brücke über die Meerenge, die von einem Märchenriesen erdacht wurde, und wird „Damm der Riesen“ genannt.

Aufgabe.Über welche Eigenschaften kristalliner Feststoffe und Flüssigkeiten sprechen wir? Welche Unterschiede kennen Sie zwischen kristallinen Feststoffen und Flüssigkeiten? ( Antwort. Richtig Geometrische Figur ist unter natürlichen Bedingungen ein wesentliches äußeres Merkmal jedes Kristalls.)

Der erste Diamant in Südafrika wurde 1869 von einem Hirtenjungen gefunden. Ein Jahr später wurde hier die Stadt Kimberley gegründet, woraufhin das diamanthaltige Gestein als Kimberlit bekannt wurde. Der Diamantgehalt in Kimberliten ist sehr gering – nicht mehr als 0,000 007 3 %, was 0,2 g (1 Karat) pro 3 Tonnen Kimberlite entspricht. Heutzutage ist eine der Attraktionen von Kimberley eine riesige, 400 m tiefe Grube, die von Diamantengräbern gegraben wurde.

Aufgabe. Wo werden die wertvollen Eigenschaften von Diamanten genutzt?

„So eine Schneeflocke (wir sprechen von einer Schneeflocke. - ALS.), ein sechseckiger, regelmäßiger Stern, fiel auf Nerschins Ärmel eines alten, rostigen Frontmantels.“

K.I. Solschenizyn. Im ersten Kreis.

? Warum haben Schneeflocken die richtige Form? ( Antwort. Die Haupteigenschaft von Kristallen ist Symmetrie.)

„Das Fenster klapperte vor Lärm; Die Fenster flogen klirrend heraus, und ein schreckliches Schweinegesicht ragte hervor, das die Augen bewegte, als würde es fragen: „Was macht ihr hier, gute Leute?“

N.V. Gogol.

? Warum bricht Glas schon bei geringer Belastung? ( Antwort. Glas wird als spröder Körper klassifiziert, der praktisch keine plastische Verformung aufweist, sodass die elastische Verformung sofort zum Bruch führt.)

„Es war kälter als am Morgen; aber es war so still, dass man das Knirschen des Frosts unter den Stiefeln noch eine halbe Meile entfernt hören konnte.“

N.V. Gogol. Abende auf einem Bauernhof in der Nähe von Dikanka.

? Warum quietscht der Schnee bei kaltem Wetter unter den Füßen? ( Antwort. Schneeflocken sind Kristalle, sie werden unter den Füßen zerstört und dadurch entstehen Geräusche.)

Ein Diamant wird von einem Diamanten geschliffen.

? Diamant und Graphit bestehen aus identischen Kohlenstoffatomen. Warum unterscheiden sich die Eigenschaften von Diamant und Graphit? ( Antwort. Diese Stoffe unterscheiden sich in der Kristallstruktur. Diamant hat starke kovalente Bindungen, während Graphit eine Schichtstruktur aufweist.)

? Welche Stoffe kennen Sie, deren Festigkeit dem Diamanten in nichts nachsteht? ( Antwort. Ein solcher Stoff ist Bornitrid. Sehr langlebig kovalente Bindung Bor- und Stickstoffatome verbinden sich im Kristallgitter von Bornitrid. Bornitrid steht Diamant in seiner Härte in nichts nach und übertrifft ihn in Festigkeit und Hitzebeständigkeit.)

Das Ende ist stumpf, der Schneidezahn ist scharf: Er schneidet die Blätter, Stücke fliegen. Was ist das? ( Antwort. Diamant.)

? Welche Eigenschaft unterscheidet Diamant von anderen Substanzen? ( Antwort. Härte.)

Die größten Kristalle wurden in der Nike-Höhle im mexikanischen Bundesstaat Chihuahua entdeckt. Einige von ihnen erreichen eine Länge von 13 m und eine Breite von 1 m.

A.E. Fersman zu Beginn des 20. Jahrhunderts. beschrieb einen Steinbruch im Südural, eingebettet in einen riesigen Feldspatkristall.

Abschluss

Zum Abschluss der Lektion möchte ich ein einzigartiges Beispiel für die Verwendung von Symmetrie geben. Honigbienen müssen zählen und speichern können. Um mit speziellen Drüsen nur 60 g Wachs abzusondern, müssen sie 1 kg Honig aus Nektar und Pollen essen, und für den Bau eines durchschnittlich großen Nests sind etwa 7 kg süße Nahrung erforderlich. Wabenzellen können im Prinzip quadratisch sein, Bienen wählen jedoch eine sechseckige Form: Sie sorgt für die dichteste Packung der Larven, so dass ein Minimum an wertvollem Wachs für den Aufbau der Wände aufgewendet wird. Die Waben sind vertikal, die Zellen darauf befinden sich auf beiden Seiten, d. h. sie haben einen gemeinsamen Boden – eine weitere Ersparnis. Sie sind in einem Winkel von 13° nach oben gerichtet, um ein Austreten von Honig zu verhindern. Solche Waben können mehrere Kilogramm Honig aufnehmen. Das sind die wahren Wunder der Natur.

Literatur

1. Arnold V.I. Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. M.: Editorial URSS, 2003.
2. Weil G. Symmetrie: übersetzt aus dem Englischen. M., 1968.
3. Glaziologisches Wörterbuch / Ed. V.M. Kotljakowa. L.: Gidrometeoizdat, 1984.
4. Kompaneets A.S. Symmetrie im Mikro- und Makrokosmos. M.: Nauka, 1978.
5. Merkulov D. Die Magie der Flüssigkristalle // Wissenschaft und Leben. 2004. Nr. 12.
6. Fedorov E.S. Symmetrie und Struktur von Kristallen. M., 1949.
7. Physik: Enz. für Kinder. M.: Avanta+, 2000.
8. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Symmetrie in Wissenschaft und Kunst. Verlag 2. M., 1972.