จุด (±1, ±1, ±1, ±1). กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:

tesseract นั้นถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน ซึ่งจุดตัดของ tesseract นั้นกำหนดใบหน้าสามมิติของมันเอง (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่ตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มี 8 ใบหน้า 3 มิติ 24 2 มิติ 32 ขอบและ 16 จุดยอด

คำอธิบายยอดนิยม

ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ต้องออกจากพื้นที่สามมิติ

ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะทาง L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานกับมันและเชื่อมต่อปลายของมัน คุณจะได้ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้ด้วยระนาบ เราได้ลูกบาศก์ CDBAGHFE สามมิติ และด้วยการเลื่อนลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะทาง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM

การสร้าง tesseract บนเครื่องบิน

ส่วนหนึ่งมิติ AB ทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกันจะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีจุดขอบเขตสองจุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอดสี่จุด และลูกบาศก์มีแปดจุด ดังนั้น ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด: จุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ดั้งเดิมและจุดยอด 8 จุดขยับในมิติที่สี่ มันมี 32 ขอบ - 12 อันแต่ละอันให้ตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของลูกบาศก์ดั้งเดิม และอีก 8 ขอบ "วาด" จุดยอดแปดของมันที่ย้ายไปอยู่ในมิติที่สี่ เหตุผลเดียวกันนี้สามารถทำได้สำหรับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติ มันคือหนึ่ง (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 อัน (สองหน้าจากสี่เหลี่ยมที่ย้าย และอีกสี่หน้าจะอธิบายด้านข้างของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมี 24 หน้าสี่เหลี่ยม - 12 สี่เหลี่ยมของลูกบาศก์ดั้งเดิมในสองตำแหน่งและ 12 สี่เหลี่ยมจากขอบสิบสองของมัน

เนื่องจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นส่วนหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (ใบหน้า) ของลูกบาศก์คือสี่เหลี่ยมสองมิติ 6 ช่อง ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (tesseract) ด้านข้างจึงเป็นลูกบาศก์สามมิติ 8 ลูก ช่องว่างของคู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ tesseract (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่ลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) ขนานกัน ในรูปคือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาเหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ต่อไปได้ มากกว่ามิติ แต่มันน่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมีลักษณะอย่างไรสำหรับเราซึ่งเป็นผู้อยู่อาศัยในอวกาศสามมิติ ให้เราใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้วสำหรับสิ่งนี้

ลองนำเส้นลวด ABCDHEFG มามองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของใบหน้า เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองช่องบนระนาบ (ทั้งหน้าใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในปริภูมิสามมิติจะดูเหมือน "กล่อง" สองลูกบาศก์ที่สอดเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองนึกภาพลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่เป็นภาพเชิงพื้นที่

เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามมิติถูกสร้างขึ้นโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขยับตามความยาวของใบหน้า ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนไปยังมิติที่สี่จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดก้อนซึ่งในอนาคตจะมีลักษณะที่สวยงามบ้าง ตัวเลขที่ซับซ้อน. ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติสามารถ "ตัด" เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์

ด้วยการตัดลูกบาศก์สามมิติหกหน้า คุณสามารถสลายมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่ง - ใบหน้าตรงข้ามกับมัน การพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม ลูกบาศก์หกก้อนที่ "เติบโต" จากมัน บวกอีกหนึ่งอัน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

คุณสมบัติของ tesseract เป็นส่วนขยายของคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตลดมิติลงสู่พื้นที่สี่มิติ

ประมาณการ

สู่อวกาศสองมิติ

โครงสร้างนี้จินตนาการได้ยาก แต่มีความเป็นไปได้ที่จะฉายภาพ tesseract ลงในช่องว่าง 2 มิติหรือ 3 มิติ นอกจากนี้ การฉายภาพบนระนาบช่วยให้เข้าใจตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ได้ง่าย ด้วยวิธีนี้ สามารถรับภาพที่ไม่ได้สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายใน tesseract อีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างลิงก์จุดยอด ดังในตัวอย่างต่อไปนี้:

ภาพที่สามแสดง tesseract ในแบบมีมิติเท่ากัน สัมพันธ์กับจุดก่อสร้าง มุมมองนี้น่าสนใจเมื่อใช้ tesseract เป็นพื้นฐานสำหรับเครือข่ายทอพอโลยีเพื่อเชื่อมโยงโปรเซสเซอร์หลายตัวในการคำนวณแบบขนาน

สู่อวกาศสามมิติ

หนึ่งในการคาดการณ์ของ tesseract บนพื้นที่สามมิติคือลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองอัน จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมีขนาดต่างกันในพื้นที่ 3 มิติ แต่ลูกบาศก์เท่ากันในพื้นที่ 4 มิติ เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์ทั้งหมดของ tesseract จึงมีการสร้างแบบจำลองการหมุนของ tesseract

• ปิรามิดที่ถูกตัดทอนหกอันตามขอบของ tesseract เป็นรูปภาพที่มีลูกบาศก์เท่ากับหกก้อน อย่างไรก็ตาม ลูกบาศก์เหล่านี้อยู่ที่ tesseract เหมือนกำลังสอง (ใบหน้า) อยู่ที่ลูกบาศก์ แต่ในความเป็นจริง tesseract สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมจำนวนอนันต์ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแบ่งออกเป็นส่วนจำนวนอนันต์

การฉายภาพที่น่าสนใจอีกประการของ tesseract ลงบนพื้นที่สามมิติคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมสี่เส้นที่วาด เชื่อมจุดยอดตรงข้ามคู่กันที่มุมขนาดใหญ่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในกรณีนี้ จุดยอด 14 จุดจาก 16 จุดของ tesseract ถูกฉายเป็น 14 จุดยอดของ dodecahedron สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และการคาดการณ์ของ 2 จุดที่เหลือจะอยู่ตรงกลาง ในการฉายภาพบนพื้นที่สามมิติ ความเสมอภาคและความขนานของด้านหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติทั้งหมดจะถูกรักษาไว้

คู่สเตอริโอ

Stereopair ของ tesseract ถูกแสดงเป็นภาพสองภาพบนพื้นที่สามมิติ การแสดงภาพของ tesseract นี้ออกแบบมาเพื่อแสดงถึงความลึกเป็นมิติที่สี่ มีการดูคู่สเตอริโอเพื่อให้ตาแต่ละข้างเห็นภาพเหล่านี้เพียงภาพเดียว ภาพสามมิติจะเกิดขึ้นที่สร้างความลึกของ tesseract

Tesseract แฉ

พื้นผิวของ tesseract สามารถคลี่ออกเป็นแปดลูกบาศก์ (คล้ายกับที่พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถกางออกเป็นหกสี่เหลี่ยม) มีการตีแผ่ของ tesseract ที่แตกต่างกัน 261 ครั้ง การแผ่ออกของ tesseract สามารถคำนวณได้โดยการพล็อตมุมที่เชื่อมต่อกันบนกราฟ

Tesseract ในงานศิลปะ

• ใน New Plain ของ Edwine A. Abbott ไฮเปอร์คิวบ์เป็นผู้บรรยาย
• ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron "อัจฉริยะเด็ก" จิมมี่ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติที่เหมือนกับกล่องพับจากนวนิยายเรื่อง Glory Road (1963) โดย Robert Heinlein
• Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์ในนิยายวิทยาศาสตร์อย่างน้อยสามเรื่อง ในบ้านสี่มิติ (บ้านที่ Teel สร้างขึ้น) เขาบรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นโดยการตีแผ่ของ tesseract และจากแผ่นดินไหว "ก่อตัว" ในมิติที่สี่และกลายเป็น "ของจริง" tesseract
• ในนวนิยายเรื่อง Glory Road โดย Heinlein มีการอธิบายว่ากล่องไฮเปอร์มิติที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
• เรื่องราวของ Henry Kuttner "All Borog's Tenals" อธิบายของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้น ซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract
• ในนวนิยายของ Alex Garland ( ) คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำอุปมาที่ออกแบบมาเพื่อแสดงว่าระบบการรับรู้ควรกว้างกว่าระบบที่รับรู้ได้
• เนื้อเรื่องของ The Cube 2: Hypercube มุ่งเน้นไปที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมโยงกัน
• ละครโทรทัศน์ Andromeda ใช้เครื่องกำเนิด tesseract เป็นอุปกรณ์สมรู้ร่วมคิด มีไว้เพื่อควบคุมพื้นที่และเวลาเป็นหลัก
• จิตรกรรม " การตรึงกางเขน"(Corpus Hypercubus) โดย Salvador Dali ()
• หนังสือการ์ตูน Nextwave แสดงให้เห็นยานพาหนะที่มี 5 โซน tesseract
• ในอัลบั้ม Voivod Nothingface หนึ่งในเพลงชื่อ "In my hypercube"
• ในนวนิยาย Route Cube ของ Anthony Pierce หนึ่งในดวงจันทร์โคจรของ IDA เรียกว่า tesseract ที่ถูกบีบอัดเป็น 3 มิติ
• ในซีรีส์ "School" Black Hole "" ในฤดูกาลที่สามมีตอน "Tesseract" ลูคัสกดปุ่มลับและโรงเรียนก็เริ่ม "มีรูปร่างเหมือนเทสเซอแรคท์ทางคณิตศาสตร์"
• คำว่า "tesseract" และคำว่า "tesse" ที่มาจากคำว่า "Wrinkle of Time" ของ Madeleine L'Engle
• TesseracT เป็นชื่อของกลุ่ม djent ของอังกฤษ
• ในซีรีส์ภาพยนตร์ Marvel Cinematic Universe Tesseract เป็นองค์ประกอบสำคัญของโครงเรื่อง ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์จากจักรวาลที่มีรูปร่างคล้ายไฮเปอร์คิวบ์
• ในเรื่องราวของ Robert Sheckley เรื่อง "Miss Mouse and the Fourth Dimension" นักเขียนลึกลับคนรู้จักของผู้แต่งพยายามที่จะดู tesseract โดยมองหาอุปกรณ์ที่เขาออกแบบเป็นเวลาหลายชั่วโมง: ลูกบอลบนขาที่มีแท่งติดอยู่ ที่ปลูกลูกบาศก์วางทับด้วยสัญลักษณ์ลึกลับทุกประเภท เรื่องนี้กล่าวถึงงานของฮินตัน
• ในภาพยนตร์เรื่อง The First Avenger, The Avengers Tesseract เป็นพลังงานของทั้งจักรวาล

ชื่ออื่น

• Hexadecachoron (อังกฤษ) Hexadecachoron)
• ออคโตโชรอน (อังกฤษ) Octachoron)
• tetracube
• 4-cube
• Hypercube (หากไม่ระบุจำนวนมิติ)

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• ชาร์ลส์ เอช. ฮินตัน มิติที่สี่ พ.ศ. 2447 ISBN 0-405-07953-2
• มาร์ติน การ์ดเนอร์, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• เอียน สจ๊วร์ต, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

ลิงค์

ในภาษารัสเซีย

• โปรแกรม Transformer4D การก่อตัวของแบบจำลองสามมิติของวัตถุสี่มิติ (รวมถึง Hypercube)
• โปรแกรมที่ใช้การสร้าง tesseract และการแปลงความสัมพันธ์ทั้งหมดด้วยซอร์ส C++

เป็นภาษาอังกฤษ

• Mushware Limited เป็นโปรแกรมเอาท์พุต tesseract ( เทรนเนอร์ Tesseractได้รับอนุญาตภายใต้ GPLv2) และเกมยิงมุมมองบุคคลที่หนึ่ง 4 มิติ ( อดาแนกซิส; กราฟิก ส่วนใหญ่เป็นสามมิติ มีเวอร์ชัน GPL ในที่เก็บ OS)

รูปทรงหลายเหลี่ยม
ถูกต้อง (ของแข็งสงบ)
สิบสองเหลี่ยมที่มีดาว รูปหลายเหลี่ยมที่มีดาว รูปแปดด้านที่มีดาว
นูน	ของแข็งอาร์คิมีดีน Cuboctahedron ICOSIDODECAHEDRON T Runcated T Etrahedron ตัดทอน Octahedron ร่างกายคาตาลัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน Rhombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedron Deltoidal hexcontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexedriacontahedron ไม่มีความสมมาตรเชิงพื้นที่ที่สมบูรณ์ พีระมิด ปริซึม Bipyramid Antiprism Zonohedron Parallelepiped Rhombohedron Prismatoid Truncated Pyramid รูปห้าเหลี่ยม
สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี
อื่น

Tesseract (จากภาษากรีก τέσσερες ἀκτῖνες - สี่รังสี) - ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - อะนาล็อกของลูกบาศก์ในพื้นที่สี่มิติ

รูปภาพเป็นการฉายภาพ (มุมมอง) ของลูกบาศก์สี่มิติบนพื้นที่สามมิติ

ตามพจนานุกรมของ Oxford คำว่า "tesseract" ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี 1888 โดย Charles Howard Hinton (1853-1907) ในหนังสือ A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่า "เตตระคิวบ์"

เรขาคณิต

tesseract ธรรมดาในพื้นที่สี่มิติแบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นเรือนูนของจุด (±1, ±1, ±1, ±1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:

tesseract นั้นถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน ซึ่งจุดตัดกับ tesseract นั้นกำหนดใบหน้าสามมิติของมัน (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่ตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มี 8 ใบหน้า 3 มิติ 24 2 มิติ 32 ขอบและ 16 จุดยอด

คำอธิบายยอดนิยม

ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ต้องออกจากพื้นที่สามมิติ

ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะทาง L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานกับมันและเชื่อมต่อปลายของมัน รับสี่เหลี่ยม ABCD ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับระนาบ เราได้ลูกบาศก์ ABCDHEFG สามมิติ และด้วยการเลื่อนลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะทาง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ ABCDEFGHIJKLMNOP
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

ส่วนหนึ่งมิติ AB ทำหน้าที่เป็นด้านของสี่เหลี่ยม ABCD สองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือด้านข้างของลูกบาศก์ ABCDHEFG ซึ่งในทางกลับกันจะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีจุดขอบเขตสองจุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอดสี่จุด และลูกบาศก์มีแปดจุด ดังนั้น ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด: จุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ดั้งเดิมและจุดยอด 8 จุดขยับในมิติที่สี่ มันมี 32 ขอบ - 12 อันแต่ละอันให้ตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของลูกบาศก์ดั้งเดิม และอีก 8 ขอบ "วาด" จุดยอดแปดของมันที่ย้ายไปอยู่ในมิติที่สี่ เหตุผลเดียวกันนี้สามารถทำได้สำหรับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติ มันคือหนึ่ง (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 อัน (สองหน้าจากสี่เหลี่ยมที่ย้าย และอีกสี่หน้าจะอธิบายด้านข้างของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมี 24 หน้าสี่เหลี่ยม - 12 สี่เหลี่ยมของลูกบาศก์ดั้งเดิมในสองตำแหน่งและ 12 สี่เหลี่ยมจากขอบสิบสองของมัน

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาเหตุผลสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติจำนวนมากขึ้นต่อไปได้ แต่น่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมีลักษณะอย่างไรสำหรับเรา ผู้ที่อาศัยอยู่ในพื้นที่สามมิติ ให้เราใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้วสำหรับสิ่งนี้

Tesseract แฉ

ลองนำเส้นลวด ABCDHEFG มามองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของใบหน้า เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองช่องบนระนาบ (ทั้งหน้าใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในปริภูมิสามมิติจะดูเหมือน "กล่อง" สองลูกบาศก์ที่สอดเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะขยายออกไปในมิติที่สี่ คุณยังสามารถลองนึกภาพลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่เป็นภาพเชิงพื้นที่

เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามมิติถูกสร้างขึ้นโดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขยับตามความยาวของใบหน้า ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนไปยังมิติที่สี่จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์คิวบ์ มันถูก จำกัด ด้วยแปดลูกบาศก์ซึ่งในอนาคตจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ส่วนหนึ่งของมันซึ่งยังคงอยู่ในพื้นที่ "ของเรา" นั้นถูกวาดด้วยเส้นทึบและส่วนที่เข้าไปในไฮเปอร์สเปซนั้นถูกประ ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติสามารถ "ตัด" เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์

ด้วยการตัดลูกบาศก์สามมิติหกหน้า คุณสามารถสลายมันให้เป็นรูปแบน - ตาข่าย มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่ง - ใบหน้าตรงข้ามกับมัน การพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม ลูกบาศก์หกก้อนที่ "เติบโต" จากมัน บวกอีกหนึ่งอัน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย

คุณสมบัติของ tesseract เป็นการขยายคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่มีขนาดเล็กลงไปสู่พื้นที่สี่มิติ

ประมาณการ

สู่อวกาศสองมิติ

โครงสร้างนี้ยากที่จะจินตนาการ แต่เป็นไปได้ที่จะฉายภาพ tesseract ลงในช่องว่าง 2D หรือ 3D นอกจากนี้ การฉายภาพบนระนาบช่วยให้เข้าใจตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ได้ง่าย ด้วยวิธีนี้ สามารถรับภาพที่ไม่ได้สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายใน tesseract อีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างลิงก์จุดยอด ดังในตัวอย่างต่อไปนี้:


สู่อวกาศสามมิติ

การฉายภาพของ tesseract ลงในพื้นที่สามมิติคือลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองอัน จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมีขนาดต่างกันในพื้นที่ 3 มิติ แต่ลูกบาศก์เท่ากันในพื้นที่ 4 มิติ เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์ทั้งหมดของ tesseract จึงมีการสร้างแบบจำลองการหมุนของ tesseract

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนหกอันตามขอบของ tesseract เป็นรูปภาพที่มีลูกบาศก์เท่ากับหกก้อน
คู่สเตอริโอ

Stereopair ของ tesseract ถูกแสดงเป็นภาพสองภาพบนพื้นที่สามมิติ การแสดงภาพของ tesseract นี้ออกแบบมาเพื่อแสดงถึงความลึกเป็นมิติที่สี่ มีการดูคู่สเตอริโอเพื่อให้ตาแต่ละข้างเห็นภาพเหล่านี้เพียงภาพเดียว ภาพสามมิติจะเกิดขึ้นที่สร้างความลึกของ tesseract

Tesseract แฉ

พื้นผิวของ tesseract สามารถคลี่ออกเป็นแปดลูกบาศก์ (คล้ายกับที่พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถกางออกเป็นหกสี่เหลี่ยม) มีการตีแผ่ของ tesseract ที่แตกต่างกัน 261 ครั้ง การแผ่ออกของ tesseract สามารถคำนวณได้โดยการพล็อตมุมที่เชื่อมต่อกันบนกราฟ

Tesseract ในงานศิลปะ

ใน New Plain ของ Edwine A. Abbott ไฮเปอร์คิวบ์เป็นผู้บรรยาย
ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius" จิมมี่ได้ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติที่เหมือนกับกล่องพับจากภาพยนตร์ Glory Road ของไฮน์ไลน์ในปี 1963
Robert E. Heinlein กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์ในนิยายวิทยาศาสตร์อย่างน้อยสามเรื่อง ในบ้านสี่มิติ (บ้านที่สร้างโดย Teel) (1940) เขาบรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นโดยเป็นการเผยแผ่ของ tesseract
ในนวนิยายเรื่อง Glory Road ของไฮน์ไลน์ มีการบรรยายถึงจานขนาดใหญ่ที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
เรื่องสั้นของ Henry Kuttner เรื่อง "Mimsy Were the Borogoves" อธิบายของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้น ซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract
ในนวนิยายของ Alex Garland (1999) คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำอุปมาที่ออกแบบมาเพื่อแสดงว่าระบบการรับรู้ควรกว้างกว่าระบบที่รับรู้ได้
เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน
ละครโทรทัศน์ Andromeda ใช้เครื่องกำเนิด tesseract เป็นอุปกรณ์สมรู้ร่วมคิด มีวัตถุประสงค์หลักเพื่อควบคุมพื้นที่และเวลา
ภาพวาด "การตรึงกางเขน" (Corpus Hypercubus) โดย Salvador Dali (1954)
หนังสือการ์ตูน Nextwave แสดงให้เห็นยานพาหนะที่มี 5 โซน tesseract
ในอัลบั้ม Voivod Nothingface หนึ่งในเพลงชื่อ "In my hypercube"
ในนวนิยาย Route Cube ของ Anthony Pierce หนึ่งในดวงจันทร์โคจรของ IDA เรียกว่า tesseract ที่ถูกบีบอัดเป็น 3 มิติ
ในซีรีส์ "School" Black Hole "" ในฤดูกาลที่สามมีตอน "Tesseract" ลูคัสกดปุ่มลับและโรงเรียนก็เริ่มเป็นรูปเป็นร่างเหมือนเทสเซอแรคท์ทางคณิตศาสตร์
คำว่า "tesseract" และคำว่า "tesse" ที่มาจากคำว่า "Wrinkle of Time" ของ Madeleine L'Engle

หากคุณเป็นแฟนตัวยงของภาพยนตร์อเวนเจอร์ส สิ่งแรกที่คุณนึกถึงเมื่อคุณได้ยินคำว่า "เทสเซอแรค" คือภาชนะรูปทรงลูกบาศก์โปร่งใสของอินฟินิตี้สโตนที่มีพลังไร้ขีดจำกัด

สำหรับแฟน ๆ ของ Marvel Universe Tesseract เป็นลูกบาศก์สีน้ำเงินที่เปล่งประกายซึ่งผู้คนไม่เพียง แต่จากโลกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงดาวเคราะห์ดวงอื่นด้วย นั่นเป็นเหตุผลที่เหล่าอเวนเจอร์สได้รวมตัวกันเพื่อปกป้อง Earthlings จากเหตุการณ์สุดวิสัย พลังทำลายล้างเทสเซอแรคท์

สิ่งที่ต้องพูดคือ: tesseract เป็นแนวคิดทางเรขาคณิตที่แท้จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปร่างที่มีอยู่ใน 4D ไม่ใช่แค่ลูกบาศก์สีฟ้าจาก The Avengers... มันเป็นแนวคิดที่แท้จริง

tesseract เป็นวัตถุใน 4 มิติ แต่ก่อนที่เราจะอธิบายอย่างละเอียด เรามาเริ่มกันตั้งแต่ต้น

"การวัด" คืออะไร?

ทุกคนเคยได้ยินคำว่า 2D และ 3D ซึ่งเป็นตัวแทนของวัตถุอวกาศสองมิติหรือสามมิติตามลำดับ แต่สิ่งเหล่านี้คืออะไร?

มิติเป็นเพียงทิศทางที่คุณสามารถไป ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังวาดเส้นบนกระดาษ คุณสามารถไปทางซ้าย/ขวา (แกน x) หรือขึ้น/ลง (แกน y) เราเลยบอกว่ากระดาษเป็นแบบสองมิติ เนื่องจากคุณสามารถเดินได้สองทิศทางเท่านั้น

มีความลุ่มลึกในแบบ 3 มิติ

ในโลกแห่งความเป็นจริง นอกจากสองทิศทางที่กล่าวมาแล้ว (ซ้าย/ขวา และขึ้น/ลง) คุณยังสามารถเข้า/ออกได้ ดังนั้นจึงเพิ่มความรู้สึกลึกลงไปในพื้นที่ 3 มิติ ดังนั้นเราจึงกล่าวว่า ชีวิตจริง 3 มิติ

จุดสามารถแทน 0 มิติ (เพราะมันไม่เคลื่อนที่ไปในทิศทางใด ๆ), เส้นแทน 1 มิติ (ความยาว), สี่เหลี่ยมแทน 2 มิติ (ความยาวและความกว้าง) และลูกบาศก์แทน 3 มิติ (ความยาว ความกว้าง และความสูง ).

ใช้ลูกบาศก์ 3 มิติและแทนที่แต่ละหน้า (ซึ่งปัจจุบันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ด้วยลูกบาศก์ แล้วก็! รูปร่างที่คุณได้รับคือ tesseract

เทสเซอแรคท์คืออะไร?

พูดง่ายๆ ว่า tesseract เป็นลูกบาศก์ในพื้นที่ 4 มิติ คุณยังสามารถพูดได้ว่านี่คือลูกบาศก์ที่เทียบเท่า 4 มิติ นี่คือรูปร่าง 4 มิติ โดยที่แต่ละหน้าเป็นลูกบาศก์

การฉายภาพ 3 มิติของ tesseract ที่ทำการหมุนสองครั้งรอบระนาบมุมฉากสองระนาบ
ภาพ: Jason Hise

นี่เป็นวิธีง่ายๆ ในการกำหนดมิติข้อมูล สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นแบบสองมิติ แต่ละมุมจึงมีเส้น 2 เส้นต่อจากมุม 90 องศาถึงกัน ลูกบาศก์เป็นแบบ 3 มิติ ดังนั้นแต่ละมุมของมันจึงมี 3 เส้นลากออกมาจากลูกบาศก์ ในทำนองเดียวกัน tesseract เป็นรูป 4D ดังนั้นแต่ละมุมจึงมี 4 เส้นต่อจากนี้

เหตุใดจึงยากที่จะจินตนาการถึง tesseract?

เนื่องจากเราในฐานะมนุษย์ได้พัฒนาเพื่อแสดงวัตถุในสามมิติ อะไรก็ตามที่มีมิติพิเศษเช่น 4D, 5D, 6D ฯลฯ จึงไม่สมเหตุสมผลสำหรับเราเพราะเราไม่สามารถเห็นภาพเหล่านั้นได้เลย แนะนำ สมองของเราไม่สามารถเข้าใจมิติที่ 4 ในอวกาศได้ เราไม่สามารถคิดเกี่ยวกับมัน

ในทางเรขาคณิต ไฮเปอร์คิวบ์- มัน น- การเปรียบเทียบมิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ( น= 2) และลูกบาศก์ ( น= 3). นี่คือรูปนูนปิดซึ่งประกอบด้วยกลุ่มของเส้นคู่ขนานที่อยู่บนขอบด้านตรงข้ามของรูปและเชื่อมต่อกันที่มุมฉาก

ตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่า tesseract(เทสเซอแรคท์). tesseract อยู่ที่ลูกบาศก์ในขณะที่ลูกบาศก์อยู่ที่สี่เหลี่ยม อย่างเป็นทางการมากขึ้น tesseract สามารถอธิบายเป็น polytope สี่มิตินูนปกติ (polytope) ที่มีขอบเขตประกอบด้วยแปดลูกบาศก์เซลล์

ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของ Oxford คำว่า "tesseract" ได้รับการประกาศเกียรติคุณในปี 1888 โดย Charles Howard Hinton และใช้ในหนังสือของเขา A New Era of Thought คำนี้มาจากภาษากรีกว่า "τεσσερες ακτινες" ("สี่แฉก") อยู่ในรูปของแกนพิกัดสี่แกน นอกจากนี้ในบางแหล่งเรียกว่าตัวเลขเดียวกัน tetracube(เตตระคิวบ์).

น-ไฮเปอร์คิวบ์มิติเรียกอีกอย่างว่า n-cube.

จุดคือไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 0 หากคุณเปลี่ยนจุดด้วยหน่วยความยาว คุณจะได้ส่วนของความยาวหน่วย - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 1 นอกจากนี้ หากคุณเปลี่ยนส่วนด้วยหน่วยความยาวในทิศทางตั้งฉาก ไปยังทิศทางของเซ็กเมนต์ คุณจะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 2 เลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยหน่วยความยาวในทิศทางตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยม จะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 3 กระบวนการนี้ สามารถสรุปให้เป็นมิติข้อมูลจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณเลื่อนลูกบาศก์ด้วยหน่วยความยาวในมิติที่สี่ คุณจะได้ tesseract

ตระกูลของไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในโพลิเฮดราปกติเพียงไม่กี่ชนิดที่สามารถแสดงได้ในทุกมิติ

องค์ประกอบไฮเปอร์คิวบ์

มิติไฮเปอร์คิวบ์ นมี2 น"ด้าน" (เส้นหนึ่งมิติมี 2 จุด; สี่เหลี่ยมสองมิติ - 4 ด้าน; ลูกบาศก์สามมิติ - 6 หน้า; tesseract สี่มิติ - 8 เซลล์) จำนวนจุดยอด (จุด) ของไฮเปอร์คิวบ์คือ2 น(ตัวอย่างเช่น สำหรับลูกบาศก์ - จุดยอด 2 3 จุด)

ปริมาณ ม-ไฮเปอร์คิวบ์มิติบนขอบเขต น-cube เท่ากับ

ตัวอย่างเช่น บนเส้นขอบของไฮเปอร์คิวบ์มี 8 คิวบ์ 24 สี่เหลี่ยม 32 ขอบและ 16 จุดยอด

องค์ประกอบของไฮเปอร์คิวบ์

n-cube	ชื่อ	จุดสุดยอด (0 ใบหน้า)	ขอบ (1 หน้า)	ขอบ (2 หน้า)	เซลล์ (3 หน้า)	(4 หน้า)	(5 หน้า)	(6 หน้า)	(7 หน้า)	(8 หน้า)
0-cube	Dot	1
1-cube	ส่วน	2	1
2-cube	สี่เหลี่ยม	4	4	1
3-cube	คิวบ์	8	12	6	1
4-cube	tesseract	16	32	24	8	1
5-cube	เพนเทอแรคท์	32	80	80	40	10	1
6 คิว	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-cube	เฮปเทอแรคท์	128	448	672	560	280	84	14	1
8 คิว	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-cube	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

การฉายภาพเครื่องบิน

การก่อตัวของไฮเปอร์คิวบ์สามารถแสดงได้ดังนี้:

• สามารถเชื่อมต่อจุด A และ B สองจุดเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง AB
• สองส่วนคู่ขนาน AB และ CD สามารถเชื่อมต่อกันเป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD
• สี่เหลี่ยมคู่ขนาน ABCD และ EFGH สามารถรวมกันเพื่อสร้างลูกบาศก์ ABCDEFGH
• ลูกบาศก์คู่ขนาน ABCDEFGH และ IJKLNOP สามารถเชื่อมต่อเพื่อสร้างไฮเปอร์คิวบ์ ABCDEFGHIJKLMNOP

โครงสร้างหลังนี้ไม่ง่ายที่จะจินตนาการ แต่สามารถถ่ายทอดภาพฉายออกเป็นสองหรือสามมิติได้ นอกจากนี้ การฉายภาพบนระนาบ 2D ยังมีประโยชน์มากกว่าโดยการจัดเรียงตำแหน่งของจุดยอดที่คาดการณ์ไว้ ในกรณีนี้ สามารถรับภาพที่ไม่ได้สะท้อนถึงความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ขององค์ประกอบภายใน tesseract อีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างของการเชื่อมต่อจุดยอด ดังในตัวอย่างด้านล่าง

ภาพประกอบแรกแสดงให้เห็นว่ามีการสร้าง tesseract โดยหลักการโดยการรวมลูกบาศก์สองก้อนเข้าด้วยกัน แบบแผนนี้คล้ายกับแบบแผนสำหรับการสร้างลูกบาศก์จากสองสี่เหลี่ยม แผนภาพที่สองแสดงให้เห็นว่าขอบทั้งหมดของ tesseract มีความยาวเท่ากัน โครงการนี้ยังถูกบังคับให้ค้นหาลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อถึงกัน ในแผนภาพที่สาม จุดยอดของ tesseract จะตั้งอยู่ตามระยะทางตามใบหน้าที่สัมพันธ์กับจุดด้านล่าง โครงร่างนี้น่าสนใจเนื่องจากใช้เป็นโครงร่างพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีเครือข่ายของการเชื่อมต่อโปรเซสเซอร์ในการจัดระเบียบการคำนวณแบบขนาน: ระยะห่างระหว่างสองโหนดไม่เกิน 4 ความยาวขอบ และมีหลายวิธีในการปรับสมดุลโหลด

ไฮเปอร์คิวบ์ในงานศิลปะ

ไฮเปอร์คิวบ์ปรากฏในนิยายวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่ปี 2483 เมื่อโรเบิร์ต ไฮน์ไลน์ ในเรื่อง "บ้านที่นกเป็ดน้ำสร้างขึ้น" ("และเขาสร้างบ้านคดเคี้ยว") บรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นในรูปทรงของเทสเซอแรคท์ ในเรื่องนี้ ต่อ บ้านหลังนี้ถูกพับ กลายเป็น tesseract สี่มิติ หลังจากนั้นไฮเปอร์คิวบ์ก็ปรากฏในหนังสือและนวนิยายหลายเล่ม

Cube 2: Hypercube ประมาณแปดคนที่ติดอยู่ในเครือข่ายของไฮเปอร์คิวบ์

ภาพวาด Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 โดย Salvador Dali แสดงให้เห็นว่าพระเยซูถูกตรึงกางเขนด้วยการสแกน tesseract ภาพวาดนี้สามารถพบเห็นได้ในพิพิธภัณฑ์ศิลปะ (พิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิแทน) ในนิวยอร์ก

บทสรุป

ไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในออบเจ็กต์สี่มิติที่ง่ายที่สุดในตัวอย่างซึ่งคุณสามารถเห็นความซับซ้อนและความผิดปกติทั้งหมดของมิติที่สี่ และสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ในสามมิติ ก็เป็นไปได้ในสี่อย่างเช่น ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น แท่งของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในสี่มิติจะเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก และตัวเลขนี้จะมีลักษณะเช่นนี้จากทุกมุมมอง และจะไม่ถูกบิดเบือน ต่างจากการใช้สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในพื้นที่สามมิติ (ดูรูปที่

Bacalier Maria

กำลังศึกษาวิธีการแนะนำแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ (tesseract) โครงสร้างและคุณสมบัติบางอย่าง คำถามเกี่ยวกับวัตถุสามมิติที่ได้รับเมื่อลูกบาศก์สี่มิติตัดกันโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับสามมิติของมัน ใบหน้าที่มีมิติ เช่นเดียวกับไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก พิจารณาเครื่องมือของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติที่ใช้สำหรับการวิจัย

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

บทนำ………………………………………………………………………….2

ส่วนหลัก………………………………………………………………..4

สรุปผล………….. …………………………………………………………..12

ข้อมูลอ้างอิง…………………………………………………………..13

บทนำ

พื้นที่สี่มิติดึงดูดความสนใจของทั้งนักคณิตศาสตร์มืออาชีพและผู้ที่ไม่ได้ฝึกฝนวิทยาศาสตร์นี้มานานแล้ว ความสนใจในมิติที่สี่อาจเกิดจากการสันนิษฐานว่าโลกสามมิติของเรา "แช่" อยู่ในอวกาศสี่มิติ เช่นเดียวกับที่เครื่องบิน "แช่" ในพื้นที่สามมิติ เส้นตรงก็ "แช่" ใน ระนาบและจุดเป็นเส้นตรง นอกจากนี้ พื้นที่สี่มิติยังมีบทบาทสำคัญใน ทฤษฎีสมัยใหม่ทฤษฎีสัมพัทธภาพ (สิ่งที่เรียกว่า กาล-อวกาศ หรือ อวกาศ Minkowski) และยังถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษอีกด้วยปริภูมิแบบยุคลิดมิติ (for).

คิวบ์สี่มิติ (tesseract) เป็นออบเจ็กต์ของสเปซสี่มิติที่มีมิติสูงสุดที่เป็นไปได้ โปรดทราบว่าสิ่งนี้เป็นที่สนใจโดยตรงเช่นกัน กล่าวคือ อาจปรากฏในปัญหาการปรับให้เหมาะสมของโปรแกรมเชิงเส้นตรง (เป็นพื้นที่ซึ่งพบฟังก์ชันเชิงเส้นต่ำสุดหรือสูงสุดของตัวแปรสี่ตัว) และยังใช้ในไมโครอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลด้วย (เมื่อ การเขียนโปรแกรมการทำงานของการแสดงนาฬิกาอิเล็กทรอนิกส์) นอกจากนี้กระบวนการในการศึกษาลูกบาศก์สี่มิติยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่และจินตนาการ

ดังนั้นการศึกษาโครงสร้างและคุณสมบัติเฉพาะของลูกบาศก์สี่มิติจึงมีความเกี่ยวข้องมาก ควรสังเกตว่าในแง่ของโครงสร้างลูกบาศก์สี่มิติได้รับการศึกษาค่อนข้างดี สิ่งที่น่าสนใจกว่านั้นคือลักษณะของส่วนต่างๆ ของไฮเปอร์เพลนต่างๆ ดังนั้น วัตถุประสงค์หลักของงานนี้คือเพื่อศึกษาโครงสร้างของ tesseract รวมทั้งเพื่อชี้แจงคำถามว่าจะได้รับวัตถุสามมิติอะไรหากลูกบาศก์สี่มิติถูกตัดโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามของ ใบหน้าที่มีมิติหรือโดยไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก ไฮเปอร์เพลนในสเปซสี่มิติคือสเปซย่อยสามมิติ เราสามารถพูดได้ว่าเส้นตรงบนระนาบคือไฮเปอร์เพลนหนึ่งมิติ ระนาบในพื้นที่สามมิติคือไฮเปอร์เพลนสองมิติ

เป้าหมายที่กำหนดวัตถุประสงค์ของการศึกษา:

1) ศึกษาข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ

2) เพื่อศึกษาคุณลักษณะของการสร้างลูกบาศก์ขนาดตั้งแต่ 0 ถึง 3

3) ศึกษาโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ

4) อธิบายลูกบาศก์สี่มิติในเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิต

5) สร้างแบบจำลองของการกวาดและการฉายภาพส่วนกลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติ

6) การใช้เครื่องมือของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ อธิบายวัตถุสามมิติที่ได้จากการข้ามลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในใบหน้าสามมิติของมัน หรือโดยไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก

ข้อมูลที่ได้รับในลักษณะนี้จะช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของ tesseract ได้ดีขึ้น ตลอดจนเปิดเผยการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ

ส่วนสำคัญ

อันดับแรก เราอธิบายเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เราจะใช้ในหลักสูตรการศึกษานี้

1) พิกัดเวกเตอร์: if, แล้ว

2) สมการไฮเปอร์เพลนที่มีเวกเตอร์ปกติดูเหมือนที่นี่

3) เครื่องบินและ จะขนานกันก็ต่อเมื่อ

4) ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดถูกกำหนดดังนี้: if, แล้ว

5) สภาพมุมฉากของเวกเตอร์:

ก่อนอื่น มาดูกันว่าสามารถอธิบายลูกบาศก์สี่มิติได้อย่างไร ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี - เรขาคณิตและการวิเคราะห์

หากเราพูดถึงวิธีการตั้งค่าทางเรขาคณิต ขอแนะนำให้ทำตามขั้นตอนการสร้างลูกบาศก์โดยเริ่มจากมิติศูนย์ คิวบ์ศูนย์มิติเป็นจุด (โปรดทราบว่าจุดหนึ่งสามารถเล่นบทบาทของลูกบอลศูนย์มิติได้) ต่อไป เราแนะนำมิติแรก (แกน abscissa) และบนแกนที่สอดคล้องกัน เราทำเครื่องหมายจุดสองจุด (ลูกบาศก์ศูนย์สองมิติ) ซึ่งอยู่ห่างจากกัน 1 อัน ผลลัพธ์คือส่วน - ลูกบาศก์หนึ่งมิติ เราทราบทันที ลักษณะเด่น: ขอบเขต (สิ้นสุด) ของคิวบ์หนึ่งมิติ (เซ็กเมนต์) เป็นลูกบาศก์ศูนย์สองลูกบาศก์ (สองจุด) ต่อไป เราแนะนำมิติที่สอง (แกน y) และบนระนาบมาสร้างลูกบาศก์หนึ่งมิติสองอัน (สองเซ็กเมนต์) กัน ปลายของมันอยู่ห่างจากกัน 1 อัน (อันที่จริงหนึ่งในเซกเมนต์เป็นการฉายมุมฉากของอีกอันหนึ่ง) เชื่อมต่อปลายที่สอดคล้องกันของเซ็กเมนต์เราจะได้สี่เหลี่ยม - ลูกบาศก์สองมิติ อีกครั้ง เราสังเกตว่าขอบเขตของลูกบาศก์สองมิติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือลูกบาศก์หนึ่งมิติสี่ก้อน (สี่ส่วน) สุดท้าย เราแนะนำมิติที่สาม (แกนประยุกต์) และสร้างในอวกาศสองช่องสี่เหลี่ยมในลักษณะที่หนึ่งในนั้นเป็นเส้นโครงฉากมุมฉากของอีกช่องหนึ่ง (ในกรณีนี้ จุดยอดที่สอดคล้องกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ระยะห่าง 1 จากกันและกัน) เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกับเซ็กเมนต์ - เราได้ลูกบาศก์สามมิติ เราจะเห็นว่าขอบเขตของลูกบาศก์สามมิติคือลูกบาศก์สองมิติหกอัน (หกสี่เหลี่ยม) โครงสร้างที่อธิบายทำให้สามารถเปิดเผยความสม่ำเสมอต่อไปนี้: ในแต่ละขั้นตอนลูกบาศก์มิติ "เคลื่อนที่ทิ้งร่องรอย" ในนี่คือการวัดที่ระยะ 1 ในขณะที่ทิศทางการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับลูกบาศก์ มันเป็นความต่อเนื่องอย่างเป็นทางการของกระบวนการนี้ที่ช่วยให้เรามาถึงแนวคิดของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือให้ลูกบาศก์สามมิติเคลื่อนที่ไปในทิศทางของมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับลูกบาศก์) ที่ระยะ 1 ทำหน้าที่คล้ายกับก่อนหน้านั่นคือการเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันของลูกบาศก์เราจะ รับลูกบาศก์สี่มิติ ควรสังเกตว่าการก่อสร้างดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ในเชิงเรขาคณิตในพื้นที่ของเรา (เพราะเป็นแบบสามมิติ) แต่ที่นี่เราไม่พบความขัดแย้งใด ๆ จากมุมมองเชิงตรรกะ ตอนนี้ มาดูคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของลูกบาศก์สี่มิติกัน นอกจากนี้ยังได้รับอย่างเป็นทางการด้วยความช่วยเหลือของการเปรียบเทียบ ดังนั้น, งานวิเคราะห์คิวบ์หน่วยศูนย์มิติมีรูปแบบ:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยหนึ่งมิติมีรูปแบบดังนี้:

งานวิเคราะห์ของคิวบ์หน่วยสองมิติมีรูปแบบดังนี้:

งานวิเคราะห์ของลูกบาศก์หน่วยสามมิติมีรูปแบบดังนี้

ตอนนี้มันง่ายมากที่จะให้การวิเคราะห์แทนลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ:

อย่างที่คุณเห็น ทั้งวิธีทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์ในการระบุลูกบาศก์สี่มิติใช้วิธีการเปรียบเทียบ

ทีนี้ โดยใช้อุปกรณ์ของเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะหาว่าลูกบาศก์สี่มิติมีโครงสร้างแบบใด อันดับแรก มาดูกันว่ามีองค์ประกอบใดบ้าง ที่นี่อีกครั้ง คุณสามารถใช้การเปรียบเทียบ (เพื่อนำเสนอสมมติฐาน) ขอบเขตของลูกบาศก์หนึ่งมิติคือจุด (ลูกบาศก์ศูนย์) ของลูกบาศก์สองมิติ - ส่วน (ลูกบาศก์หนึ่งมิติ) ของลูกบาศก์สามมิติ - สี่เหลี่ยม (หน้าสองมิติ) สามารถสันนิษฐานได้ว่าขอบเขตของ tesseract เป็นลูกบาศก์สามมิติ เพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราอธิบายให้กระจ่างว่าจุดยอด ขอบ และใบหน้าหมายถึงอะไร จุดยอดของลูกบาศก์คือจุดมุม นั่นคือพิกัดของจุดยอดสามารถเป็นศูนย์หรือหนึ่งได้ ดังนั้น จะพบความสัมพันธ์ระหว่างมิติของลูกบาศก์กับจำนวนจุดยอดของมัน เราใช้กฎผลิตภัณฑ์แบบผสมผสาน - ตั้งแต่จุดยอดลูกบาศก์มีตรงพิกัดซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับศูนย์หรือหนึ่ง (โดยไม่คำนึงถึงอื่น ๆ ทั้งหมด) แล้วมียอดเขา ดังนั้นที่จุดยอดใดๆ พิกัดทั้งหมดจะคงที่และสามารถเท่ากับหรือ . หากเราแก้ไขพิกัดทั้งหมด (กำหนดให้แต่ละอันมีค่าเท่ากับหรือ โดยไม่ขึ้นกับอย่างอื่น) ยกเว้นอันหนึ่ง จากนั้นเราจะได้เส้นตรงที่มีขอบของลูกบาศก์ ในทำนองเดียวกันกับก่อนหน้านี้เราสามารถนับได้ว่ามีสิ่งของ. และถ้าตอนนี้เราแก้ไขพิกัดทั้งหมดแล้ว (ตั้งค่าให้แต่ละอันมีค่าเท่ากับหรือ โดยไม่ขึ้นกับอย่างอื่น) ยกเว้นบางอัน เราได้รับระนาบที่มีใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์ การใช้กฎของ combinatorics เราพบว่ามีสิ่งของ. นอกจากนี้ในทำนองเดียวกัน - แก้ไขพิกัดทั้งหมด (ตั้งค่าให้แต่ละอันเท่ากับหรือ โดยไม่คำนึงถึงสิ่งอื่น) ยกเว้นบางสาม เราได้ไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์ โดยใช้กฎเดียวกัน เราคำนวณจำนวนของพวกเขา - อย่างแน่นอนเป็นต้น นี้จะเพียงพอสำหรับการศึกษาของเรา ให้เรานำผลลัพธ์ที่ได้ไปใช้กับโครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติ กล่าวคือ ในสูตรที่ได้รับทั้งหมดที่เราตั้งค่า. ดังนั้น ลูกบาศก์สี่มิติจึงมีจุดยอด 16 จุด, ขอบ 32 ขอบ, ใบหน้าสองมิติ 24 หน้า และใบหน้าสามมิติ 8 หน้า เพื่อความชัดเจน เรากำหนดองค์ประกอบทั้งหมดในเชิงวิเคราะห์

จุดยอดของลูกบาศก์สี่มิติ:

ขอบของลูกบาศก์สี่มิติ ():

ใบหน้าสองมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

ใบหน้าสามมิติของลูกบาศก์สี่มิติ (ข้อจำกัดที่คล้ายกัน):

เมื่อโครงสร้างของคิวบ์สี่มิติและวิธีการกำหนดคิวบ์ได้รับการอธิบายอย่างครบถ้วนเพียงพอแล้ว เรามาดำเนินการนำไปใช้กัน เป้าหมายหลัก- เพื่อชี้แจงลักษณะของส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ เริ่มจากกรณีเบื้องต้นเมื่อส่วนของลูกบาศก์ขนานกับใบหน้าสามมิติอันใดอันหนึ่ง ตัวอย่างเช่น พิจารณาส่วนของมันโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับใบหน้าเป็นที่ทราบกันดีจากเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ว่าส่วนดังกล่าวจะได้รับจากสมการให้เราตั้งค่าส่วนที่เกี่ยวข้องในการวิเคราะห์:

อย่างที่คุณเห็น เราได้รับงานวิเคราะห์สำหรับลูกบาศก์หน่วยสามมิติที่วางอยู่บนไฮเปอร์เพลน

เพื่อสร้างการเปรียบเทียบ เราเขียนส่วนของลูกบาศก์สามมิติโดยระนาบเราได้รับ:

นี่คือสี่เหลี่ยมนอนอยู่ในระนาบ. การเปรียบเทียบนั้นชัดเจน

ส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนให้ผลลัพธ์เหมือนกันทุกประการ สิ่งเหล่านี้จะเป็นลูกบาศก์สามมิติเดี่ยวที่วางอยู่บนไฮเปอร์เพลนตามลำดับ

ตอนนี้ ให้พิจารณาส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก มาแก้ปัญหานี้สำหรับลูกบาศก์สามมิติกันก่อน โดยใช้วิธีการข้างต้นในการระบุลูกบาศก์สามมิติหน่วย เขาสรุปว่า ตัวอย่างเช่น ส่วนที่มีปลายสามารถใช้เป็นเส้นทแยงมุมหลักได้และ . ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ของเส้นทแยงมุมหลักจะมีพิกัด. ดังนั้น สมการของระนาบใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักจะเป็นดังนี้

มากำหนดขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์กัน. เพราะ จากนั้น เมื่อบวกอสมการเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้:

หรือ .

ถ้า แล้ว (เนื่องจากข้อจำกัด). ในทำนองเดียวกัน ถ้า, แล้ว . ดังนั้น ที่ และ ที่ ระนาบการตัดและลูกบาศก์มีจุดร่วมเพียงจุดเดียว (และ ตามลำดับ) ทีนี้มาดูสิ่งต่อไปนี้กัน ถ้า(อีกครั้งเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร) ระนาบที่สอดคล้องกันตัดกันสามหน้าในคราวเดียว เพราะไม่เช่นนั้น ระนาบการตัดจะขนานกับหนึ่งในหน้าเหล่านั้น ซึ่งไม่ใช่กรณีตามเงื่อนไข ถ้าจากนั้นระนาบจะตัดกับหน้าลูกบาศก์ทั้งหมด ถ้าแล้วระนาบตัดหน้า. ให้เรานำเสนอการคำนวณที่เกี่ยวข้อง

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรงอีกด้วย ชายแดน ยิ่งกว่านั้น ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, นอกจากนี้

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามขอบ:

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

ขอบเป็นเส้นตรงอีกด้วย

คราวนี้ได้มาหกส่วนโดยมีจุดสิ้นสุดร่วมกันอย่างต่อเนื่อง:

อนุญาต แล้วเครื่องบินข้ามเส้นเป็นเส้นตรงอีกด้วย ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, และ . ขอบ เครื่องบินตัดกันเป็นเส้นตรง, นอกจากนี้ . นั่นคือได้สามส่วนที่มีปลายร่วมเป็นคู่:ดังนั้นสำหรับค่าที่ระบุของพารามิเตอร์เครื่องบินจะตัดกับลูกบาศก์ในรูปสามเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด

นี่คือคำอธิบายโดยละเอียดของตัวเลขระนาบที่ได้จากการข้ามลูกบาศก์ด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก แนวคิดหลักมีดังนี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าส่วนใดที่ระนาบตัดกัน สิ่งใดที่มันตัดกัน เซตเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกันอย่างไร ตัวอย่างเช่น หากปรากฎว่าระนาบตัดกันตรงทั้งสามด้านตามส่วนที่มีปลายคู่ขนานกัน ส่วนนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่งพิสูจน์โดยการนับความยาวของส่วนโดยตรง) จุดยอดที่เป็นปลายเหล่านี้ ของกลุ่ม

การใช้เครื่องมือเดียวกันและแนวคิดเดียวกันในการตรวจสอบส่วนตัดขวาง ข้อเท็จจริงต่อไปนี้สามารถอนุมานได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

1) เวกเตอร์ของหนึ่งในเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์หน่วยสี่มิติมีพิกัด

2) ไฮเปอร์เพลนใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักของลูกบาศก์สี่มิติสามารถเขียนเป็น.

3) ในสมการของไฮเปอร์เพลนซีแคนต์ พารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 4;

4) ที่และ ไฮเปอร์เพลนซีแคนต์และลูกบาศก์สี่มิติมีจุดร่วมหนึ่งจุด (และ ตามลำดับ);

5) เมื่อไร ในส่วนนี้จะได้รับจัตุรมุขปกติ

6) เมื่อ ในส่วนนี้จะได้รับรูปแปดด้าน

7) เมื่อไร จัตุรมุขปกติจะได้รับในส่วน

ดังนั้นที่นี่ไฮเปอร์เพลนจะตัด tesseract ไปตามระนาบซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของตัวแปรจึงมีการจัดสรรพื้นที่สามเหลี่ยม (การเปรียบเทียบ - เครื่องบินข้ามลูกบาศก์ไปตามเส้นตรงซึ่งเนื่องจากข้อ จำกัด ของ ตัวแปร, ส่วนที่ถูกจัดสรร) กรณีที่ 5) ไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้า tesseract สามมิติสี่หน้า นั่นคือ ได้สามเหลี่ยมสี่รูปที่มีด้านร่วมเป็นคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ก่อตัวเป็นจัตุรมุข (ตามที่คำนวณได้ - ถูกต้อง) กรณีที่ 6) ไฮเปอร์เพลนตัดกับใบหน้า tesseract สามมิติแปดหน้า นั่นคือ ได้สามเหลี่ยมแปดรูปที่มีด้านร่วมกันอย่างต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ก่อรูปแปดด้าน กรณีที่ 7) คล้ายกับกรณีที่ 5 อย่างสมบูรณ์)

ให้เราอธิบายสิ่งที่พูดด้วยตัวอย่างเฉพาะ กล่าวคือเราศึกษาส่วนของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร ไฮเปอร์เพลนนี้ตัดกับใบหน้า 3 มิติต่อไปนี้:ขอบ ตัดกันในระนาบเนื่องจากข้อจำกัดของตัวแปร เราจึงมี:หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดไกลออกไป,เราได้สามเหลี่ยมที่จุดตัดของไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมที่จุดตัดของไฮเปอร์เพลนที่มีใบหน้าเราได้สามเหลี่ยมดังนั้น จุดยอดของจัตุรมุขจึงมีพิกัดดังนี้. ง่ายต่อการคำนวณ จัตุรมุขนี้ถูกต้องแน่นอน

ข้อสรุป

ดังนั้นในระหว่างการศึกษานี้ ได้ทำการศึกษาข้อเท็จจริงหลักของเรขาคณิตวิเคราะห์หลายมิติ ศึกษาคุณลักษณะของการสร้างลูกบาศก์ของมิติตั้งแต่ 0 ถึง 3 โครงสร้างของลูกบาศก์สี่มิติถูกศึกษา ลูกบาศก์สี่มิติถูกศึกษา อธิบายเชิงวิเคราะห์และเชิงเรขาคณิต แบบจำลองของการพัฒนาและการฉายภาพศูนย์กลางของลูกบาศก์สามมิติและสี่มิติ ลูกบาศก์สามมิติเป็นวัตถุที่อธิบายเชิงวิเคราะห์ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของลูกบาศก์สี่มิติโดยไฮเปอร์เพลนขนานกับหนึ่งในสามของลูกบาศก์ ใบหน้าที่มีมิติหรือโดยไฮเปอร์เพลนตั้งฉากกับแนวทแยงหลัก

การศึกษานี้ทำให้สามารถเปิดเผยการเปรียบเทียบเชิงลึกในโครงสร้างและคุณสมบัติของลูกบาศก์ในมิติต่างๆ เทคนิคการเปรียบเทียบที่ใช้สามารถนำไปใช้ในการศึกษาได้ เช่นทรงกลมมิติหรือมิติซิมเพล็กซ์ กล่าวคือทรงกลมมิติสามารถกำหนดเป็นชุดของจุดพื้นที่มิติเท่ากันจากจุดที่กำหนดซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของทรงกลม ไกลออกไป,มิติซิมเพล็กซ์สามารถกำหนดเป็น partพื้นที่มิติ จำกัดด้วยจำนวนขั้นต่ำไฮเปอร์เพลนมิติ ตัวอย่างเช่น ซิมเพล็กซ์หนึ่งมิติคือเซ็กเมนต์ (ส่วนหนึ่งของปริภูมิหนึ่งมิติที่ล้อมรอบด้วยสองจุด), ซิมเพล็กซ์สองมิติคือรูปสามเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของปริภูมิสองมิติที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงสามเส้น), สามมิติ ซิมเพล็กซ์คือจัตุรมุข (ส่วนหนึ่งของอวกาศสามมิติล้อมรอบด้วยเครื่องบินสี่ลำ) ในที่สุด,มิติซิมเพล็กซ์ถูกกำหนดให้เป็น partพื้นที่มิติ จำกัดไฮเปอร์เพลนของมิติ.

โปรดทราบว่าถึงแม้จะมีการใช้ tesseract มากมายในบางพื้นที่ของวิทยาศาสตร์ แต่การศึกษานี้ยังคงเป็นงานวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่

บรรณานุกรม

1) Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M.คณิตศาสตร์ชั้นสูง เล่ม 1 - M .: Drofa, 2005 - 284 p.

2) ควอนตัม ลูกบาศก์สี่มิติ / Duzhin S. , Rubtsov V. , No. 6, 1986

3) ควอนตัม วาดอย่างไร ลูกบาศก์มิติ / Demidovich N.B. , หมายเลข 8, 1974.