Систем мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх хүмүүс гэж нэрлэдэг шугаман нэгэн төрлийн систембүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл. Ийм систем нь дараахь байдлаар харагдаж байна.

Хаана болон ij (би = 1, 2, …, м; j = 1, 2, …, n) - өгөгдсөн тоо; x i- үл мэдэгдэх.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь үргэлж тууштай байдаг r(A) = r(). Энэ нь үргэлж дор хаяж тэгтэй байдаг ( өчүүхэн) уусмал (0; 0; …; 0).

Ямар нөхцөлд нэгэн төрлийн системүүд тэгээс өөр шийдэлтэй болохыг авч үзье.

Теорем 1.Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь үндсэн матрицынх нь зэрэгтэй байвал тэгээс өөр шийдтэй байна. rүл мэдэгдэх зүйлс бага n, өөрөөр хэлбэл r < n.

□ 1). Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг тэгээс өөр шийдэлтэй болгоё. Зэрэглэл нь матрицын хэмжээнээс хэтэрч болохгүй тул мэдээжийн хэрэг, r ≤ n. Болъё r = n. Дараа нь жижиг хэмжээтэй нэг нь n nтэгээс ялгаатай. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн холбогдох систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. . Энэ нь улиг болсон шийдлээс өөр шийдэл байхгүй гэсэн үг. Тэгэхээр өчүүхэн бус шийдэл байгаа бол r < n.

2). Болъё r < n. Дараа нь нэгэн төрлийн систем нь тууштай байх нь тодорхойгүй байна. Энэ нь хязгааргүй олон шийдэлтэй гэсэн үг, i.e. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

Нэг төрлийн системийг авч үзье nшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх:

(2)

Теорем 2.Нэг төрлийн систем nшугаман тэгшитгэл c nҮл мэдэгдэх (2) нь тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгээс өөр шийдтэй байна: = 0.

□ Хэрэв систем (2) тэгээс өөр шийдэлтэй бол = 0. Учир нь системд зөвхөн ганц тэг шийдэл байх үед. Хэрэв = 0 бол зэрэглэл rсистемийн үндсэн матриц нь үл мэдэгдэх тооноос бага, i.e. r < n. Тиймээс систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй байдаг, жишээлбэл. тэгээс өөр шийдэлтэй. ■

(1) системийн шийдлийг тэмдэглэе. X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = к нутас болгон .

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Хэрэв шугам (1) системийн шийдэл бол шугам нь (1) системийн шийдэл болно.

2. Хэрэв мөрүүд ба (1) системийн шийдэл, дараа нь дурын утгуудын хувьд -тай 1 ба -тай 2 тэдгээрийн шугаман хослол нь (1) системийн шийдэл юм.

Эдгээр шинж чанаруудын үнэн зөвийг системийн тэгшитгэлд шууд орлуулах замаар шалгаж болно.

Томъёолсон шинж чанаруудаас харахад шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл болно.

Шугаман бие даасан шийдлүүдийн систем д 1 , д 2 , …, e rдуудсан суурь, хэрэв (1) системийн шийдэл бүр эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол бол д 1 , д 2 , …, e r.

Теорем 3.Хэрэв зэрэглэл rШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдын коэффициентийн матрицууд (1) хувьсагчийн тооноос бага байна n, дараа нь (1) системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн системээс бүрдэнэ n–rшийдвэрүүд.

Тийм ч учраас нийтлэг шийдвэрШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем (1) нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана д 1 , д 2 , …, e r- системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн систем (9), -тай 1 , -тай 2 , …, хамт p- дурын тоо, Р = n–r.

Теорем 4.Системийн ерөнхий шийдэл мшугаман тэгшитгэл c nүл мэдэгдэх нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн харгалзах системийн ерөнхий шийд (1) ба энэ системийн дурын тодорхой шийдийн (1) нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ.Системийг шийд

Шийдэл.Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь зөвхөн өчүүхэн шийдэлтэй байна: x = y = z = 0.

Жишээ. 1) Системийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох

2) Шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. 1) Энэ системийн хувьд м = n= 3. Тодорхойлогч

Теорем 2-оор систем нь тэгээс өөр шийдтэй байна.

Учир нь системд ганц бие даасан тэгшитгэл байдаг

x + y – 4z = 0,

дараа нь бид үүнээс илэрхийлэх болно x =4z- y. Хязгааргүй олон шийдлийг хаанаас авах вэ: (4 z- y, y, z) – энэ бол системийн ерөнхий шийдэл юм.

At z= 1, y= -1, бид тодорхой нэг шийдлийг олж авна: (5, -1, 1). Оруулах z= 3, y= 2, бид хоёр дахь тодорхой шийдлийг олж авна: (10, 2, 3) гэх мэт.

2) Ерөнхий шийдэлд (4 z- y, y, z) хувьсагч yТэгээд zүнэ төлбөргүй байдаг ба хувьсагч X- тэднээс хамааралтай. Шийдлийн үндсэн системийг олохын тулд чөлөөт хувьсагчдад утгыг оноож үзье: эхлээд y = 1, z= 0, тэгвэл y = 0, z= 1. Бид шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг хэсэгчилсэн шийдлүүдийг (-1, 1, 0), (4, 0, 1) олж авдаг.

Зураглал:

Цагаан будаа. 1 Шугаман тэгшитгэлийн системийн ангилал

Цагаан будаа. 2 Шугаман тэгшитгэлийн системийг судлах

Илтгэлүүд:

· Шийдэл SLAE_матрицын арга

· Шийдэл SLAE_Cramer арга

· Шийдэл SLAE_Gauss арга

· Математикийн бодлого шийдвэрлэх багцууд Математика, MathCad: шугаман тэгшитгэлийн системийн аналитик болон тоон шийдлийг хайх

Хяналтын асуултууд:

1. Шугаман тэгшитгэлийг тодорхойлно уу

2. Энэ нь ямар төрлийн системтэй төстэй вэ? мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх?

3. Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн системийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

4. Ямар системийг эквивалент гэж нэрлэдэг вэ?

5. Ямар системийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг вэ?

6. Ямар системийг хамтарсан гэж нэрлэдэг вэ?

7. Ямар системийг тодорхой гэж нэрлэдэг вэ?

8. Аль системийг тодорхойгүй гэж нэрлэдэг

9. Шугаман тэгшитгэлийн системийн элементар хувиргалтыг жагсаа

10. Матрицын элементар хувиргалтыг жагсаа

11. Шугаман тэгшитгэлийн системд энгийн хувиргалтыг хэрэглэх тухай теоремыг томъёол.

12. Матрицын аргыг ашиглан ямар системийг шийдэж болох вэ?

13. Крамерын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

14. Гауссын аргаар ямар системийг шийдэж болох вэ?

15. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхэд гарч болох 3 тохиолдлыг жагсаа.

16. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг тайлбарла

17. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Крамерын аргыг тайлбарла

18. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг тайлбарла

19. Урвуу матрицыг ашиглан ямар системийг шийдэж болох вэ?

20. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэхэд гарч болох 3 тохиолдлыг жагсаа.

Уран зохиол:

1. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Эд. Н.Ш. Кремер. – М.: НЭГДЭЛ, 2005. – 471 х.

2. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математикийн ерөнхий курс: Сурах бичиг. / Ред. БА. Ермакова. –М.: INFRA-M, 2006. – 655 х.

3. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математикийн бодлогын цуглуулга: Заавар/ В.И. Ермакова. М.: INFRA-M, 2006. – 574 х.

4. Gmurman V. E. Магадлалын онол ба магмын статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага. - М.: Дээд сургууль, 2005. – 400 х.

5. Гмурман. V.E Магадлалын онол ба математик статистик. - М.: Дээд сургууль, 2005 он.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Дасгал, бодлого дахь дээд математик. 1, 2-р хэсэг. – М.: Оникс 21-р зуун: Энх тайван ба боловсрол, 2005. – 304 х. 1-р хэсэг; – 416 х. 2-р хэсэг.

7. Эдийн засгийн математик: Сурах бичиг: 2 хэсэг / A.S. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Брайлов, И.Г. Шандара. – М.: Санхүү, статистик, 2006 он.

8. Шипачев В.С. Дээд математик: Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг. их дээд сургуулиуд - М.: Дээд сургууль, 2007. - 479 х.

Холбогдох мэдээлэл.

Бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд энгийн шийдэлтэй байх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Үр дагавар. Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл. Үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ систем нь чухал биш шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аТэгээд z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл

l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2. Дараа нь минорыг суурь болгон сонговол:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Итгэж байна z=4а, бид авдаг

Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : X баганууд бол 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1 + б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр тэр цагаас хойш AX 1 = 0 Тэгээд AX 2 = 0 , Тэр А(а X 1 + б X 2) = a AX 1 + б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Шугаман систем нэгээс олон шийдтэй бол эдгээр шийдлүүдийн тоо хязгааргүй байх болно гэдэг нь энэ шинж чанараас үүдэлтэй юм.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Эк, нэг төрлийн системийн уусмалууд гэж нэрлэдэг шийдлийн үндсэн систем Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем, хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж болно:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч байх ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, Тэр к = n-r.

Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олцгооё.

Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n-r= 5 - 2 = 3. Минорыг суурь болгон сонгоцгооё

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (бид үлдсэн хэсгийг нь баруун тийш шилжүүлж, чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг) үлдээж, тэгшитгэлийн хялбаршуулсан системийг олж авна.

Итгэж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог

Итгэж байна а= 1, b = c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд шийдлүүдийн ердийн суурь систем хэлбэр болно

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл юм. AY 0 = Б, Мөн Ю- гетероген системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Y-Y 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Y-Y 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Тиймээс, Y-Y 0 = X, эсвэл Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ өмчийг илэрхийлдэг бүх нийтийн өмчерөнхийдөө аливаа шугаман систем (алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерчлэлийн чиглэлээр - суперпозиция зарчим. Жишээлбэл, шугаман цахилгаан хэлхээний онолд аль ч хэлхээний гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэрээр авч болно.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системүүд- ∑a k i x i = 0 хэлбэртэй байна. Энд m > n эсвэл m RangA = rangB тул шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг. Энэ нь тэгээс бүрдэх шийдэлтэй байх нь тодорхой бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг өчүүхэн.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь SLAE-ийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг олоход зориулагдсан. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална (шийдэл жишээг үзнэ үү).

Зааварчилгаа. Матрицын хэмжээсийг сонгох:

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шинж чанарууд

Системтэй байхын тулд энгийн бус шийдлүүд, түүний матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Теорем. m=n тохиолдолд систем нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байна.

Теорем. Системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
Тодорхойлолт. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багцыг гэнэ шийдлийн үндсэн систем, хэрэв энэ олонлог нь шугаман бие даасан шийдлүүдээс бүрдэх бөгөөд системийн аливаа шийдэл нь эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол юм.

Теорем. Хэрэв системийн матрицын r зэрэглэл нь үл мэдэгдэх n тооноос бага байвал (n-r) шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн систем бий болно.

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм

1. Матрицын зэрэглэлийг олох.
2. Бид үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг сонгодог. Бид хамааралтай (үндсэн) болон чөлөөт үл мэдэгдэхийг ялгадаг.
3. Коэффициент нь минорын суурьт ороогүй системийн тэгшитгэлүүдийг бид хасдаг, учир нь тэдгээр нь бусдын үр дагавар юм (минорын үндсэн дээрх теоремын дагуу).
4. Бид чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг баруун тийш шилжүүлнэ. Үүний үр дүнд бид тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай r үл мэдэгдэх r тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
5. Бид үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар үүссэн системийг шийддэг. Бид чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан хамааралтай хувьсагчдыг илэрхийлдэг харилцааг олдог.
6. Хэрэв матрицын зэрэглэл нь хувьсагчдын тоотой тэнцүү биш бол системийн үндсэн шийдлийг олно.
7. Rang = n тохиолдолд бидэнд өчүүхэн шийдэл байна.

Жишээ. Векторуудын системийн суурийг (a 1, a 2,...,a m) олж, суурь дээр үндэслэн векторуудыг эрэмбэлж, илэрхийл. Хэрэв 1 =(0,0,1,-1), 2 =(1,1,2,0), 3 =(1,1,1,1), 4 =(3,2,1) байвал ,4), 5 =(2,1,0,3).
Системийн үндсэн матрицыг бичье.

3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 4-р мөрийг 3-т нэмье:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

4-р мөрийг (-2) үржүүлнэ. 5-р мөрийг (3) үржүүлье. 5-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмье:
1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:
Матрицын зэрэглэлийг олцгооё.
Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2х 1 + х 2 = - 3х 4
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид энгийн бус шийдлийг олдог.
Бид x 1 , x 2 , x 3 хамааралтай хувьсагчдыг x 4 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Ингээд авч үзье нэгэн төрлийн систем n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэл:

(15)

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь Энэ нь үргэлж тэг (жижиг) шийдэлтэй байдаг (0,0,…,0).

Хэрэв (15) системд m=n ба байвал систем нь Крамерын теорем ба томьёооос үүсэлтэй зөвхөн тэг шийдэлтэй байна.

Теорем 1. Нэг төрлийн систем (15) нь түүний матрицын зэрэглэл нь хувьсагчдын тооноос бага байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг. . r(А)< n.

Баталгаа. Системийн (15) чухал бус шийдэл байгаа нь системийн матрицын баганын шугаман хамааралтай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл, x 1, x 2,..., x n тоонууд байдаг, бүгд тэгтэй тэнцүү биш. тэнцүү (15) үнэн).

Үндсэн минор теоремын дагуу матрицын баганууд нь шугаман хамааралтай  үед энэ матрицын бүх багана үндсэн биш, өөрөөр хэлбэл.  матрицын суурь минорын r дараалал нь баганын n тооноос бага байх үед. гэх мэт.

Үр дагавар. Дөрвөлжин нэгэн төрлийн систем нь |A|=0 үед өчүүхэн бус шийдлүүдтэй  байна.

Теорем 2. Хэрэв x (1), x (2),..., x (s) баганууд нь нэгэн төрлийн AX = 0 системийн шийдэл бол тэдгээрийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл болно.

Баталгаа. Аливаа шийдлийн хослолыг авч үзье:

Дараа нь AX=A()===0. гэх мэт.

Дүгнэлт 1.Хэрэв нэгэн төрлийн систем нь энгийн бус шийдэлтэй бол хязгааргүй олон шийдэлтэй байна.

Тэр. Ax = 0 системийн x (1), x (2),..., x (s) шийдлүүдийг олох шаардлагатай бөгөөд ингэснээр энэ системийн бусад шийдлүүд тэдгээрийн шугаман хослол хэлбэрээр дүрслэгдэх болно. , үүнээс гадна өвөрмөц байдлаар.

Тодорхойлолт.Ах=0 системийн шугаман хамааралгүй x (1), x (2),..., x (k) шийдүүдийн k=n-r (n нь системийн үл мэдэгдэх тоо, r=rg A) системийг гэнэ. шийдлийн үндсэн системэнэ систем.

Теорем 3. n үл мэдэгдэх нэгэн төрлийн Ах=0 системийг r=rg A гэж өгвөл энэ системийн x (1), x (2),..., x (k) шийдүүдийн олонлог байна. шийдлийн үндсэн систем.

Баталгаа. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр А матрицын минорын суурь нь зүүн дээд буланд байрладаг гэж бид үзэж болно. Дараа нь суурь минор теоремоор А матрицын үлдсэн мөрүүд нь үндсэн мөрүүдийн шугаман хослолууд болно. Энэ нь хэрэв x 1, x 2,…, x n утгууд нь эхний r тэгшитгэлийг хангана гэсэн үг юм. суурь минорын эгнээнд харгалзах тэгшитгэлүүд), тэгвэл бусад тэгшитгэлийг хангана. Тиймээс (r+1)-ээс эхлэн бүх тэгшитгэлийг хасвал системийн шийдлүүдийн багц өөрчлөгдөхгүй. Бид системийг авдаг:

Чөлөөт үл мэдэгдэх x r +1 , x r +2 ,…, x n-ийг баруун тал руу шилжүүлж, үндсэн х 1 , x 2 ,…, x r-ийг зүүн талд үлдээе.

(16)

Учир нь энэ тохиолдолд бүх b i =0, дараа нь томъёоны оронд

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), бид дараахийг авна:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Хэрэв бид x r +1 , x r +2 ,…, x n чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг дурын утгуудад тохируулбал үндсэн үл мэдэгдэх утгуудын хувьд бид цорын ганц биш матрицтай дөрвөлжин SLAE-ийг олж авах бөгөөд үүнд онцгой шийдэл байдаг. Тиймээс нэгэн төрлийн SLAE-ийн аливаа уусмалыг x r +1, x r +2,..., x n чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудын утгуудаар онцгойлон тодорхойлдог. Дараах k=n-r чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг авч үзье.

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Цувралын дугаарыг хаалтанд дээд үсгээр зааж, утгуудын цувааг багана хэлбэрээр бичнэ. Цуврал бүрт i=j бол =1, ij бол =0 байна.

Чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудын i-р цуврал нь ,,...,үндсэн үл мэдэгдэх утгуудтай өвөрмөц тохирдог. Үнэгүй болон үндсэн үл мэдэгдэх утгууд нь нийлээд системийн шийдлийг өгдөг (17).

e i =,i=1,2,…,k (18) баганууд байгааг харуулъя.

шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.

Учир нь Эдгээр баганууд нь бүтээцийн хувьд Ax = 0 нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд бөгөөд тэдгээрийн тоо нь k-тэй тэнцүү бол шийдлүүдийн шугаман бие даасан байдлыг батлах хэвээр байна (16). Шийдлийн шугаман хослол байг д 1 , д 2 ,…, д к(x (1) , x (2) ,…, x (k)), тэг баганатай тэнцүү:

 1 д 1 +  2 д 2 +…+ к д к ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(к) = 0)

Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн зүүн тал нь r+1,r+2,...,n тоотой бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү багана юм. Харин (r+1)-р бүрэлдэхүүн хэсэг нь  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1-тэй тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил (r+2)-р бүрэлдэхүүн хэсэг нь  2 ,…-тэй тэнцүү, k-р бүрэлдэхүүн хэсэг нь  k-тэй тэнцүү байна. Тиймээс  1 =  2 = …= k =0, энэ нь шийдлүүдийн шугаман бие даасан байдлыг илэрхийлнэ д 1 , д 2 ,…, д к ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Үүсгэсэн шийдлийн үндсэн системийг (18) гэж нэрлэдэг хэвийн. (13) томъёоны дагуу энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

(20)

Дүгнэлт 2. Болъё д 1 , д 2 ,…, д к-Нэг төрлийн системийн уусмалын ердийн суурь систем бол бүх шийдлийн багцыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

x=c 1 д 1 +s 2 д 2 +…+с k д к (21)

Энд с 1,с 2,…,с k – дурын утгыг авна.

Баталгаа. Теорем 2-оор багана (19) нь Ax=0 нэгэн төрлийн системийн шийдэл юм. Энэ системийн аливаа шийдлийг (17) хэлбэрээр илэрхийлж болохыг нотлох хэвээр байна. Баганыг анхаарч үзээрэй X=y r +1 д 1 +…+y n д к. Энэ багана нь r+1,...,n тоотой элементүүдийн y баганатай давхцах ба (16)-ийн шийдэл юм. Тиймээс баганууд XТэгээд цагтдавхцдаг, учир нь Системийн (16) шийдлүүд нь түүний чөлөөт үл мэдэгдэх x r +1 ,…, x n, баганын утгуудын багцаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. цагтТэгээд XЭдгээр багц нь адилхан. Тиймээс, цагт=X= y r +1 д 1 +…+y n д к, өөрөөр хэлбэл шийдэл цагтбаганын шугаман хослол юм д 1 ,…,y n хэвийн FSR. гэх мэт.

Батлагдсан мэдэгдэл нь зөвхөн ердийн FSR-ийн хувьд төдийгүй нэгэн төрлийн SLAE-ийн дурын FSR-ийн хувьд үнэн юм.

X=в 1 X 1 + в 2 X 2 +…+с n - r X n - r - нийтлэг шийдвэршугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системүүд

Энд X 1, X 2,…, X n - r – шийдлийн аливаа үндсэн систем,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r нь дурын тоонууд.

Жишээ. (х. 78)

Нэг төрлийн бус SLAE-ийн шийдлүүдийн хооронд холболт тогтооцгооё (1) ба харгалзах нэгэн төрлийн SLAE (15)

Теорем 4. Нэг төрлийн бус систем (1) ба харгалзах нэгэн төрлийн систем (15)-ын аливаа шийдлийн нийлбэр нь (1) системийн шийдэл юм.

Баталгаа. Хэрэв c 1 ,…,c n нь (1) системийн шийдэл, d 1 ,…,d n нь (15) системийн шийдэл бол үл мэдэгдэх c тоог дурын (жишээлбэл, i-р) тэгшитгэлд орлуулна. систем (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , бид дараахийг авна:

B i +0=b i h.t.d.

Теорем 5. Нэг төрлийн бус системийн дурын хоёр шийдлийн ялгаа (1) нь нэгэн төрлийн системийн (15) шийдэл юм.

Баталгаа. Хэрэв c 1 ,…,c n ба c 1 ,…,c n нь (1) системийн шийдэл бол үл мэдэгдэх c тоог системийн дурын (жишээ нь i-р) тэгшитгэлд (1) орлуулна. ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , бид дараахыг авна.

B i -b i =0 p.t.d.

Батлагдсан теоремуудаас үзэхэд n хувьсагчтай m шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл нь нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн харгалзах системийн ерөнхий шийд (15) ба тодорхой шийдийн дурын тооны нийлбэртэй тэнцүү байна. энэ систем (15).

X шинэ. =X нийт нэг +X байнга нэгээс илүү (22)

Нэг төрлийн бус системийн тодорхой шийдэл болгон c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j томъёонд байгаа бол олж авсан уусмалыг авах нь зүйн хэрэг юм. (a in)) j=1,2,…,r ((13) c r +1 ,…,c n бүх тоог тэгтэй тэнцүүлэх, өөрөөр хэлбэл.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Энэхүү тусгай шийдлийг ерөнхий шийдэлд нэмж оруулав X=в 1 X 1 + в 2 X 2 +…+с n - r X n - rхаргалзах нэгэн төрлийн системийг бид олж авна:

X шинэ. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)

Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Үүнд хамгийн багадаа нэг коэффициент байна a ij 0.

Шийдвэрлэхийн тулд бид эхний тэгшитгэлийг 22-оор, хоёр дахь тэгшитгэлийг (-a 12) үржүүлж, тэдгээрийг нэмснээр x 2-ыг хасна: Эхний тэгшитгэлийг (-a 21), хоёр дахь тэгшитгэлийг 11-ээр үржүүлж x 1-ийг арилгана. мөн тэдгээрийг нэмж: Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тодорхойлогч юм

Томилогдсон ,, дараа нь систем хэлбэрийг авна:, өөрөөр хэлбэл, хэрэв, систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна:,.

Хэрэв Δ=0, ба (эсвэл) бол систем нь нийцэхгүй, учир нь хэлбэрт оруулав. Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 бол систем тодорхойгүй, учир нь хэлбэр болгон бууруулсан

Шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн, хэрэв түүний чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл нэг төрлийн бус. Нэг төрлийн тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг ба байна ерөнхий хэлбэр:

Нэг төрлийн систем бүр тогтвортой бөгөөд тэг (жижиг) шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд хэрэглэхдээ тэгээс өөр шийдэл байгаа эсэх асуултын хариултыг хайх шаардлагатай болдог. Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор томъёолж болно.

Теорем . Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь түүний зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л тэгээс өөр шийдэлтэй байна. .

Баталгаа: Зэрэглэл нь тэнцүү систем тэгээс ялгаатай шийдэлтэй гэж үзье. -ээс хэтрэхгүй нь ойлгомжтой. Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем үргэлж тэг шийдэлтэй байдаг тул тэг шийдэл нь энэ өвөрмөц шийдэл байх болно. Тиймээс тэгээс өөр шийдэл нь зөвхөн -д л боломжтой.

Дүгнэлт 1 : Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байдаг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем үргэлж тэгээс өөр шийдэлтэй байдаг.

Баталгаа: Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь байвал системийн зэрэглэл нь тэгшитгэлийн тооноос хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл. . Тиймээс нөхцөл хангагдсан тул систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна.

Дүгнэлт 2 : Мэдэгдэхгүй тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь тодорхойлогч нь тэг байхад л тэгээс өөр шийдэлтэй байна.

Баталгаа: Тодорхойлогчтой матриц нь 0 биш шийдэлтэй шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем гэж үзье. Дараа нь батлагдсан теоремын дагуу матриц нь ганц бие гэсэн үг юм. .

Кронекер-Капелли теорем: Системийн матрицын зэрэглэл нь энэ системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байвал SLU нь тогтвортой байна. Хэрэв систем нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг тогтвортой гэж нэрлэдэг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.

n хувьсагчтай м шугаман тэгшитгэлийн системийг бүх чөлөөт гишүүн 0-тэй тэнцүү бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем гэнэ. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь энэ нь үргэлж дор хаяж тэг шийдэлтэй байдаг. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем нь хувьсагчдын коэффициентийн матрицын зэрэглэл нь хувьсагчдын тооноос бага байх тохиолдолд л тэгээс өөр шийдэлтэй байдаг. А зэрэглэлийн хувьд (n. Аливаа шугаман хослол

Лин системийн шийдлүүд. нэгэн төрлийн. ur-ii нь мөн энэ системийн шийдэл юм.

e1, e2,...,еk шугаман бие даасан шийдлүүдийн системийг системийн шийдэл бүр шийдлүүдийн шугаман хослол бол үндсэн гэж нэрлэдэг. Теорем: хэрэв шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн хувьсагчдын коэффициентийн матрицын r зэрэг нь хувьсагчийн тооноос бага бол системийн шийдлүүдийн үндсэн систем бүр дараахаас бүрдэнэ. n-r шийдэл. Иймд шугаман системийн ерөнхий шийдэл. нэг өдөр ur-th нь дараах хэлбэртэй байна: c1e1+c2e2+...+skek, энд e1, e2,..., ek нь аливаа үндсэн шийдлийн систем, c1, c2,...,ck нь дурын тоо, k=n-r. n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл нь нийлбэртэй тэнцүү байна

түүнд тохирох системийн ерөнхий шийдэл нь нэгэн төрлийн байна. шугаман тэгшитгэл ба энэ системийн дурын тодорхой шийдэл.

7. Шугаман орон зай. Дэд орон зай. Суурь, хэмжээ. Шугаман бүрхүүл. Шугаман орон зай гэж нэрлэдэг n хэмжээст, хэрэв энэ нь шугаман бие даасан векторуудын систем, ямар ч системийг агуулж байгаа бол илүүвекторууд нь шугаман хамааралтай байдаг. дугаарыг дуудаж байна хэмжээс (хэмжээний тоо)шугаман орон зай ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Өөрөөр хэлбэл, орон зайн хэмжээс нь энэ орон зайн шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо юм. Хэрэв ийм тоо байгаа бол орон зайг хязгаарлагдмал хэмжээст гэж нэрлэдэг. Ямар ч натурал n тооны хувьд шугаман бие даасан векторуудаас тогтсон систем огторгуйд байгаа бол ийм орон зайг хязгааргүй хэмжээст (бичсэн: ) гэнэ. Дараах зүйлд өөрөөр заагаагүй бол хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайг авч үзэх болно.

n хэмжээст шугаман орон зайн үндэс нь шугаман бие даасан векторуудын эмх цэгцтэй цуглуулга юм ( суурь векторууд).

Векторыг суурийн хувьд тэлэх тухай теорем 8.1. Хэрэв n хэмжээст шугаман орон зайн суурь бол дурын векторыг үндсэн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно.

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
мөн үүнээс гадна цорын ганц арга замаар, i.e. Коэффициентийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно.Өөрөөр хэлбэл, ямар ч орон зайн векторыг суурь болгон, цаашлаад өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно.

Үнэхээр орон зайн хэмжээс нь . Векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй (энэ нь суурь). Суурь дээр дурын вектор нэмсний дараа шугаман хамааралтай системийг олж авна (энэ систем нь n хэмжээст орон зайн векторуудаас бүрддэг тул). Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан 7 векторын шинж чанарыг ашиглан теоремын дүгнэлтийг гаргана.