Nöqtələr (±1, ±1, ±1, ±1). Başqa sözlə, onu aşağıdakı dəst kimi təqdim etmək olar:

Tesserakt səkkiz hiperplanla məhdudlaşır, tesseraktın özü ilə kəsişməsi onun üçölçülü üzlərini (bunlar adi kublar) müəyyənləşdirir. Paralel olmayan 3D üzlərin hər bir cütü kəsişir və 2D üzlər (kvadratlar) əmələ gətirir və s. Nəhayət, tesseraktın 8 3D üzü, 24 2D, 32 kənar və 16 təpəsi var.

Populyar Təsvir

Üç ölçülü məkanı tərk etmədən hiperkubun necə görünəcəyini təsəvvür etməyə çalışaq.

Birölçülü "fəzada" - xətt üzrə - uzunluğu L olan AB seqmentini seçirik. İkiölçülü müstəvidə AB-dən L məsafədə ona paralel DC seqmentini çəkirik və onların uclarını birləşdiririk. Siz kvadrat CDBA alacaqsınız. Bu əməliyyatı bir təyyarə ilə təkrarlayaraq, üç ölçülü kub CDBAGHFE alırıq. Və kubu dördüncü ölçüdə (ilk üçə perpendikulyar) L məsafəsinə köçürməklə biz CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkubunu alırıq.

Təyyarədə tesseraktın qurulması

Bir ölçülü AB seqmenti iki ölçülü kvadrat CDBA-nın tərəfi kimi xidmət edir, kvadrat CDBAGHFE kubunun tərəfidir, bu da öz növbəsində dörd ölçülü hiperkubun tərəfi olacaqdır. Düz xətt seqmentinin iki sərhəd nöqtəsi, kvadratın dörd təpəsi, kubun isə səkkizi var. Beləliklə, dörd ölçülü hiperkubda 16 təpə olacaq: orijinal kubun 8 təpəsi və dördüncü ölçüdə yerdəyişən 8 təpə. Onun 32 kənarı var - 12-nin hər biri orijinal kubun ilkin və son mövqelərini verir və daha 8 kənar onun dördüncü ölçüyə keçən səkkiz təpəsini "çəkir". Eyni mülahizə hiperkubun üzləri üçün də edilə bilər. İki ölçülü məkanda birdir (kvadratın özü), kubun 6-sı var (köçürülən kvadratdan iki üz və daha dörd tərəfi təsvir edəcək). Dörd ölçülü hiperkubun 24 kvadrat üzü var - iki mövqedə orijinal kubun 12 kvadratı və onun on iki kənarından 12 kvadrat.

Kvadratın tərəfləri 4 birölçülü seqment və kubun tərəfləri (üzləri) 6 ikiölçülü kvadrat olduğundan, “dördölçülü kub” (tesserakt) üçün tərəflər 8 üçölçülü kubdur. Qarşılıqlı tesserakt kub cütlərinin fəzaları (yəni bu kubların aid olduğu üçölçülü fəzalar) paraleldir. Şəkildə bunlar kublardır: CDBAGHFE və KLJIOPNM, CDBAKLJI və GHFEOPNM, EFBAMNJI və GHDCOPLK, CKIAGOME və DLJBHPNF.

Eynilə, hiperkublar üçün əsaslandırmaya davam edə bilərik daha çoxölçülər, lakin dördölçülü hiperkubun bizim, üçölçülü fəzanın sakinləri üçün necə görünəcəyini görmək daha maraqlıdır. Bunun üçün artıq tanış olan analogiya metodundan istifadə edək.

Gəlin ABCDHEFG məftil kubunu götürək və ona üz tərəfdən bir gözlə baxaq. Təyyarədə dörd xətt - yan kənarlarla birləşdirilən iki kvadratı (yaxın və uzaq üzlərini) görəcəyik və çəkə bilərik. Eynilə, üç ölçülü məkanda dörd ölçülü hiperkub bir-birinə daxil edilmiş və səkkiz kənar ilə birləşdirilən iki kub "qutu" kimi görünəcəkdir. Bu halda, "qutuların" özləri - üç ölçülü üzlər - "bizim" məkana proyeksiya ediləcək və onları birləşdirən xətlər dördüncü ox istiqamətində uzanacaqdır. Siz həmçinin bir kubu proyeksiyada deyil, məkan təsvirində təsəvvür etməyə cəhd edə bilərsiniz.

Necə ki, üç ölçülü kub üzün uzunluğuna görə yerdəyişən kvadratdan əmələ gəlir, dördüncü ölçüyə sürüşdürülmüş kub hiperkub əmələ gətirir. Gələcəkdə bəzi yaraşıqlı görünəcək səkkiz kub ilə məhdudlaşır mürəkkəb fiqur. Dördölçülü hiperkubun özü sonsuz sayda kubdan ibarətdir, necə ki, üç ölçülü kub sonsuz sayda düz kvadratlara “kəsilir”.

Üç ölçülü kubun altı üzünü kəsərək, onu düz bir rəqəmə - inkişafa parçalaya bilərsiniz. Orijinal üzün hər tərəfində bir kvadrat olacaq, üstəlik bir daha - ona qarşı olan üz. Dördölçülü hiperkubun üçölçülü inkişafı orijinal kubdan, ondan "böyüyən" altı kubdan, üstəlik daha bir kubdan - son "hiperüz"dən ibarət olacaq.

Tesseraktın xassələri xüsusiyyətlərin bir uzantısıdır həndəsi fiqurlarölçüsünü dördölçülü məkana endirin.

proqnozlar

iki ölçülü fəzaya

Bu strukturu təsəvvür etmək çətindir, lakin tesseraktı 2D və ya 3D məkanlara proyeksiya etmək mümkündür. Bundan əlavə, müstəviyə proyeksiya hiperkubun təpələrinin yerini başa düşməyi asanlaşdırır. Bu yolla, artıq tesserakt daxilində məkan münasibətlərini əks etdirməyən, lakin aşağıdakı nümunələrdə olduğu kimi təpə keçid strukturunu təsvir edən şəkillər əldə edilə bilər:

Üçüncü şəkil tikinti nöqtəsinə nisbətən tesseraktı izometriyada göstərir. Paralel hesablamada çoxsaylı prosessorları əlaqələndirmək üçün topoloji şəbəkə üçün əsas kimi tesseraktdan istifadə edərkən bu baxış maraq doğurur.

üçölçülü fəzaya

Tesseraktın üçölçülü fəzaya proyeksiyalarından biri, müvafiq təpələri seqmentlərlə birləşdirilən iki iç-içə üçölçülü kubdur. Daxili və xarici kublar 3D məkanında fərqli ölçülərə malikdir, lakin 4D məkanında onlar bərabər kublardır. Tesseraktın bütün kublarının bərabərliyini başa düşmək üçün tesseraktın fırlanan modeli yaradılmışdır.

• Tesseraktın kənarları boyunca altı kəsilmiş piramida bərabər altı kubun təsvirləridir. Bununla belə, bu kublar tesserakt üçün kvadratlar (üzlər) kub üçün olduğu kimidir. Amma əslində tesserakt sonsuz sayda kublara bölünə bilər, necə ki, bir kub sonsuz sayda kvadratlara bölünə bilər və ya kvadrat sonsuz sayda seqmentlərə bölünə bilər.

Tesseraktın üçölçülü fəzaya başqa bir maraqlı proyeksiyası dörd diaqonalı çəkilmiş rombvari dodekaedrdir, böyük romb bucaqlarında əks təpələri birləşdirən cütdür. Bu zaman tesseraktın 16 təpəsindən 14-ü rombvari dodekaedrin 14 təpəsinə proyeksiya edilir, qalan 2-nin proyeksiyaları isə onun mərkəzində üst-üstə düşür. Üç ölçülü fəzaya belə bir proyeksiyada bütün bir ölçülü, iki ölçülü və üç ölçülü tərəflərin bərabərliyi və paralelliyi qorunur.

stereo cüt

Tesseraktın stereo cütü üçölçülü fəzaya iki proyeksiya kimi təsvir edilmişdir. Tesseraktın bu təsviri dərinliyi dördüncü ölçü kimi təqdim etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Stereo cütə elə baxılır ki, hər bir göz bu təsvirlərdən yalnız birini görsün, tesseraktın dərinliyini əks etdirən stereoskopik şəkil yaranır.

Tesseract açılır

Tesseraktın səthi səkkiz kuba açıla bilər (bir kubun səthinin altı kvadrata necə açıldığına bənzər). Tesseraktın 261 müxtəlif açılımı var. Bir tesseraktın açılmalarını qrafikdə əlaqəli küncləri çəkməklə hesablamaq olar.

İncəsənətdə Tesserakt

• Edwine A. Abbottun New Plain əsərində hiperkub hekayəçidir.
• "Cimmi Neytronun sərgüzəştləri" serialının bir epizodunda "dahi oğlan" Cimmi Robert Heinleinin "Şöhrət Yolu" (1963) romanındakı bükülmə qutusu ilə eyni olan dördölçülü hiperkub icad edir.
• Robert E. Heinlein ən azı üç elmi fantastika hekayəsində hiperkublardan bəhs etmişdir. Dörd Ölçülü Evdə (The House That Built Built) tesseraktın açılması kimi tikilmiş evi təsvir etdi, sonra isə zəlzələ nəticəsində dördüncü ölçüdə “formalaşdı” və “əsl” tesserakt oldu.
• Heinlein-in "Şöhrət Yolu" romanında içəridən xaricdən daha böyük olan hiperölçülü qutu təsvir edilir.
• Henri Kuttnerin "All Borog's Tenals" hekayəsi quruluşca tesserakt kimi uzaq gələcəkdən olan uşaqlar üçün öyrədici oyuncağını təsvir edir.
• Aleks Qarlandın ( ) romanında "tesserakt" termini hiperkubun özündən çox, dördölçülü hiperkubun üçölçülü açılması üçün istifadə olunur. Bu, idrak sisteminin dərk edilə biləndən daha geniş olması lazım olduğunu göstərmək üçün hazırlanmış bir metaforadır.
• The Cube 2-nin süjeti: Hypercube, "hiperkub"da və ya bir-birinə bağlı kublar şəbəkəsində sıxışmış səkkiz yad adam üzərində cəmlənir.
• Andromeda serialı sui-qəsd cihazı kimi tesseract generatorlarından istifadə edir. Onlar ilk növbədə məkanı və vaxtı idarə etmək üçün nəzərdə tutulub.
• Salvador Dalinin () "Çarmıxa çəkilmə" (Corpus Hypercubus) tablosu.
• Nextwave komiksi 5 tesserakt zonası olan bir avtomobili təsvir edir.
• Voivod Nothingface albomunda mahnılardan biri "In my hypercube" adlanır.
• Anthony Pierce-nin "Route Cube" romanında BDA-nın orbital peyklərindən biri 3 ölçüyə sıxılmış tesserakt adlanır.
• "Məktəb" Qara Dəlik "" serialında üçüncü mövsümdə "Tesseract" epizodu var. Lucas gizli düyməni basır və məktəb "riyazi tesserakt kimi formalaşmağa" başlayır.
• "Tesseract" termini və ondan yaranan "tesse" termini Madlen L'Enqlenin "Zamanın qırışı" hekayəsində tapılır.
• TesseracT İngilis djent qrupunun adıdır.
• Marvel Sinematik Kainatı film seriyasında Tesseract əsas süjet elementi, hiperkub formalı kosmik artefaktdır.
• Robert Şeklinin "Miss Siçan və Dördüncü Ölçü" hekayəsində müəllifin tanışı olan ezoterik yazıçı tesseraktı görməyə çalışır, onun tərtib etdiyi cihazda saatlarla axtarır: çubuqlar yapışdırılmış ayağın üzərində top, üzərində. hansı kublar əkilir, hər cür ezoterik simvollarla yapışdırılır. Hekayədə Hintonun işindən bəhs edilir.
• İlk qisasçı, Qisasçılar filmlərində. Tesseract bütün kainatın enerjisidir

Başqa adlar

• Hexadecachoron (İngilis dili) Hexadecachoron)
• Octochoron (İngilis dili) Oktaxoron)
• tetrakub
• 4 kub
• Hypercube (ölçülərin sayı göstərilməyibsə)

Qeydlər

Ədəbiyyat

• Charles H Hinton. Dördüncü Ölçü, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Qardner, Riyaziyyat Karnavalı, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Bağlantılar

Rusca

• Transformator 4d proqramı. Dördölçülü obyektlərin (Hiperkub daxil olmaqla) üçölçülü proyeksiyalarının modellərinin formalaşdırılması.
• C++ mənbələri ilə tesseraktın qurulmasını və onun bütün affin çevrilmələrini həyata keçirən proqram.

İngiliscə

• Mushware Limited tesseract çıxış proqramıdır ( Tesseract Təlimçisi, GPLv2 altında lisenziyalı) və 4D birinci şəxs atıcı ( Adanaxis; qrafika, əsasən üçölçülü; OS depolarında GPL versiyası var).

Çoxyüzlülər
düzgün (Platonik Bərk Maddələr)
Ulduzlu dodekaedr Ulduzlu ikozidodekahedr Ulduzlu ikosahedr Ulduzlu çoxüzlü Ulduzlu oktaedr
qabarıq	Arximed bərk cisimləri Cuboctahedron Icosidodecahedron Kesilir tetrahedron Kesilir səkkizüzlü Kesilir Icosahedron Kesilir kub Kesilir dodecahedron icosidodecahedron Rhombotruncated cuboctahedron Rhombicuboctahedron Rhomboicosododecahedron Rhombicosidodecahedron Kesilir dikburun kub dikburun dodecahedron Kesilir cuboctahedron Kesilir və cosidodecahedron Katalon cəsədləri Rombododekaedron Rombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakisheksaedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedro Deltoidal hexexecontahedron Pentagonal icositetrahedron Discontahedron Pentagonal icositetrahedron Discontahedron... Tam məkan simmetriyası olmadan Piramida Prizma Bipiramida Antiprizm Zonohedron Paralelepiped Rombedr Prizmatoid Kəsik Piramida Pentaqondodekaedr Paralellohedr
düsturlar, teoremlər, nəzəriyyələr
Digər

Tesseract (digər yunanca τέσσερες ἀκτῖνες - dörd şüa) - dörd ölçülü hiperkub - dördölçülü fəzada kubun analoqu.

Şəkil dördölçülü kubun üçölçülü fəzaya proyeksiyasıdır (perspektividir).

Oksford Lüğətinə görə, "tesseract" sözü 1888-ci ildə Çarlz Hovard Hinton (1853-1907) tərəfindən "Yeni Düşüncə Əsri" kitabında işlənib hazırlanmış və istifadə edilmişdir. Sonralar bəzi insanlar eyni fiquru “tetrakub” adlandırdılar.

Həndəsə

Evklid dördölçülü fəzasında adi tesserakt nöqtələrin qabarıq gövdəsi (±1, ±1, ±1, ±1) kimi müəyyən edilir. Başqa sözlə, onu aşağıdakı dəst kimi təqdim etmək olar:

Tesserakt səkkiz hiperplanla məhdudlaşır, tesseraktın özü ilə kəsişməsi onun üçölçülü üzlərini (bunlar adi kublar) müəyyənləşdirir. Paralel olmayan 3D üzlərin hər bir cütü kəsişir və 2D üzlər (kvadratlar) əmələ gətirir və s. Nəhayət, tesseraktın 8 3D üzü, 24 2D, 32 kənar və 16 təpəsi var.

Populyar Təsvir

Üç ölçülü məkanı tərk etmədən hiperkubun necə görünəcəyini təsəvvür etməyə çalışaq.

Birölçülü "fəzada" - xətt üzrə - uzunluğu L olan AB seqmentini seçirik. İkiölçülü müstəvidə AB-dən L məsafədə ona paralel DC seqmentini çəkirik və onların uclarını birləşdiririk. ABCD kvadratını alın. Bu əməliyyatı müstəvi ilə təkrarlasaq, ABCDHEFG üçölçülü kubunu alırıq. Və kubu dördüncü ölçüdə (ilk üçə perpendikulyar) L məsafəsinə köçürməklə biz ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkubunu alırıq.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Bir ölçülü AB seqmenti iki ölçülü ABCD kvadratının tərəfi kimi xidmət edir, kvadrat ABCDHEFG kubunun tərəfidir, bu da öz növbəsində dörd ölçülü hiperkubun tərəfi olacaqdır. Düz xətt seqmentinin iki sərhəd nöqtəsi, kvadratın dörd təpəsi, kubun isə səkkizi var. Beləliklə, dörd ölçülü hiperkubda 16 təpə olacaq: orijinal kubun 8 təpəsi və dördüncü ölçüdə yerdəyişən 8 təpə. Onun 32 kənarı var - 12-nin hər biri orijinal kubun ilkin və son mövqelərini verir və daha 8 kənar onun dördüncü ölçüyə keçən səkkiz təpəsini "çəkir". Eyni mülahizə hiperkubun üzləri üçün də edilə bilər. İki ölçülü məkanda birdir (kvadratın özü), kubun 6-sı var (köçürülən kvadratdan iki üz və daha dörd tərəfi təsvir edəcək). Dörd ölçülü hiperkubun 24 kvadrat üzü var - iki mövqedə orijinal kubun 12 kvadratı və onun on iki kənarından 12 kvadrat.

Bənzər şəkildə, daha çox ölçülü hiperkublar üçün əsaslandırmanı davam etdirə bilərik, lakin dörd ölçülü hiperkubun bizim, üç ölçülü fəzanın sakinləri üçün necə görünəcəyini görmək daha maraqlıdır. Bunun üçün artıq tanış olan analogiya metodundan istifadə edək.

Tesseract açılır

Gəlin ABCDHEFG məftil kubunu götürək və ona üz tərəfdən bir gözlə baxaq. Təyyarədə dörd xətt - yan kənarlarla birləşdirilən iki kvadratı (yaxın və uzaq üzlərini) görəcəyik və çəkə bilərik. Eynilə, üç ölçülü məkanda dörd ölçülü hiperkub bir-birinə daxil edilmiş və səkkiz kənar ilə birləşdirilən iki kub "qutu" kimi görünəcəkdir. Bu halda, "qutuların" özləri - üç ölçülü üzlər "bizim" məkana proyeksiya ediləcək və onları birləşdirən xətlər dördüncü ölçüdə uzanacaqdır. Siz həmçinin bir kubu proyeksiyada deyil, məkan təsvirində təsəvvür etməyə cəhd edə bilərsiniz.

Necə ki, üç ölçülü kub üzün uzunluğuna görə yerdəyişən kvadratdan əmələ gəlir, dördüncü ölçüyə sürüşdürülmüş kub hiperkub əmələ gətirir. Gələcəkdə olduqca mürəkkəb bir fiqur kimi görünəcək səkkiz kub ilə məhdudlaşır. Onun “bizim” məkanımızda qalan hissəsi bütöv xətlərlə çəkilir, hiperkosmosa gedən hissəsi isə cızıqlanır. Dördölçülü hiperkubun özü sonsuz sayda kubdan ibarətdir, necə ki, üç ölçülü kub sonsuz sayda düz kvadratlara “kəsilir”.

Üç ölçülü bir kubun altı üzünü kəsərək, onu düz bir rəqəmə - tora parçalaya bilərsiniz. Orijinal üzün hər tərəfində bir kvadrat olacaq, üstəlik bir daha - ona qarşı olan üz. Dördölçülü hiperkubun üçölçülü inkişafı orijinal kubdan, ondan "böyüyən" altı kubdan, üstəlik daha bir kubdan - son "hiperüz"dən ibarət olacaq.

Tesseraktın xassələri daha kiçik ölçülü həndəsi fiqurların xassələrinin dördölçülü fəzaya genişlənməsidir.

proqnozlar

iki ölçülü fəzaya

Bu strukturu təsəvvür etmək çətindir, lakin tesseraktı 2D və ya 3D məkanlara proyeksiya etmək mümkündür. Bundan əlavə, müstəviyə proyeksiya hiperkubun təpələrinin yerini başa düşməyi asanlaşdırır. Bu yolla, artıq tesserakt daxilində məkan münasibətlərini əks etdirməyən, lakin aşağıdakı nümunələrdə olduğu kimi təpə keçid strukturunu təsvir edən şəkillər əldə edilə bilər:


üçölçülü fəzaya

Tesseraktın üçölçülü fəzaya proyeksiyası müvafiq təpələri seqmentlərlə birləşdirilən iki iç-içə üçölçülü kubdur. Daxili və xarici kublar 3D məkanında fərqli ölçülərə malikdir, lakin 4D məkanında onlar bərabər kublardır. Tesseraktın bütün kublarının bərabərliyini başa düşmək üçün tesseraktın fırlanan modeli yaradılmışdır.

Tesseraktın kənarları boyunca altı kəsilmiş piramida bərabər altı kubun təsvirləridir.
stereo cüt

Tesseraktın stereo cütü üçölçülü fəzaya iki proyeksiya kimi təsvir edilmişdir. Tesseraktın bu təsviri dərinliyi dördüncü ölçü kimi təqdim etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Stereo cütə elə baxılır ki, hər bir göz bu təsvirlərdən yalnız birini görsün, tesseraktın dərinliyini əks etdirən stereoskopik şəkil yaranır.

Tesseract açılır

Tesseraktın səthi səkkiz kuba açıla bilər (bir kubun səthinin altı kvadrata necə açıldığına bənzər). Tesseraktın 261 müxtəlif açılımı var. Bir tesseraktın açılmalarını qrafikdə əlaqəli küncləri çəkməklə hesablamaq olar.

İncəsənətdə Tesserakt

Edwine A. Abbottun New Plain əsərində hiperkub hekayəçidir.
Cimmi Neytronun sərgüzəştləri: "Oğlan Dahi" serialının bir epizodunda Cimmi Heinlein-in 1963-cü ildəki Şöhrət Yolu filmindəki bükülmə qutusu ilə eyni olan dördölçülü hiperkub icad edir.
Robert E. Heinlein ən azı üç elmi fantastika hekayəsində hiperkublardan bəhs etmişdir. Dörd Ölçülü Evdə (The House That Built) (1940) o, tikilmiş evi tesseraktın açılması kimi təsvir etdi.
Heinlein-in "Şöhrət Yolu" romanında içərisi çöldən daha böyük olan hiper ölçülü qablar təsvir edilmişdir.
Henri Kuttnerin "Mimsy Were the Borogoves" adlı qısa hekayəsində uzaq gələcəkdən olan uşaqlar üçün tesseraktın quruluşuna bənzəyən öyrədici oyuncaq təsvir edilir.
Aleks Qarlandın (1999) romanında "tesseract" termini hiperkubun özündən çox, dördölçülü hiperkubun üçölçülü açılması üçün istifadə olunur. Bu, idrak sisteminin dərk edilə biləndən daha geniş olması lazım olduğunu göstərmək üçün hazırlanmış bir metaforadır.
Cube 2-nin süjeti: Hypercube "hiperkub"da və ya bir-birinə bağlı kublar şəbəkəsində sıxışmış səkkiz qərib üzərində cəmlənir.
Andromeda serialı sui-qəsd cihazı kimi tesseract generatorlarından istifadə edir. Onlar ilk növbədə məkanı və vaxtı idarə etmək üçün nəzərdə tutulub.
Salvador Dalinin "Çarmıxa çəkilmə" (Corpus Hypercubus) tablosu (1954)
Nextwave komiksi 5 tesserakt zonası olan bir avtomobili təsvir edir.
Voivod Nothingface albomunda mahnılardan biri "In my hypercube" adlanır.
Anthony Pierce-nin "Route Cube" romanında BDA-nın orbital peyklərindən biri 3 ölçüyə sıxılmış tesserakt adlanır.
"Məktəb" Qara Dəlik "" serialında üçüncü mövsümdə "Tesseract" epizodu var. Lucas gizli düyməni basır və məktəb riyazi tesserakt kimi formalaşmağa başlayır.
"Tesseract" termini və ondan yaranan "tesse" termini Madlen L'Enqlenin "Zamanın qırışı" hekayəsində tapılır.

Avengers filmlərinin pərəstişkarısınızsa, "Tesseract" sözünü eşidəndə ağlınıza gələn ilk şey sonsuz gücə malik Sonsuzluq Daşının şəffaf kubşəkilli qabıdır.

Marvel Kainatının pərəstişkarları üçün Tesseract təkcə Yerdən deyil, həm də digər planetlərdən olan insanların dəli olduğu parlaq mavi kubdur. Buna görə də bütün Qisasçılar Yerliləri son dərəcə güclü təhlükədən qorumaq üçün birləşdilər dağıdıcı qüvvələr Tesserakt.

Bununla belə demək lazım olan budur: tesserakt faktiki həndəsi anlayışdır, daha dəqiq desək, 4D-də mövcud olan formadır. Bu, sadəcə “Qisasçılar”dan olan mavi kub deyil... bu, əsl konsepsiyadır.

Tesserakt 4 ölçülü obyektdir. Amma təfərrüatı ilə izah etməzdən əvvəl əvvəldən başlayaq.

"Ölçmə" nədir?

Hər kəs kosmosun müvafiq olaraq iki və ya üç ölçülü obyektlərini təmsil edən 2D və 3D terminlərini eşitmişdir. Bəs bunlar nədir?

Ölçü sadəcə gedə biləcəyiniz istiqamətdir. Məsələn, bir kağız parçasına xətt çəkirsinizsə, ya sola/sağa (x oxu) və ya yuxarı/aşağı (y oxu) gedə bilərsiniz. Beləliklə, kağızın iki ölçülü olduğunu deyirik, çünki siz yalnız iki istiqamətdə gəzə bilərsiniz.

3D-də dərinlik hissi var.

İndi real dünyada yuxarıda qeyd olunan iki istiqamətə (sol/sağ və yuxarı/aşağı) əlavə olaraq daxil/çıxmaq da olar. Beləliklə, 3D məkanına dərinlik hissi əlavə olunur. Ona görə də belə deyirik həqiqi həyat 3 ölçülü.

Nöqtə 0 ölçüsü təmsil edə bilər (çünki heç bir istiqamətdə hərəkət etmir), xətt 1 ölçüsü (uzunluğu), kvadrat 2 ölçüsü (uzunluq və en), kub isə 3 ölçüsü (uzunluq, en və hündürlük) təmsil edir ).

3D kub götürün və hər üzü (hazırda kvadratdır) bir kub ilə əvəz edin. Və sairə! Aldığınız forma tesseraktdır.

Tesserakt nədir?

Sadə dillə desək, tesserakt 4 ölçülü fəzada bir kubdur. Bunun kubun 4D ekvivalenti olduğunu da söyləyə bilərsiniz. Bu, hər üzün bir kub olduğu 4D formasıdır.

İki ortoqonal müstəvi ətrafında ikiqat fırlanma həyata keçirən tesseraktın 3D proyeksiyası.
Şəkil: Jason Hise

Ölçüləri konseptuallaşdırmağın sadə yolu budur: kvadrat iki ölçülüdür; ona görə də onun hər küncündə ondan bir-birinə 90 dərəcə bucaq altında uzanan 2 xətt var. Kub 3D-dir, ona görə də onun hər küncündə ondan çıxan 3 xətt var. Eynilə, tesserakt 4D formasıdır, ona görə də hər küncdə ondan uzanan 4 xətt var.

Tesseraktı təsəvvür etmək niyə çətindir?

Biz insanlar olaraq obyektləri üç ölçülü göstərmək üçün təkamülləşdiyimiz üçün 4D, 5D, 6D və s. kimi əlavə ölçülərə daxil olan hər şey bizim üçün çox məna kəsb etmir, çünki biz onları ümumiyyətlə təsəvvür edə bilmirik. Beynimiz kosmosdakı 4-cü ölçüsü anlaya bilmir. Sadəcə bu barədə düşünə bilmirik.

Həndəsədə hiperkub- o n-kvadratın ölçülü analogiyası ( n= 2) və kub ( n= 3). Bu, fiqurun əks kənarlarında yerləşən və bir-birinə düz bucaq altında bağlanan paralel xətlər qruplarından ibarət qapalı qabarıq fiqurdur.

Bu rəqəm kimi də tanınır tesserakt(tesseract). Kub kvadrata olduğu kimi tesserakt da kuba aiddir. Daha rəsmi olaraq, tesserakt sərhədi səkkiz kub hüceyrədən ibarət olan müntəzəm qabarıq dördölçülü politop (politop) kimi təsvir edilə bilər.

Oksford İngilis dili lüğətinə görə, "tesseract" sözü 1888-ci ildə Çarlz Hovard Hinton tərəfindən işlənib və özünün "A New Era of Thought" kitabında istifadə edilib. Söz yunanca "τεσσερες ακτινες" ("dörd şüa") sözündən əmələ gəlib, dörd koordinat oxları şəklindədir. Bundan əlavə, bəzi mənbələrdə eyni rəqəm adlanırdı tetrakub(tetrakub).

n-ölçülü hiperkub da deyilir n-kub.

Nöqtə 0 ölçülü hiperkubdur. Bir nöqtəni uzunluq vahidi ilə dəyişdirsəniz, vahid uzunluqlu bir seqment - 1 ölçülü hiperkub əldə edərsiniz. Bundan əlavə, bir seqmenti uzunluq vahidi ilə perpendikulyar istiqamətdə sürüşdürsəniz seqmentin istiqamətinə, siz bir kub alırsınız - 2 ölçülü hiperkub. Kvadratı kvadratın müstəvisinə perpendikulyar istiqamətdə uzunluq vahidi ilə sürüşdürərək, bir kub əldə edilir - 3 ölçülü hiperkub. Bu proses istənilən sayda ölçülərə ümumiləşdirilə bilər. Məsələn, dördüncü ölçüdə bir kubu uzunluq vahidi ilə sürüşdürsəniz, tesserakt alırsınız.

Hiperkublar ailəsi istənilən ölçüdə təmsil oluna bilən bir neçə müntəzəm çoxüzlülərdən biridir.

Hiperkub elementləri

Ölçü hiperkub n 2 var n"yanlar" (bir ölçülü xəttin 2 nöqtəsi var; iki ölçülü kvadrat - 4 tərəf; üç ölçülü kub - 6 üz; dörd ölçülü tesserakt - 8 hüceyrə). Hiperkubun təpələrinin (nöqtələrinin) sayı 2-dir n(məsələn, bir kub üçün - 2 3 təpə).

Kəmiyyət m-sərhəddə ölçülü hiperkublar n-kub bərabərdir

Məsələn, hiperkubun sərhədində 8 kub, 24 kvadrat, 32 kənar və 16 təpə var.

Hiperkubların elementləri

n-kub	ad	Vertex (0-üz)	Kənar (1-üz)	kənar (2 üz)	Hüceyrə (3-üz)	(4 üz)	(5-üz)	(6 üz)	(7 üz)	(8 üz)
0 kub	Nöqtə	1
1 kub	Bölmə	2	1
2 kub	Kvadrat	4	4	1
3 kub	kub	8	12	6	1
4 kub	tesserakt	16	32	24	8	1
5 kub	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6 kub	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7 kub	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8 kub	Qarşılaşın	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 kub	Eneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Təyyarə proyeksiyası

Hiperkubun formalaşması aşağıdakı şəkildə təqdim edilə bilər:

• AB xətti seqmentini yaratmaq üçün iki A və B nöqtəsi birləşdirilə bilər.
• İki paralel AB və CD seqmenti bir kvadrat ABCD yaratmaq üçün birləşdirilə bilər.
• ABCDEFGH kubunu yaratmaq üçün iki paralel kvadrat ABCD və EFGH birləşdirilə bilər.
• ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkubunu yaratmaq üçün iki paralel kub ABCDEFGH və IJKLMNOP birləşdirilə bilər.

Sonuncu quruluşu təsəvvür etmək asan deyil, lakin onun proyeksiyasını iki və ya üç ölçüdə təsvir etmək mümkündür. Üstəlik, 2D müstəvisinə proyeksiyalar proqnozlaşdırılan təpələrin mövqelərini yenidən təşkil etməklə daha faydalı ola bilər. Bu halda, artıq tesserakt daxilində elementlərin məkan əlaqələrini əks etdirməyən, aşağıdakı nümunələrdə olduğu kimi təpə əlaqələrinin strukturunu təsvir edən təsvirlər əldə etmək olar.

Birinci təsvir iki kubun birləşdirilməsi ilə tesseraktın prinsipcə necə əmələ gəldiyini göstərir. Bu sxem iki kvadratdan bir kub yaratmaq sxeminə bənzəyir. İkinci diaqram tesseraktın bütün kənarlarının eyni uzunluğa malik olduğunu göstərir. Bu sxem də bir-birinə bağlı kublar axtarmağa məcburdur. Üçüncü diaqramda tesseraktın təpələri alt nöqtəyə nisbətən üzlər boyunca məsafələrə uyğun olaraq yerləşir. Bu sxem onunla maraqlıdır ki, o, paralel hesablamaların təşkilində prosessorları birləşdirən şəbəkə topologiyasının əsas sxemi kimi istifadə olunur: istənilən iki qovşaq arasındakı məsafə 4 kənar uzunluğundan çox deyil və yükü tarazlaşdırmağın bir çox müxtəlif yolları mövcuddur.

İncəsənətdə hiperkub

Hiperkub elmi fantastikada 1940-cı ildən, Robert Heinlein "The House That Built" ("Və o, əyri bir ev tikdi") hekayəsində tesserakt şəklində tikilmiş bir evi təsvir etdikdən sonra ortaya çıxdı. Hekayədə, bu Bundan əlavə, bu ev dörd ölçülü tesserakt çevrilərək qatlanmışdır. Bundan sonra hiperkub bir çox kitabda və romanda görünür.

Kub 2: Hypercube, hiperkublar şəbəkəsində tələyə düşmüş təxminən səkkiz nəfərdir.

Salvador Dalinin 1954-cü ildə çəkdiyi “Çarmıxa çəkilmə” (Corpus Hypercubus) tablosu tesseraktda çarmıxa çəkilmiş İsanı təsvir edir. Bu rəsm Nyu Yorkdakı İncəsənət Muzeyində (Metropolitan İncəsənət Muzeyi) görülə bilər.

Nəticə

Hiperkub ən sadə dördölçülü obyektlərdən biridir, onun nümunəsində dördüncü ölçüsün bütün mürəkkəbliyini və qeyri-adiliyini görə bilərsiniz. Üç ölçüdə qeyri-mümkün görünən dörddə, məsələn, qeyri-mümkün rəqəmlərdə mümkündür. Beləliklə, məsələn, dörd ölçülü qeyri-mümkün üçbucağın çubuqları düz bucaq altında birləşdiriləcəkdir. Və bu rəqəm bütün nöqteyi-nəzərdən belə görünəcək və üçölçülü məkanda qeyri-mümkün üçbucağın həyata keçirilməsindən fərqli olaraq təhrif olunmayacaq (bax.

Bacalier Maria

Dördölçülü kub (tesserakt) anlayışının tətbiqi yolları, onun quruluşu və bəzi xassələri öyrənilir.Dördölçülü kubu üç ölçülü kuba paralel hipermüstəvilərlə kəsdikdə hansı üçölçülü cisimlər alınır sualı. ölçülü üzlər, eləcə də onun əsas diaqonalına perpendikulyar hiperplanlar vasitəsilə. Tədqiqat üçün istifadə olunan çoxölçülü analitik həndəsə aparatı nəzərdən keçirilir.

Yüklə:

Önizləmə:

Giriş………………………………………………………………………….2

Əsas hissə…………………………………………………………..4

Nəticələr………….. ……………………………………………………………..12

İstinadlar………………………………………………………..13

Giriş

Dördölçülü fəza çoxdan həm peşəkar riyaziyyatçıların, həm də bu elmlə məşğul olmaqdan uzaq insanların diqqətini cəlb edir. Dördüncü ölçüyə maraq bizim üçölçülü dünyamızın dördölçülü fəzaya “batırıldığı” fərziyyəsi ilə bağlı ola bilər, necə ki, bir təyyarə üçölçülü fəzaya “batırılır”, düz xəttin də “batırılır”. müstəvidir və nöqtə düz xəttdədir. Bundan əlavə, dördölçülü məkanda mühüm rol oynayır müasir nəzəriyyə nisbilik (sözdə məkan-zaman və ya Minkovski fəzası) və xüsusi hal kimi də qəbul edilə bilər.ölçülü Evklid fəzası (üçün).

Dördölçülü kub (tesserakt) dördölçülü fəzanın obyektidir və maksimum mümkün ölçüyə malikdir (eynilə adi kub üçölçülü fəzanın obyekti olduğu kimi). Qeyd edək ki, o, həm də birbaşa maraq doğurur, yəni xətti proqramlaşdırmanın optimallaşdırma məsələlərində (dörd dəyişənin xətti funksiyasının minimum və ya maksimumunun tapıldığı bir sahə kimi) görünə bilər və rəqəmsal mikroelektronikada da istifadə olunur (zaman elektron saat displeyinin işinin proqramlaşdırılması). Bundan əlavə, dörd ölçülü kubun öyrənilməsi prosesinin özü məkan təfəkkürünün və təxəyyülün inkişafına kömək edir.

Buna görə də dördölçülü kubun strukturunun və spesifik xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi olduqca aktualdır. Qeyd edək ki, struktur baxımından dördölçülü kub kifayət qədər yaxşı öyrənilib. Onun bölmələrinin müxtəlif hiperplanlar tərəfindən xarakteri daha çox maraq doğurur. Beləliklə, bu işin əsas məqsədi tesseraktın strukturunu öyrənməklə yanaşı, dördölçülü kubun üç ölçülü kubdan birinə paralel hiperplanlarla kəsildiyi təqdirdə hansı üçölçülü obyektlərin alınacağı sualına aydınlıq gətirməkdir. ölçülü üzlər və ya onun əsas diaqonalına perpendikulyar hiperplanlar vasitəsilə. Dördölçülü fəzada hiperplan üçölçülü alt fəzadır. Deyə bilərik ki, müstəvidəki düz xətt birölçülü hipermüstəvidir, üçölçülü fəzada olan müstəvi isə ikiölçülü hipermüstəvidir.

Qarşıya qoyulan məqsəd tədqiqatın məqsədlərini müəyyənləşdirdi:

1) Çoxölçülü analitik həndəsənin əsas faktlarını öyrənmək;

2) 0-dan 3-ə qədər ölçülü kubların qurulması xüsusiyyətlərini öyrənmək;

3) Dördölçülü kubun quruluşunu öyrənmək;

4) Dördölçülü kubu analitik və həndəsi şəkildə təsvir etmək;

5) Üçölçülü və dördölçülü kubların süpürgələrinin və mərkəzi proyeksiyalarının modellərini hazırlayın.

6) Çoxölçülü analitik həndəsə aparatından istifadə edərək dördölçülü kubu onun üçölçülü üzlərindən birinə paralel hiperplanlar və ya onun əsas diaqonalına perpendikulyar hiperplanlar vasitəsilə keçmək nəticəsində əldə edilən üçölçülü obyektləri təsvir edin.

Bu yolla əldə edilən məlumatlar tesseraktın strukturunu daha yaxşı başa düşməyə, eləcə də müxtəlif ölçülü kubların strukturunda və xassələrində dərin analogiyanı aşkar etməyə imkan verəcəkdir.

Əsas hissə

Əvvəlcə bu iş zamanı istifadə edəcəyimiz riyazi aparatı təsvir edirik.

1) Vektor koordinatları: əgər, sonra

2) Normal vektorlu hipertəpənin tənliyi bura oxşayır

3) Təyyarələr və yalnız və yalnız o halda paraleldirlər

4) İki nöqtə arasındakı məsafə aşağıdakı kimi müəyyən edilir: əgər, sonra

5) Vektorların ortoqonallıq şərti:

Əvvəlcə dörd ölçülü kubun necə təsvir oluna biləcəyini öyrənək. Bu iki yolla edilə bilər - həndəsi və analitik.

Quraşdırmanın həndəsi üsulu haqqında danışırıqsa, sıfır ölçüdən başlayaraq kubların qurulması prosesini izləmək məsləhətdir. Sıfır ölçülü kub bir nöqtədir (yeri gəlmişkən, qeyd edin ki, bir nöqtə sıfır ölçülü top rolunu da oynaya bilər). Sonra, birinci ölçüsü (absis oxu) təqdim edirik və müvafiq oxda bir-birindən 1 məsafədə yerləşən iki nöqtəni (iki sıfır ölçülü kub) qeyd edirik. Nəticə bir seqmentdir - bir ölçülü kub. Dərhal qeyd edirik qabarıq xüsusiyyət: Bir ölçülü kubun (seqmentin) sərhədi (ucları) iki sıfır ölçülü kubdur (iki nöqtə). Sonra, ikinci ölçüsü (y oxu) və müstəvidə təqdim edirikUçları bir-birindən 1 məsafədə olan iki birölçülü kub (iki seqment) quraq (əslində seqmentlərdən biri digərinin ortoqonal proyeksiyasıdır). Seqmentlərin müvafiq uclarını birləşdirərək, bir kvadrat - iki ölçülü bir kub alırıq. Yenə qeyd edirik ki, iki ölçülü kubun (kvadrat) sərhədi dörd bir ölçülü kubdur (dörd seqment). Nəhayət, üçüncü ölçüsü (tətbiq oxu) təqdim edirik və məkanda qururuqiki kvadrat elə yerləşdirin ki, onlardan biri digərinin ortoqonal proyeksiyası olsun (bu halda kvadratların müvafiq təpələri bir-birindən 1 məsafədədir). Müvafiq təpələri seqmentlərlə birləşdirin - üç ölçülü bir kub alırıq. Üç ölçülü kubun sərhədinin altı iki ölçülü kub (altı kvadrat) olduğunu görürük. Təsvir edilən konstruksiyalar aşağıdakı qanunauyğunluğu aşkar etməyə imkan verir: hər addımdaölçülü kub "hərəkət edir, iz buraxır"Hərəkət istiqaməti kuba perpendikulyar olduğu halda, bu, 1 məsafədə ölçmədir. Məhz bu prosesin formal davamı dördölçülü kub anlayışına gəlməyə imkan verir. Məhz, üç ölçülü kubu dördüncü ölçü istiqamətində (kubaya perpendikulyar) 1 məsafədə hərəkət etməyə məcbur edək. Əvvəlki ilə eyni şəkildə hərəkət edərək, yəni kubların müvafiq təpələrini birləşdirərək, dörd ölçülü kub alın. Qeyd etmək lazımdır ki, bizim məkanda belə bir konstruksiya həndəsi cəhətdən qeyri-mümkündür (çünki o, üçölçülüdür), lakin burada məntiqi baxımdan heç bir ziddiyyətlə qarşılaşmırıq. İndi dördölçülü kubun analitik təsvirinə keçək. O, həm də formal şəkildə, bənzətmə vasitəsi ilə alınır. Belə ki, analitik tapşırıq sıfır ölçülü vahid kubun forması var:

Bir ölçülü vahid kubun analitik tapşırığı aşağıdakı formaya malikdir:

İki ölçülü vahid kubun analitik tapşırığı aşağıdakı formaya malikdir:

Üç ölçülü vahid kubun analitik tapşırığı formaya malikdir:

İndi dördölçülü kubun analitik təsvirini vermək çox asandır, yəni:

Gördüyünüz kimi, dörd ölçülü kubun təyin edilməsinin həm həndəsi, həm də analitik üsulları analogiya metodundan istifadə etmişdir.

İndi analitik həndəsə aparatından istifadə edərək, dörd ölçülü kubun hansı quruluşa malik olduğunu öyrənəcəyik. Əvvəlcə onun hansı elementləri ehtiva etdiyini öyrənək. Burada yenə də bənzətmədən istifadə edə bilərsiniz (fərziyyə irəli sürmək üçün). Bir ölçülü kubun sərhədləri nöqtələrdir (sıfır kublar), iki ölçülü kubun - seqmentləri (bir ölçülü kublar), üç ölçülü kubun - kvadratları (iki ölçülü üzlər). Güman etmək olar ki, tesseraktın sərhədləri üçölçülü kublardır. Bunu sübut etmək üçün təpə, kənar və üz dedikdə nəyin nəzərdə tutulduğunu aydınlaşdıraq. Kubun təpələri onun künc nöqtələridir. Yəni təpələrin koordinatları sıfır və ya bir ola bilər. Beləliklə, kubun ölçüsü ilə onun təpələrinin sayı arasında əlaqə tapılır. Kombinator məhsul qaydasını tətbiq edirik - təpədən bərikub tam olaraq varhər biri sıfıra və ya birinə bərabər olan koordinatlar (bütün digərlərindən asılı olmayaraq), onda varzirvələri. Beləliklə, istənilən təpədə bütün koordinatlar sabitdir və bərabər ola bilər və ya . Bütün koordinatları düzəltsək (hər birini bərabər tutaraq və ya , digərlərindən asılı olmayaraq), biri istisna olmaqla, kubun kənarlarını ehtiva edən düz xətlər alırıq. Əvvəlki kimi, biz də dəqiq olduğunu saya bilərikşeylər. İndi bütün koordinatları düzəltsək (hər birini bərabər tutaraq və ya , digərlərindən asılı olmayaraq), bəzi ikisi istisna olmaqla, kubun ikiölçülü üzlərini ehtiva edən təyyarələr əldə edirik. Kombinatorika qaydasından istifadə edərək, onların dəqiq olduğunu görürükşeylər. Bundan əlavə, eyni şəkildə - bütün koordinatları təyin etmək (hər birini bərabərləşdirmək və ya , digərlərindən asılı olmayaraq), bəziləri istisna olmaqla, kubun üçölçülü üzlərini ehtiva edən hiperplanlar alırıq. Eyni qaydadan istifadə edərək, onların sayını hesablayırıq - dəqiqvə s. Bu, araşdırmamız üçün kifayət edəcəkdir. Alınan nəticələri dördölçülü kubun strukturuna, yəni təyin etdiyimiz bütün törəmə düsturlara tətbiq edək.. Beləliklə, dörd ölçülü kubun: 16 təpəsi, 32 kənarı, 24 ikiölçülü üzü və 8 üçölçülü üzü var. Aydınlıq üçün onun bütün elementlərini analitik olaraq müəyyən edirik.

Dörd ölçülü kubun təpələri:

Dörd ölçülü kubun kənarları ():

Dörd ölçülü kubun iki ölçülü üzləri (oxşar məhdudiyyətlər):

Dörd ölçülü kubun üçölçülü üzləri (oxşar məhdudiyyətlər):

Dördölçülü kubun quruluşu və onu müəyyənləşdirmək üsulları kifayət qədər tam şəkildə təsvir olunduğuna görə, indi həyata keçirməyə davam edək. əsas məqsəd- kubun müxtəlif bölmələrinin xarakterini aydınlaşdırmaq. Kubun kəsikləri onun üçölçülü üzlərindən birinə paralel olan elementar vəziyyətdən başlayaq. Məsələn, onun kəsiklərini üzə paralel hiperplanlarla nəzərdən keçirəkAnalitik həndəsədən məlumdur ki, hər hansı belə kəsik tənliklə veriləcəkdirMüvafiq bölmələri analitik olaraq təyin edək:

Gördüyünüz kimi, hipermüstəvidə uzanan üçölçülü vahid kub üçün analitik tapşırığı əldə etdik.

Bənzətmə yaratmaq üçün üç ölçülü kubun bir hissəsini təyyarə ilə yazırıq Biz əldə edirik:

Bu, təyyarədə uzanan bir kvadratdır. Bənzətmə göz qabağındadır.

Dördölçülü kubun hiperplanlarla kəsişmələritam eyni nəticələr verir. Bunlar həm də hiperplanlarda uzanan tək üç ölçülü kublar olacaq müvafiq olaraq.

İndi dördölçülü kubun əsas diaqonalına perpendikulyar olan hipermüstəvilərlə kəsişmələrini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə üç ölçülü kub üçün bu problemi həll edək. Vahid üçölçülü kubu təyin etmək üçün yuxarıda təsvir edilmiş üsuldan istifadə edərək, o, məsələn, ucları olan bir seqmentin əsas diaqonal kimi götürülə biləcəyi qənaətinə gəlir. və . Bu o deməkdir ki, əsas diaqonalın vektorunun koordinatları olacaq. Beləliklə, əsas diaqonala perpendikulyar olan hər hansı bir təyyarənin tənliyi belə olacaq:

Parametr dəyişikliyinin hədlərini müəyyən edək. Çünki , onda bu bərabərsizlikləri terminlərə əlavə edərək, əldə edirik:

Və ya .

Əgər, onda (məhdudiyyətlərə görə). Eynilə, əgər, sonra . Beləliklə, at və at kəsici müstəvi ilə kubun tam bir ortaq nöqtəsi var ( və müvafiq olaraq). İndi aşağıdakılara diqqət yetirək. Əgər(yenə də dəyişənlərin məhdudiyyətlərinə görə). Müvafiq müstəvilər eyni anda üç üzü kəsişir, çünki əks halda kəsici müstəvi onlardan birinə paralel olardı, bu şərtlə belə deyil. Əgər, onda təyyarə kubun bütün üzlərini kəsir. Əgər, sonra təyyarə üzləri kəsir. Müvafiq hesablamaları təqdim edək.

Qoy Sonra təyyarəxətti keçir düz bir xəttdə, üstəlik. Sərhəd, üstəlik. kənar müstəvi düz xətt üzrə kəsişir, üstəlik

Qoy Sonra təyyarəkənarından keçir:

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

kənarı düz bir xəttdə, üstəlik.

Bu dəfə ardıcıl ümumi uçları olan altı seqment əldə edilir:

Qoy Sonra təyyarəxətti keçir düz bir xəttdə, üstəlik. kənar müstəvi düz xətt üzrə kəsişir, və . kənar müstəvi düz xətt üzrə kəsişir, üstəlik . Yəni, cüt-cüt ortaq ucları olan üç seqment əldə edilir:Beləliklə, parametrin müəyyən edilmiş dəyərləri üçüntəyyarə kubu təpələri olan müntəzəm üçbucaqda kəsəcək

Beləliklə, burada kubun əsas diaqonalına perpendikulyar bir müstəvi ilə keçməsi nəticəsində əldə edilən müstəvi fiqurlarının ətraflı təsviri verilmişdir. Əsas fikir aşağıdakılardan ibarət idi. Təyyarənin hansı üzlərinin kəsişdiyini, hansı çoxluqlarda onları kəsdiyini, bu çoxluqların bir-birinə necə bağlandığını anlamaq lazımdır. Məsələn, əgər təyyarənin ikili ortaq ucları olan seqmentlər boyunca tam olaraq üç üzü kəsdiyi ortaya çıxdısa, onda bölmə bərabərtərəfli üçbucaq idi (bu, seqmentlərin uzunluqlarını birbaşa hesablamaqla sübut olunur), təpələri bu uclardır. seqmentlərdən.

Eyni aparatdan və kəsişmələri araşdırmaq üçün eyni fikirdən istifadə edərək, aşağıdakı faktları eyni şəkildə çıxarmaq olar:

1) Dördölçülü vahid kubun əsas diaqonallarından birinin vektorunun koordinatları var

2) Dördölçülü kubun əsas diaqonalına perpendikulyar olan istənilən hipermüstəvi belə yazıla bilər..

3) Sekant hipermüstəvi tənliyində parametr0-dan 4-ə qədər dəyişə bilər;

4) At və sekant hiperplan və dördölçülü kubun bir ümumi nöqtəsi var ( və müvafiq olaraq);

5) Nə vaxt bölmədə müntəzəm tetraedr alınacaq;

6) Nə vaxt bölmədə oktaedr alınacaq;

7) Nə vaxt bölməsində müntəzəm tetraedr alınacaq.

Müvafiq olaraq, burada hiperplan tesseraktı müstəvi boyunca kəsir, bunun üzərində dəyişənlərin məhdudiyyətlərinə görə üçbucaqlı bir bölgə ayrılır (analoqiya - təyyarə kubu düz xətt boyunca keçdi, məhdudiyyətlərə görə dəyişənlər, bir seqment ayrıldı). 5-ci halda) hiperplan tam olaraq dörd üçölçülü tesserakt üzünü kəsir, yəni ikili ümumi tərəfləri olan, başqa sözlə, tetraedr əmələ gətirən dörd üçbucaq əldə edilir (hesablamaq olar - düzgün). 6-cı halda) hiperplan düz səkkiz üçölçülü tesserakt üzünü kəsir, yəni ardıcıl ümumi tərəfləri olan səkkiz üçbucaq əldə edilir, başqa sözlə, oktaedr əmələ gətirir. İş 7) 5-ci vəziyyətə tamamilə bənzəyir).

Söylənilənləri konkret misalla izah edək. Məhz, dördölçülü kubun kəsiyini hipermüstəvi ilə öyrənirikDəyişənlərin məhdudiyyətlərinə görə, bu hiperplan aşağıdakı 3D üzləri kəsir: kənar müstəvidə kəsişirDəyişənlərin məhdudiyyətlərinə görə bizdə:Təpələri olan üçbucaqlı bir sahə alınDaha,üçbucaq alırıqÜz ilə hiperplanın kəsişməsindəüçbucaq alırıqÜz ilə hiperplanın kəsişməsindəüçbucaq alırıqBeləliklə, tetraedrin təpələri aşağıdakı koordinatlara malikdir. Hesablamaq asan olduğu kimi, bu tetraedr həqiqətən düzgündür.

nəticələr

Belə ki, bu iş zamanı çoxölçülü analitik həndəsənin əsas faktları öyrənilmiş, 0-dan 3-ə qədər ölçülü kubların qurulması xüsusiyyətləri öyrənilmiş, dördölçülü kubun strukturu öyrənilmiş, dördölçülü kubun quruluşu öyrənilmişdir. analitik və həndəsi şəkildə təsvir edilmiş, üçölçülü və dördölçülü kubların inkişafının modelləri və mərkəzi proyeksiyaları hazırlanmış, üçölçülü kublar dördölçülü kubun üç ölçülü kubdan birinə paralel hiperplanlarla kəsişməsi nəticəsində yaranan obyektlərin analitik təsviri edilmişdir. ölçülü üzlər və ya onun əsas diaqonalına perpendikulyar hiperplanlar vasitəsilə.

Tədqiqat müxtəlif ölçülü kubların strukturunda və xassələrində dərin bənzətmə aşkar etməyə imkan verdi. Tədqiqatda istifadə olunan analogiya texnikası tətbiq oluna bilər, məsələn,ölçülü sfera və yaölçülü sadəlik. Məhz,ölçülü sfera nöqtələr toplusu kimi müəyyən edilə bilərsferanın mərkəzi adlanan verilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan ölçülü fəza. Daha,ölçülü simpleks hissə kimi müəyyən edilə bilərminimum sayı ilə məhdudlaşan ölçülü boşluqölçülü hiperplanlar. Məsələn, birölçülü simpleks seqmentdir (iki nöqtə ilə məhdudlaşan birölçülü fəzanın bir hissəsi), ikiölçülü simpleks üçbucaqdır (üç düz xətt ilə məhdudlaşan ikiölçülü fəzanın hissəsi), üçölçülü simpleks tetraedrdir (dörd müstəvi ilə sərhədlənmiş üçölçülü fəzanın bir hissəsi). Nəhayət,ölçülü simpleks hissə kimi müəyyən edilirölçülü məkan, məhdudölçü hiperplanı.

Qeyd edək ki, tesseraktın elmin bəzi sahələrində çoxsaylı tətbiqinə baxmayaraq, bu tədqiqat hələ də böyük ölçüdə riyazi tədqiqatdır.

Biblioqrafiya

1) Bugrov Ya.S., Nikolski S.M.Ali riyaziyyat, cild 1 - M.: Drofa, 2005 - 284 s.

2) Kvant. Dörd ölçülü kub / Duzhin S., Rubtsov V., No 6, 1986.

3) Kvant. Necə çəkmək ölçülü kub / Demidoviç N.B., No 8, 1974.