호출되는 형식의 기능 이차 함수.

2차 함수 플롯 - 포물선.

다음과 같은 경우를 고려해 보겠습니다.

I CASE, 고전 포물선

그건 , ,

빌드하려면 x 값을 공식에 ​​대입하여 표를 채웁니다.

우리는 점을 표시합니다(0; 0). (1; 1); (-1; 1) 등 좌표 평면에서 (x 값을 취하는 단계가 더 작을수록(이 경우 단계 1) x 값을 더 많이 취할수록 곡선이 더 부드러워짐) 포물선을 얻습니다 :

경우를 취하면, 즉 축에 대해 대칭인 포물선(oh)을 얻는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 유사한 표를 작성하여 이를 쉽게 확인할 수 있습니다.

II 사례, "a"는 하나와 다름

취하면 어떻게 될까요,,? 포물선의 동작은 어떻게 변경됩니까? 제목 = "(! LANG: QuickLaTeX.com에서 렌더링됨" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

첫 번째 그림(위 참조)은 포물선 (1; 1), (-1; 1)에 대한 표의 점이 점 (1; 4), (1; -4)로 변환되었음을 명확하게 보여줍니다. 즉, 동일한 값으로 각 포인트의 세로 좌표에 4를 곱합니다. 이것은 원래 테이블의 모든 키 포인트에서 발생합니다. 우리는 그림 2와 3의 경우에 비슷한 방식으로 추론합니다.

그리고 포물선이 포물선보다 "넓어지면":

요약하자면:

1)계수의 부호는 가지의 방향을 나타냅니다. 제목 = "(! LANG: QuickLaTeX.com에서 렌더링됨" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) 절대값계수(모듈러스)는 포물선의 "팽창", "수축"을 담당합니다. ||가 클수록 포물선이 좁고 ||가 작을수록 포물선이 넓어집니다.

III 사례, "C"가 나타남

이제 게임에 넣어 보겠습니다. (즉, 경우를 고려하십시오), 우리는 형식의 포물선을 고려할 것입니다. 기호에 따라 포물선이 축을 따라 위 또는 아래로 이동할 것이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다(항상 표를 참조할 수 있음).

IV 케이스, "b"가 나타남

포물선이 축에서 "분리"되고 마지막으로 전체 좌표 평면을 따라 "걸을" 시기는 언제입니까? 평등하지 않을 때.

여기서 포물선을 구성하려면 다음이 필요합니다. 정점 계산 공식: , .

따라서 이 지점에서 (새 좌표계의 지점 (0; 0)에서와 같이) 우리는 이미 우리의 능력 안에 있는 포물선을 만들 것입니다. 우리가 사건을 다루고 있다면 위에서부터 하나의 단위 세그먼트를 오른쪽으로, 하나 위로, - 결과 포인트는 우리의 것입니다(마찬가지로 왼쪽으로 한 단계, 한 단계 위로는 우리의 포인트입니다). 예를 들어, 우리가 다루고 있다면 위에서부터 하나의 단위 세그먼트를 오른쪽으로, 두 개 - 위로 연기합니다.

예를 들어, 포물선의 꼭짓점은 다음과 같습니다.

이제 가장 중요한 것은 이 정점에서 우리의 경우 포물선 패턴에 따라 포물선을 만들 것이라는 점을 이해하는 것입니다.

포물선을 만들 때 정점의 좌표를 찾은 후다음 사항을 고려하는 것이 편리합니다.

1) 포물선 확실히 요점을 통과 할 것입니다 ... 실제로 x = 0을 공식에 ​​대입하면 이를 얻습니다. 즉, 포물선과 축(oy)의 교차점의 세로 좌표는 입니다. 위의 예에서 포물선은 점에서 세로좌표와 교차합니다.

2) 대칭축 포물선 는 직선이므로 포물선의 모든 점은 그것에 대해 대칭입니다. 우리의 예에서 우리는 즉시 점 (0; -2)를 취하고 대칭 축에 대해 대칭인 포물선을 만들고 포물선이 통과할 점 (4; -2)를 얻습니다.

3) 와 동일하게 하여 포물선과 축(oh)의 교차점을 찾습니다. 이를 위해 방정식을 풉니다. 판별식에 따라 하나(,), 둘(제목 = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} ... 이전 예에서 판별식의 근이 있습니다. 정수가 아니라 구성할 때 근을 찾는 것이 거의 의미가 없지만 (oh) 축과 두 개의 교차점이 있음을 분명히 알 수 있습니다. title = "(! LANG: QuickLaTeX.com에서 렌더링됨" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

그럼 운동하자

다음 형식으로 주어진 경우 포물선을 구성하는 알고리즘

1) 우리는 가지의 방향을 결정합니다 (a> 0 - up, a<0 – вниз)

2) 공식에 의해 포물선의 꼭짓점 좌표를 찾습니다.

3) 우리는 자유 항을 따라 축 (oy)과 포물선의 교차점을 찾고 포물선의 대칭 축에 대해 주어진 점에 대칭 점을 만듭니다 (이 점이 발생한다는 점에 유의해야합니다 예를 들어 값이 크기 때문에 표시하는 데 수익성이 없습니다 ...이 점을 건너 뜁니다 ...)

4) 발견된 점에서 - 포물선의 정점(새 좌표계의 점 (0; 0)에서와 같이)에서 우리는 포물선을 만듭니다. 제목 = "(! LANG: QuickLaTeX.com에서 렌더링한 경우)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) 우리는 방정식을 풀면서 포물선과 축(oy)의 교차점을 찾습니다(아직 "표면화"되지 않은 경우).

실시예 1

실시예 2

비고 1.포물선이 처음에 어떤 숫자(예:)가 있는 형식으로 우리에게 주어진다면 이미 정점의 좌표가 주어졌기 때문에 그것을 구축하는 것이 훨씬 더 쉬울 것입니다. 왜요?

제곱 삼항식을 취하고 그 안에 완전한 제곱을 선택하십시오. 보세요, 그래서 우리는 그것을 얻었습니다. 우리는 이전에 포물선의 꼭짓점, 즉 지금이라고 불렀습니다.

예를 들어, . 우리는 평면에 포물선의 꼭지점을 표시하고 가지가 아래쪽을 향하고 포물선이 (상대적으로) 확장된다는 것을 이해합니다. 즉, 우리는 포인트 1을 수행합니다. 삼; 4; 포물선 구성 알고리즘의 5(위 참조).

비고 2.포물선이 이와 유사한 형태로 주어지면(즉, 두 선형 요인의 곱으로 표시됨) 포물선과 축(oh)의 교차점이 즉시 표시됩니다. 이 경우 - (0; 0) 및 (4; 0). 나머지는 알고리즘에 따라 대괄호를 확장하여 작동합니다.

병렬 전송.

종축을 따라 이동

f(x) => f(x) - b
함수 y = f(x) - b를 플롯하는 데 필요합니다. x의 모든 값에 대해 이 그래프의 세로 좌표가 | b | 단위는 함수 y = f(x)의 그래프의 해당 세로좌표보다 작습니다. b> 0 및 | b | 더 많은 단위 - at b 0 또는 up at b 함수 y + b = f(x)를 플롯하려면 함수 y = f(x)를 플롯하고 가로축을 | b | b> 0 또는 by | b | b에서 아래로 단위

ABSCISS 축을 따라 전송

f (x) => f (x + a)
함수 y = f(x + a)를 플롯해야 한다고 가정합니다. 함수 y = f(x)를 고려하십시오. 어떤 지점에서 x = x1이 у1 = f(x1) 값을 취합니다. 분명히, 함수 y = f (x + a)는 점 x2에서 동일한 값을 취하며, 좌표는 x2 + a = x1, 즉 등식에서 결정됩니다. x2 = x1 - a이고 고려된 평등은 함수 도메인의 모든 값 집합에 대해 유효합니다. 따라서 함수 y = f(x + a)의 그래프는 가로축을 따라 함수 y = f(x)의 그래프를 왼쪽으로 | a | 단위 > 0 또는 오른쪽으로 | a | y = f(x + a) 함수를 플롯하려면 y = f(x) 함수를 플롯하고 세로축을 | a | > 0 또는 by | a | 왼쪽으로 단위

예:

1.y = f (x + a)

2.y = f(x) + b

반사.

뷰의 그래픽 기능 구축 Y = F (-X)

f(x) => f(-x)
분명히, 함수 y = f (-x) 및 y = f (x)는 가로 좌표가 절대 값이 같지만 부호가 반대인 점에서 동일한 값을 취합니다. 즉, x의 양수(음수) 값 영역에서 함수 y = f(-x)의 그래프의 세로 좌표는 함수 y = f( x) x의 음수(양수) 값의 해당 절대값에서. 따라서 우리는 다음 규칙을 얻습니다.
함수 y = f(-x)를 플로팅하려면 y = f(x) 함수를 플로팅하고 세로축을 중심으로 반영해야 합니다. 결과 그래프는 함수 y = f(-x)의 그래프입니다.

뷰의 그래픽 기능 구성 Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
인수의 모든 값에 대한 함수 y = - f (x)의 그래프의 세로 좌표는 절대 값이 동일하지만 함수 y = f (x)의 그래프 세로 좌표와 부호가 반대입니다. 인수의 동일한 값. 따라서 우리는 다음 규칙을 얻습니다.
함수 y = - f(x)를 표시하려면 함수 y = f(x)를 표시하고 가로축을 기준으로 이를 반영해야 합니다.

예:

1.y = -f(x)

2.y = f(-x)

3.y = -f(-x)

흉한 모습.

세로축에 따른 그래픽 변형

f(x) => k f(x)
k> 0인 y = kf (x) 형식의 함수를 고려하십시오. 인수의 동일한 값에 대해 이 함수의 그래프의 세로 좌표는 함수 y = f(x)의 그래프(k> 1 또는 1/k가 k에서 함수 y = f(x)의 세로좌표보다 작음) 함수 y = kf(x)의 그래프를 플로팅하려면 ), 함수 y = f(x)의 그래프를 플로팅하고 k> 1에 대해 k의 계수만큼 세로좌표를 증가시키거나(세로좌표를 따라 그래프를 늘림) k에 대해 세로좌표를 1/k배로 줄여야 합니다.
k> 1- Ox 축에서 스트레칭
0 - OX 축으로 압축

가로축에 따른 그래픽 변형

f(x) => f(k x)
함수 y = f(kx)를 표시해야 하며 여기서 k> 0입니다. 임의의 점 x = x1에서 y1 = f(x1) 값을 취하는 함수 y = f(x)를 고려하십시오. 분명히, 함수 y = f (kx)는 점 x = x2에서 동일한 값을 취하며, 그 좌표는 평등 x1 = kx2에 의해 결정되며, 이 평등은 x의 모든 값의 총계에 유효합니다. 기능의 도메인. 결과적으로, 함수 y = f(kx)의 그래프는 함수 y = f(x)의 그래프에 대해 가로축을 따라 (k 1에 대해) 압축된 것으로 판명되었습니다. 따라서 우리는 규칙을 얻습니다.
함수 y = f(kx)를 플롯하려면 함수 y = f(x)를 플롯하고 k> 1(가로축을 따라 그래프를 압축)에 대해 k의 인수만큼 가로 좌표를 줄이거 나 가로 좌표를 증가시켜야 합니다. k에서 1/k의 인수로
k> 1- Oy 축으로 압축
0 - OY 축에서 늘이기

형식의 의존성 + =

이 방정식의 그래프는 점 O(a; b)에 중심을 두고 반지름 r(r> 0)을 갖는 좌표 평면 x Oy의 원입니다.

이 방정식의 그래프는 함수의 그래프라고 부를 수 없습니다. 함수 정의 위반: x의 각 값은 y의 단일 값에 해당합니다.

좌표축을 따라 기능 이동

여기서 l은 주어진 양수이므로 x축을 따라 l 스케일 단위만큼 함수 y = f(x)의 그래프를 왼쪽으로 이동해야 합니다.

함수를 플롯하려면

여기서 l은 주어진 양수이므로 x축을 따라 l 스케일 단위만큼 함수 y = f(x)의 그래프를 오른쪽으로 이동해야 합니다.

함수를 플롯하려면

여기서 m은 주어진 양수이고, y축을 따라 m 스케일 단위 위로 함수 y = f(x)의 그래프를 이동하는 것이 필요합니다.

함수 y = f(x) -m의 그래프를 그리려면(여기서 m은 주어진 양수임), 함수 y = f(x)의 그래프를 y축을 따라 m 눈금 단위 아래로 이동해야 합니다.

함수 y = f (x + l) + m의 그래프를 그리는 알고리즘 1:

• 1. 함수 y = f(x)의 그래프를 작성하십시오.
• 2. l> 0이면 왼쪽으로, l이면 오른쪽으로 눈금 단위로 x축을 따라 그래프 y = f(x)의 평행 평행이동을 수행합니다.
• 3. y축을 따라 두 번째 단계에서 얻은 그래프를 위쪽으로 눈금 단위로 병렬 전송합니다.

함수 y = f (x + l) + m을 플로팅하기 위한 알고리즘 2:

• 1. 보조선 x = -l, y = m을 점선으로 그려 보조 좌표계로 이동합니다. 즉, 점(-l; m)을 새 좌표계의 원점으로 선택합니다.
• 2. 함수 y = f(x)의 그래프를 새 좌표계에 고정합니다.

가장 간단한 그래프를 안다면 기본 기능, 또는 특성 포인트별로 신속하게 구축하는 방법을 알고 있다면 동일한 클래스의 더 복잡한 기능을 기반으로 그래프를 신속하게 구축할 수도 있습니다. 이를 위해 함수 그래프를 변환하는 규칙이 있습니다. 그들은 기억하기 쉽지만 여전히 결과가 확실하지 않다면 한두 가지 좋은 점을 확인하십시오. 물론 이러한 규칙은 모든 기능에 공통적이며 학교에서 공부하는 기능에만 적용되는 것이 아니므로 알려진 일정을 아래에 표시합니다.

함수의 그래프가 주어집니다. 와이 = NS(NS) ... 함수를 플롯하려면

1. 와이 = MF(NS) , 어디 미디엄> 0 및 미디엄≠ 1, 주어진 그래프의 점의 세로 좌표를 다음과 같이 곱해야 합니다. 미디엄... 이 변환을 스트레칭축에서 벗어난 NS계수로 미디엄, 만약 미디엄 > 1, 및 압축축으로 NS 0이면< 미디엄 < 1.
2. 와이 = -f(NS) NS(NS) 대칭 변환축에 대해 NS... (대칭 변환은 직선에 대한 거울 이미지입니다.)
3. 와이 = NS(NS) + N , 는 함수의 그래프에서 얻습니다. NS(NS) 병렬 전송후자는 세로좌표를 따라 N다음과 같은 경우 N> 0 및 각각에 | N| 아래의 경우 단위 N
4. 와이 = NS(kx) , 어디 케이> 0 및 케이≠ 1. 함수의 필요한 그래프는 주어진 짜내다요인으로 케이축으로 와이(0인 경우< 케이 < 1 указанное "сжатие" фактически является 스트레칭 1 / 케이)
5. 와이 = NS(−NS) 함수 그래프에서 얻습니다. NS(NS) 대칭 변환축에 대해 와이
6. 와이 = NS(엑스 + 엘) 함수 그래프에서 얻습니다. NS(NS) 병렬 전송마지막 엘경우 왼쪽으로 단위 엘> 0 및 각각에 | 엘| 오른쪽으로 단위 미디엄 < 0.

예를 들어, 함수 그래프가 주어지면 와이 = √NS_ .

인수( NS) 제곱근 기호 아래에서 위에 나열된 규칙을 사용합니다. 새로 그려진 축에서 "희미한 연필로" 주어진 그래프를 반복하고 변환 후에 얻을 필요한 그래프를 더 강렬하게 만듭니다. 노트북에서 초과분은 지우개로 제거 할 수 있으며 작업 결과 만 남습니다.

임의의 방향으로 축 중 하나에 대한 그래프의 평행 평행 이동은 반대 방향의 그래프에 대한 이 축의 평행 이동과 같습니다. 따라서 세 번째 및 여섯 번째 규칙은 다음과 같이 결합할 수 있습니다.
와이 = NS(NS − 미디엄) + N
새 좌표계의 원점이 되도록 전체 좌표 평면의 평행 이동을 수행해야 합니다. NS" 와이" 점이 있었다 영형" (미디엄;N). 분명히 그래프를 두 번 다시 그리는 대신 축을 다시 그리는 것이 더 쉽습니다.

와이 = √NS_ ... 플롯 기능 와이 = √NS + 3____ − 1.

이 경우 미디엄 = −3, N= -1. 징후를 식별하는 데 어려움이 있는 경우 미디엄그리고 N, 다음 규칙과 일치하도록 함수 공식을 작성

와이 = NS(NS − 미디엄) + N ; 와이 = √NS − 미디엄 _____ + N ; 와이 = √NS − (−3)_______ + (−1)

아래와 같이 공사를 진행합니다. 축 그리기 원하는 시스템좌표. 좌표가 (−3; −1)인 점을 찾습니다. "창백한 연필"로 주축에 평행 한 직선을 그립니다. 이것은 보조 좌표계입니다. 이 (연필) 좌표계에서 그래프를 작성합니다. 와이 = √NS_ ... 주좌표계에 대한 함수의 그래프입니다. 와이 = √NS + 3____ − 1. 즉 지우개로 연필을 떼면 작성해야 했던 그래프가 남게 됩니다.

함수의 그래프를 작성하기 위해 병렬 변환만 결합해야 하는 경우 실행 순서는 중요하지 않으며 변환이 축인지 곡선인지도 중요하지 않습니다. 그러나 변환, 늘이기-압축 및 반사를 모두 사용하여 복잡한 함수를 플롯해야 하는 경우 작업 순서를 주의 깊게 따라야 합니다.

그래프를 작성할 때 변환 순서입니다.

함수의 그래프가 주어집니다. 와이 = NS(NS) 그리고 당신은 함수를 플롯해야합니다 와이 = 엠에프(kx + 엘) + N , 어디 k, l, m, n- 숫자.

1. 우리는 형식으로 함수 공식을 씁니다. 와이 = 엠에프(k (x + 엘/ 케이)) , 즉. 우리는 계수를 NS함수 인수에서.
2. 우리는 요인으로 압축합니다 케이축을 따라 오축으로 오이... (만약에 케이어이.)
3. 만약에 케이어이.
4. 엘/ 케이왼쪽 또는 오른쪽으로 단위(부호에 따라 양수인 경우 왼쪽으로).
5. 우리는 요인으로 스트레칭 미디엄축에서 벗어난 오(축을 따라 오이). (만약에 미디엄황소.)
6. 만약에 미디엄황소.
7. 결과 그래프의 병렬 전송(이동)을 다음과 같이 수행합니다. N단위 위 또는 아래(기호에 따라 N> 0까지).

예 8.기능 그래프가 설정됨 와이 = √NS_ ... 플롯 기능 와이 = −0,5√3NS − 12______ + 2.

1. 함수 공식을 다음 형식으로 작성합니다. 와이= -0.5 √3 ( NS − 4)_______ + 2 ,
저것들. 우리는 계수를 NS제곱근 기호 아래에서 12/3 = 4를 고려합니다.
2. 잘 알려진 함수 그래프를 작성하십시오. ——
3. 축을 3번 압축합니다. 오이. ——

4.- (축에 대한 대칭 변환 오이필요하지 않기 때문에 케이 = 3 > 0).
5. 결과 차트를 오른쪽으로 4단위 이동합니다. ——
6. 축에 2번 압축(0.5배로 늘림)합니다. 오. ——
7. 축을 중심으로 그래프를 대칭적으로 반영 황소. ——
8. 후자의 2단위를 위로 이동합니다. 필요한 일정을 받았습니다. ——

'편리한' 포인트로 결과를 확인해보자. 예를 들어, NS 1 = 4 및 NS 2 = 16.
와이 1 = −0.5√3 4 - 12 _____ + 2 = 2.
와이 2 = −0.5√3 16 - 12 _____ + 2 = −1.
좌표가 (4; 2) 및 (16; -1)인 점은 실제로 마지막 플롯에 속합니다.

, 경쟁 "수업 발표"

수업 프레젠테이션

뒤로 앞으로

주목! 슬라이드 미리 보기는 정보 제공용이며 모든 프레젠테이션 옵션을 나타내지 않을 수 있습니다. 당신이 관심이 있다면 이 일정식 버전을 다운로드하십시오.

수업 목표:

교육적인:이차 함수의 그래프 이동을 조사하고 계수 b, c의 값에 따라 그래프의 위치를 ​​결정합니다.

교육적인:그룹, 조직에서 일하는 능력.

개발 중: 연구 작업의 기술, 가설을 제시하는 능력, 얻은 결과를 분석하고 얻은 데이터를 체계화하는 능력.

수업 구조

1. 조직적 순간 - 3분.
2. 연구- 20 분.
3. 연구 자료의 통합 - 15분.
4. 반성 - 2분.
5. 수업 요약 - 3분.
6. 숙제 - 2분.

수업 중

1. 조직적 순간.

수업의 목적은 연구 작업을 수행하는 것입니다. 연구의 대상은 이차 함수가 될 것입니다. 다른 종류의... 계수 b, c가 y = x 2 + c, y = (x-b) 2, y = (x-b) 2 + c 형식의 함수 그래프에 어떻게 영향을 미치는지 결정해야 합니다.

과제를 완료하려면 그룹(각 5명씩 4개 그룹, "전문가" 그룹, 가장 준비된 학생)으로 나누어야 합니다.

각 그룹은 연구 계획을받습니다.<Приложение>, 결과 등록용 A3 형식 시트.

2. 연구 업무

.

두 그룹(수준 A)은 y = x 2 + c 형식의 기능을 조사하고, 한 그룹(수준 B)은 y = (xb) 2 형식의 함수를 조사하고, 한 그룹(수준 C)은 y = (xb) 기능을 조사합니다. ) 2 + 다. "전문가" 그룹이 모든 기능을 검사합니다.

	기능	결과
1군	y = x 2 +3;	<Рисунок 10>
두 번째 그룹	y = x 2 -5;	<Рисунок 11>
그룹 3	y = (x-4) 2;	<Рисунок 12>
4 그룹	y = (x-2) 2 +3.	<Рисунок 13>

업무 계획

1. 가설을 세우기 위해 함수가 어떻게 생겼는지 가정합니다.
2. 조사된 함수의 그래프를 플로팅합니다(포물선의 꼭짓점 정의(x 0, y 0), 표에서 4개 점 설정).
3. 결과 그래프를 대조군 샘플 y = x 2와 비교합니다.
4. 결론을 도출하십시오(대조군 샘플에 비해 함수 그래프의 위치가 어떻게 변경되었는지).
5. 결과를 A3 용지에 작성하여 "전문가" 그룹에 제출합니다.

"전문가" 그룹은 자신의 결과를 다른 그룹의 결과와 비교하고 결과를 체계화하고 요약하여 결론을 내립니다. 부정확하거나 오류가 있는 경우 교사는 수정 의견을 제시합니다.

로 얻은 결과의 조정 슬라이드 번호 2-5.

모든 이차 함수 y = ax 2 + bx + c는 y = a (x-x 0) 2 + y 0으로 작성할 수 있습니다. 여기서 x 0 및 y 0은 계수 a, b, c를 통해 표현됩니다. 따라서 계수 b = x 0, c = y 0은 포물선 정점의 좌표입니다.

3. 연구 자료의 통합.

클래스와 정면 작업.

1. 함수 그래프에서 오류 찾기 (슬라이드 번호 6-9).

계수 b	실수 없어
그림 1	그림 2
y = (x + 5) 2 -1	y = (x-2) 2 +2
계수 b 및 c	계수 b
그림 3	그림 4