Bir kare eşitsizliğinde "x 2"nin önünde negatif bir katsayının olduğu bir örnek düşünün.

Bu dersimizde karmaşıklığı artan rasyonel eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözmeye devam edeceğiz. Örneklerde, daha karmaşık birleşik fonksiyonlar kullanılacak ve bu tür eşitsizlikleri çözerken ortaya çıkan tipik hatalar dikkate alınacaktır.

Tema: Diyetgerçek eşitsizlikler ve sistemleri

Ders: Rasyonel Eşitsizlikleri Çözmepovaşırı karmaşıklık

1. Ders konusu, giriş

mantıklı çözdük eşitsizlikler formu ve bunları çözmek için aralık yöntemi kullanılmıştır. Fonksiyon ya doğrusal ya da kesirli doğrusal ya da bir polinomdu.

2. Problem çözme

Başka bir türdeki eşitsizlikleri ele alalım.

1. Eşitsizliği çözün

Eşdeğer dönüşümleri kullanarak eşitsizliği dönüştürüyoruz.

Şimdi işlevi keşfedebiliriz

Kökü olmayan bir fonksiyon düşünün.

Fonksiyonun grafiğini şematik olarak gösterelim ve okuyalım (Şekil 1).

Fonksiyon herhangi biri için pozitiftir.

Bunu belirlediğimizden beri bu ifadeyle eşitsizliğin her iki tarafını da bölebiliriz.

Bir kesrin pozitif olması için payın pozitif bir paydası olmalıdır.

Bir fonksiyon düşünelim.

Fonksiyonun grafiğini şematik olarak gösterelim - dalların aşağıya doğru yönlendirildiği anlamına gelen bir parabol (Şekil 2).

2. Eşitsizliği çözün

işlevi düşünün

1. Tanım alanı

2. Fonksiyon sıfırları

3. Sabitlik aralıklarını seçin.

4. İşaretlerin düzenlenmesi (Şekil 3).

parantez içinde ise eşit derece, kökten geçerken fonksiyon işaret değiştirir. Parantez çift kuvvet ise, fonksiyon işaret değiştirmez.

Tipik bir hata yaptık - cevaba kökü dahil etmedik. Bu durumda, eşitsizlik katı olmadığı için sıfıra eşitliğe izin verilir.

Bu tür hatalardan kaçınmak için şunu unutmamak gerekir.

Yanıt vermek:

Karmaşık eşitsizlikler ve olası tipik hatalar için aralık yöntemini ve bunları ortadan kaldırmanın yollarını düşündük.

Bir örnek daha düşünelim.

3. Eşitsizliği çözün

Her bir parantezi ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım.

, bu nedenle bu faktör göz ardı edilebilir.

Artık interval yöntemini uygulayabilirsiniz.

Düşünmek Pay ve paydayı eksiltmeyeceğiz, bu bir hatadır.

1. Tanım alanı

2. Fonksiyonun sıfırlarını zaten biliyoruz

Tanım alanına dahil olmadığı için fonksiyonun sıfırı değildir - bu durumda payda sıfıra eşittir.

3. İşaret sabitliği aralıklarını belirleyin.

4. Aralıklara işaretler koyuyoruz ve koşullarımıza uygun aralıkları seçiyoruz (Şekil 4).

3. Sonuç

Artan karmaşıklığın eşitsizliklerini düşündük, ancak aralık yöntemi bize bunları çözmenin anahtarını veriyor, bu yüzden gelecekte kullanacağız.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Proc. Genel eğitim için Kurumlar - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A. G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Eğitim kurumlarının öğrencileri için görev kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Yu.N. Makarychev, Cebir. 9. sınıf: ders kitabı. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I.E. Feoktistov. - 7. baskı, Rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin ve Yu.V. Sidorov, Cebir. 9. sınıf 16. baskı. - E., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. baskı, silindi. — E.: 2010. — 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf 2 saatte Bölüm 2. Eğitim kurumlarının öğrencileri için görev kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A.G. Mordkovich. - 12. baskı, Rev. — E.: 2010.-223 s.: hasta.

1. Mordkovich A. G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Eğitim kurumlarının öğrencileri için görev kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 37; 45(a,c); 47(b, d); 49.

1. Doğa Bilimleri Portalı.

2. Doğa Bilimleri Portalı.

3. Bilgisayar bilimi, matematik ve Rusça giriş sınavlarına 10-11. sınıfları hazırlamak için elektronik bir eğitim ve metodik kompleks.

4. Sanal öğretmen.

5. Eğitim merkezi "Eğitim teknolojisi".

6. Kolej bölümü. matematikte ru.

2. Dalinger V.A. Giriş sınavlarında yaygın matematik hataları ve bunlardan nasıl kaçınılacağı. - Omsk: Omsk IUU Yayınevi, 1991.

3. Dalinger V.A. Matematikte final ve giriş sınavlarında başarı sağlamak için her şey. Konu 5. Üstel, logaritmik denklemler, eşitsizlikler ve sistemleri: öğretici. - Omsk: OmGPU Yayınevi, 1996.

4. Dalinger V.A. Matematiksel Analizin Başlangıcı: Tipik Hatalar, Nedenleri ve Önleme Yolları: Ders Kitabı. - Omsk: "Yayıncı-Basımcı", 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Matematikte sınavı geçmek için el kitabı: Adayların matematikteki hatalarının analizi ve bunları önlemenin yolları. - Omsk: OmGPU Yayınevi, 1991.

6. Kutasov A.D. Üstel ve logaritmik denklemler, eşitsizlikler, sistemler: Öğretim yardımı N7. - Rus Açık Üniversitesi Yayınevi, 1992.

Öğrencilerin logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken yaptıkları hatalar çok çeşitlidir: çözümün yanlış tasarımından mantıksal hatalara. Bu ve diğer hatalar bu makalede tartışılacaktır.

1. En tipik hata, öğrencilerin denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, ek açıklamalar yapmadan, eşdeğerliği ihlal eden dönüşümleri kullanmalarıdır, bu da köklerin kaybolmasına ve yabancı atların ortaya çıkmasına neden olur.

Bu tür hataların belirli örneklerine bakalım, ancak önce okuyucunun dikkatini şu düşünceye çekiyoruz: yabancı kökler edinmekten korkmayın, kontrol ederek atılabilirler, köklerini kaybetmekten korkmayın.

a) Denklemi çözün:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Öğrenciler genellikle bu denklemi aşağıdaki şekilde çözerler.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Öğrenciler genellikle, ek bir gerekçe göstermeden, yanıt olarak her iki sayıyı da yazarlar. Ancak kontrolün gösterdiği gibi, x = 8 sayısı orijinal denklemin kökü değildir, çünkü x = 8'de denklemin sol ve sağ tarafları anlamlarını kaybeder. Kontrol, x = -4 sayısının verilen denklemin kökü olduğunu gösterir.

b) Denklemi çözün

Orijinal denklemin tanım alanı sistem tarafından verilir.

Verilen denklemi çözmek için x tabanındaki logaritmaya geçiyoruz, elde ediyoruz

Bu son denklemin x = 1'deki sol ve sağ taraflarının tanımlı olmadığını görüyoruz, ancak bu sayı orijinal denklemin köküdür (bunu doğrudan ikame ile doğrulayabiliriz). Böylece, yeni bir tabana resmi geçiş, kökün kaybolmasına neden oldu. x = 1 kökünü kaybetmemek için yeni tabanın birden farklı pozitif bir sayı olması gerektiğini belirtmeli ve x = 1 durumunu ayrı ayrı ele almalısınız.

2. Bütün bir hata grubu veya daha doğrusu eksiklikler, bazı durumlarda çözümün anahtarı tam olarak bu alan olmasına rağmen, öğrencilerin denklemlerin tanım alanını bulmaya gereken dikkati vermemelerinden oluşur. Bu konuda bir örneğe bakalım.

denklemi çözün

Eşitsizlikler sistemini çözdüğümüz bu denklemin tanım alanını bulalım:

Buradan x = 0'a sahibiz. Doğrudan ikame ile x = 0 sayısının orijinal denklemin kökü olup olmadığını kontrol edelim.

Cevap: x = 0.

3. Öğrencilerin tipik bir yanılgısı, kavramların tanımlarını, formülleri, teoremlerin formüllerini, algoritmaları gereken düzeyde bilmemeleridir. Söylenenleri aşağıdaki örnekle teyit edelim.

denklemi çözün

İşte bu denklemin hatalı bir çözümü:

Doğrulama, x = -2'nin orijinal denklemin kökü olmadığını gösterir.

Sonuç, verilen denklemin köklerinin olmadığını öne sürüyor.

Ancak öyle değil. Verilen denkleme x = -4 koyarak bunun bir kök olduğunu doğrulayabiliriz.

Kökün neden kaybolduğunu analiz edelim.

Orijinal denklemde, x ve x + 3 ifadeleri aynı anda hem negatif hem de her ikisi de pozitif olabilir, ancak denkleme geçerken bu aynı ifadeler sadece pozitif olabilir. Sonuç olarak, kök kaybına yol açan tanım alanında bir daralma oldu.

Kökü kaybetmemek için şu şekilde ilerleyebilirsiniz: orijinal denklemde toplamın logaritmasından ürünün logaritmasına geçelim. Bu durumda, yabancı köklerin ortaya çıkması mümkündür, ancak ikame yoluyla onlardan kurtulabilirsiniz.

4. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken yapılan birçok hata, öğrencilerin problemleri genellikle bir şablona göre, yani olağan şekilde çözmeye çalışmasının sonucudur. Bunu bir örnekle gösterelim.

eşitsizliği çöz

Bu eşitsizliği alışılmış algoritmik yollarla çözmeye çalışmak bir cevaba götürmez. Buradaki çözüm, eşitsizlik alanında eşitsizliğin sol tarafındaki her bir terimin değerlerini tahmin etmekten oluşmalıdır.

Eşitsizliğin tanım alanını bulun:

(9;10) aralığındaki tüm x için ifade pozitif değerler(değerler üstel fonksiyon herzaman pozitif).

(9;10] aralığındaki tüm x için, x - 9 ifadesi pozitif değerlere sahiptir ve lg(x - 9) ifadesi negatif değerlere veya sıfıra sahiptir, ardından (- (x - 9) lg(x) ifadesi - 9) pozitif veya sıfıra eşittir.

Son olarak, elimizde x∈ (9;10] var.Değişkenin bu tür değerleri için, eşitsizliğin sol tarafındaki her terimin pozitif olduğuna dikkat edin (ikinci terim sıfıra eşit olabilir), bu da bunların toplamının olduğu anlamına gelir. her zaman sıfırdan büyüktür.Bu nedenle, orijinal eşitsizliğin çözümü aralıktır (9;10].

5. Hatalardan biri denklemlerin grafiksel çözümü ile ilgilidir.

denklemi çözün

Deneyimlerimiz, bu denklemi grafik olarak çözen öğrencilerin (diğer temel yöntemlerle çözülemeyeceğini unutmayın), yalnızca bir kök aldıklarını (y = x doğrusu üzerinde uzanan bir noktanın apsisidir), çünkü fonksiyonların grafikleri

Bunlar karşılıklı olarak ters fonksiyonların grafikleridir.

Aslında, orijinal denklemin üç kökü vardır: bunlardan biri, birinci koordinat açısı y \u003d x, diğer kök ve üçüncü kök açıortayı üzerinde yatan noktanın apsisidir.

0'da logax = ax biçimindeki denklemlerin< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Bu örnek, aşağıdaki sonucu başarılı bir şekilde göstermektedir: f(x) = g(x) denkleminin grafik çözümü, eğer her iki fonksiyon da multimonotonik ise (biri artar, diğeri azalır) ve bu durumda matematiksel olarak yeterince doğru değilse, “mükemmel”dir. monoton fonksiyonların (her ikisi veya aynı anda azalır veya aynı anda artar).

6. Bir dizi tipik hata, öğrencilerin işlevsel bir yaklaşıma dayalı denklemleri ve eşitsizlikleri tam olarak doğru bir şekilde çözmemelerinden kaynaklanmaktadır. Bu tür tipik hataları göstereceğiz.

a) xx = x denklemini çözün.

Denklemin sol tarafındaki fonksiyon üstel-kuvvettir ve eğer öyleyse, derece bazında aşağıdaki kısıtlamalar getirilmelidir: x > 0, x ≠ 1. Verilenin her iki bölümünün logaritmasını alalım. denklem:

Buradan x = 1'e sahibiz.

Logaritma, orijinal denklemin tanım alanının daralmasına yol açmadı. Ama yine de denklemin iki kökünü kaybettik; doğrudan gözlemle, x = 1 ve x = -1'in orijinal denklemin kökleri olduğunu buluruz.

b) Denklemi çözün

Önceki durumda olduğu gibi, x > 0, x ≠ 1 anlamına gelen bir üstel güç fonksiyonumuz var.

Orijinal denklemi çözmek için, herhangi bir tabanda, örneğin 10 tabanında, her iki bölümünün logaritmasını alırız:

En az biri sıfıra eşitken, diğeri mantıklı olduğunda iki faktörün çarpımının sıfıra eşit olduğu göz önüne alındığında, iki sistemden oluşan bir setimiz var:

Birinci sistemin çözümü yoktur; ikinci sistemden x = 1 elde ederiz. Daha önce uygulanan kısıtlamalar göz önüne alındığında, x = 1 sayısı orijinal denklemin kökü olmamalıdır, ancak doğrudan ikame yoluyla durumun böyle olmadığından emin oluruz.

7. Formun karmaşık bir işlevi kavramıyla ilgili bazı hataları göz önünde bulundurun. Hatayı bir örnekle gösterelim.

Fonksiyonun monotonluk tipini belirleyin.

Uygulamamız, öğrencilerin büyük çoğunluğunun bu durumda monotonluğu yalnızca logaritma temelinde belirlediğini ve 0'dan beri< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Değil! Bu fonksiyon artıyor.

Görünüm işlevi için koşullu olarak şunları yazabilirsiniz:

Artan (Azalan) = Azalan;

Artan (Artan) = Artan;

Azalan (Azalan) = Artan;

Azalan (Artan) = Azalan;

8. Denklemi çözün

Bu görev, Birleşik Devlet Sınavının puanlarla değerlendirilen üçüncü bölümünden alınır (maksimum puan 4'tür).

İşte hataları içeren bir çözüm, yani bunun için maksimum puan verilmeyecektir.

Logaritmaları 3 tabanına indiriyoruz. Denklem şu şekilde olacak.

Güçlendirerek, elde ederiz

x1 = 1, x2 = 3.

Yabancı kökleri belirlemek için kontrol edelim

, 1 = 1,

yani x = 1 orijinal denklemin köküdür.

yani x = 3, orijinal denklemin kökü değildir.

Bu çözümün neden hatalar içerdiğini açıklayalım. Hatanın özü, girişin iki büyük hata içermesidir. İlk hata: kayıt hiç mantıklı değil. İkinci hata: Biri 0 olan iki faktörün çarpımının mutlaka sıfır olduğu doğru değildir. Sıfır ancak ve ancak bir faktör 0 ise ve ikinci faktör mantıklıysa olacaktır. Burada, sadece, ikinci çarpan bir anlam ifade etmiyor.

9. Yukarıda yorumlanmış olan hataya dönelim, ancak aynı zamanda bazı yeni argümanlar da vereceğiz.

Logaritmik denklemleri çözerken denkleme geçerler. Birinci denklemin her kökü aynı zamanda ikinci denklemin bir köküdür. Tersi, genel olarak konuşursak, doğru değildir, bu nedenle, denklemden denkleme , sonunda orijinal denkleme ikame ederek ikincisinin köklerini kontrol etmek gerekir. Kökleri kontrol etmek yerine, denklemi eşdeğer bir sistemle değiştirmek tavsiye edilir.

Logaritmik denklemi çözerken, ifadeler

n'nin bir çift sayı olduğu durumlarda, sırasıyla formüllere göre dönüştürülür , , , o zaman, çoğu durumda denklemin tanım alanı daraltıldığından, köklerinin bir kısmı kaybolabilir. Bu nedenle, bu formüllerin aşağıdaki biçimde uygulanması tavsiye edilir:

n çift sayıdır.

Tersine, logaritmik denklemi çözerken, n'nin bir çift sayı olduğu , , , ifadeleri sırasıyla ifadelere dönüştürülürse

o zaman denklemin tanım alanı genişleyebilir, bu nedenle yabancı kökler elde etmek mümkündür. Bunu akılda tutarak, bu gibi durumlarda, dönüşümlerin denkliğini izlemek ve denklemin tanım alanı genişliyorsa, elde edilen kökleri kontrol etmek gerekir.

10. İkame kullanarak logaritmik eşitsizlikleri çözerken, her zaman önce yeni bir değişkene göre yeni bir eşitsizliği çözeriz ve sadece onun çözümünde eski değişkene geçiş yaparız.

Okul çocukları, genellikle, eşitsizliğin sol tarafında elde edilen rasyonel bir fonksiyonun köklerini bulma aşamasında, yanlışlıkla ters geçişi daha erken yaparlar. Bu yapılmamalıdır.

11. Eşitsizliklerin çözümü ile ilgili bir başka hataya örnek verelim.

eşitsizliği çöz

.

İşte öğrencilerin çok sık sunduğu hatalı bir çözüm.

Orijinal eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. sahip olacak:

buradan yanlış bir sayısal eşitsizlik elde ederiz, bu da verilen eşitsizliğin hiçbir çözümü olmadığı sonucuna varmamızı sağlar.

Giriş………………………………………………………… 3

1. Hataların örneklerle sınıflandırılması…………………………… .…… …5

1.1. Görev türlerine göre sınıflandırma…………………………… … ……….5

1.2. Dönüşüm türlerine göre sınıflandırma……………………………………10

2. Testler…………………………………………….… .…………………….12

3. Karar protokolleri……………………….….………………………… 18

3.1. Yanlış kararların protokolleri .................................. ... 18

3.2. Cevaplar (doğru kararların protokolleri)………………………………….34

3.3. Kararlarda yapılan hatalar……………………………………… 51

Ek…………………….……………………………………………… 53

Edebiyat…………………………………………………………………….56

GİRİŞ

Halk bilgeliği, “Hatalardan öğrenirler” diyor. Ancak olumsuz bir deneyimden ders çıkarmak için öncelikle hatayı görmeniz gerekir. Ne yazık ki, öğrenci genellikle belirli bir problemi çözerken bunu tespit edemez. Sonuç olarak, amacı öğrenciler tarafından yapılan tipik hataları belirlemek ve bunları mümkün olduğunca tam olarak sınıflandırmak olan bir çalışma yürütme fikri ortaya çıktı.

Bu çalışma çerçevesinde, Omsk Devlet Üniversitesi'ne giriş sınavları için Nisan testi seçenekleri, testler ve yazılı ödevler, üniversitelere başvuranlar için çeşitli kılavuzlar ve problem koleksiyonları ve materyallerinden çok sayıda görev ele alındı ​​ve çözüldü. OmSU NOF'daki yazışma okulu dikkatlice incelendi. Alınan veriler, detaylı analiz, kararların mantığına çok dikkat edildi. Bu verilere dayalı olarak en sık yapılan hatalar yani tipik hatalar tespit edilmiştir.

Bu analizin sonuçlarına dayanarak, karakteristik hataları sistematize etmeye ve bunları dönüşüm türlerine ve problem türlerine göre sınıflandırmaya çalışıldı, bunlar arasında aşağıdakiler göz önünde bulunduruldu: ikinci dereceden eşitsizlikler, eşitsizlik sistemleri, kesirli-rasyonel denklemler, a ile denklemler. modül, irrasyonel denklemler, denklem sistemleri, hareket problemleri, iş ve emek verimliliği için görevler, trigonometrik denklemler, trigonometrik denklem sistemleri, planimetri.

Sınıflandırmaya, öğrencilerin kendilerini kontrol etme ve kontrol etme, etkinliklerini eleştirel olarak değerlendirme, hataları ve bunları ortadan kaldırmanın yollarını bulma becerilerini geliştirmelerine yardımcı olan yanlış karar protokolleri biçiminde bir örnek eşlik eder.

Bir sonraki adım testlerle çalışmaktı. Her görev için, biri doğru ve geri kalan dördü yanlış olan beş yanıt sunuldu, ancak bunlar rastgele alınmadı, ancak bu tür görevler için standart olan belirli bir hatanın yapıldığı çözüme karşılık geliyor. Bu, hatanın "kabalık" derecesini ve temel zihinsel işlemlerin (analiz, sentez, karşılaştırma, genelleme) gelişimini tahmin etmek için bir temel sağlar. Testler aşağıdaki yapıya sahiptir:

Hata kodları üç türe ayrılır: Tamam - doğru cevap, sayısal kod - görev türlerine göre sınıflandırma hatası, alfabetik kod - dönüşüm türlerine göre sınıflandırma hatası. Kodlarının çözülmesi Bölüm 1'de bulunabilir. Hataların örneklerle sınıflandırılması.

Çözümde bir hata bulmak için başka görevler önerildi. Bu materyaller, NOF OmSU'daki yazışma okulunun öğrencileriyle ve ayrıca Omsk ve Omsk bölgesindeki öğretmenler için NOF OmSU tarafından yürütülen ileri eğitim kurslarında kullanıldı.

Gelecekte, yapılan çalışmalara dayanarak, test eden kişinin bilgi ve beceri düzeyini izlemek ve değerlendirmek için bir sistem oluşturmak mümkündür. Çalışmadaki sorunlu alanları belirlemek, başarılı yöntem ve teknikleri düzeltmek, hangi eğitim içeriğinin genişletilmesinin önerildiğini analiz etmek mümkün hale gelir. Ancak bu yöntemlerin en büyük etkinliği için öğrencinin ilgisi gereklidir. Bu amaçla Chubrik A.V. ve doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin yanlış çözümlerini üreten küçük bir yazılım ürünü geliştirildi (teorik temel ve algoritmalar - I ve Chuubrik A.V., uygulamada yardım - öğrenci grubu MP-803 Filimonov M.V.). Bu programla çalışmak, öğrenciye, öğrencisi bilgisayar olan bir öğretmen gibi davranma fırsatı verir.

Elde edilen sonuçlar, yakın ve uzun vadede matematik öğretim sisteminde gerekli ayarlamaları yapabilecek daha ciddi bir çalışmanın başlangıcı olarak hizmet edebilir.

1. HATALARIN ÖRNEKLERLE SINIFLANDIRILMASI

1.1. Görev türlerine göre sınıflandırma

1. cebirsel denklemler ve eşitsizlikler.

1.1. Eşitsizliklerin karesi. Eşitsizlik sistemleri:

1.1.1. Bir kare trinominin kökleri yanlış bulunur: Vieta teoremi ve kökleri bulma formülü yanlış kullanılır;

1.1.2. Bir kare üç terimlinin grafiği yanlış gösterilmiştir;

1.1.3. Argüman değerleri, eşitsizliğin karşılandığı yanlış tanımlanmıştır;

1.1.4. Bilinmeyen bir değer içeren bir ifadeyle bölme;

1.1.5. Eşitsizlik sistemlerinde, tüm eşitsizliklerin çözümlerinin kesişimi yanlış alınır;

1.1.6. Nihai cevapta aralıkların sonlarına yanlış dahil edilmiş veya edilmemiş;

1.1.7. Yuvarlama.

1.2. Kesirli-rasyonel denklemler:

1.2.1. Yanlış belirtilmiş veya belirtilmemiş ODZ: kesrin paydasının sıfıra eşit olmaması gerektiği dikkate alınmamıştır;

ODZ: .

1.2.2. Bir yanıt alındığında, ODZ dikkate alınmaz;

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini bulmak için, ikinci dereceden bir fonksiyonun ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu bulmamız gerekir.

Elbette ikinci dereceden bir fonksiyona neden ihtiyaç duyulduğunu merak ettiniz mi? Grafiği (parabol) nereye uygulayabiliriz? Evet, sadece etrafınıza bakmanız yeterli ve günlük yaşamda her gün bununla karşılaştığınızı fark edeceksiniz. Beden eğitiminde atılan bir topun nasıl uçtuğunu fark ettiniz mi? "Bir yayda" mı? En doğru cevap "bir parabolde" olurdu! Ve jet fıskiyede hangi yörüngede hareket ediyor? Evet, ayrıca bir parabolde! Ve bir mermi veya mermi nasıl uçar? Bu doğru, ayrıca bir parabolde! Böylece özelliklerini bilmek ikinci dereceden fonksiyon, birçok pratik problemi çözmek mümkün olacaktır. Örneğin, en geniş uçuş menzilini sağlamak için topu hangi açıyla atmalısınız? Veya belirli bir açıyla ateşlenirse mermi nereye varacak? vb.

ikinci dereceden fonksiyon

Öyleyse, çözelim.

Örneğin, . Burada eşit olan nedir ve? Tabii ki ve!

Ya eğer, yani Sıfırdan daha az? Eh, tabi ki “üzgünüz”, yani dallar aşağıya doğru yönlendirilecek! Tabloya bakalım.

Bu şekil bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. O zamandan beri, yani sıfırdan küçükse, parabolün dalları aşağıyı gösterir. Ek olarak, muhtemelen bu parabolün dallarının ekseni kestiğini fark etmişsinizdir, bu da denklemin 2 kökü olduğu ve fonksiyonun hem pozitif hem de negatif değerler aldığı anlamına gelir!

En başta, ikinci dereceden bir fonksiyonun tanımını verdiğimizde, bazı sayılar olduğu söylendi. Sıfıra eşit olabilirler mi? Eh, elbette yapabilirler! Hatta daha da büyük bir sırrı açıklayacağım (ki bu bir sır değil ama bahsetmeye değer): bu sayılara (ve) hiçbir kısıtlama getirilmiyor!

Bakalım ve sıfıra eşitse grafiklere ne olacak.

Gördüğünüz gibi, dikkate alınan fonksiyonların (u) grafikleri, köşeleri artık koordinatları olan noktada, yani eksenlerin kesişme noktasında olacak şekilde kaydırıldı ve bu, dalların yönünü etkilemedi. Böylece, parabol grafiğinin koordinat sistemi boyunca "hareketinden" sorumlu oldukları sonucuna varabiliriz.

Fonksiyon grafiği eksene bir noktada dokunur. Yani denklemin bir kökü vardır. Böylece fonksiyon sıfıra eşit veya daha büyük değerler alır.

Fonksiyonun grafiği ile aynı mantığı izliyoruz. Bir noktada x eksenine dokunur. Yani denklemin bir kökü vardır. Böylece fonksiyon sıfırdan küçük veya sıfıra eşit değerler alır, yani.

Bu nedenle, bir ifadenin işaretini belirlemek için yapılacak ilk şey denklemin köklerini bulmaktır. Bu bizim için çok faydalı olacak.

kare eşitsizliği

kare eşitsizliği tek bir ikinci dereceden fonksiyondan oluşan bir eşitsizliktir. Böylece, tüm ikinci dereceden eşitsizlikler aşağıdaki dört türe indirgenir:

Bu tür eşitsizlikleri çözerken, ikinci dereceden fonksiyonun nerede daha büyük, daha az veya sıfıra eşit olduğunu belirleme yeteneğine ihtiyacımız olacak. yani:

• formun eşitsizliğine sahipsek, o zaman aslında sorun, parabolün eksenin üzerinde olduğu sayısal değer aralığını belirlemeye indirgenir.
• formun bir eşitsizliğine sahipsek, o zaman aslında sorun, parabolün eksenin altında olduğu x değerlerinin sayısal aralığını belirlemeye gelir.

Eşitsizlikler katı değilse (ve), o zaman kökler (parabolün eksenle kesişimlerinin koordinatları) istenen sayısal aralığa dahil edilir, katı eşitsizlikler hariç tutulur.

Bunların hepsi oldukça resmi, ancak umutsuzluğa kapılmayın ve korkmayın! Şimdi örneklere bakalım ve her şey yerine oturacak.

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken yukarıdaki algoritmaya bağlı kalacağız ve kaçınılmaz başarı bizi bekliyor!

algoritma	Örnek vermek:
1) Eşitsizliğe karşılık gelen ikinci dereceden denklemi yazalım (sadece eşitsizlik işaretini "=" eşittir işaretiyle değiştirin).
2) Bu denklemin köklerini bulun.
3) Kökleri eksen üzerinde işaretleyin ve parabolün dallarının yönünü şematik olarak gösterin ("yukarı" veya "aşağı")
4) İkinci dereceden fonksiyonun işaretine karşılık gelen işaretleri eksene yerleştirelim: parabolün eksenin üzerinde olduğu yere "" ve altına - "" koyun.
5) Eşitsizlik işaretine bağlı olarak "" veya "" ile ilgili aralıkları yazıyoruz. Eşitsizlik katı değilse, kökler aralığa dahil edilir; katıysa, dahil edilmez.

Anladım? O zaman önden bağlanın!

Peki, işe yaradı mı? Herhangi bir zorluk yaşarsanız, çözümleri anlayın.

Çözüm:

Eşitsizlik işareti " " olduğu için " " işaretine karşılık gelen aralıkları yazalım. Eşitsizlik katı değildir, bu nedenle kökler aralıklara dahil edilir:

Karşılık gelen ikinci dereceden denklemi yazıyoruz:

Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım:

Elde edilen kökleri eksen üzerinde şematik olarak işaretliyoruz ve işaretleri düzenliyoruz:

Eşitsizlik işareti " " olduğu için " " işaretine karşılık gelen aralıkları yazalım. Eşitsizlik katıdır, bu nedenle kökler aralıklara dahil edilmez:

Karşılık gelen ikinci dereceden denklemi yazıyoruz:

Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım:

bu denklemin bir kökü var

Elde edilen kökleri eksen üzerinde şematik olarak işaretliyoruz ve işaretleri düzenliyoruz:

Eşitsizlik işareti " " olduğu için " " işaretine karşılık gelen aralıkları yazalım. Herhangi bir fonksiyon için negatif olmayan değerler alır. Eşitsizlik katı olmadığından, cevap şudur:

Karşılık gelen ikinci dereceden denklemi yazıyoruz:

Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım:

Şematik olarak bir parabol grafiği çizin ve işaretleri yerleştirin:

Eşitsizlik işareti " " olduğu için " " işaretine karşılık gelen aralıkları yazalım. Herhangi biri için, fonksiyon pozitif değerler alır, bu nedenle eşitsizliğin çözümü aralık olacaktır:

KARE EŞİTSİZLİKLERİ. ORTALAMA SEVİYE

İkinci dereceden fonksiyon.

"Kare eşitsizlikleri" konusuna geçmeden önce ikinci dereceden bir fonksiyonun ne olduğunu ve grafiğinin ne olduğunu hatırlayalım.

Başka bir deyişle, bu ikinci derece polinom.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür (bunun ne olduğunu hatırlıyor musunuz?). Dalları yukarı doğru yönlendirilirse, "a) işlev herkes için yalnızca pozitif değerler alır ve ikincisinde () - yalnızca negatif:

Denklemin () tam olarak bir kökü olması durumunda (örneğin, diskriminant sıfır ise), bu, grafiğin eksene değdiği anlamına gelir:

Ardından, önceki duruma benzer şekilde, for , işlevi tümü için negatif değildir ve için , pozitif değildir.

Sonuçta, ikinci dereceden fonksiyonun nerede sıfırdan büyük ve nerede daha küçük olduğunu belirlemeyi yakın zamanda öğrendik:

İkinci dereceden eşitsizlik katı değilse, o zaman kökler sayısal aralığa dahil edilir, katıysa değildir.

Sadece bir kök varsa, sorun değil, her yerde aynı işaret olacak. Kök yoksa, her şey yalnızca katsayıya bağlıdır: eğer, tüm ifade 0'dan büyüktür ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnekler (kendiniz karar verin):

Yanıtlar:

Kök yoktur, bu nedenle sol taraftaki ifadenin tamamı en yüksek katsayının işaretini alır: hepsi için. Bu, eşitsizliğin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Sol taraftaki ikinci dereceden fonksiyon "eksik" ise, kökleri bulmak o kadar kolay olur:

KARE EŞİTSİZLİKLERİ. KISACA ANA HAKKINDA

ikinci dereceden fonksiyon formun bir fonksiyonudur:

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Dalları aşağıdaki durumlarda yukarı, aşağıdaki durumlarda aşağı doğru yönlendirilir:

• Üç terimli karenin sıfırdan büyük olduğu bir sayı aralığı bulmak istiyorsanız, bu, parabolün eksenin üzerinde olduğu sayı aralığıdır.
• Üç terimli karenin sıfırdan küçük olduğu bir sayı aralığı bulmak istiyorsanız, bu, parabolün eksenin altında olduğu sayı aralığıdır.

Kare eşitsizlik türleri:

Tüm ikinci dereceden eşitsizlikler aşağıdaki dört türe indirgenir:

Çözüm algoritması:

algoritma	Örnek vermek:
1) Eşitsizliğe karşılık gelen ikinci dereceden denklemi yazalım (sadece eşitsizlik işaretini "" eşittir işaretiyle değiştirin).
2) Bu denklemin köklerini bulun.
3) Kökleri eksen üzerinde işaretleyin ve parabolün dallarının yönünü şematik olarak gösterin ("yukarı" veya "aşağı")
4) İkinci dereceden fonksiyonun işaretine karşılık gelen işaretleri eksene yerleştirelim: parabolün eksenin üzerinde olduğu yere "" ve daha düşük olduğu yere "" koyarız.
5) Eşitsizlik işaretine bağlı olarak (s) "" veya "" ye karşılık gelen aralığı/aralıkları yazıyoruz. Eşitsizlik katı değilse kökler aralığa dahil edilir; eşitsizlik katıysa dahil edilmez.

Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Sınavı başarıyla geçmek, enstitüye bütçeden kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ olarak ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanırlar. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmemek...

Ama kendin düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.

Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
2. Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Önceki yazı

Ağız köşelerindeki sıkışmalar nasıl hızlı bir şekilde tedavi edilir

Sonraki Gönderi

Hipotiroidizm: Hangi testleri yaptırmalı?