Pri konstruiranju aksiomatske teorije naravnih števil bosta primarna pojma "element" ali "število" (ki ju v kontekstu tega priročnika lahko obravnavamo kot sinonima) in "množica", glavna razmerja: "pripadnost" (element pripada množici), "enakost" in " spremljati«, označeno z / (se glasi »številka, ki sledi številu a«, na primer dvojki sledi trojka, to je 2 / = 3, številu 10 sledi številka 11, to je 10 / = 11 itd.).

Množica naravnih števil(naravna vrsta, pozitivna cela števila) je množica N z uvedeno relacijo »sledi za«, v kateri so izpolnjeni naslednji 4 aksiomi:

A 1. V množici N je element imenovan enota, ki ne sledi nobeni drugi številki.

A 2. Za vsak element naravnega niza je zraven le eden.

A 3. Vsak element iz N sledi največ enemu elementu naravne vrste.

A 4.( Aksiom indukcije) Če podmnožica M množice N vsebuje enega in poleg tega skupaj z vsakim svojim elementom a vsebuje tudi naslednji element a / , potem M sovpada z N.

Iste aksiome lahko na kratko zapišemo z uporabo matematičnih simbolov:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Če element b sledi elementu a (b = a /), potem bomo rekli, da je element a pred elementom b (ali pred b). Ta sistem aksiomov se imenuje Peanovi aksiomski sistemi(ker jo je v 19. stoletju uvedel italijanski matematik Giuseppe Peano). To je le eden od možnih nizov aksiomov, ki nam omogočajo definiranje množice naravnih števil; Obstajajo tudi drugi enakovredni pristopi.

Najenostavnejše lastnosti naravnih števil

Lastnost 1. Če so elementi različni, so različni tudi tisti, ki jim sledijo, tj

a  b => a /  b / .

Dokaz se izvaja s protislovjem: predpostavimo, da je a / = b /, potem (z A 3) a = b, kar je v nasprotju s pogoji izreka.

Lastnost 2. Če so elementi različni, so tudi tisti pred njimi (če obstajajo) različni, tj

a /  b / => a  b.

Dokaz: predpostavimo, da je a = b, potem imamo glede na A 2 a / = b /, kar je v nasprotju s pogoji izreka.

Nepremičnina 3. Nobeno naravno število ni enako naslednjemu.

Dokaz: Uvedimo v obravnavo množico M, sestavljeno iz takih naravnih števil, za katera je ta pogoj izpolnjen

M = (a  N | a  a / ).

Dokaz bomo izvedli na podlagi aksioma indukcije. Po definiciji je množica M podmnožica množice naravnih števil. Naprej 1M, saj ne sledi nobenemu naravnemu številu (A 1), kar pomeni, da tudi za a = 1 velja: 1  1 / . Predpostavimo zdaj, da je nekaj a  M. To pomeni, da je a  a / (po definiciji M), od koder je a /  (a /) / (lastnost 1), to je a /  M. Iz vseh zgoraj, na podlagi uporabe aksiomov indukcije lahko sklepamo, da je M = N, to pomeni, da naš izrek velja za vsa naravna števila.

Izrek 4. Za vsako naravno število, ki ni 1, obstaja število, ki je pred njim.

Dokaz: Razmislite o nizu

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Ta M je podmnožica množice naravnih števil, ena očitno pripada tej množici. Drugi del te množice so elementi, za katere obstajajo predhodniki, torej, če a  M, potem tudi a / pripada M (njegov drugi del, saj ima a / predhodnika - to je a). Tako na podlagi aksioma indukcije M sovpada z množico vseh naravnih števil, kar pomeni, da so vsa naravna števila 1 ali tista, za katera obstaja predhodni element. Izrek je dokazan.

Konsistentnost aksiomatske teorije naravnih števil

Kot intuitivni model množice naravnih števil lahko obravnavamo množice črt: številka 1 bo ustrezala |, številka 2 || itd., to pomeni, da bo naravna serija imela obliko:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Te vrstice črt lahko služijo kot model naravnih števil, če se "pripisovanje ene vrstice številu" uporablja kot relacija "sledi za". Veljavnost vseh aksiomov je intuitivno očitna. Seveda ta model ni strogo logičen. Če želite zgraditi strog model, morate imeti še eno očitno dosledno aksiomatsko teorijo. Vendar nimamo na voljo takšne teorije, kot je navedeno zgoraj. Tako smo bodisi prisiljeni zanašati se na intuicijo ali pa se ne zatekati k metodi modelov, temveč se sklicevati na dejstvo, da v več kot 6 tisoč letih, v katerih je potekalo preučevanje naravnih števil, ni nobenih nasprotij z ti aksiomi so bili odkriti.

Neodvisnost Peanovega sistema aksiomov

Da bi dokazali neodvisnost prvega aksioma, je dovolj, da zgradimo model, v katerem je aksiom A 1 napačen, aksiomi A 2, A 3, A 4 pa so resnični. Števila 1, 2, 3 obravnavajmo kot primarne člene (elemente) in definirajmo relacijo »sledenja« z relacijami: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

V tem modelu ni elementa, ki ne bi sledil nobenemu drugemu (aksiom 1 je napačen), vsi drugi aksiomi pa so izpolnjeni. Tako prvi aksiom ni odvisen od ostalih.

Drugi aksiom je sestavljen iz dveh delov - obstoja in edinstvenosti. Neodvisnost tega aksioma (v smislu obstoja) je mogoče ponazoriti z modelom dveh števil (1, 2) z relacijo »sledenja«, definirano z eno samo relacijo: 1 / = 2:

Pri dveh manjka naslednji element, vendar so aksiomi A 1, A 3, A 4 resnični.

Neodvisnost tega aksioma v smislu edinstvenosti je ponazorjena z modelom, v katerem bo množica N množica vseh navadnih naravnih števil, pa tudi vseh vrst besed (nizov črk, ki nimajo nujno pomena), sestavljenih up črk latinske abecede (za črko z bo naslednja aa, nato ab ... az, nato ba ...; sledile bodo vse možne dvočrkovne besede, med katerimi bo zadnja zz z besedo aaa itd.). Uvedemo relacijo »sledenja«, kot je prikazano na sliki:

Tu veljajo tudi aksiomi A 1, A 3, A 4, vendar 1 takoj sledita dva elementa 2 in a. Tako aksiom 2 ni odvisen od drugih.

Neodvisnost aksioma 3 ponazarja model:

v katerem veljajo A 1, A 2, A 4, vendar številka 2 sledi številu 4 in številu 1.

Za dokaz neodvisnosti indukcijskega aksioma uporabimo množico N, sestavljeno iz vseh naravnih števil, kot tudi tri črke(a, b, c). Naslednjo relacijo v tem modelu je mogoče uvesti, kot je prikazano na naslednji sliki:

Pri tem je za naravna števila uporabljena običajna relacija sledenja, za črke pa je relacija sledenja definirana z naslednjimi formulami: a / = b, b / = c, c / = a. Očitno je, da 1 ne sledi nobenemu naravnemu številu, za vsako je naslednje in samo eno, vsak element sledi največ enemu elementu. Vendar, če upoštevamo množico M, ki je sestavljena iz navadnih naravnih števil, potem bo to podmnožica te množice, ki vsebuje enega, kot tudi naslednji element za vsak element iz M. Vendar ta podmnožica ne bo sovpadala s celotnim modelom pod upoštevanju, saj ne bo vseboval črk a, b, c. Tako aksiom indukcije v tem modelu ni izpolnjen in zato aksiom indukcije ni odvisen od drugih aksiomov.

Aksiomatska teorija naravnih števil je kategorično(popoln v ožjem smislu).

 (n /) =( (n)) / .

Načelo popolne matematične indukcije.

Indukcijski izrek. Naj bo neka izjava P(n) formulirana za vsa naravna števila in naj bo a) P(1) resnična, b) iz dejstva, da je P(k) resnična, sledi, da je resnična tudi P(k /). Potem velja trditev P(n) za vsa naravna števila.

Da bi to dokazali, vpeljimo množico M naravnih števil n (M  N), za katere velja trditev P(n). Uporabimo aksiom A 4, to pomeni, da bomo poskušali dokazati, da:

1. k  M => k /  M.

Če nam to uspe, potem lahko po aksiomu A 4 sklepamo, da je M = N, torej P(n) velja za vsa naravna števila.

1) Po pogoju a) izreka velja P(1), torej 1  M.

2) Če je nekaj k  M, potem (s konstrukcijo M) velja P(k). V skladu s pogojem b) izreka to pomeni resničnost P(k /), kar pomeni k /  M.

Tako je po aksiomu indukcije (A 4) M = N, kar pomeni, da P(n) velja za vsa naravna števila.

Tako nam aksiom indukcije omogoča, da ustvarimo metodo za dokazovanje izrekov "z indukcijo". Ta metoda ima ključno vlogo pri dokazovanju osnovnih aritmetičnih izrekov o naravnih številih. Sestavljen je iz naslednjega:

1) preveri se veljavnost izjaven=1 (indukcijska baza) ,

2) veljavnost te izjave se domneva zan= k, Kjek– poljubno naravno število(induktivna hipoteza) , in ob upoštevanju te predpostavke se ugotovi veljavnost izjave zan= k / (indukcijski korak ).

Dokaz, ki temelji na danem algoritmu, se imenuje dokaz z matematično indukcijo .

Naloge za samostojno reševanje

Št. 1.1. Ugotovite, kateri od naštetih sistemov zadoščajo Peanovim aksiomom (so modeli množice naravnih števil), ugotovite, kateri aksiomi so izpolnjeni in kateri ne.

a) N = (3, 4, 5...), n / = n + 1;

b) N =(n  6, n  N), n / = n + 1;

c) N = (n  – 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N = (n  – 2, n  Z), n / = n + 2;

e) liha naravna števila, n / = n +1;

f) liha naravna števila, n / = n +2;

g) Naravna števila z razmerjem n / = n + 2;

h) N = (1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N = (1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Naravna števila, večkratnika števila 3 z razmerjem n / = n + 3

k) Soda naravna števila z razmerjem n / = n + 2

m) cela števila,
.

Podani sistem aksiomov teorije celih števil ni neodvisen, kot je navedeno v vaji 3.1.4.

1. izrek. Aksiomatska teorija celih števil je dosledna.

Dokaz. Dokazovali bomo konsistentnost aksiomatske teorije celih števil, ki temelji na predpostavki, da je aksiomatska teorija naravnih števil konsistentna. Da bi to naredili, bomo zgradili model, na katerem so izpolnjeni vsi aksiomi naše teorije.

Najprej zgradimo prstan. Razmislite o kompletu

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) naravna števila. S takim parom bomo razumeli razliko naravnih števil a–b. Toda dokler obstoj sistema celih števil, v katerem obstaja takšna razlika, ni dokazan, nimamo pravice uporabljati takšne oznake. Hkrati nam takšno razumevanje daje možnost, da nastavimo lastnosti parov, kot jih potrebujemo.

Vemo, da so lahko različne razlike naravnih števil enake istemu celemu številu. V skladu s tem uvajamo na set N´ N razmerje enakosti:

(a, b) = (c,d) Û a + d = b + c.

Lahko vidimo, da je ta relacija refleksivna, simetrična in tranzitivna. Zato je ekvivalenčno razmerje in ima pravico, da se imenuje enakost. Faktorska množica množic N´ N Z. Njegove elemente bomo imenovali cela števila. Predstavljajo ekvivalenčne razrede na množici parov. Razred, ki vsebuje par
(a, b), označimo z [ a, b].

Z a, b] kaj pa razlika a–b

[a, b] + [c,d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c,d] = [ac+bd, ad+bc].

Upoštevati je treba, da strogo gledano uporaba operacijskih simbolov tukaj ni povsem pravilna. Isti simbol + označuje seštevanje naravnih števil in parov. Ker pa je vedno jasno, v katerem nizu se izvaja določena operacija, tukaj ne bomo uvajali ločenih zapisov za te operacije.

Preveriti je treba pravilnost definicij teh operacij, in sicer, da rezultati niso odvisni od izbire elementov. a in b, definiranje para [ a, b]. Res, naj

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [z 1 ,d 1 ].

To pomeni, da a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + z 1. Če seštejemo te enakosti, dobimo

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + z 1 Þ [ a + b, c + d] = [a 1 +z 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c,d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 ,d 1 ].

Podobno ugotavljamo pravilnost definicije množenja. Ampak tukaj morate najprej preveriti, da [ a, b] × [ c,d] = [a 1 , b 1 ] × [ c,d].

Zdaj bi morali preveriti, ali je nastala algebra obroč, torej aksiomi (Z1) – (Z6).

Preverimo na primer komutativnost seštevanja, torej aksiom (Z2). Imamo

[c,d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c,d].

Komutativnost seštevanja za cela števila izhaja iz komutativnosti seštevanja naravnih števil, ki velja za že znano.

Aksiome (Z1), (Z5), (Z6) preverimo podobno.

Vlogo ničle igra par. Označimo ga z 0 . res,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Končno, -[ a, b] = [b,a]. res,

[a, b] + [b,a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Zdaj pa preverimo aksiome razširitve. Upoštevati je treba, da v konstruiranem obroču ni naravnih števil kot takih, saj so elementi obroča razredi parov naravnih števil. Zato moramo najti subalgebro, ki je izomorfna polkolonu naravnih števil. Tukaj je spet ideja o paru [ a, b] kaj pa razlika a–b. Naravno število n lahko predstavimo kot razliko dveh naravnih, na primer, kot sledi: n = (n+ 1) – 1. Zato nastane predlog za vzpostavitev korespondence f: N ® Z po pravilu

f(n) = [n + 1, 1].

Ta korespondenca je injektivna:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Posledično imamo korespondenco ena proti ena med N in nekaj podmnožic Z, ki jih označujemo z N*. Preverimo, ali shranjuje operacije:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

S tem se ugotavlja, da N* oblike v Z glede na operaciji seštevanja in množenja podalgebra izomorfna N

Označimo par [ n+ 1, 1] od N* n, prek n a, b] imamo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

To končno utemeljuje idejo o paru [ a, b] kot razlika naravnih števil. Hkrati je bilo ugotovljeno, da vsak element iz konstruiranega sklopa Z je predstavljena kot razlika dveh naravnih. To bo pomagalo preveriti aksiom minimalnosti.

Pustiti M – podnabor Z, ki vsebuje N* in skupaj s poljubnimi elementi A in b njihova razlika a – b. Dokažimo to v tem primeru M =Z. Dejansko kateri koli element iz Z je predstavljena kot razlika dveh naravnih števil, ki po pogoju pripadata M skupaj s svojimi razlikami.

Z

Izrek 2. Aksiomatska teorija celih števil je kategorična.

Dokaz. Dokažimo, da sta katera koli dva modela, na katerih so izpolnjeni vsi aksiomi te teorije, izomorfna.

Naj á Z 1, +, ×, N 1 ñ in á Z 2, +, ×, N 2 ñ – dva modela naše teorije. Strogo gledano morajo biti operacije v njih označene z različnimi simboli. Od te zahteve se bomo oddaljili, da ne bi zapletli izračunov: vsakič, ko je jasno, kakšna operacija govorimo o. Elementi, ki pripadajo obravnavanim modelom, bodo opremljeni z ustreznimi indeksi 1 ali 2.

Definirali bomo izomorfno preslikavo iz prvega modela v drugega. Ker N 1 in N 2 polkoločka naravnih števil, potem obstaja izomorfna preslikava j prvega polkoločka na drugega. Določimo preslikavo f: Z 1® Z 2. Vsako celo število X 1 Î Z 1 je predstavljena kot razlika dveh naravnih:
X 1 = a 1 –b 1. Verjamemo

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Dokažimo to f– izomorfizem. Preslikava je pravilno definirana: če X 1 = pri 1 kje l 1 = c 1 – d 1, torej

a 1 –b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1) Þ

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (l 1).

Sledi, da f – preslikava ena proti ena Z 1 in Z 2. Ampak za kogarkoli X 2 od Z 2 lahko najdete naravne elemente a 2 in b 2 tako, da X 2 = a 2 –b 2. Ker je j izomorfizem, imajo ti elementi inverzne podobe a 1 in b 1. pomeni, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 –b 1) in za vsak element iz Z 2 je prototip. Zato dopisovanje f ena proti ena. Preverimo, ali shranjuje operacije.

če X 1 = a 1 –b 1 , l 1 = c 1 –d 1, torej

X 1 + l 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + l 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(l 1).

Podobno je preverjeno, da je množenje ohranjeno. S tem se ugotavlja, da f je izomorfizem in izrek je dokazan.

vaje

1. Dokažite, da vsak obroč, ki vključuje sistem naravnih števil, vključuje tudi obroč celih števil.

2. Dokaži, da je vsak minimalno urejen komutativni obroč z identiteto izomorfen obroču celih števil.

3. Dokažite, da vsak urejen obroč z enim in brez ničelnih deliteljev vsebuje samo en podobroč, izomorfen obroču celih števil.

4. Dokažite, da obroč matrik drugega reda nad poljem realnih števil vsebuje neskončno veliko podobročev, izomorfnih obroču celih števil.

Polje racionalnih števil

Definicija in konstrukcija sistema racionalnih števil poteka na enak način kot za sistem celih števil.

Opredelitev. Sistem racionalnih števil je minimalno polje, ki je podaljšek obroča celih števil.

V skladu s to definicijo dobimo naslednjo aksiomatsko konstrukcijo sistema racionalnih števil.

Primarni pogoji:

Q– množica racionalnih števil;

0, 1 – konstante;

+, × – binarne operacije na Q;

Z– podmnožica Q, množica celih števil;

Å, Ä – binarne operacije na Z.

Aksiomi:

JAZ. Aksiomi polja.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(V8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Aksiomi razširitve.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – obroč naravnih števil.

(Q11) Z Í Q.

(V12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.

(V13) (" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Aksiom minimalnosti.

(V14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 O M)Þ M = Q.

številka a× b–1 imenujemo količnik števil A in b, označeno a/b ali .

1. izrek. Vsako racionalno število lahko predstavimo kot količnik dveh celih števil.

Dokaz. Pustiti M– niz racionalnih števil, ki jih lahko predstavimo kot količnik dveh celih števil. če n- cela, torej n = n/1 pripada M, torej, ZÍ M. če a, bÎ M, To a = k/l, b = m/n, Kje k, l, m, nÎ Z. torej a/b=
= (knj) / (lm)Î M. Po aksiomu (Q14) M= Q, in izrek je dokazan.

Izrek 2. Polje racionalnih števil je lahko linearno in strogo urejeno ter na edinstven način. Vrstni red v polju racionalnih števil je Arhimedov in nadaljuje vrstni red v obroču celih števil.

Dokaz. Označimo z Q+ niz števil, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer kl> 0. Lahko vidimo, da ta pogoj ni odvisen od vrste ulomka, ki predstavlja število.

Preverimo to Q + – pozitivni del igrišča Q. Ker za celo število kl možni so trije primeri: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, potem za a = dobimo eno od treh možnosti: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Nadalje, če a = , b = pripadajo Q+, torej kl > 0, mn> 0. Potem je a + b = , in ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Torej a + bО Q + . Na podoben način lahko preverimo, da je abO Q + . torej Q + – pozitivni del polja Q.

Pustiti Q++ – nekaj pozitivnega dela tega polja. Imamo

l =.l 2 О Q ++ .

Od tod NÍ Q++. Po izreku 2.3.4 pripadajo tudi inverzi naravnih števil Q++. Potem Q + Í Q++. Na podlagi izreka 2.3.6 Q + =Q++. Zato tudi vrstni redi, ki jih določajo pozitivni deli, sovpadajo Q+ in Q ++ .

Ker Z + = NÍ Q+ , potem je vrstni red Q nadaljuje red v Z.

Naj bo zdaj a => 0, b => 0. Ker je vrstni red v obroču Arhimedovih celih števil, potem za pozitivne knj in ml nekaj je naravnega z tako da z× knj>ml. Od tod z a = z> = b. To pomeni, da je vrstni red v polju racionalnih števil Arhimedov.

vaje

1. Dokaži, da je polje racionalnih števil gosto, torej za poljubna racionalna števila a < b obstaja racionalno r tako da a < r < b.

2. Dokaži, da je enačba X 2 = 2 nima rešitev v Q.

3. Dokaži, da niz Qšteven.

Izrek 3. Aksiomatska teorija racionalnih števil je dosledna.

Dokaz. Doslednost aksiomatske teorije racionalnih števil je dokazana na enak način kot za cela števila. Za to je zgrajen model, na katerem so izpolnjeni vsi aksiomi teorije.

Za osnovo vzamemo komplet

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementi tega niza so pari ( a, b) cela števila. S takim parom bomo razumeli količnik celih števil a/b. V skladu s tem nastavimo lastnosti parov.

Predstavimo se na snemanju Z´ Z* razmerje enakosti:

(a, b) = (c,d) Û oglas = bc.

Ugotavljamo, da gre za ekvivalenčno razmerje in ima pravico, da se imenuje enakost. Faktorska množica množic Z´ Z* glede na to relacijo enakosti označimo z Q. Njegove elemente bomo imenovali racionalna števila. Razred, ki vsebuje par ( a, b), označimo z [ a, b].

Predstavimo v konstruiranem nizu Q operacije seštevanja in množenja. To nam bo pomagalo razumeti element [ a, b] kot zasebno a/b. V skladu s tem po definiciji predpostavljamo:

[a, b] + [c,d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c,d] = [ac, bd].

Preverimo pravilnost definicij teh operacij, in sicer, da rezultati niso odvisni od izbire elementov. a in b, definiranje para [ a, b]. To naredimo na enak način kot pri dokazu izreka 3.2.1.

Vlogo ničle igra par. Označimo ga z 0 . res,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Nasprotno [ a, b] je par –[ a, b] = [–a, b]. res,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Enota je par = 1 . Nazaj na par [ a, b] - par [ b,a].

Zdaj pa preverimo aksiome razširitve. Vzpostavimo korespondenco
f: Z ® Q po pravilu

f(n) = [n, 1].

Preverimo, ali gre za korespondenco ena proti ena med Z in nekaj podmnožic Q, ki jih označujemo z Z*. Nadalje preverimo, ali ohranja operacije, kar pomeni, da vzpostavlja izomorfizem med Z in pod prstanom Z* V Q. To pomeni, da so bili aksiomi razširitve preverjeni.

Označimo par [ n, 1] od Z*, ki ustreza naravnemu številu n, prek n . Potem za poljuben par [ a, b] imamo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

To upravičuje idejo o paru [ a, b] kot količnik celih števil. Hkrati je bilo ugotovljeno, da vsak element iz konstruiranega sklopa Q je predstavljen kot količnik dveh celih števil. To bo pomagalo preveriti aksiom minimalnosti. Preverjanje poteka kot v izreku 3.2.1.

Tako za zgrajen sistem Q vsi aksiomi teorije celih števil so izpolnjeni, to pomeni, da smo zgradili model te teorije. Izrek je dokazan.

Izrek 4. Aksiomatska teorija racionalnih števil je kategorična.

Dokaz je podoben dokazu izreka 3.2.2.

Izrek 5. Arhimedovo urejeno polje je razširitev polja racionalnih števil.

Dokaz je vaja.

Izrek 6. Pustiti F– Arhimedovo urejeno polje, a > b, Kje a, bÎ F. Obstaja racionalno število Î F tako da a > > b.

Dokaz. Pustiti a > b³ 0. Potem a–b> 0 in ( a–b) –1 > 0. Obstaja naravna T tako da m×1 > ( a–b) –1 , od koder m –1 < a–b £ A. Poleg tega obstaja naravni k tako da k× m–1³ a. Pustiti k je najmanjše število, za katero ta neenakost velja. Ker k> 1, potem lahko postavimo k = n + 1, n Î N. pri čemer
(n+ 1)× m–1³ a, n× m –1 < a. če n× m–1 £ b, To a = b + (a–b) > b+m–1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Protislovje. pomeni, a >n× m –1 > b.

vaje

4. Dokažite, da vsako polje, ki vključuje obroč celih števil, vključuje tudi polje racionalnih števil.

5. Dokaži, da je vsako minimalno urejeno polje izomorfno polju racionalnih števil.

Realne številke

V aksiomatski konstrukciji katere koli matematične teorije je gotovo pravila:

· nekateri koncepti teorije so izbrani kot osnovni in sprejeti brez opredelitve;

· vsak pojem teorije, ki ni v seznamu osnovnih, je definiran;

· formulirani so aksiomi – trditve, ki so v dani teoriji sprejete brez dokaza; razkrivajo lastnosti osnovnih pojmov;

· vsako trditev teorije, ki ni vsebovana v seznamu aksiomov, je treba dokazati; Takšne trditve imenujemo izreki in se dokazujejo na podlagi aksiomov in izrekov.

V aksiomatični konstrukciji teorije so vse izjave izpeljane iz aksiomov z dokazom.

Zato za sistem aksiomov veljajo posebne zahteve. zahteve:

· konsistentnost (sistem aksiomov imenujemo konsistenten, če iz njega ni mogoče logično izpeljati dveh medsebojno izključujočih se trditev);

· neodvisnost (sistem aksiomov imenujemo neodvisen, če nobeden od aksiomov tega sistema ni posledica drugih aksiomov).

Množica z relacijo, določeno v njej, se imenuje model danega sistema aksiomov, če so v njem izpolnjeni vsi aksiomi danega sistema.

Obstaja veliko načinov za sestavo sistema aksiomov za niz naravnih števil. Kot osnovni koncept lahko na primer vzamemo vsoto števil ali razmerje reda. V vsakem primeru morate definirati sistem aksiomov, ki opisujejo lastnosti osnovnih pojmov.

Podajamo sistem aksiomov, pri čemer sprejmemo osnovni koncept operacije seštevanja.

Neprazna množica N imenujemo ga množica naravnih števil, če je v njej definirana operacija (a; b) → a + b, ki se imenuje dodatek in ima naslednje lastnosti:

1. seštevanje je komutativno, tj. a + b = b + a.

2. seštevanje je asociativno, tj. (a + b) + c = a + (b + c).

4. v poljubnem kompletu A, ki je podmnožica množice N, Kje A obstaja številka in taka, da vse ha, sta enaka a+b, Kje bN.

Aksiomi 1–4 zadostujejo za konstrukcijo celotne aritmetike naravnih števil. Toda s takšno konstrukcijo se ni več mogoče zanašati na lastnosti končnih množic, ki se ne odražajo v teh aksiomih.

Vzemimo kot glavni koncept relacijo "neposredno sledi ...", definirano na neprazni množici N. Takrat bo naravni niz števil množica N, v kateri je definirana relacija »takoj sledi«, vse elemente N pa bomo imenovali naravna števila in velja: Peanovi aksiomi:

AKSIOM 1.

V izobiljuNobstaja element, ki ne sledi takoj nobenemu elementu tega niza. Imenovali jo bomo enotnost in jo označili s simbolom 1.

AKSIOM 2.

Za vsak element a odNtakoj za a je en sam element a.

AKSIOM 3.

Za vsak element a odNObstaja največ en element, ki mu takoj sledi a.

AXOIMA 4.

Katera koli podmnožica M množiceNsovpada zN, če ima naslednje lastnosti: 1) 1 je vsebovan v M; 2) iz dejstva, da je a vsebovan v M, sledi, da je tudi a vsebovan v M.

Kup N, za elemente, za katere je vzpostavljeno razmerje "neposredno sledi ...", ki izpolnjuje aksiome 1 - 4, se imenuje množica naravnih števil , njeni elementi pa so naravna števila.

Če v kompletu N izberemo neko specifično množico, na kateri je podana specifična relacija "neposredno sledi ...", ki izpolnjuje aksiome 1 - 4, potem dobimo različne interpretacije (modeli) dano aksiomski sistemi.

Standardni model sistema aksiomov Peano je tisti, ki je nastal v procesu zgodovinski razvoj družba vrsta števil: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model Peanovih aksiomov je lahko katera koli štetna množica.

Na primer I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh ...

ena dva tri štiri, …

Oglejmo si zaporedje množic, v kateri je množica (oo) začetni element, vsako naslednjo množico pa dobimo iz prejšnje z dodajanjem še enega kroga (slika 15).

Potem N obstaja množica, sestavljena iz množic opisane oblike, in je model Peanovega aksiomskega sistema.

Dejansko v mnogih N obstaja element (oo), ki ne sledi takoj nobenemu elementu dane množice, tj. Aksiom 1 je izpolnjen za vsak niz A obravnavane populacije obstaja en sam niz, ki je pridobljen iz A z dodajanjem enega kroga, tj. Aksiom 2 velja za vsak sklop A obstaja največ ena množica, iz katere je sestavljena množica A z dodajanjem enega kroga, tj. Aksiom 3 velja MN in znano je, da mnogi A vsebovana v M, iz tega sledi množica, v kateri je en krog več kot v množici A, vsebovan tudi v M, To M =N, zato je aksiom 4 izpolnjen.

Pri definiciji naravnega števila ne moremo izpustiti nobenega od aksiomov.

Ugotovimo, kateri od nizov, prikazanih na sl. 16 je model Peanovih aksiomov.

1 a b d a G) Slika 16

rešitev. Slika 16 a) prikazuje niz, v katerem sta izpolnjena aksioma 2 in 3. Dejansko je za vsak element edinstven element, ki mu sledi. Toda v tem nizu aksiom 1 ni izpolnjen (aksiom 4 ni smiseln, saj v nizu ni elementa, ki ne sledi takoj kateremu koli drugemu). Zato ta niz ni model Peanovih aksiomov.

Slika 16 b) prikazuje niz, v katerem so aksiomi 1, 3 in 4 izpolnjeni, vendar za elementom A takoj sledita dva elementa in ne enega, kot zahteva aksiom 2. Zato ta niz ni model Peanovih aksiomov.

Na sl. 16 c) prikazuje nabor, v katerem so aksiomi 1, 2, 4 izpolnjeni, vendar element z takoj sledi dvema elementoma. Zato ta niz ni model Peanovih aksiomov.

Na sl. 16 d) prikazuje niz, ki izpolnjuje aksioma 2, 3, in če vzamemo številko 5 kot začetni element, bo ta niz zadostil aksiomoma 1 in 4. To pomeni, da je v tem nizu za vsak element takoj edinstven ki mu sledi, in obstaja en sam element, ki mu sledi. Obstaja tudi element, ki ne sledi takoj nobenemu elementu tega niza, to je 5 , tiste. Aksiom 1 je izpolnjen, torej bo izpolnjen tudi aksiom 4. Zato je ta niz model Peanovih aksiomov.

Z uporabo Peanovih aksiomov lahko dokažemo številne trditve. Na primer, dokazali bomo, da za vsa naravna števila velja neenakost x x.

Dokaz. Označimo z A množica naravnih števil, za katera a a.številka 1 pripada A, saj ne sledi nobeni številki iz N, kar pomeni, da ne sledi samo po sebi: 1 1. Pustiti aA, Potem a a. Označimo A skozi b. Na podlagi aksioma 3, Ab, tiste. b b in bA.

Sistem celih števil

Spomnimo se, da se je naravna serija pojavila za popis predmetov. Če pa želimo izvajati nekaj dejanj s predmeti, bomo potrebovali aritmetične operacije s številkami. Se pravi, če želimo zložiti jabolka ali razdeliti torto, moramo ta dejanja prevesti v jezik številk.

Upoštevajte, da je za uvedbo operacij + in * v jezik naravnih števil potrebno dodati aksiome, ki določajo lastnosti teh operacij. Toda potem je tudi sama množica naravnih števil širijo.

Poglejmo, kako se širi množica naravnih števil. Najenostavnejša operacija, ki je bila ena prvih zahtevanih, je seštevanje. Če želimo definirati operacijo seštevanja, moramo definirati njen inverz – odštevanje. Pravzaprav, če vemo, kaj bo rezultat seštevanja, na primer 5 in 2, potem bi morali biti sposobni rešiti težave, kot so: kaj je treba dodati 4, da dobimo 11. To pomeni, da bodo težave, povezane s seštevanjem, zagotovo zahtevajo sposobnost izvajanja obratnega dejanja - odštevanja. Toda če seštevanje naravnih števil ponovno dobi naravno število, potem odštevanje naravnih števil da rezultat, ki se ne prilega v N. Potrebna so bila nekatera druga števila. Po analogiji z razumljivim odštevanjem od več Uvedeno je bilo pravilo odštevanja manjšega od manjšega - tako so se pojavila negativna cela števila.

Z dopolnitvijo naravne vrste z operacijama + in - pridemo do množice celih števil.

Z=N+operacije(+-)

Sistem racionalnih števil kot jezik aritmetike

Oglejmo si zdaj naslednje najbolj zapleteno dejanje - množenje. V bistvu je to ponavljajoče se dodajanje. In produkt celih števil ostane celo število.

Toda obratna operacija množenju je deljenje. Vendar ne daje vedno najboljših rezultatov. In spet smo pred dilemo - ali sprejeti kot dano, da rezultat deljenja morda "ne obstaja", ali pa priti do števil neke nove vrste. Tako so se pojavila racionalna števila.

Vzemimo sistem celih števil in ga dopolnimo z aksiomi, ki definirajo operaciji množenja in deljenja. Dobimo sistem racionalnih števil.

Q=Z+operacije(*/)

Torej nam jezik racionalnih števil omogoča proizvodnjo vse aritmetične operacije nad številkami. Jezik naravnih števil za to ni bil dovolj.

Dajmo aksiomatsko definicijo sistema racionalnih števil.

Opredelitev. Množica Q se imenuje množica racionalnih števil, njeni elementi pa racionalna števila, če je izpolnjena naslednja množica pogojev, imenovana aksiomatika racionalnih števil:

Aksiomi operacije seštevanja. Za vsak naročen par x,y elementi iz Q določen element x+yОQ, imenovana vsota X in pri. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

1. (Obstoj ničle) Obstaja element 0 (ničla), tako da za katero koli XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Za kateri koli element XО Q obstaja element - XО Q (nasprotno X) tako, da

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativnost) Za katero koli x,yО Q

4. (Asociativnost) Za poljubne x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za vsak naročen par x, y elementov iz Q je definiran nek element xyО Q, imenovan izdelek X in u. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

5. (Obstoj elementa enote) Obstaja element 1 О Q tak, da za katerikoli XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Za kateri koli element XО Q , ( X≠ 0) obstaja inverzni element X-1 ≠0 tako, da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativnost) Za katero koli x, y, zО Q

X . (l . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za katero koli x, yО Q

Aksiom povezave med seštevanjem in množenjem.

9. (Distributivnost) Za katero koli x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksiomi reda.

Katerakoli dva elementa x, y,О Q vstopimo v primerjalno relacijo ≤. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

10. (X≤pri)L ( pri≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za kogarkoli x, yО Q ali x< у, либо у < x .

Odnos< называется строгим неравенством,

Relacija = se imenuje enakost elementov iz Q.

Aksiom povezave med seštevanjem in vrstnim redom.

13. Za kateri koli x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksiom povezave med množenjem in vrstnim redom.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom kontinuitete.

15. Za vsak a > b > 0 obstajata m О N in n О Q takšna, da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Tako je sistem racionalnih števil jezik aritmetike.

Vendar ta jezik ni dovolj za reševanje praktičnih računalniških problemov.

Aksiomatska metoda v matematiki.

Osnovni pojmi in relacije aksiomatske teorije naravnih vrst. Definicija naravnega števila.

Seštevanje naravnih števil.

Množenje naravnih števil.

Lastnosti množice naravnih števil

Odštevanje in deljenje naravnih števil.

Aksiomatska metoda v matematiki

Pri aksiomatični konstrukciji katere koli matematične teorije se upoštevajo naslednja pravila: določena pravila:

1. Nekateri koncepti teorije so izbrani kot glavni in so sprejeti brez opredelitve.

2. So oblikovane aksiomi, ki so v tej teoriji sprejeti brez dokaza, razkrivajo lastnosti osnovnih pojmov.

3. Podan je vsak koncept teorije, ki ni na seznamu osnovnih definicija, pojasnjuje njegov pomen s pomočjo glavnih in predhodnih pojmov.

4. Vsako trditev teorije, ki ni na seznamu aksiomov, je treba dokazati. Takšni predlogi se imenujejo izreki in jih dokažite na podlagi aksiomov in izrekov pred obravnavanim.

Sistem aksiomov bi moral biti:

a) dosledno: prepričani moramo biti, da s črpanjem vseh možnih zaključkov iz danega sistema aksiomov ne bomo nikoli prišli do protislovja;

b) neodvisen: noben aksiom ne sme biti posledica drugih aksiomov tega sistema.

V) poln, če je v njegovem okviru vedno mogoče dokazati bodisi dano trditev bodisi njeno zanikanje.

Prvo izkušnjo konstrukcije aksiomatske teorije lahko štejemo za predstavitev geometrije Evklida v njegovih "Elementih" (3. stoletje pr. n. št.). Pomemben prispevek k razvoju aksiomatske metode konstrukcije geometrije in algebre je prispeval N.I. Lobačevski in E. Galois. Ob koncu 19. stol. Italijanski matematik Peano je razvil sistem aksiomov za aritmetiko.

Osnovni pojmi in relacije aksiomatske teorije naravnih števil. Definicija naravnega števila.

Kot osnovni (nedefinirani) pojem v določenem sklopu N je izbrana odnos , uporablja pa tudi teoretične koncepte in pravila logike.

Element takoj za elementom A, označujejo A".

Razmerje "neposredno sledenje" izpolnjuje naslednje aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. V izobilju N neposredno obstaja element ne naslednji ne za noben element tega sklopa. Pokličimo ga enota in označen s simbolom 1 .

Aksiom 2. Za vsak element A od N obstaja samo en element A" , takoj za tem A .

Aksiom 3. Za vsak element A od N obstaja največ en element, ki mu takoj sledi A .

Aksiom 4. Katera koli podmnožica M kompleti N sovpada z N , če ima naslednje lastnosti: 1) 1 vsebovana v M ; 2) iz dejstva, da A vsebovana v M , sledi, da A" vsebovana v M.

Definicija 1. Kup N , za katerega elemente je vzpostavljena relacija "neposredno slediti", ki izpolnjuje aksiome 1-4, se imenuje množica naravnih števil, njeni elementi pa so naravna števila.

Ta definicija ne pove ničesar o naravi elementov množice N . Torej je lahko karkoli. Izbira v kompletu N nek specifičen niz, na katerem je podana specifična relacija »neposredno«, ki izpolnjuje aksiome 1-4, dobimo model tega sistema aksiom.

Standardni model Peanovega aksiomskega sistema je niz števil, ki je nastal v procesu zgodovinskega razvoja družbe: 1,2,3,4,... Naravni niz se začne s številom 1 (aksiom 1); vsakemu naravnemu številu takoj sledi eno naravno število (aksiom 2); vsako naravno število takoj sledi največ enemu naravnemu številu (aksiom 3); začenši s številom 1 in po vrsti do naravnih števil, ki si sledijo, dobimo celotno množico teh števil (aksiom 4).

Tako smo začeli aksiomatsko konstrukcijo sistema naravnih števil z izbiro osnovnega odnos "neposredno sledenje". in aksiomi, ki opisujejo njegove lastnosti. Nadaljnja gradnja teorije vključuje upoštevanje znanih lastnosti naravnih števil in operacij z njimi. Razkriti morajo biti v definicijah in izrekih, tj. so izpeljani povsem logično iz razmerja "neposredno sledijo" in aksiomi 1-4.

Prvi koncept, ki ga bomo predstavili po definiciji naravnega števila, je odnos "takoj pred" , ki se pogosto uporablja pri obravnavi lastnosti naravnih nizov.

Definicija 2.Če naravno število b neposredno sledi naravno število A, to številko A klical neposredno pred tem(ali prejšnji) številka b .

Razmerje "pred" ima številne lastnosti.

Izrek 1. Enota nima predhodnega naravnega števila.

Izrek 2. Vsako naravno število A, razen 1, ima eno samo predhodno številko b, tako da b"= A.

Aksiomatska konstrukcija teorije naravnih števil ni obravnavana niti v začetni niti v Srednja šola. Toda tiste lastnosti relacije "neposredno sledijo", ki se odražajo v Peanovih aksiomih, so predmet študija v začetnem tečaju matematike. Že v prvem razredu, ko obravnavamo številke prve desetice, postane jasno, kako je mogoče dobiti vsako številko. Uporabljata se pojma "sledi" in "predhodi". Vsako novo število deluje kot nadaljevanje proučenega segmenta naravnega niza števil. Učenci so prepričani, da vsakemu številu sledi naslednje, poleg tega pa le eno, da je naravni niz števil neskončen.

Seštevanje naravnih števil

V skladu s pravili za gradnjo aksiomatske teorije je treba definicijo seštevanja naravnih števil uvesti samo z relacijo "neposredno sledi", in koncepti "naravno število" in "prejšnja številka".

Naj pred definicijo seštevanja navedemo naslednje premisleke. Če na poljubno naravno število A dodamo 1, dobimo število A", takoj za tem A, tj. A+ 1= a" in tako dobimo pravilo za dodajanje 1 poljubnemu naravnemu številu. Toda kako dodati številki A naravno število b, drugačen od 1? Uporabimo naslednje dejstvo: če vemo, da je 2 + 3 = 5, potem je vsota 2 + 4 = 6, ki takoj sledi številu 5. To se zgodi, ker je v vsoti 2 + 4 drugi člen število, ki takoj sledi število 3. Torej je 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". IN splošni pogled imamo , .

Ta dejstva tvorijo osnovo za definicijo seštevanja naravnih števil v aksiomatski teoriji.

Definicija 3. Seštevanje naravnih števil je algebraična operacija, ki ima naslednje lastnosti:

številka a + b klical vsota števil A in b , in same številke A in b - pogoji.