Der Zyklus "Unterhaltsame Mathematik" ist mathematisch interessierten Kindern und Eltern gewidmet, die sich der Entwicklung ihrer Kinder widmen und ihnen interessante und unterhaltsame Aufgaben und Rätsel "zuwerfen".

Der erste Artikel dieser Reihe widmet sich der Gauß-Regel.

Ein bisschen Geschichte

Der berühmte deutsche Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777-1855) unterschied sich von seiner frühen Kindheit an von seinen Altersgenossen. Obwohl er aus einer armen Familie stammte, lernte er früh genug lesen, schreiben und zählen. In seiner Biografie wird sogar erwähnt, dass er im Alter von 4-5 Jahren den Fehler in den Fehleinschätzungen seines Vaters durch einfaches Beobachten korrigieren konnte.

Eine seiner ersten Entdeckungen machte er im Alter von 6 Jahren im Mathematikunterricht. Der Lehrer musste die Kinder lange Zeit fesseln und schlug folgendes Problem vor:

Finde die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100.

Der junge Gauß meisterte diese Aufgabe schnell genug und fand ein interessantes Muster, das sich verbreitete und bis heute im mündlichen Zählen verwendet wird.

Versuchen wir, dieses Problem mündlich zu lösen. Aber nehmen wir zuerst die Zahlen von 1 bis 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Schauen Sie sich diesen Betrag genau an und versuchen Sie zu erraten, was Gauß ungewöhnlich sehen könnte? Um zu antworten, müssen Sie eine gute Vorstellung von der Zusammensetzung der Zahlen haben.

Gauss gruppierte die Zahlen wie folgt:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

So hat der kleine Karl 5 Zahlenpaare erhalten, von denen jedes einzeln 11 ergibt. Um dann die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 10 zu berechnen, brauchst du

Kommen wir zurück zum ursprünglichen Problem. Gauss bemerkte, dass es vor dem Summieren notwendig war, Zahlen zu Paaren zu gruppieren und erfand daher einen Algorithmus, mit dem man schnell Zahlen von 1 bis 100 addieren kann:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Finden Sie die Anzahl der Paare in einer Reihe natürlicher Zahlen. In diesem Fall sind es 50 davon.

Fassen wir die erste und letzte Nummer dieser Reihe zusammen. In unserem Beispiel sind dies 1 und 100. Wir erhalten 101.

Wir multiplizieren die resultierende Summe des ersten und letzten Termes in der Reihe mit der Anzahl der Paare in dieser Reihe. Wir erhalten 101 * 50 = 5050

Daher ist die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 5050.

Probleme bei der Anwendung der Gauss-Regel

Und jetzt bieten wir Ihnen Probleme an, bei denen die Gauss-Regel in gewissem Maße verwendet wird. Ein Viertklässler ist durchaus in der Lage, diese Probleme zu verstehen und zu lösen.

Sie können dem Kind die Möglichkeit geben, für sich selbst zu argumentieren, damit es diese Regel selbst "erfunden" hat. Oder Sie können es auseinandernehmen und sehen, wie er es anwenden kann. Unter den folgenden Aufgaben finden Sie Beispiele, in denen Sie verstehen müssen, wie die Gaußsche Regel geändert wird, um sie auf eine bestimmte Sequenz anzuwenden.

Damit ein Kind in seinen Berechnungen damit arbeiten kann, ist in jedem Fall ein Verständnis des Gauß-Algorithmus erforderlich, dh die Fähigkeit, richtig in Paare aufzuteilen und zu zählen.

Wichtig! Wird eine Formel ohne Verständnis auswendig gelernt, wird sie sehr schnell vergessen.

Aufgabe 1

Finde die Summe der Zahlen:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Lösung.

Sie können dem Kind zunächst die Möglichkeit geben, das erste Beispiel selbst zu lösen und anbieten, einen Weg zu finden, wie dies im Kopf leicht zu bewerkstelligen ist. Analysieren Sie als nächstes dieses Beispiel gemeinsam mit dem Kind und zeigen Sie, wie Gauß es gemacht hat. Am besten schreibst du der Übersichtlichkeit halber eine Reihe auf und verbindest Zahlenpaare mit Linien, die sich zur gleichen Zahl addieren. Es ist wichtig, dass das Kind versteht, wie Paare gebildet werden - wir nehmen die kleinste und die größte der verbleibenden Zahlen, vorausgesetzt, die Anzahl der Zahlen in der Reihe ist gerade.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Aufgabe2

Es gibt 9 Gewichte von 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Können diese Gewichte in drei gleich schwere Stapel aufgeteilt werden?

Lösung.

Mit der Gauss-Regel finden wir die Summe aller Gewichte:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)

Das heißt, wenn wir die Gewichte so gruppieren können, dass jeder Stapel Gewichte mit einem Gesamtgewicht von 15g enthält, ist das Problem gelöst.

Eine der Optionen:

• 9g, 6g
• 8g, 7g
• 5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Finden Sie mit Ihrem Kind selbst andere Möglichkeiten.

Achten Sie auf das Kind, dass es beim Lösen solcher Probleme besser ist, immer mit einem höheren Gewicht (Zahl) zu gruppieren.

Aufgabe 3

Ist es möglich, das Zifferblatt mit einer geraden Linie in zwei Teile zu teilen, damit die Summen der Zahlen in jedem Teil gleich sind?

Lösung.

Wenden Sie zunächst die Gauss-Regel auf eine Reihe von Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 an: Finden Sie die Summe und prüfen Sie, ob sie durch 2 teilbar ist:

Sie können sich also teilen. Mal sehen, wie.

Daher ist es notwendig, eine Linie auf dem Zifferblatt zu zeichnen, damit 3 Paare in eine Hälfte und drei in die andere Hälfte fallen.

Antwort: Die Linie verläuft zwischen den Zahlen 3 und 4 und dann zwischen den Zahlen 9 und 10.

Aufgabe4

Ist es möglich, auf dem Zifferblatt einer Uhr zwei gerade Linien zu zeichnen, damit in jedem Teil die Summe der Zahlen gleich ist?

Lösung.

Wenden Sie zunächst die Gauss-Regel auf eine Reihe von Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 an: Finden Sie die Summe und prüfen Sie, ob sie durch 3 teilbar ist:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 ist ohne Rest durch 3 teilbar, du kannst also dividieren. Mal sehen, wie.

Nach der Gaußschen Regel erhalten wir 6 Zahlenpaare, von denen jedes zusammen 13 ergibt:

1 und 12, 2 und 11, 3 und 10, 4 und 9, 5 und 8, 6 und 7.

Daher ist es notwendig, Linien auf dem Zifferblatt zu zeichnen, damit 2 Paare in jedes Teil fallen.

Antwort: Die erste Zeile verläuft zwischen den Zahlen 2 und 3 und dann zwischen den Zahlen 10 und 11; die zweite Zeile liegt zwischen den Zahlen 4 und 5 und dann zwischen 8 und 9.

Aufgabe 5

Ein Vogelschwarm fliegt. Es folgt ein Vogel (Anführer), gefolgt von zwei, dann drei, vier usw. Wie viele Vögel sind in der Herde, wenn es 20 in der letzten Reihe gibt?

Lösung.

Wir bekommen, dass wir Zahlen von 1 bis 20 addieren müssen. Und um eine solche Summe zu berechnen, können Sie die Gauss-Regel anwenden:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Aufgabe 6

Wie bringt man 45 Kaninchen in 9 Käfige, damit alle Käfige eine unterschiedliche Anzahl von Kaninchen haben?

Lösung.

Wenn das Kind die Beispiele aus Aufgabe 1 verständnisvoll entschieden und verstanden hat, erinnert es sich sofort daran, dass 45 die Summe der Zahlen von 1 bis 9 ist. Daher pflanzen wir Kaninchen so:

• die erste Zelle ist 1,
• der zweite ist 2,
• dritte - 3,
• Achtel - 8,
• neunte - 9.

Aber wenn das Kind es nicht sofort herausfinden kann, versuchen Sie, es auf die Idee zu bringen, dass solche Probleme mit roher Gewalt gelöst werden können und mit der Mindestanzahl beginnen müssen.

Problem 7

Berechnen Sie die Summe mit dem Gauss-Trick:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Lösung.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Aufgabe 8

Es gibt ein Set mit 12 Gewichten 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Es wurden 4 Gewichte aus dem Satz entfernt, deren Gesamtmasse einem Drittel der Gesamtmasse des gesamten Gewichtssatzes entspricht. Ist es möglich, die restlichen Gewichte auf zwei Waagen, 4 Stück auf jeder Schale, so zu legen, dass sie im Gleichgewicht sind?

Lösung.

Wir wenden die Gauss-Regel an, um die Gesamtmasse der Gewichte zu bestimmen:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)

Wir berechnen die Masse der entfernten Gewichte:

Daher müssen die restlichen Gewichte (mit einer Gesamtmasse von 78-26 = 52 g) 26 g auf jede Waagschale gelegt werden, damit sie im Gleichgewicht sind.

Wir wissen nicht, welche Gewichtungen entfernt wurden, daher müssen wir alle möglichen Optionen in Betracht ziehen.

Nach der Gauss-Regel können Gewichte in 6 gleichgewichtige Paare (jeweils 13 g) aufgeteilt werden:

1d und 12d, 2d und 11d, 3d und 10, 4d und 9d, 5d und 8d, 6d und 7d.

Dann ist die beste Option, wenn beim Entfernen von 4 Gewichten zwei Paare von oben entfernt werden. In diesem Fall haben wir 4 Paare: 2 Paare auf einer Skala und 2 Paare auf der anderen.

Das Worst-Case-Szenario ist, wenn 4 entfernte Gewichte 4 Paare brechen. Wir werden 2 ununterbrochene Paare mit einem Gesamtgewicht von 26g haben, das heißt, wir legen sie auf eine Waagschale, und die restlichen Gewichte können auf die andere Waagschale gelegt werden und sie werden ebenfalls 26g haben.

Viel Erfolg bei der Entwicklung Ihrer Kinder.

Inhalt:

Ganzzahlen sind Zahlen, die keinen Nachkomma- oder Nachkommateil enthalten. Wenn ein Problem das Hinzufügen einer bestimmten Anzahl von ganzen Zahlen von 1 zu einem gegebenen Wert N erfordert, müssen diese nicht manuell hinzugefügt werden. Verwenden Sie stattdessen die Formel (N (N + 1)) / 2, wobei N . ist größte Zahl Reihe.

Schritte

1. 1 Bestimme die größte ganze Zahl (N). Indem Sie ganze Zahlen von 1 zu einer beliebigen Zahl N summieren, müssen Sie den Wert von N bestimmen (N kann nicht sein Dezimalzahl oder ein Bruch oder eine negative Zahl).
   • Beispiel. Finden Sie die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 100. In diesem Fall ist N = 100, da dies die größte (und endliche) Zahl der Ihnen gegebenen Zahlenreihe ist.
2. 2 Multipliziere N mit (N+1) und dividiere durch 2. Wenn Sie den ganzzahligen Wert N ermittelt haben, setzen Sie ihn in die Formel (N (N + 1)) / 2 ein und Sie erhalten die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis N.
   • Beispiel. Ersetzen Sie N = 100, um (100 (100 + 1)) / 2 zu erhalten.
3. 3 Schreiben Sie Ihre Antwort auf. Die endgültige Antwort ist die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis zum gegebenen N.
   • Beispiel.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Die Summe aller ganzen Zahlen zwischen 1 und 100 ist 5050.
4. 4 Herleitung der Formel (N (N + 1)) / 2. Betrachten Sie das obige Beispiel noch einmal. Teilen Sie die Reihe 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 gedanklich in zwei Reihen - die erste von 1 bis 50 und die zweite von 51 bis 100. Wenn Sie die erste Zahl (1) der ersten hinzufügen Zeile und der letzten Zahl (100 ) der zweiten Zeile erhalten Sie 101. Sie erhalten auch 101, wenn Sie 2 und 99, 3 und 98, 4 und 97 usw. addieren. Wenn jede Zahl der ersten Gruppe mit der entsprechenden Zahl der zweiten Gruppe addiert wird, erhalten wir am Ende 50 Zahlen, von denen jede 101 ist. Daher ist 50 * 101 = 5050 die Summe der Zahlen von 1 bis 100. Beachten Sie, dass 50 = 100/2 und 101 = 100 + 1 gilt. Tatsächlich gilt dies für die Summe aller positiven ganzen Zahlen: Ihre Summation kann in zwei Stufen mit zwei Zahlenreihen unterteilt werden, und die entsprechenden Zahlen in jeder Reihe können addiert werden, und das Ergebnis der Addition ist das gleiche.
   • Wir können sagen, dass die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis N (N / 2) (N + 1) ist. Eine vereinfachte Darstellung dieser Formel ist die Formel (N (N + 1)) / 2.

Berechnen der Summe der Zahlen zwischen zwei Zahlen mit der Summe von 1 bis N

1. 1 Bestimmen Sie die Summationsoption (inklusive oder nicht). Anstatt die Summe der Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Zahl N zu finden, werden sie oft in Problemen gebeten, die Summe der ganzen Zahlen von N 1 bis N 2 zu finden, wobei N 2 > N 1 und beide Zahlen > 1 sind sum ist recht einfach, aber bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, müssen Sie feststellen, ob diese Zahlen in N 1 und N 2 in der Endsumme enthalten sind oder nicht.
2. 2 Um die Summe der ganzen Zahlen zwischen zwei Zahlen N 1 und N 2 zu finden, berechnen Sie separat die Summe bis N 1, separat die Summe bis N 2 und subtrahieren Sie sie voneinander (subtrahieren Sie die Summe bis zum unteren Wert N von die Summe bis zum größeren Wert N). In diesem Fall ist es wichtig zu wissen, ob man inklusiv zusammenfassen soll oder nicht. Beim Aufsummieren müssen Sie 1 vom angegebenen Wert von N 1 subtrahieren; andernfalls müssen Sie 1 vom angegebenen N 2 -Wert subtrahieren.
   • Beispiel. Finden Sie die Summe ("inklusive") der ganzen Zahlen von N 1 = 75 bis N 2 = 100. Mit anderen Worten, wir müssen 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100 finden. Um das Problem zu lösen, müssen wir finden die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis N 1 -1, und subtrahieren sie dann von der Summe der Zahlen von 1 bis N 2 (denken Sie daran: wenn wir inklusive addieren, subtrahieren wir 1 von N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1)) / 2 - ((N 1 -1) ((N 1 -1) + 1)) / 2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Die Summe der Zahlen von 75 bis 100 ("inklusive") ist 2275.
   • Lassen Sie uns nun die Summe der Zahlen finden, ohne diese Zahlen einzubeziehen (mit anderen Worten, wir sollten 76 + 77 + ... + 99 finden). In diesem Fall subtrahieren wir 1 von N 2:
     • ((N 2 -1) ((N 2 -1) + 1)) / 2 - (N 1 (N 1 + 1)) / 2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. Die Summe der Zahlen von 75 bis 100 (ohne diese Zahlen einzuschließen) ist 2100.
3. 3 Verstehen Sie den Prozess. Stellen Sie sich die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 als 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 vor und die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 75 als 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75 Die Summe der ganzen Zahlen von 75 bis 100 ("inklusive") ist die Berechnung: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Die Summe der Zahlen von 1 bis 75 und die Summe der Zahlen von 1 bis 100 sind gleich 75, aber die Summe der Zahlen von 1 bis 100 nach der Zahl 75 setzt sich fort: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Subtrahiert also die Summe der Zahlen von 1 bis 75 von der Summe von Zahlen von 1 bis 100, "isolieren" wir die Summe der ganzen Zahlen von 75 bis 100.
   • Wenn wir inklusiv addieren, müssen wir einen Betrag zwischen 1 und 74 anstelle eines Betrags zwischen 1 und 75 verwenden, um 75 in den Endbetrag einzubeziehen.
   • Wenn wir summieren, ohne diese Zahlen einzubeziehen, müssen wir die Summe von 1 bis 99 anstelle der Summe von 1 bis 100 verwenden, um die Zahl 100 von der Endsumme auszuschließen. Wir können einen Betrag zwischen 1 und 75 verwenden, da die Subtraktion von dem Betrag zwischen 1 und 99 75 vom Endbetrag ausschließt.

• Als Ergebnis der Summenberechnung erhält man immer eine ganze Zahl, da entweder N oder N +1 - gerade Zahl, die ohne Rest durch 2 teilbar ist.
• Betrag = Betrag - Betrag.
• Mit anderen Worten: Summe = n (n + 1) / 2

Warnungen

• Obwohl es nicht sehr schwierig ist, diese Methode auf negative Zahlen zu erweitern, behandelt dieser Artikel nur alle positiven ganzen Zahlen N, bei denen N größer oder gleich 1 ist.

helfen Sie mir bitte!! berechne die Summe der natürlichen Zahlen aus 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100. und habe die beste antwort

Antwort von Alexander Heinonen [Guru]
Der herausragende deutsche Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777-1855) wurde von seinen Zeitgenossen "der König der Mathematik" genannt.
Schon in der frühen Kindheit zeigte er herausragende mathematische Fähigkeiten. Bereits im Alter von drei Jahren korrigierte Gauss die Rechnungen seines Vaters.
Sie sagen das in Grundschule wo Gauss studiert hat (6 Jahre), Lehrer, um lange Zeit die Klasse zu nehmen unabhängige Arbeit, gab den Schülern die Aufgabe - die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu berechnen. Der kleine Gauss beantwortete die Frage fast sofort, was alle und vor allem den Lehrer unglaublich überraschte.
Versuchen wir, das Problem, die Summe der obigen Zahlen zu finden, mündlich zu lösen. Nehmen wir zunächst die Summe der Zahlen von 1 bis 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Gauss fand heraus, dass 1 + 10 = 11 und 2 + 9 = 11 und so weiter sind. Er stellte fest, dass beim Addieren der natürlichen Zahlen von 1 bis 10 5 solcher Paare erhalten werden und dass 5 mal 11 gleich 55 ist.
Gauß sah, dass die Addition der Zahlen der gesamten Reihe paarweise erfolgen sollte, und erstellte einen Algorithmus zum schnellen Addieren von Zahlen von 1 bis 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Es ist notwendig, die Anzahl der Zahlenpaare in der Reihenfolge von 1 bis 100 zu zählen. Wir erhalten 50 Paare.
2. Addieren Sie die erste und die letzte Zahl der gesamten Sequenz. In unserem Fall sind dies 1 und 100. Wir erhalten 101.
3. Multiplizieren Sie die Anzahl der Zahlenpaare in der Folge mit der in Schritt 2 erhaltenen Summe. Wir bekommen 5050.
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 ist also 5050.
Einfache Formel: die Summe der Zahlen von 1 bis n = n * (n + 1): 2. Ersetze n durch die letzte Zahl und berechne.
Hör zu! Es klappt!

Antwort von Anya Fertikova[Neuling]
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Antwort von Michail Medwedew[aktiv]
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Antwort von Pavel Solomennikov[Neuling]
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Antwort von Alevtina baschkowa[Neuling]
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Antwort von Tikhomirovs Spiel[aktiv]
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Antwort von Maria dubrovina[Neuling]
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Antwort von avil Badirov[Neuling]
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Antwort von Dmitriy[aktiv]
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Antwort von Evgeny Sayapov[aktiv]
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Antwort von 2 Antworten[Guru]