Pertimbangkan contoh di mana "x 2" didahului oleh pekali negatif dalam ketaksamaan kuasa dua.

Dalam pelajaran ini, kita akan terus menyelesaikan ketaksamaan rasional peningkatan kerumitan menggunakan kaedah selang. Dalam contoh, fungsi gabungan yang lebih kompleks akan digunakan dan ralat tipikal yang timbul apabila menyelesaikan ketaksamaan tersebut akan dipertimbangkan.

Topik: DietKetaksamaan sebenar dan sistemnya

Pengajaran: Menyelesaikan Ketaksamaan Rasionalpovkerumitan yang tinggi

1. Topik pelajaran, pengenalan

Kami menyelesaikan secara rasional ketidaksamaan jenis dan untuk penyelesaiannya menggunakan kaedah selang. Fungsi itu sama ada linear, atau linear pecahan, atau polinomial.

2. Menyelesaikan masalah

Pertimbangkan satu lagi jenis ketidaksamaan.

1. Selesaikan ketaksamaan

Kami mengubah ketidaksamaan menggunakan transformasi yang setara.

Kini anda boleh menerokai fungsi tersebut

Pertimbangkan fungsi tanpa akar.

Mari kita gambarkan dan baca secara skematik graf bagi fungsi (Rajah 1).

Fungsi ini positif untuk mana-mana.

Sejak kita telah menetapkan itu kita boleh membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan ungkapan ini.

Untuk pecahan menjadi positif, mesti ada penyebut positif dengan pengangka positif.

Mari kita pertimbangkan fungsi.

Mari kita gambarkan secara skematik graf fungsi - parabola, yang bermaksud cawangan diarahkan ke bawah (Rajah 2).

2. Selesaikan ketaksamaan

Pertimbangkan fungsinya

1. Skop definisi

2. Sifar fungsi

3. Pilih selang keteguhan.

4. Susun tanda (Gamb. 3).

Jika kurungan berada dalam darjah ganjil, fungsi bertukar tanda apabila melalui akar. Jika kurungan berada dalam darjah genap, fungsi tidak berubah tanda.

Kami membuat kesilapan biasa - kami tidak memasukkan akar dalam jawapan. Dalam kes ini, kesamaan kepada sifar dibenarkan, kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.

Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, ia mesti diingati

Jawapan:

Kami telah mempertimbangkan kaedah selang untuk ketidaksamaan kompleks dan kemungkinan ralat tipikal, serta cara untuk menghapuskannya.

Mari kita ambil contoh lain.

3. Selesaikan ketaksamaan

Mari kita memfaktorkan setiap kurungan secara berasingan.

, oleh itu, anda boleh mengabaikan faktor ini.

Kini anda boleh menggunakan kaedah jarak.

Pertimbangkan Kami tidak akan mengurangkan pengangka dan penyebut dengan, ini adalah satu kesilapan.

1. Skop definisi

2. Kita sudah mengetahui sifar bagi fungsi tersebut

Ia bukan sifar fungsi, kerana ia tidak termasuk dalam domain definisi - dalam kes ini, penyebutnya ialah sifar.

3. Tentukan selang ketekalan.

4. Letakkan tanda pada selang waktu dan pilih selang yang memenuhi syarat kami (Gamb. 4).

3. Kesimpulan

Kami telah mempertimbangkan ketidaksamaan peningkatan kerumitan, tetapi kaedah selang memberi kami kunci untuk menyelesaikannya, jadi kami akan menggunakannya pada masa hadapan.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra gred 9: Buku Teks. Untuk pendidikan am. Institusi - ed ke-4. - M .: Mnemosina, 2002.-192 hlm.: sakit.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra gred 9: Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - ed ke-4. - M .: Mnemosina, 2002.-143 hlm.: sakit.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. Darjah 9: buku teks. untuk pelajar pendidikan am. institusi / Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, IE Feoktistov. - ed. ke-7, Rev. dan tambah. - M .: Mnemosina, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. Darjah 9. ed ke-16 - M., 2011 .-- 287 hlm.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Darjah 9. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-12, Dipadamkan. - M .: 2010 .-- 224 hlm.: Ill.

6. Algebra. Darjah 9. Pada pukul 2 petang, Bahagian 2. Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lain-lain; Ed. A.G. Mordkovich. - ed. ke-12, Rev. - M .: 2010.-223 hlm.: sakit.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra gred 9: Buku masalah untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - edisi ke-4. - M.: Mnemozina, 2002.-143 hlm.: sakit. No 37; 45 (a, b); 47 (b, d); 49.

1. Portal Sains Semula Jadi.

2. Portal Sains Semula Jadi.

3. Kompleks pendidikan-kaedah elektronik untuk menyediakan gred 10-11 untuk peperiksaan kemasukan dalam sains komputer, matematik, bahasa Rusia.

4. Tutor maya.

5. Pusat Pendidikan “Teknologi Pengajaran”.

6. Kolej Seksyen. ru dalam matematik.

2. Dalinger V.A. Kesilapan biasa dalam matematik pada peperiksaan kemasukan dan cara mengelakkannya. - Omsk: Rumah penerbitan Omsk IUU, 1991.

3. Dalinger V.A. Segala-galanya untuk memastikan kejayaan dalam peperiksaan akhir dan kemasukan dalam matematik. Isu 5. Eksponen, persamaan logaritma, ketaksamaan dan sistemnya: Tutorial... - Omsk: Rumah penerbitan OmGPU, 1996.

4. Dalinger V.A. Permulaan analisis matematik: Kesilapan biasa, punca dan cara pencegahan: Buku teks. - Omsk: "Penerbit-Polygraphist", 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Manual untuk lulus peperiksaan dalam matematik: Analisis kesilapan pemohon dalam matematik dan cara untuk mencegahnya. - Omsk: Rumah penerbitan OmGPU, 1991.

6. Kutasov A.D. Persamaan Eksponen dan Logaritma, Ketaksamaan, Sistem: Panduan Kajian N7. - Rumah penerbitan Universiti Terbuka Rusia, 1992.

Kesilapan yang dilakukan oleh pelajar semasa menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan adalah sangat pelbagai: daripada reka bentuk penyelesaian yang salah kepada ralat yang bersifat logik. kesilapan ini dan lain-lain akan dibincangkan dalam artikel ini.

1. Kesilapan yang paling biasa ialah pelajar, apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan tanpa penjelasan tambahan, menggunakan transformasi yang melanggar kesetaraan, yang membawa kepada kehilangan akar dan penampilan kuda luar.

Mari kita lihat contoh-contoh khusus kesilapan jenis ini, tetapi pertama-tama kita menarik perhatian pembaca kepada pemikiran berikut: jangan takut untuk memperoleh akar luar, mereka boleh dibuang dengan memeriksa, takut kehilangan akar.

a) Selesaikan persamaan:

log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x).

Pelajar sering menyelesaikan persamaan ini dengan cara berikut.

log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x), log3 (5 - x) + log3 (-1 - x) = 3, log3 ((5 - x) (- 1 - x)) = 3 , (5 - x) (- 1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Pelajar sering menulis kedua-dua nombor sebagai jawapan tanpa alasan tambahan. Tetapi seperti yang ditunjukkan oleh pengesahan, nombor x = 8 bukanlah punca persamaan asal, kerana pada x = 8 sisi kiri dan kanan persamaan kehilangan maknanya. Pengesahan menunjukkan bahawa nombor x = -4 ialah punca bagi persamaan yang diberikan.

b) Selesaikan persamaan

Domain takrifan persamaan asal ditetapkan oleh sistem

Untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan, kita hantar ke logaritma kepada asas x, kita dapat

Kami melihat bahawa sisi kiri dan kanan persamaan terakhir ini untuk x = 1 tidak ditakrifkan, tetapi nombor ini ialah punca persamaan asal (anda boleh mengesahkan ini dengan penggantian langsung). Oleh itu, peralihan rasmi kepada pangkalan baru membawa kepada kehilangan akar. Untuk mengelakkan kehilangan punca x = 1, seseorang harus menunjukkan bahawa asas baru mestilah nombor positif selain daripada satu, dan pertimbangkan kes x = 1 secara berasingan.

2. Keseluruhan kumpulan kesilapan, atau lebih tepatnya, kekurangan, terdiri daripada fakta bahawa pelajar tidak memberi perhatian yang sewajarnya untuk mencari domain definisi persamaan, walaupun dalam beberapa kes, domain inilah yang menjadi kunci kepada penyelesaian. Marilah kita memikirkan contoh dalam hubungan ini.

Selesaikan persamaan

Mari kita cari domain takrifan persamaan ini, yang mana kita menyelesaikan sistem ketaksamaan:

Dari mana kita mempunyai x = 0. Mari kita semak dengan penggantian langsung sama ada nombor x = 0 ialah punca persamaan asal

Jawapan: x = 0.

3. Kesilapan biasa pelajar ialah mereka tidak tahu pada tahap yang diperlukan definisi konsep, formula, rumusan teorem, algoritma. Mari kita sahkan apa yang telah dikatakan dengan contoh berikut.

Selesaikan persamaan

Berikut ialah penyelesaian yang salah untuk persamaan ini:

Pengesahan menunjukkan bahawa x = -2 bukan punca persamaan asal.

Kesimpulannya mencadangkan sendiri bahawa persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca.

Walau bagaimanapun, ia tidak. Dengan menggantikan x = -4 ke dalam persamaan yang diberikan, kita boleh mengesahkan bahawa ini ialah punca.

Mari analisa mengapa kehilangan akar berlaku.

Dalam persamaan asal, ungkapan x dan x + 3 boleh kedua-duanya negatif atau kedua-duanya positif pada masa yang sama, tetapi apabila anda pergi ke persamaan, ungkapan yang sama hanya boleh positif. Akibatnya, kawasan definisi menyempit, yang membawa kepada kehilangan akar.

Untuk mengelakkan kehilangan punca, anda boleh meneruskan seperti berikut: dalam persamaan asal, pergi dari logaritma hasil tambah kepada logaritma hasil. Ada kemungkinan dalam kes ini penampilan akar luar, tetapi seseorang boleh menyingkirkannya dengan penggantian.

4. Banyak kesilapan yang dilakukan semasa menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan adalah akibat daripada fakta bahawa pelajar sangat kerap cuba menyelesaikan masalah mengikut templat, iaitu dengan cara biasa. Mari tunjukkan ini dengan contoh.

Selesaikan ketidaksamaan

Percubaan untuk menyelesaikan ketidaksamaan ini dengan cara algoritma biasa tidak akan membawa kepada jawapan. Penyelesaian di sini hendaklah menganggarkan nilai setiap istilah di sebelah kiri ketidaksamaan pada domain ketaksamaan.

Mari kita cari domain takrifan ketaksamaan:

Untuk semua x daripada selang (9; 10], ungkapan mempunyai nilai-nilai positif(nilai fungsi eksponen sentiasa positif).

Untuk semua x dari selang (9; 10], ungkapan x - 9 mempunyai nilai positif, dan ungkapan lg (x - 9) mempunyai nilai negatif atau sifar, kemudian ungkapan (- (x - 9) lg ( x - 9) adalah positif atau sama dengan sifar.

Akhir sekali, kita mempunyai x∈ (9; 10]. Perhatikan bahawa untuk nilai pembolehubah sedemikian, setiap sebutan di sebelah kiri ketaksamaan adalah positif (sebutan kedua mungkin sama dengan sifar), yang bermaksud bahawa jumlah mereka sentiasa lebih besar daripada 0. Oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan asal ialah selang (9; 10).

5. Salah satu ralat dikaitkan dengan penyelesaian grafik persamaan.

Selesaikan persamaan

Pengalaman kami menunjukkan bahawa pelajar, menyelesaikan persamaan ini secara grafik (perhatikan bahawa ia tidak boleh diselesaikan dengan kaedah asas lain), menerima hanya satu punca (ia adalah absis titik yang terletak pada garis y = x), kerana graf fungsi

ini adalah graf bagi fungsi songsang bersama.

Sebenarnya, persamaan asal mempunyai tiga punca: satu daripadanya ialah absis titik yang terletak pada pembahagi dua sudut koordinat pertama y = x, punca satu lagi dan punca ketiga.

Perhatikan bahawa persamaan bentuk logax = ax pada 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Contoh ini berjaya menggambarkan kesimpulan berikut: penyelesaian grafik bagi persamaan f (x) = g (x) adalah "tidak sempurna" jika kedua-dua fungsi adalah monoton yang berbeza (satu daripadanya meningkat dan yang lain menurun), dan tidak cukup betul secara matematik. dalam kes fungsi satu monoton (sama ada menurun pada masa yang sama, atau meningkat pada masa yang sama).

6. Sebilangan kesilapan biasa dikaitkan dengan fakta bahawa pelajar tidak menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan betul berdasarkan pendekatan berfungsi. Mari tunjukkan kesilapan tipikal seperti ini.

a) Selesaikan persamaan xx = x.

Fungsi di sebelah kiri persamaan adalah eksponen, dan jika ya, maka sekatan berikut hendaklah dikenakan pada asas darjah: x> 0, x ≠ 1. Mari kita logaritma kedua-dua belah persamaan yang diberikan:

Dari mana kita mempunyai x = 1.

Mengambil logaritma tidak menyempitkan domain persamaan asal. Namun begitu, kita telah kehilangan dua punca persamaan; mengikut budi bicara serta-merta, kita dapati bahawa x = 1 dan x = -1 ialah punca-punca persamaan asal.

b) Selesaikan persamaan

Seperti dalam kes sebelumnya, kita mempunyai fungsi eksponen, dan oleh itu x> 0, x ≠ 1.

Untuk menyelesaikan persamaan asal, mari kita logaritma kedua-dua belahnya dalam mana-mana asas, sebagai contoh, dalam asas 10:

Memandangkan hasil darab dua faktor ialah sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah sifar, dan satu lagi masuk akal, kami mempunyai satu set dua sistem:

Sistem pertama tidak mempunyai penyelesaian; daripada sistem kedua kita mendapat x = 1. Dengan mengambil kira sekatan yang dikenakan sebelum ini, nombor x = 1 tidak sepatutnya menjadi punca persamaan asal, walaupun dengan penggantian langsung kita melihat bahawa ini tidak berlaku.

7. Mari kita pertimbangkan beberapa ralat yang berkaitan dengan konsep fungsi kompleks bentuk. Mari kita tunjukkan ralat dengan contoh berikut.

Tentukan jenis kemonotonan fungsi tersebut.

Amalan kami menunjukkan bahawa majoriti mutlak pelajar menentukan monotoni dalam kes ini hanya dengan asas logaritma, dan sejak 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Tidak! Fungsi ini adalah tambahan.

Secara konvensional, untuk fungsi borang, anda boleh menulis:

Menaik (Menurun) = Menurun;

Menaik (Ascending) = Menaik;

Berkurangan (Berkurang) = Bertambah;

Menurun (Ascending) = Menurun;

8. Selesaikan persamaan

Tugas ini diambil dari bahagian ketiga USE, yang dinilai dengan mata (skor maksimum ialah 4).

Berikut ialah penyelesaian yang mengandungi ralat, yang bermaksud bahawa skor maksimum tidak akan diberikan untuknya.

Kurangkan logaritma kepada asas 3. Persamaan menjadi

Dengan mempotensikan, kita memperoleh

x1 = 1, x2 = 3.

Mari kita lakukan semakan untuk mengenal pasti punca luar

, 1 = 1,

maka x = 1 ialah punca bagi persamaan asal.

jadi x = 3 bukan punca persamaan asal.

Mari kita terangkan mengapa penyelesaian ini mengandungi ralat. Intipati kesilapan itu ialah rekod mengandungi dua ralat kasar. Kesilapan pertama: rekod itu tidak masuk akal sama sekali. Kesilapan kedua: adalah tidak benar bahawa hasil darab dua faktor, satu daripadanya ialah 0, semestinya akan menjadi sifar. Sifar akan menjadi jika dan hanya jika satu faktor ialah 0, dan faktor kedua masuk akal. Di sini, cuma, faktor kedua tidak masuk akal.

9. Mari kita kembali kepada kesilapan yang telah diulas di atas, tetapi pada masa yang sama kita akan memberikan alasan baru.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, seseorang pergi ke persamaan. Setiap punca bagi persamaan pertama juga merupakan punca bagi persamaan kedua. Sebaliknya, secara amnya, adalah tidak benar; oleh itu, berpindah dari persamaan ke persamaan, adalah perlu pada akhirnya untuk memeriksa punca-punca yang terakhir dengan penggantian ke dalam persamaan asal. Daripada memeriksa akar, adalah dinasihatkan untuk menggantikan persamaan dengan sistem yang setara

Jika, apabila menyelesaikan persamaan logaritma, ungkapan

di mana n - nombor genap, diubah mengikut formula,,, maka, kerana dalam banyak kes domain persamaan disempitkan, beberapa puncanya mungkin hilang. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk menggunakan formula ini dalam bentuk berikut:

n ialah nombor genap.

Sebaliknya, jika, apabila menyelesaikan persamaan logaritma, ungkapan,,, dengan n ialah nombor genap, ditukar, masing-masing, kepada ungkapan

maka domain persamaan boleh berkembang, yang mana pemerolehan akar luar adalah mungkin. Dengan ini, dalam situasi sedemikian adalah perlu untuk memantau kesetaraan transformasi dan, jika domain persamaan mengembang, untuk menyemak punca yang terhasil.

10. Apabila menyelesaikan ketaksamaan logaritma dengan bantuan penggantian, kita sentiasa terlebih dahulu menyelesaikan ketaksamaan baharu berkenaan dengan pembolehubah baharu, dan hanya dalam penyelesaiannya kita membuat peralihan kepada pembolehubah lama.

Kanak-kanak sekolah sering tersilap membuat peralihan terbalik lebih awal, pada peringkat mencari punca fungsi rasional yang diperolehi di sebelah kiri ketidaksamaan. Ini tidak sepatutnya dilakukan.

11. Mari kita berikan contoh satu lagi ralat yang berkaitan dengan penyelesaian ketaksamaan.

Selesaikan ketidaksamaan

.

Berikut ialah penyelesaian yang salah yang sering dicadangkan oleh pelajar.

Mari kita kuasai kedua-dua belah ketaksamaan asal. Pasti akan:

dari mana kita memperoleh ketaksamaan berangka yang salah, yang membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa ketaksamaan yang diberikan tidak mempunyai penyelesaian.

Pengenalan………………………………………………………………… 3

1. Klasifikasi ralat dengan contoh …………………………………. ……… 5

1.1. Klasifikasi mengikut jenis tugasan …………………………………… ……… .5

1.2. Pengelasan mengikut jenis penjelmaan ………………………………… 10

2. Ujian ……………………… …………………….. ……………………… .12

3. Minit keputusan …………………………….. …………… ………… 18

3.1. Protokol keputusan yang salah ………………………………… ...

3.2. Jawapan (minit keputusan yang betul) ………………………………… .34

3.3. Kesilapan dalam keputusan ………………………………… 51

Lampiran ………………………. …………………………………………… 53

Kesusasteraan …………………………………………………………………………… .56

PENGENALAN

"Mereka belajar daripada kesilapan," kata kebijaksanaan popular. Tetapi untuk belajar daripada pengalaman negatif, anda perlu melihat ralatnya terlebih dahulu. Malangnya, pelajar sering tidak dapat mengesannya apabila menyelesaikan masalah tertentu. Akibatnya, timbul idea untuk menjalankan kajian, yang tujuannya adalah untuk mengenal pasti kesilapan tipikal yang dilakukan oleh pelajar, dan juga untuk mengklasifikasikannya selengkap mungkin.

Dalam rangka kajian ini, satu set masalah yang besar telah dipertimbangkan dan diselesaikan daripada pilihan untuk ujian April, ujian dan tugasan bertulis untuk peperiksaan kemasukan di Universiti Negeri Omsk, pelbagai manual dan koleksi masalah untuk pemohon ke universiti, mengkaji bahan dengan teliti. sekolah surat-menyurat di Universiti Negeri Omsk. Data yang diterima tertakluk kepada analisis terperinci, manakala banyak perhatian diberikan kepada logik keputusan. Berdasarkan data ini, kesilapan yang paling biasa, iaitu, tipikal, telah dikenalpasti.

Berdasarkan keputusan analisis ini, percubaan telah dibuat untuk mensistematikkan ralat ciri dan mengklasifikasikannya mengikut jenis transformasi dan jenis masalah, antaranya yang berikut dipertimbangkan: ketaksamaan kuadratik, sistem ketaksamaan, persamaan rasional pecahan, persamaan dengan modulus, persamaan tidak rasional, sistem persamaan, masalah pergerakan , tugasan untuk kerja dan produktiviti buruh, persamaan trigonometri, sistem persamaan trigonometri, planimetri.

Klasifikasi disertakan dengan ilustrasi dalam bentuk protokol keputusan yang salah, yang memungkinkan untuk membantu pelajar mengembangkan keupayaan untuk menyemak dan mengawal diri mereka, menilai secara kritis aktiviti mereka, mencari kesilapan dan cara untuk menghapuskannya.

Langkah seterusnya ialah bekerja dengan ujian. Bagi setiap masalah, lima pilihan jawapan telah dicadangkan, yang mana satu betul dan empat yang lain tidak betul, tetapi ia tidak diambil secara rawak, tetapi sepadan dengan penyelesaian di mana ralat piawai khusus dibuat untuk masalah jenis ini. Ini menyediakan asas untuk meramalkan tahap "kekasaran" kesilapan dan perkembangan operasi mental asas (analisis, sintesis, perbandingan, generalisasi). Ujian disusun seperti berikut:

Kod ralat terbahagi kepada tiga jenis: OK - jawapan betul, kod digital - ralat daripada klasifikasi mengikut jenis tugas, kod huruf - ralat daripada klasifikasi mengikut jenis transformasi. Penyahkodan mereka boleh didapati dalam Bab 1. Pengelasan ralat dengan contoh.

Tugasan selanjutnya dicadangkan untuk mencari ralat dalam penyelesaian. Bahan-bahan ini digunakan semasa bekerja dengan pelajar sekolah surat-menyurat di Yayasan Universiti Negeri Omsk, serta dalam kursus penyegaran untuk guru di Omsk dan Wilayah Omsk, yang dikendalikan oleh Yayasan Universiti Negeri Omsk.

Pada masa hadapan, berdasarkan kerja yang dilakukan, adalah mungkin untuk mewujudkan satu sistem untuk memantau dan menilai tahap pengetahuan dan kemahiran peserta ujian. Terdapat peluang untuk mengenal pasti kawasan masalah dalam kerja, membetulkan kaedah dan teknik yang berjaya, menganalisis kandungan latihan yang dinasihatkan untuk dikembangkan. Tetapi untuk keberkesanan terbesar kaedah ini, minat pelajar adalah perlu. Untuk tujuan ini, saya, bersama A.V. Chubrik. dan produk perisian kecil telah dibangunkan yang menjana penyelesaian yang salah bagi persamaan linear dan kuadratik (asas teori dan algoritma - saya dan Chuubrik A.V., membantu dalam pelaksanaan - pelajar kumpulan MP-803, Filimonov M.V.). Bekerja dengan program ini memberi peluang kepada pelajar untuk bertindak sebagai seorang guru yang pelajarnya adalah komputer.

Keputusan yang diperolehi boleh menjadi permulaan kepada kajian yang lebih serius, yang dalam jangka masa terdekat dan panjang akan dapat membuat penyesuaian yang diperlukan kepada sistem pengajaran matematik.

1. KLASIFIKASI KESILAPAN DENGAN CONTOH

1.1. Klasifikasi mengikut jenis tugas

1. Persamaan algebra dan ketidaksamaan.

1.1. Ketaksamaan kuasa dua. Sistem ketidaksamaan:

1.1.1. Akar bagi trinomial segi empat sama didapati secara salah: Teorem Vieta dan formula untuk mencari punca telah digunakan secara salah;

1.1.2. Graf bagi trinomial segi empat sama ditunjukkan dengan salah;

1.1.3. Nilai hujah yang mana ketidaksamaan itu dipenuhi ditakrifkan secara salah;

1.1.4. Pembahagian dengan ungkapan yang mengandungi nilai yang tidak diketahui;

1.1.5. Dalam sistem ketaksamaan, persilangan penyelesaian semua ketaksamaan diambil secara salah;

1.1.6. Hujung selang salah dimasukkan atau tidak disertakan dalam jawapan akhir;

1.1.7. Membundarkan.

1.2. Persamaan rasional pecahan:

1.2.1. ODZ salah atau tidak ditunjukkan: ia tidak diambil kira bahawa penyebut pecahan tidak boleh sama dengan sifar;

ODZ:.

1.2.2. Apabila menerima respons, DLO tidak diambil kira;

Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik, kita perlu memikirkan apakah fungsi kuadratik dan apakah sifat yang dimilikinya.

Pasti anda tertanya-tanya mengapa fungsi kuadratik diperlukan sama sekali? Di manakah kita boleh menggunakan grafnya (parabola)? Ya, seseorang hanya perlu melihat sekeliling, dan anda akan perasan bahawa setiap hari dalam kehidupan seharian anda menjumpainya. Pernah perasan bagaimana bola yang dibaling terbang dalam pendidikan jasmani? "Dalam arka"? Jawapan yang paling betul ialah "parabola"! Dan apakah trajektori jet di air pancut? Ya, juga dalam parabola! Bagaimanakah peluru atau peluru terbang? Betul, juga dalam parabola! Oleh itu, mengetahui sifat-sifat fungsi kuadratik, ia akan dapat menyelesaikan banyak masalah praktikal. Sebagai contoh, pada sudut apakah anda perlu membaling bola untuk mendapatkan jarak yang paling jauh? Atau, di manakah peluru itu akan berakhir jika anda melancarkannya pada sudut tertentu? dan lain-lain.

Fungsi kuadratik

Jadi mari kita fikirkan.

Sebagai contoh, . Apakah yang sama di sini, dan? Sudah tentu, dan!

Dan bagaimana jika, i.e. kurang daripada sifar? Sudah tentu, kita "sedih", yang bermaksud bahawa cawangan akan diarahkan ke bawah! Mari kita lihat pada graf.

Rajah ini menunjukkan graf bagi suatu fungsi. Sejak, i.e. kurang daripada sifar, cabang parabola diarahkan ke bawah. Di samping itu, anda mungkin telah menyedari bahawa cabang parabola ini bersilang dengan paksi, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai 2 punca, dan fungsi tersebut mengambil nilai positif dan negatif!

Pada mulanya, apabila kita memberikan definisi fungsi kuadratik, ia dikatakan bahawa dan ialah beberapa nombor. Dan bolehkah ia sama dengan sifar? Sudah tentu mereka boleh! Saya juga akan mendedahkan rahsia yang lebih besar (yang bukan rahsia sama sekali, tetapi ia patut disebut): tiada sekatan dikenakan ke atas nombor ini (dan) sama sekali!

Baiklah, mari kita lihat apa yang berlaku kepada graf, jika ia sama dengan sifar.

Seperti yang anda lihat, graf bagi fungsi (dan) yang sedang dipertimbangkan telah beralih supaya bucunya kini berada pada satu titik dengan koordinat, iaitu, di persimpangan paksi dan, ini tidak menjejaskan arah cawangan. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa mereka bertanggungjawab untuk "pergerakan" graf parabola di sepanjang sistem koordinat.

Graf fungsi menyentuh paksi pada satu titik. Oleh itu, persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai lebih besar daripada atau sama dengan sifar.

Kami mematuhi logik yang sama dengan graf fungsi. Ia menyentuh paksi-x pada satu titik. Oleh itu, persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan sifar, iaitu.

Oleh itu, untuk menentukan tanda ungkapan, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mencari punca persamaan. Ini akan sangat berguna kepada kami.

Ketaksamaan kuasa dua

Ketaksamaan kuasa dua ialah ketaksamaan yang terdiri daripada satu fungsi kuadratik. Oleh itu, semua ketaksamaan kuasa dua dikurangkan kepada empat jenis berikut:

Apabila menyelesaikan ketaksamaan sedemikian, adalah berguna untuk kita dapat menentukan di mana fungsi kuadratik lebih besar, kurang atau sama dengan sifar. Itu dia:

• jika kita mempunyai ketaksamaan bentuk, maka sebenarnya masalahnya dikurangkan kepada menentukan julat berangka nilai di mana parabola terletak di atas paksi.
• jika kita berhadapan dengan ketaksamaan bentuk, maka sebenarnya masalahnya dikurangkan kepada menentukan selang berangka nilai x di mana parabola terletak di bawah paksi.

Jika ketaksamaan tidak ketat (dan), maka akar (koordinat persimpangan parabola dengan paksi) dimasukkan ke dalam selang berangka yang dikehendaki, dengan ketaksamaan ketat ia dikecualikan.

Ini semua agak formal, tetapi seseorang tidak boleh berputus asa dan takut! Sekarang mari kita lihat contoh, dan semuanya akan sesuai.

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuasa dua, kami akan mematuhi algoritma yang diberikan, dan kami pasti akan berjaya!

Algoritma	Contoh:
1) Mari kita tuliskan persamaan kuadratik yang sepadan dengan ketaksamaan (kita hanya menukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama "=").
2) Cari punca-punca persamaan ini.
3) Mari tandakan akar pada paksi dan secara skematik menunjukkan orientasi cawangan parabola ("atas" atau "bawah")
4) Mari kita letakkan pada paksi tanda-tanda yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola lebih tinggi daripada paksi, kita letakkan "", dan di mana di bawah - "".
5) Tulis selang (s) yang sepadan dengan "" atau "", bergantung pada tanda ketaksamaan. Sekiranya ketidaksamaan tidak ketat, akar dimasukkan ke dalam selang, jika ketat, ia tidak termasuk.

Faham? Kemudian betulkan ke hadapan!

Nah, adakah ia berjaya? Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, maka fahami penyelesaiannya.

Penyelesaian:

Mari kita tulis selang yang sepadan dengan tanda "", kerana tanda ketaksamaan ialah "". Ketaksamaan tidak ketat, jadi akar dimasukkan dalam selang:

Mari kita tuliskan persamaan kuadratik yang sepadan:

Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:

Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda:

Mari kita tulis selang yang sepadan dengan tanda "", kerana tanda ketaksamaan ialah "". Ketaksamaan adalah ketat, jadi akar tidak termasuk dalam selang:

Mari kita tuliskan persamaan kuadratik yang sepadan:

Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:

persamaan ini mempunyai satu punca

Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda:

Mari kita tulis selang yang sepadan dengan tanda "", kerana tanda ketaksamaan ialah "". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai bukan negatif. Oleh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat, jawapannya adalah.

Mari kita tuliskan persamaan kuadratik yang sepadan:

Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:

Mari kita lukiskan graf parabola secara skematik dan susun tandanya:

Mari kita tulis selang yang sepadan dengan tanda "", kerana tanda ketaksamaan ialah "". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai positif, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang:

KETIDAKSAMAAN KUASA. TAHAP PURATA

Fungsi kuadratik.

Sebelum bercakap tentang topik "ketaksamaan kuasa dua", mari kita ingat apa itu fungsi kuadratik dan apakah grafnya.

Dalam erti kata lain, ia adalah polinomial darjah kedua.

Graf fungsi kuadratik ialah parabola (ingat apa itu?). Cawangannya diarahkan ke atas jika "a) fungsi hanya mengambil nilai positif untuk semua, dan dalam kedua () - hanya nilai negatif:

Dalam kes apabila persamaan () mempunyai tepat satu punca (contohnya, jika diskriminasi ialah sifar), ini bermakna graf menyentuh paksi:

Kemudian, sama seperti kes sebelumnya, untuk fungsi itu bukan negatif untuk semua, dan untuk - tidak positif.

Oleh itu, baru-baru ini kami telah mempelajari cara menentukan di mana fungsi kuadratik lebih besar daripada sifar, dan di mana ia kurang:

Sekiranya ketaksamaan kuasa dua tidak ketat, maka akar dimasukkan ke dalam selang berangka, jika ketat, ia tidak termasuk.

Jika hanya ada satu akar, tidak mengapa, akan ada tanda yang sama di mana-mana. Sekiranya tiada akar, semuanya bergantung hanya pada pekali: jika, maka keseluruhan ungkapan lebih besar daripada 0, dan sebaliknya.

Contoh (tentukan sendiri):

Jawapan:

Tiada akar, jadi keseluruhan ungkapan di sebelah kiri mengambil tanda pekali tertinggi: untuk semua. Ini bermakna tiada penyelesaian kepada ketidaksamaan.

Jika fungsi kuadratik di sebelah kiri "tidak lengkap", lebih mudah untuk mencari punca:

KETIDAKSAMAAN KUASA. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Fungsi kuadratik ialah fungsi bentuk:,

Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Cawangannya diarahkan ke atas jika, dan ke bawah jika:

• Jika anda ingin mencari selang berangka di mana trinomial segi empat sama lebih besar daripada sifar, maka ini ialah selang berangka di mana parabola terletak di atas paksi.
• Jika anda ingin mencari selang berangka di mana trinomial segi empat sama kurang daripada sifar, maka ini ialah selang berangka di mana parabola terletak di bawah paksi.

Jenis ketaksamaan kuasa dua:

Semua ketaksamaan kuasa dua dikurangkan kepada empat jenis berikut:

Algoritma penyelesaian:

Algoritma	Contoh:
1) Mari kita tuliskan persamaan kuadratik yang sepadan dengan ketaksamaan (kita hanya menukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama "").
2) Cari punca-punca persamaan ini.
3) Mari tandakan akar pada paksi dan secara skematik menunjukkan orientasi cawangan parabola ("atas" atau "bawah")
4) Kami meletakkan pada paksi tanda-tanda yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola berada di atas paksi, kami meletakkan "", dan di mana di bawah - "".
5) Tulis selang (s) yang sepadan (s) "" atau "", bergantung pada tanda ketaksamaan. Sekiranya ketidaksamaan tidak ketat, akar dimasukkan ke dalam selang, jika ketat, ia tidak termasuk.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, maka anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% itu!

Sekarang datang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, sekali lagi, ini ... ia sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada majoriti mutlak rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk berjaya lulus peperiksaan, untuk memasuki institut dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini juga bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana terdapat banyak lagi peluang yang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tak tahu...

Tapi fikirlah sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk menjadi lebih baik daripada orang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

DAPATKAN MENYELESAIKAN MASALAH TANGAN MENGENAI TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan ditanya teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah untuk seketika.

Dan, jika anda tidak menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti pergi ke suatu tempat yang tersilap bodoh atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berulang kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk mengisi tangan anda dengan bantuan tugasan kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

1. Kongsi semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
2. Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 899 rubel

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami, dan akses untuk semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka sekaligus.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk sepanjang hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan terlalu memikirkan teori.

"Difahamkan" dan "Saya tahu bagaimana untuk menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Catatan sebelum ini

Kesan alkohol pada tubuh manusia

Post seterusnya

Faedah dan kemudaratan alkohol untuk badan