Razmislite o primeru, kjer je pred "x 2" negativni koeficient v kvadratni neenakosti.

V tej lekciji bomo nadaljevali z reševanjem racionalnih neenakosti povečane kompleksnosti z uporabo intervalne metode. V primerih bodo uporabljene kompleksnejše kombinirane funkcije in upoštevane tipične napake, ki nastanejo pri reševanju takšnih neenakosti.

Tema: Dietaresnične neenakosti in njihovi sistemi

Lekcija: Reševanje racionalnih neenakostipovizjemna kompleksnost

1. Tema lekcije, uvod

Rešili smo racionalno neenakosti obliko in za njihovo reševanje je bila uporabljena intervalna metoda. Funkcija je bila linearna, ulomno linearna ali polinomska.

2. Reševanje problemov

Poglejmo si neenakosti druge vrste.

1. Rešite neenakost

Neenakost transformiramo z enakovrednimi transformacijami.

Zdaj lahko raziščemo funkcijo

Razmislite o funkciji brez korenin.

Shematično upodobimo in preberemo graf funkcije (slika 1).

Funkcija je pozitivna za katero koli .

Ker smo to ugotovili s tem izrazom lahko delimo obe strani neenakosti.

Da je ulomek pozitiven, mora imeti števec pozitiven imenovalec.

Razmislimo o funkciji.

Shematično upodobimo graf funkcije - parabola, kar pomeni, da so veje usmerjene navzdol (slika 2).

2. Rešite neenakost

Razmislite o funkciji

1. Področje definicije

2. Funkcijske ničle

3. Izberite intervale konstantnosti.

4. Postavitev znakov (slika 3).

Če je nosilec v celo stopnjo, pri prehodu skozi koren funkcija spremeni predznak. Če je oklepaj na sodo potenco, funkcija ne spremeni predznaka.

Naredili smo tipično napako – v odgovor nismo vključili korena. V tem primeru je enakost nič dovoljena, saj neenakost ni stroga.

Da bi se izognili takšnim napakam, se je treba tega spomniti

odgovor:

Upoštevali smo intervalno metodo za kompleksne neenakosti in možne tipične napake ter načine za njihovo odpravo.

Poglejmo še en primer.

3. Rešite neenakost

Razložimo vsak oklepaj posebej.

, zato lahko ta dejavnik zanemarimo.

Zdaj lahko uporabite intervalno metodo.

Razmislite Števca in imenovalca ne bomo zmanjšali za, to je napaka.

1. Področje definicije

2. Ničele funkcije že poznamo

Ni nič funkcije, saj ni vključena v področje definicije - v tem primeru je imenovalec enak nič.

3. Določite intervale konstantnosti predznaka.

4. Na intervale postavimo znake in izberemo intervale, ki izpolnjujejo naše pogoje (slika 4).

3. Zaključek

Upoštevali smo neenakosti povečane kompleksnosti, vendar nam intervalna metoda daje ključ za njihovo reševanje, zato jo bomo uporabljali tudi v prihodnje.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. razred: Proc. Za splošno izobraževanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. razred: zvezek za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. razred: učbenik. za študente splošne izobrazbe. ustanove / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izd., Rev. in dodatno - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin in Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. razred 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izd., izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred Ob 2 uri. 2. del. Zbirka nalog za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina in drugi; Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., Rev. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. razred: zvezek za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. št. 37; 45 (a, c); 47 (b, d); 49.

1. Naravoslovni portal.

2. Naravoslovni portal.

3. Elektronski izobraževalni in metodični kompleks za pripravo 10-11 razredov na sprejemne izpite iz računalništva, matematike in ruskega jezika.

4. Virtualni mentor.

5. Izobraževalni center "Tehnologija izobraževanja".

6. Fakulteta sekcija. ru pri matematiki.

2. Dalinger V.A. Pogoste matematične napake pri sprejemnih izpitih in kako se jim izogniti. - Omsk: Založba IUU Omsk, 1991.

3. Dalinger V.A. Vse za uspeh pri zaključnih in sprejemnih izpitih iz matematike. Izdaja 5. Eksponentne, logaritemske enačbe, neenakosti in njihovi sistemi: Vadnica. - Omsk: Založba OmGPU, 1996.

4. Dalinger V.A. Začetki matematične analize: tipične napake, njihovi vzroki in načini preprečevanja: uč. - Omsk: "Založnik-poligrafist", 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Priročnik za opravljanje izpita iz matematike: Analiza napak kandidatov pri matematiki in načini za njihovo preprečevanje. - Omsk: Založba OmGPU, 1991.

6. Kutasov A.D. Eksponentne in logaritemske enačbe, neenakosti, sistemi: Učni pripomoček N7. - Založba Ruske odprte univerze, 1992.

Napake, ki jih učenci delajo pri reševanju logaritemskih enačb in neenakosti, so zelo raznolike: od napačne zasnove rešitve do logičnih napak. Te in druge napake bodo obravnavane v tem članku.

1. Najbolj tipična napaka je, da učenci pri reševanju enačb in neenakosti brez dodatnih razlag uporabljajo transformacije, ki kršijo enakovrednost, kar vodi do izgube korenin in pojava tujih konj.

Oglejmo si konkretne primere tovrstnih napak, a najprej opozorimo bralca na naslednjo misel: ne bojte se pridobiti tujih korenin, s preverjanjem jih je mogoče zavreči, bojte se izgubiti korenine.

a) Reši enačbo:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Učenci to enačbo pogosto rešujejo na naslednji način.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Učenci pogosto brez dodatnega sklepanja v odgovor zapišejo obe številki. Toda kot kaže preverjanje, število x = 8 ni koren prvotne enačbe, saj pri x = 8 leva in desna stran enačbe izgubita svoj pomen. Preverjanje pokaže, da je število x = -4 koren dane enačbe.

b) Reši enačbo

Področje definicije izvirne enačbe je podano s sistemom

Za rešitev dane enačbe preidemo na logaritem v bazi x, dobimo

Vidimo, da leva in desna stran te zadnje enačbe pri x = 1 nista definirani, ampak je to število koren prvotne enačbe (to lahko preverimo z neposredno substitucijo). Tako je formalni prehod na novo bazo privedel do izgube korena. Da se izognete izgubi korena x = 1, morate določiti, da mora biti nova osnova pozitivno število, ki ni ena, in obravnavajte primer x = 1 ločeno.

2. Celotna skupina napak oziroma pomanjkljivosti je v tem, da učenci ne posvečajo ustrezne pozornosti iskanju domene definicije enačb, čeprav je v nekaterih primerih prav to področje ključno za rešitev. V zvezi s tem si oglejmo primer.

reši enačbo

Poiščimo področje definicije te enačbe, za katero rešimo sistem neenakosti:

Od kod imamo x = 0. Preverimo z neposredno substitucijo, ali je število x = 0 koren prvotne enačbe

Odgovor: x = 0.

3. Tipična napaka študentov je, da ne poznajo definicij pojmov, formul, formulacij izrekov in algoritmov na zahtevani ravni. Povedano potrdimo z naslednjim primerom.

reši enačbo

Tukaj je napačna rešitev te enačbe:

Preverjanje kaže, da x = -2 ni koren prvotne enačbe.

Sklep se kaže, da podana enačba nima korenin.

Vendar pa ni. Če v dano enačbo nadomestimo x = -4, lahko preverimo, da je to koren.

Analizirajmo, zakaj je bil koren izgubljen.

V izvirni enačbi sta lahko izraza x in x + 3 hkrati negativna ali oba pozitivna, pri prehodu na enačbo pa sta ta ista izraza lahko le pozitivna. Posledično je prišlo do zožitve področja definicije, kar je povzročilo izgubo korenin.

Da se izognete izgubi korena, lahko nadaljujete na naslednji način: pojdimo v prvotni enačbi iz logaritma vsote v logaritem produkta. V tem primeru je možen pojav tujih korenin, vendar se jih lahko znebite z zamenjavo.

4. Številne napake pri reševanju enačb in neenakosti so posledica dejstva, da učenci zelo pogosto poskušajo reševati probleme po predlogi, torej na običajen način. Pokažimo to s primerom.

Rešite neenakost

Poskus reševanja te neenakosti na običajne algoritemske načine ne bo pripeljal do odgovora. Rešitev bi morala biti v ocenjevanju vrednosti vsakega člena na levi strani neenakosti na domeni neenakosti.

Poiščite področje definicije neenakosti:

Za vse x iz intervala (9;10] ima izraz pozitivne vrednosti(vrednote eksponentna funkcija vedno pozitiven).

Za vse x iz intervala (9;10] ima izraz x - 9 pozitivne vrednosti, izraz lg(x - 9) pa negativne vrednosti ali nič, nato pa izraz (- (x - 9) lg(x) - 9) je pozitiven ali enak nič.

Končno imamo x∈ (9;10]. Upoštevajte, da je za takšne vrednosti spremenljivke vsak člen na levi strani neenakosti pozitiven (drugi člen je lahko enak nič), kar pomeni, da je njihova vsota je vedno večja od nič, zato je rešitev prvotne neenakosti interval (9;10).

5. Ena od napak je povezana z grafično rešitvijo enačb.

reši enačbo

Naše izkušnje kažejo, da učenci, ki to enačbo rešujejo grafično (upoštevajte, da je ni mogoče rešiti z drugimi osnovnimi metodami), prejmejo samo en koren (to je abscisa točke, ki leži na premici y = x), ker so grafi funkcij

To so grafi medsebojno inverznih funkcij.

Pravzaprav ima prvotna enačba tri korene: ena od njih je abscisa točke, ki leži na simetrali prvega koordinatnega kota y = x, drugi koren in tretji koren.

Upoštevajte, da so enačbe v obliki logax = ax pri 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Ta primer uspešno ponazarja naslednji zaključek: grafična rešitev enačbe f(x) = g(x) je »popolna«, če sta obe funkciji večmonotonski (ena od njih narašča, druga pa pada), in v primeru premalo matematično pravilna monotonih funkcij (obe ali se hkrati zmanjšajo ali hkrati povečajo).

6. Številne tipične napake so posledica dejstva, da učenci ne rešujejo povsem pravilno enačb in neenakosti na podlagi funkcionalnega pristopa. Prikazali bomo tipične tovrstne napake.

a) Reši enačbo xx = x.

Funkcija na levi strani enačbe je eksponentna moč, in če je tako, potem je treba na podlagi stopnje naložiti naslednje omejitve: x > 0, x ≠ 1. Vzemimo logaritem obeh delov dane enačba:

Od koder imamo x = 1.

Logaritem ni pripeljal do zožitve področja definicije prvotne enačbe. Toda kljub temu smo izgubili dva korena enačbe; z neposrednim opazovanjem ugotovimo, da sta x = 1 in x = -1 korena prvotne enačbe.

b) Reši enačbo

Tako kot v prejšnjem primeru imamo funkcijo eksponentne moči, kar pomeni x > 0, x ≠ 1.

Za rešitev prvotne enačbe vzamemo logaritem obeh njenih delov v kateri koli osnovi, na primer v bazi 10:

Glede na to, da je produkt dveh faktorjev enak nič, če je vsaj eden od njiju enak nič, medtem ko je drugi smiseln, imamo nabor dveh sistemov:

Prvi sistem nima rešitve; iz drugega sistema dobimo x = 1. Glede na prej naložene omejitve število x = 1 ne bi smelo biti koren prvotne enačbe, čeprav z neposredno substitucijo poskrbimo, da temu ni tako.

7. Razmislite o nekaterih napakah, povezanih s konceptom kompleksne funkcije obrazca. Pokažimo napako s primerom.

Določite vrsto monotonosti funkcije.

Naša praksa kaže, da velika večina študentov monotonost v tem primeru določa le z osnovo logaritma, in ker je 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Ne! Ta funkcija se povečuje.

Pogojno za funkcijo pogleda lahko napišete:

Naraščajoče (padajoče) = padajoče;

Povečanje (naraščanje) = Povečanje;

Zmanjšanje (padajoče) = naraščajoče;

Zmanjšanje (naraščajoče) = Zmanjševanje;

8. Reši enačbo

Ta naloga je vzeta iz tretjega dela enotnega državnega izpita, ki se ocenjuje s točkami (najvišja ocena je 4).

Tukaj je rešitev, ki vsebuje napake, kar pomeni, da zanjo ne bo dodeljena največja ocena.

Logaritme zmanjšamo na osnovo 3. Enačba bo dobila obliko

S potenciranjem dobimo

x1 = 1, x2 = 3.

Preverimo, da prepoznamo tuje korenine

, 1 = 1,

torej je x = 1 koren prvotne enačbe.

torej x = 3 ni koren prvotne enačbe.

Pojasnimo, zakaj ta rešitev vsebuje napake. Bistvo napake je, da vnos vsebuje dve grobi napaki. Prva napaka: zapis sploh nima smisla. Druga napaka: Ni res, da je zmnožek dveh faktorjev, od katerih je eden 0, nujno nič. Nič bo, če in samo če je en faktor 0 in je drugi faktor smiseln. Tukaj samo drugi množitelj nima smisla.

9. Vrnimo se k že komentirani napaki, hkrati pa bomo podali nekaj novih argumentov.

Pri reševanju logaritemskih enačb preidejo v enačbo. Vsak koren prve enačbe je tudi koren druge enačbe. Obratno na splošno ne drži, zato je treba pri prehodu od enačbe do enačbe preveriti korenine slednje z zamenjavo v prvotno enačbo na koncu. Namesto preverjanja korenin je priporočljivo enačbo zamenjati z enakovrednim sistemom

Če se pri reševanju logaritemske enačbe izrazi

kjer je n sodo število, se preoblikujejo po formulah , , , potem pa, ker je v mnogih primerih področje definicije enačbe zoženo, se lahko nekateri njeni koreni izgubijo. Zato je priporočljivo uporabiti te formule v naslednji obliki:

n je sodo število.

Nasprotno, če se pri reševanju logaritemske enačbe izrazi , , , kjer je n sodo število, pretvorimo v izraze

potem se domena definicije enačbe lahko razširi, zaradi česar je mogoče pridobiti tuje korenine. Ob upoštevanju tega je treba v takih situacijah spremljati enakovrednost transformacij in, če se domena definicije enačbe razširi, preveriti nastale korene.

10. Pri reševanju logaritemskih neenakosti z substitucijo vedno najprej rešimo novo neenakost glede na novo spremenljivko in šele pri njeni rešitvi opravimo prehod na staro spremenljivko.

Šolarji zelo pogosto napačno naredijo obratni prehod prej, na stopnji iskanja korenin racionalne funkcije, pridobljene na levi strani neenakosti. Tega ne bi smeli storiti.

11. Navedimo primer še ene napake, povezane z rešitvijo neenakosti.

Rešite neenakost

.

Tukaj je napačna rešitev, ki jo študentje zelo pogosto ponujajo.

Kvadratirajmo obe strani prvotne neenakosti. Bo imel:

od koder dobimo napačno numerično neenakost , ki nam omogoča sklepanje, da podana neenakost nima rešitev.

Uvod………………………………………………………………………… 3

1. Razvrstitev napak s primeri…………………………… .…… …5

1.1. Razvrstitev po vrstah nalog……………………………………………… ………….5

1.2. Razvrstitev po vrstah transformacij……………………………………………10

2. Preizkusi……………………………………………………….… .…………………….12

3. Protokoli odločb………………………………….….……………………… 18

3.1. Protokoli napačnih rešitev ……………………………… ... 18

3.2. Odgovori (protokoli pravilnih odločitev)…………………………………………….34

3.3. Napake pri odločitvah……………………………………………… 51

Prijava ……………………………………………………………………………………………… 53

Literatura……………………………………………………………………………………….56

UVOD

"Na napakah se učijo," pravi ljudska modrost. Toda, da bi se naučili iz negativne izkušnje, morate najprej videti napako. Žal je učenec pri reševanju določenega problema pogosto ne zna zaznati. Posledično se je porodila ideja o izvedbi študije, katere namen je prepoznati tipične napake študentov in jih čim bolj celovito razvrstiti.

V okviru te študije je bil obravnavan in rešen velik nabor nalog od možnosti aprilskega testiranja, testov in pisnih nalog za sprejemne izpite na državno univerzo Omsk, različnih priročnikov in zbirk problemov za prijavitelje na univerze ter gradiva dopisno šolo na OmSU NOF so skrbno preučili. Prejeti podatki so bili podvrženi podrobna analiza, medtem ko so veliko pozornosti namenili logiki odločitev. Na podlagi teh podatkov so bile ugotovljene najpogostejše napake, torej tipične.

Na podlagi rezultatov te analize smo poskušali sistematizirati karakteristične napake in jih razvrstiti po vrstah transformacij in tipih problemov, med katerimi so bile upoštevane naslednje: kvadratne neenakosti, sistemi neenakosti, ulomno-racionalne enačbe, enačbe z modul, iracionalne enačbe, sistemi enačb, problemi na gibanje, naloge za delo in produktivnost dela, trigonometrične enačbe, sistemi trigonometričnih enačb, planimetrija.

Razvrstitvi je priložena ilustracija v obliki napačnih odločevalnih protokolov, ki študentom omogoča, da razvijejo sposobnost preverjanja in nadzora, kritičnega vrednotenja svojih dejavnosti, iskanja napak in načinov za njihovo odpravo.

Naslednji korak je bilo delo s testi. Za vsako nalogo je bilo ponujenih pet odgovorov, od tega je eden pravilen, preostali štirje pa napačni, vendar niso vzeti naključno, temveč ustrezajo rešitvi, pri kateri je bila narejena specifična napaka, standardna za naloge te vrste. To daje osnovo za napovedovanje stopnje "nevljudnosti" napake in razvoja osnovnih miselnih operacij (analiza, sinteza, primerjava, posploševanje). Testi imajo naslednjo strukturo:

Kode napak so razdeljene na tri vrste: OK - pravilen odgovor, številčna koda - napaka pri razvrstitvi po vrstah nalog, abecedna koda - napaka pri razvrstitvi po vrstah transformacij. Njihovo dekodiranje najdete v 1. poglavju. Razvrstitev napak s primeri.

Ponujene so bile nadaljnje naloge za iskanje napake v rešitvi. Ta gradiva so bila uporabljena pri delu s študenti dopisne šole na NOF OmSU, pa tudi na tečajih izpopolnjevanja za učitelje v Omsku in regiji Omsk, ki jih izvaja NOF OmSU.

V prihodnosti je na podlagi opravljenega dela možno oblikovati sistem za spremljanje in vrednotenje ravni znanja in veščin preizkušanca. Možno je prepoznati problematična področja pri delu, popraviti uspešne metode in tehnike, analizirati, katere vsebine usposabljanja je priporočljivo razširiti. Toda za največjo učinkovitost teh metod je potrebno zanimanje študenta. V ta namen je skupaj s Chubrik A.V. in razvit je bil majhen programski izdelek, ki generira napačne rešitve linearnih in kvadratnih enačb (teoretična osnova in algoritmi - I in Chuubrik A.V., pomoč pri implementaciji - študentska skupina MP-803 Filimonov M.V.). Delo s tem programom daje študentu možnost, da deluje kot učitelj, katerega učenec je računalnik.

Dobljeni rezultati lahko služijo kot začetek resnejšega študija, ki bo v kratkem in dolgoročno lahko ustrezno prilagodil sistem poučevanja matematike.

1. KLASIFIKACIJA NAPAK S PRIMERI

1.1. Razvrstitev po vrstah nalog

1. Algebraične enačbe in neenakosti.

1.1. Kvadratne neenakosti. Sistemi neenakosti:

1.1.1. Korenine kvadratnega trinoma so napačno najdene: napačno sta uporabljeni Vietov izrek in formula za iskanje korenin;

1.1.2. Graf kvadratnega trinoma je napačno prikazan;

1.1.3. Vrednosti argumentov so napačno definirane, za katere je izpolnjena neenakost;

1.1.4. Deljenje z izrazom, ki vsebuje neznano vrednost;

1.1.5. V sistemih neenakosti je napačno vzeto presečišče rešitev vseh neenak;

1.1.6. Napačno vključeni ali ne vključeni konci intervalov v končni odgovor;

1.1.7. Zaokroževanje.

1.2. Ulomno-racionalne enačbe:

1.2.1. Napačno naveden ali nenaveden ODZ: ni bilo upoštevano, da imenovalec ulomka ne sme biti enak nič;

ODZ: .

1.2.2. Ob prejemu odgovora se ODZ ne upošteva;

Da bi ugotovili, kako rešiti kvadratne enačbe, moramo ugotoviti, kaj je kvadratna funkcija in kakšne lastnosti ima.

Zagotovo ste se spraševali, zakaj je kvadratna funkcija sploh potrebna? Kje lahko uporabimo njegov graf (parabolo)? Da, le pogledati se je treba naokoli in opazil boš, da se vsak dan v vsakdanjem življenju srečuješ s tem. Ste opazili, kako vržena žoga leti pri športni vzgoji? "V loku"? Najbolj pravilen odgovor bi bil "v paraboli"! In po kakšni poti se curek giblje v vodnjaku? Ja, tudi v paraboli! In kako leti krogla ali projektil? Tako je, tudi v paraboli! Torej, poznavanje lastnosti kvadratna funkcija, bo mogoče rešiti številne praktične probleme. Na primer, pod kakšnim kotom bi morali vreči žogo, da zagotovite največji doseg leta? Ali kje bo projektil končal, če bo izstreljen pod določenim kotom? itd.

kvadratna funkcija

Torej, ugotovimo.

Na primer, . Kaj so tukaj enaki in? No, seveda in!

Kaj pa če, tj. manj kot nič? No, seveda smo “žalosti”, kar pomeni, da bodo veje usmerjene navzdol! Poglejmo grafikon.

Ta slika prikazuje graf funkcije. Ker, tj. manj kot nič, so veje parabole usmerjene navzdol. Poleg tega ste verjetno že opazili, da veje te parabole sekajo os, kar pomeni, da ima enačba 2 korena, funkcija pa ima tako pozitivne kot negativne vrednosti!

Na samem začetku, ko smo dali definicijo kvadratne funkcije, je bilo rečeno, da in so nekatera števila. Ali so lahko enaki nič? No, seveda lahko! Razkril bom celo še večjo skrivnost (ki sploh ni skrivnost, a je vredno omeniti): za te številke (in) sploh ni nobenih omejitev!

No, poglejmo, kaj se zgodi z grafi, če in sta enaka nič.

Kot lahko vidite, so se grafi obravnavanih funkcij (u) premaknili tako, da so njihova oglišča zdaj na točki s koordinatami, torej na presečišču osi in to ni vplivalo na smer vej. Tako lahko sklepamo, da so odgovorni za "gibanje" grafa parabole vzdolž koordinatnega sistema.

Funkcijski graf se v točki dotika osi. Torej ima enačba en koren. Tako funkcija sprejme vrednosti, večje ali enake nič.

Z grafom funkcije sledimo isti logiki. V točki se dotakne osi x. Torej ima enačba en koren. Tako funkcija sprejme vrednosti, ki so manjše ali enake nič, tj.

Tako je za določitev predznaka izraza najprej treba poiskati korenine enačbe. To nam bo zelo koristilo.

Kvadratna neenakost

Kvadratna neenakost je neenakost, sestavljena iz ene kvadratne funkcije. Tako so vse kvadratne neenakosti reducirane na naslednje štiri vrste:

Pri reševanju takšnih neenakosti bomo potrebovali zmožnost določiti, kje je kvadratna funkcija večja, manjša ali enaka nič. jaz:

• če imamo neenakost oblike, potem je pravzaprav problem zmanjšan na določanje številčnega obsega vrednosti, za katerega parabola leži nad osjo.
• če imamo neenakost oblike, potem se v resnici problem zmanjša na določitev številčnega intervala vrednosti x, za katerega parabola leži pod osjo.

Če neenakosti niso stroge (u), so korenine (koordinate presečišča parabole z osjo) vključene v želeni številčni interval, s strogimi neenakostmi pa so izključene.

Vse to je precej formalizirano, vendar ne obupajte in se bojte! Zdaj pa poglejmo primere in vse se bo postavilo na svoje mesto.

Pri reševanju kvadratnih neenakosti se bomo držali zgornjega algoritma in čaka nas neizogiben uspeh!

algoritem	Primer:
1) Napišimo kvadratno enačbo, ki ustreza neenakosti (preprosto spremenite znak neenakosti v znak enakosti "=").
2) Poiščite korenine te enačbe.
3) Označite korenine na osi in shematično pokažite orientacijo vej parabole ("gor" ali "dol")
4) Na os postavimo znake, ki ustrezajo znaku kvadratne funkcije: kjer je parabola nad osjo, vstavi "", in kjer je spodaj - "".
5) Zapišemo interval (-e), ki ustreza "" ali "", odvisno od znaka neenakosti. Če neenakost ni stroga, so koreni vključeni v interval, če je stroga, niso vključeni.

Razumem? Nato pritrdite naprej!

No, je uspelo? Če imate kakršne koli težave, potem razumejte rešitve.

Odločitev:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo predznaku " ", saj je znak neenakosti " ". Neenakost ni stroga, zato so korenine vključene v intervale:

Napišemo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

Dobljene korenine shematično označimo na osi in razporedimo znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo predznaku " ", saj je znak neenakosti " ". Neenakost je stroga, zato korenine niso vključene v intervale:

Napišemo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

ta enačba ima en koren

Dobljene korenine shematično označimo na osi in razporedimo znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo predznaku " ", saj je znak neenakosti " ". Vsaka funkcija ima nenegativne vrednosti. Ker neenakost ni stroga, je odgovor

Napišemo ustrezno kvadratno enačbo:

Poiščimo korenine te kvadratne enačbe:

Shematično narišite graf parabole in postavite znake:

Zapišimo intervale, ki ustrezajo predznaku " ", saj je znak neenakosti " ". Za katero koli ima funkcija pozitivne vrednosti, zato bo rešitev neenakosti interval:

KVADRATNE NEENAKE. SREDNJA STOPNJA

Kvadratna funkcija.

Preden se pogovorimo o temi "kvadratnih neenakosti", se spomnimo, kaj je kvadratna funkcija in kakšen je njen graf.

Z drugimi besedami, to polinom druge stopnje.

Graf kvadratne funkcije je parabola (se spomnite, kaj je to?). Njegove veje so usmerjene navzgor, če "a) funkcija sprejme samo pozitivne vrednosti za vse, v drugem () - samo negativne:

V primeru, ko ima enačba () natanko en koren (na primer, če je diskriminanta nič), to pomeni, da se graf dotika osi:

Potem, podobno kot v prejšnjem primeru, za , funkcija je nenegativna za vse, in za , je nepozitivna.

Konec koncev smo se pred kratkim naučili določiti, kje je kvadratna funkcija večja od nič in kje manjša:

Če kvadratna neenakost ni stroga, so koreni vključeni v številčni interval, če je stroga, niso.

Če je samo en koren, je v redu, povsod bo enak znak. Če ni korenin, je vse odvisno samo od koeficienta: če, potem je celoten izraz večji od 0 in obratno.

Primeri (odločite se sami):

odgovori:

Koren ni, zato ima celoten izraz na levi strani predznak najvišjega koeficienta: za vse. To pomeni, da za neenakost ni rešitev.

Če je kvadratna funkcija na levi strani "nepopolna", je lažje najti korene:

KVADRATNE NEENAKE. NAKRATKO O GLAVNEM

kvadratna funkcija je funkcija oblike:

Graf kvadratne funkcije je parabola. Njegove veje so usmerjene navzgor, če in navzdol, če:

• Če želite najti številčni interval, na katerem je kvadratni trinom večji od nič, potem je to številčni interval, kjer parabola leži nad osjo.
• Če želite najti številčni interval, na katerem je kvadratni trinom manjši od nič, potem je to številčni interval, kjer parabola leži pod osjo.

Vrste kvadratnih neenakosti:

Vse kvadratne neenakosti se zmanjšajo na naslednje štiri vrste:

Algoritem rešitve:

algoritem	Primer:
1) Napišimo kvadratno enačbo, ki ustreza neenakosti (preprosto spremenite znak neenakosti v znak enakosti "").
2) Poiščite korenine te enačbe.
3) Označite korenine na osi in shematično pokažite orientacijo vej parabole ("gor" ali "dol")
4) Na os postavimo znake, ki ustrezajo znaku kvadratne funkcije: kjer je parabola nad osjo, postavimo "", in kjer je nižje - "".
5) Zapišemo interval (s), ki ustreza (s) "" ali "", odvisno od predznaka neenakosti. Če neenakost ni stroga, so koreni vključeni v interval, če je neenakost stroga, niso vključeni.

No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj najpomembnejša stvar.

Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.

Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.

Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.

Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.

Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!

Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

Kako? Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku -
2. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - Kupite učbenik - 899 rubljev

Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Prejšnja objava

Tehnologija proizvodnje laminatnih talnih oblog Made in China: laminat katerega podjetja je boljši

Naslednja objava

Nizozemska lončena peč Naprava nizozemske pečice