Интерференция света — это пространственное перераспределение энергии светового излучения при наложении двух или нескольких когерентных световых пучков. Она характеризуется образованием постоянной во времени интерференционной картины, т. е. регулярного чередования, в пространстве наложения пучков, областей повышенной и пониженной интенсивности света.

Когерентность (от лат. Cohaerens — находящийся в связи) означает взаимную согласованность протекания во времени световых колебаний в разных точках пространства, которая и определяет их способность к интерференции, т. е. усиление колебаний в одних точках пространства и ослабление колебаний в других в результате наложения двух или нескольких волн, приходящих в эти точки.

Для наблюдения устойчивости во времени интерференционной картины необходимы условия, при которых частоты, поляризация и разность фаз интерферирующих волн были бы постоянными в течение времени наблюдения. Такие волны называются Когерентными (Связанными ).

Рассмотрим сначала две строго монохроматические волны, которые имеют одну и ту же частоту. Монохроматическая волна — это строго синусоидальная волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой. Амплитуда и фаза колебаний могут меняться от одной точки к другой, но частота одна и та же для колебательного процесса во всем пространстве. Монохроматическое колебание в каждой точке пространства длится бесконечно долго, не имея ни начала, ни конца во времени. Поэтому строго монохроматические колебания и волны когерентны.

Свет от реальных физических источников никогда не бывает строго монохроматическим. Его амплитуда и фаза флуктуируют непрерывно и так быстро, что ни глаз, ни обычный физический детектор не смогут уследить за их изменениями. Если же два световых пучка происходят от одного источника, то возникающие в них флуктуации, вообще говоря, согласованы, и о таких пучках говорят, что они частично или полностью когерентны.

Существуют два метода получения когерентных пучков из одного светового пучка. В одном из них пучок делится, например, проходя сквозь близко расположенные друг к другу отверстия. Такой метод — Метод деления волнового фронта — пригоден только для достаточно малых источников. В другом способе пучок делится на одной или несколько отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот метод — Метод деления амплитуды — может применяться с протяженными источниками и обеспечивает большую освещенность интерференционной картины.

Работа посвящена ознакомлению с явлением интерференции света в тонких прозрачных изотропных пленках и пластинках. Исходящий от источника световой пучок падает на пленку и разделяется вследствие отражения от передней и задней поверхностей на несколько пучков, которые при наложении образуют интерференционную картину, т. е. когерентные пучки получаются методом деления амплитуды.

Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда плоскопараллельная пластинка из прозрачного изотропного материала освещается точечным источником монохроматического света.

От точечного источника S в любую точку P могут попадать, вообще говоря, только два луча — один, отразившийся от верхней поверхности пластинки, и другой, отразившийся от нижней ее поверхности (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Отсюда следует, что в случае точечного монохроматического источника света каждая точка пространства характеризуется вполне определенной разностью хода приходящих в нее отраженных лучей. Эти лучи, интерферируя, образуют устойчивую во времени интерференционную картину, которая должна наблюдаться в любой области пространства. Про соответствующие полосы интерференции говорят, что они не локализованы (или локализованы всюду). Из соображений симметрии видно, что полосы в плоскостях, параллельных пластине, имеют вид колец с осью SN , нормальной к пластине, и при любом положении P они перпендикулярны плоскости SNP .

При увеличении размеров источника в направлении, параллельном плоскости SNP , интерференционные полосы становятся менее четкими. Важным исключением является случай, когда точка P находится в бесконечности, а наблюдение интерференционной картины ведется либо глазом, аккомодированным на бесконечность, либо в фокальной плоскости объектива (рис. 2). В этих условиях оба луча, идущих от S к P , а именно лучи SADP и SABCEP , происходят от одного падающего луча, и после прохождения пластинки параллельны. Оптическая разность хода между ними равна:

Где N 2 и N 1 — показатели преломления пластинки и окружающей среды,

N — основание перпендикуляра, опущенного из С на AD . Фокальная плоскость объектива и параллельная ей плоскость NC являются сопряженными, и линза не вносит между лучами дополнительной разности хода.

Если H — толщина пластины, а j1 и j2 — углы падения и преломления на верхней поверхности, то

, (2)

Из (1), (2) и (3), с учетом закона преломления

Получаем, что

(5)

Соответствующая разность фаз равна:

, (6)

Где l — длина волны в вакууме.

Следует также учитывать изменение фазы на p, которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от более плотной среды (мы рассматриваем только электрическую компоненту поля волны). Поэтому полная разность фаз в точке P равна:

(7)

. (8)

Угол j1, от значения которого зависит разность фаз, определяется только положением точки P в фокальной плоскости объектива, следовательно, разность фаз d не зависит от положения источника S . Отсюда вытекает, что при использовании протяженного источника полосы оказываются столь же отчетливыми, как и с точечным источником. Но так как это справедливо только для определенной плоскости наблюдения, то про такие полосы говорят, что они локализованы, и в данном случае — локализованы в бесконечности (или в фокальной плоскости объектива).

Если интенсивности рассматриваемых когерентных лучей обозначить соответственно I 1 и I 2, то полная интенсивность I в точке P определится соотношением:

Откуда находим, что светлые полосы расположены при d = 2M P или

, M = 0, 1, 2, …, (10А )

А темные полосы — при d = (2M + 1)p или

, M = 0, 1, 2, … . (10Б )

Заданная интерференционная полоса характеризуется постоянством величины j2 (а значит и j1) и, следовательно, создается светом, падающим на пластинку под каким-то определенным углом. Поэтому такие полосы часто называют Полосами равного наклона .

Если ось объектива нормальна к пластине, то при отражении света, близком к нормальному, полосы имеют вид концентрических колец с центром в фокусе. Порядок интерференции максимален в центре картины, где его величина M 0 определяется соотношением:

.

Мы рассматриваем пока только свет, отраженный от пластинки, но подобные рассуждения применимы и для света, прошедшего сквозь пластинку. В этом случае (рис. 3) в точку P фокальной плоскости объектива приходят от источника S два луча: один, прошедший без отражений, и другой — после двух внутренних отражений.

Оптическую разность хода этих лучей находят таким же образом, как и при выводе формулы (5), т. е.

А значит соответствующая разность фаз равна:

. (12)

Однако, дополнительная разность фаз, вызванная отражением, здесь отсутствует, так как оба внутренних отражения происходят в одинаковых условиях. Интерференционная картина, создаваемая протяженным источником, и в этом случае локализована в бесконечности.

Сравнивая (7) и (12), видим, что картины в проходящем и отраженном свете будут дополнительными, т. е. светлые полосы одной и темные полосы другой будут находиться на одном и том же угловом расстоянии относительно нормали к пластинке. Кроме того, если отражательная способность R поверхности пластинки мала (например, на границе стекло-воздух при нормальном падении она примерно равна 0,04), то интенсивности двух интерферирующих лучей, прошедших сквозь пластинку, очень сильно отличаются друг от друга

(I 1/I 2 @ 1/R 2 ~ 600), поэтому различие в интенсивности максимумов и минимумов (см.(9)) оказывается малым, а контрастность (видность) полос — низкой.

Наше предыдущее рассуждение было не вполне строгим. Так как мы пренебрегли многократностью внутренних отражений в пластинке. В действительности точки P достигает не две, как мы предполагали, а целый ряд пучков, идущих от S (лучи 3, 4 и т. д. на рис. 1 или 3).

Но если отражательная способность на поверхности пластинки мала, то наше предположение вполне удовлетворительно, так как пучки после первых двух отражений имеют ничтожную интенсивность. При значительной отражательной способности многократные отражения сильно изменяют распределение интенсивности в полосах, но положение полос, т. е. максимумов и минимумов, точно определяется соотношением (10).

Допустим теперь, что точечный источник S монохроматического света освещает прозрачную пластинку или пленку с плоскими, но не обязательно параллельными отражающими поверхностями (рис. 4).

Пренебрегая многократными отражениями, можно сказать, что в каждую точку P , находящуюся с той же стороны пластинки, что и источник, приходят опять только два луча, исходящие от S , а именно SAP и SBCDP , следовательно, в этой области интерференционная картина от точечного источника не локализована.

Оптическая разность хода между двумя путями от S до P равна

Где N 1 и N 2 — соответственно показатели преломления пластинки и окружающей среды. Точную величину D трудно вычислить, но если пластинка достаточно тонкая, то точки B , A , D находятся на очень малом расстоянии друг от друга, и значит

, (14А )

, (14Б )

Где AN 1 и AN 2 — перпендикуляры к BC и CD . Из (13) и (14) имеем

Кроме того, если угол между поверхностями пластинки достаточно мал, то

Здесь N 1¢ и N 2¢ — основание перпендикуляров, опущенных из Е на ВС и CD , а точка Е — пересечение верхней поверхности с нормалью к нижней поверхности в точке С . Но

, (17)

Где H = CE — толщина пластинки вблизи точки С , измеренная по нормали к нижней поверхности; j2 — угол отражения на внутренней поверхности пластинки. Следовательно, для тонкой пластинки, мало отличающейся от плоскопараллельной, можно написать, пользуясь (15), (16) и (17),

, (18)

А соответствующая разность фаз в точке P равна

. (19)

Величина D зависит от положения P , но она однозначно определена для всех P , так что интерференционные полосы, являющиеся геометрическим местом точек, для которых D Постоянна, образуются в любой плоскости той области, где встречаются оба луча от S . Мы говорим про такие полосы, что они не локализованы (или локализованы всюду). Они наблюдаются всегда с точечным источником, а их контрастность зависит только от относительной интенсивности интерферирующих пучков.

В общем случае для данной точки P оба параметра H и j2, определяющие разность фаз, зависят от положения источника S , и даже при небольшом увеличении размеров источника интерференционные полосы становятся менее четкими. Можно предположить, что такой источник состоит из некогерентных точечных источников, каждый из которых создает нелокализованную интерференционную картину.

Тогда в каждой точке полная интенсивность равна сумме интенсивностей таких элементарных картин. Если в точке P разность фаз излучения от различных точек протяженного источника неодинакова, то элементарные картины смещены друг относительно друга в окрестности P и видность полос в точке P меньше, чем в случае точечного источника. Взаимное смещение растет по мере увеличения размеров источника, но зависит от положения P . Таким образом, хотя мы имеем дело с протяженным источником, видность полос в некоторых точках P может оставаться такой же (или почти такой же), как и в случае точечного источника, тогда как в другом месте она упадет практически до нуля. Такие полосы характерны для протяженного источника и называются Локализованными . Можно рассмотреть частный случай, когда точка P находится в пластине, а наблюдение ведется с помощью микроскопа, сфокусированного на пластинку, или сам глаз аккомодируется на нее. Тогда H практически одинакова для всех пар лучей от протяженного источника, приходящих в точку P , сопряженную с P (рис. 5), и различие величин D в точке P вызывается главным образом различием значений Cos J 2. Если интервал изменений Cos J 2 достаточно мал, то интервал значений величин D в точке P много меньше 2P даже с источником значительных размеров, и полосы видны отчетливо. Очевидно, что они локализованы в пленке и локализация возникает как следствие использования протяженного источника.

Практически условие малости интервала изменений Cos J 2 можно выполнить при наблюдении в направлении, близком к нормальному, или при ограничении входного зрачка диаграммой D , хотя зрачок невооруженного глаза и сам по себе может быть достаточно мал.

Учитывая изменение фазы на P при отражении на одной из поверхностей пластинки, получим из (9) и (19), что в точке P будет находиться максимум интенсивности, если разность фаз кратна 2P , или, что эквивалентно, при выполнении условия

, M = 0,1,2… (20А )

И минимумы интенсивности — при

, M = 0,1,2…, (20Б )

Где — среднее значение для тех точек источника, свет от которых доходит в P .

Величина Cos J 2, присутствующая в последних соотношениях, представляет собой оптическую толщину пластинки в точке P , и если наше приближение остается в силе, то интерференционный эффект в P не зависит от толщины пластинки в других местах. Отсюда следует, что соотношения (20) остаются справедливыми даже при неплоских поверхностях пластинки при условии, что угол между ними остается малым. Тогда если достаточно постоянен, то интерференционные полосы соответствуют совокупности мест пленки, где оптические толщины одинаковы. По этой же причине такие полосы называют Полосами равной толщины . Такие полосы можно наблюдать в тонкой воздушной прослойке между отражающими поверхностями двух прозрачных пластинок, когда направление наблюдения близко к нормальному, и условие минимума (20, Б ) примет вид:

,

Т. е. темные полосы пройдут в тех местах прослойки, толщина которых удовлетворяет условию

, M = 0, 1, 2, …, (21)

Где — длина волны в воздухе.

Таким образом, полосы вырисовывают контуры слоев равной толщины на l/2. Если толщина слоя всюду постоянна, интенсивность по всей его поверхности одинакова. Это широко используется для контроля качества оптических поверхностей.

При клиновидной воздушной прослойке между плоскими поверхностями полосы будут проходить параллельно ребру клина на одинаковом расстоянии друг от друга. Линейное расстояние между соседними светлыми или темными полосами равно l/2Q , где Q — угол при вершине клина. Таким способом легко измерять углы порядка 0,1¢ и меньше, а также обнаруживать дефекты поверхности с точностью, доступной другим методам (0,1l и менее).

Интерференционная картина, локализованная в пленке, видна также и в проходящем свете. Как и в случае плоскопараллельной пластинки, картины в отраженном и прошедшем свете дополнительны. Т. е. светлые полосы одной появляются в тех же местах пленки, что и темные полосы другой. При использовании слабо отражающих поверхностей полосы в проходящем свете видны плохо вследствие значительного неравенства интенсивностей интерферирующих пучков.

До сих пор мы предполагали, что точечный источник испускает монохроматическое излучение. Свет от реального источника можно представить как совокупность некогерентных между собой монохроматических компонент, занимающих некоторый спектральный интервал от l до l + Dl. Каждая компонента образует свою интерференционную картину, аналогичную описанной выше, а полная интенсивность в любой точке равна сумме интенсивностей в таких монохроматических картинах. Нулевые максимумы всех монохроматических интерференционных картин совпадают, но в любом другом месте появляющиеся картины смещены друг относительно друга, т. к. их масштаб пропорционален длине волны. Максимумы M -го порядка займут в плоскости наблюдения некоторый участок. Если шириной этого участка можно пренебречь по сравнению со средним расстоянием между соседними максимумами, то в плоскости наблюдения появляются такие же полосы, как и в случае строго монохроматического света. В другом предельном случае интерференция не будет наблюдаться, если максимум M -го порядка для (l + Dl) совпадет с максимумом (M + 1)-го порядка для l. В этом случае провал между соседними максимумами будет заполнен максимумами неразличимых длин волн нашего интервала. Условие неразличимости интерференционной картины запишем так: (M + 1)l = M (l + Dl), т. е. M = l/Dl.

Но для того, чтобы интерференционная картина при данных значениях Dl и l обладала достаточной контрастностью, приходится ограничиваться наблюдением интерференционных полос, порядок которых много меньше l/Dl, т. е.

M < < L / DL . (22)

Следовательно, чем выше порядок интерференции M , который нужно наблюдать, тем уже должен быть спектральный интервал Dl, допускающий наблюдение интерференции в этом порядке, и наоборот.

Порядок интерференции M связан с разностью хода интерферирующих световых пучков, которая в свою очередь связана с толщиной пластинки (см. (20)). Как видно из этой формулы, для того, чтобы полосы были отчетливы, требования к монохроматичности источника должны становиться тем строже, чем больше оптическая толщина пластинки Hn 2. Однако, надо иметь в виду, что качество наблюдаемой интерференционной картины существенно зависит от Закона распределения энергии в используемом спектральном интервале и от Спектральной чувствительности применяемого приемника излучения .

Исследование интерференции в тонких пленках мы проведем на примере полос равной толщины, так называемых Колец Ньютона .

Кольца Ньютона являются классическим примером интерференционных полос равной толщины. Роль тонкой пластинки переменной толщины, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между плоскопараллельной пластинкой и выпуклой поверхностью плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны, соприкасающейся с пластинкой (рис. 6). Чтобы наблюдать много колец, надо пользоваться светом сравнительно высокой монохроматичности.

Пусть наблюдение ведется со стороны линзы. С этой же стороны на линзы падает пучок монохроматического света, т. е. наблюдение ведется в отраженном свете. Тогда световые волны, отраженные от верхней и нижней границ воздушного зазора, будут интерферировать между собой. В целях наглядности на рис. 6 отраженные от воздушного клина лучи несколько смещены в сторону от падающего луча.

При нормальном падении света интерференционная картина в отраженном свете имеет следующий вид: в центре расположено темное пятно, окруженное рядом концентрических светлых и темных колец убывающей ширины. Если световой поток падает со стороны пластины, а наблюдение по-прежнему ведется со стороны линзы, то интерференционная картина в проходящем свете остается прежней, только в центре пятно будет светлым, все светлые кольца станут темными и наоборот, при этом, как уже отмечалось, более контрастными кольца будут в отраженном свете.

Определим диаметры темных колец в отраженном свете. Пусть

R — радиус кривизны линзы, Hm — толщина воздушного зазора в месте расположения M -го кольца, Rm — радиус этого кольца, DH — величина взаимной деформации линзы и пластинки, возникающая при их сжатии. Предположим, что деформируется только небольшой участок линзы и пластинки и вблизи центра интерференционной картины. Для расчета оптической разности хода волн в месте появления M -го кольца воспользуемся формулой (20Б ):

При нормальном падении волны на линзу и вследствие малой кривизны ее поверхности, полагаем cos j 2 = 1. Кроме того, учтем, что N 2 = 1, а изменение фазы на P Или удлинение оптического пути на l/2 происходит у волны, отраженной от стеклянной пластинки (нижней поверхности воздушного зазора). Тогда оптическая разность хода будет равна и, чтобы в этом месте возникло темное кольцо, должно выполняться равенство:

. (23)

Из рис. 6 следует также, что

Откуда, если пренебречь слагаемыми второго порядка малости, = >

.

Подстановка этого выражения в (23) после простейших преобразований дает окончательную формулу, связывающую радиус темного кольца с его номером M , длиной волны L и радиусом линзы R .

. (24)

Для целей экспериментальной проверки удобнее пользоваться формулой для диаметра кольца:

. (25)

Если построить график, откладывая по оси абсцисс номера темных колец, а по оси ординат — квадраты их диаметров, то в соответствии с формулой (25) должна получиться прямая, продолжение которой отсекает на оси ординат отрезок , причем

Это дает возможность по найденной величине вычислить взаимную деформацию DH , если известен радиус кривизны линзы:

По наклону графика можно определить и длину волны света, в котором ведется наблюдение:

, (28)

Где M 1 и M 2 — соответствующие номера колец, а и— их диаметры.

Лекция №8

При прохождении света через тонкие пленки или при отражении света от поверхности тонких пленок образуются пучки когерентных волн, которые могут интерферировать между собой (рис.8.1) .

Если на пленку толщиной и показателем преломления падает параллельный пучок света под углом , то после ряда последовательных отражений и преломлений в точках A, В, С и Е образуются два пучка 1" и 1"" , отраженных, и два пучка 2" и 2"", прошедших сквозь пленку лучей. Если пленка достаточно тонка, то все эти лучи сохраняют когерентность и будут интерферировать.

Оптическая разность хода отраженных от пленки лучей 1" и 1"" равна:

.

Для получения окончательной разности хода необходимо учесть, что световые волны, как и всякие другие волны, отражаясь от оптически более плотной среды (луч 1 в точке А) получают дополнительную разность фаз равную , т.е. возникает добавочная разность хода равная . Она наблюдается в точке А для луча 1" вследствие отражения его от границы с оптически более плотной средой, чем та откуда падал луч. При отражении луча от среды менее плотной в точках В или С, а также при преломление лучей такой добавки полуволны не происходит.

Из треугольника ABF и треугольника FBC получаем:

,

из треугольника ADC:

Учитывая, что из закона преломления

получаем:

,

,

,

,

.

Если известен угол падения ,

тогда с учетом

, ,

получаем

,

окончательно

.

Условия максимумов и минимумов интерференции в отраженном от пленки свете запишутся следующим образом:

, .

2. Условие минимумов интенсивности света

, .

Оптическая разность лучей 2" и 2"", прошедших сквозь пленку равна:

,

.

Потери полуволны в проходящем свете не наблюдается.

Условия максимумов или минимумов интерференции в проходящем сквозь пленку свете запишутся следующим образом

1. Условие максимумов интенсивности света

, .

2. Условия минимумов интенсивности света

, .

Таким образом, если в проходящем свете выполняется условие усиления света (образуется максимум интенсивности), то в отраженном свете для этой же пленки выполняется условие ослабления (образуется минимум интенсивности) и наоборот. Это означает, что в первом случае пленка видна в проходящих лучах и не видна в отраженных, а во втором наоборот. При этом энергия световых волн перераспределяется между отраженными и проходящими лучами.

Если пленка освещается белым светом, то условие максимума выполняется для лучей определенной длины волны, т.е. пленка окрашивается. Примером служат радужные цвета тонких пленок, наблюдаемые на поверхности воды, покрытой тонким слоем нефтепродуктов, на пленках окислов, на поверхности мыльной пленки и т.д.

Если на однородную плоскопараллельную пленку падают расходящиеся или сходящиеся пучки лучей (), то после отражения или преломления лучи, падающие под одним и тем же углом , будут интерферировать.

При некоторых значениях выполняется условие максимума, при других значениях выполняется условие минимума. При этом на экране наблюдается интерференционная картина, получившая название полосы равного наклона. Для разных полос углы падения различны. Полосы равного наклона локализованы в бесконечности и могут наблюдаться простым глазом, аккомодированным на бесконечность.

Если на однородную пленку переменной толщины падает параллельный пучок света (), то лучи после отражения от верхней и нижней граней пленки пересекаются вблизи верхней поверхности пленки и интерферируют. На поверхности пленки будет наблюдаться интерференционная картина, получившая название полосы равной толщины.

Конфигурация полос определяется формой пленки, определенная полоса соответствует геометрическому месту точек, в которых пленка имеет одинаковую толщину. Полосы равной толщины локализованы на поверхности.

границы «пленка–воздух», идут назад, снова отражаются от границы «воздух–пленка» и лишь после этого выходят наружу (рис. 19.13). (Конечно, найдутся лучи, которые испытают несколько пар отражений, но их доля в общем «балансе» будет не так велика, ведь часть световых волн будет уходить обратно, т.е. туда, откуда пришли.)

Интерференция будет проходить между лучом (правильнее сказать, конечно, световой волной) 1 ¢ и лучом 2 ¢. Геометрическая разность хода этих лучей (разность длин пройденных путей) равна Ds = 2h . Оптическая разность хода D = п Ds = 2пh .

Условие максимума

Условие минимума

. (19.9)

Если в формуле (19.9) положить k = 0, получим , именно при такой длине наступает первый минимум освещенности в проходящем свете.

Интерференция в отраженном свете. Рассмотрим ту же самую пленку с противоположной стороны (рис. 19.14). В данном случае мы будем наблюдать интерференцию за счет взаимодействия лучей 1 ¢ и 2 ¢: луч 1 ¢ отразился от границы «воздух–пленка», а луч 2 ¢ – от границы «пленка–воздух» (рис. 19.15).

Рис. 19.14 Рис. 19.15

Читатель : По-моему, здесь ситуация точно такая же , как и с проходящим светом: Ds = 2h ; D = п Ds = 2nh , а для h max и h min справедливы формулы (19.8) и (19.9).

Читатель : Да.

Автор : И минимум в проходящем? Получается, что свет войдет в пленку, а наружу не выйдет , так как и спереди, и сзади – минимум освещенности. Куда же делась световая энергия, если пленка не поглощает света?

Читатель : Да, такое, действительно, невозможно. Но где же ошибка?

Автор : Тут необходимо знать один экспериментальный факт. Если световая волна отражается от границы среды более оптически плотной с менее оптически плотной (стекло–воздух), то фаза отраженной волны равна фазе падающей (рис. 19.16, а ). А вот если отражение проходит на границе среды, оптически менее плотной, со средой, более плотной (воздух–стекло), то фаза волны уменьшается на p (рис. 19.16, б ). А это значит, что оптическая разность хода уменьшается на половину длины волны , т.е. луч 1 ¢, отраженный от внешней поверхности пластины (см. рис. 19.15), «теряет» полволны, и за счет этого отставание от него второго луча в оптической разности хода уменьшается на l/2.

Таким образом, оптическая разность хода лучей 2 ¢ и 1 ¢ на рис. 19.15 будет равна

Тогда условие максимума запишется в виде

(19.10)

условие минимума

Сравнивая формулы (19.8) и (19.11), (19.9) и (19.10), видим, что при одном и том же значении h достигается минимум освещенности в проходящем свете и максимум в отраженном или же максимум в проходящем и минимум в отраженном. Иными словами, свет либо главным образом отражается, либо проходит насквозь в зависимости от толщины пленки.

Задача 19.5. Просветление оптики . Чтобы уменьшить долю отраженного света от оптических стекол (например, от объективов фотоаппарата) на их поверхность наносят тонкий слой прозрачного вещества, у которого показатель преломления п меньше, чем у стекла (так называемый метод просветления оптики). Оцените толщину нанесенного слоя, считая, что лучи падают на оптическое стекло приблизительно нормально (рис. 19.17).

Рис. 19.17

Решение . Для уменьшения доли отраженного света необходимо, чтобы лучи 1 и 2 (см. рис. 19.17), отраженные от внешней и внутренней поверхности пленки, соответственно «гасили» друг друга.

Заметим, что оба луча при отражении от более оптически плотной среды теряют по полволны каждый. Поэтому оптическая разность хода будет равна D = 2nh .

Условие минимума будет иметь вид

Минимальная толщина пленки h min , соответствующая k = 0,

Оценим величину h min . Возьмем l = 500 нм, п = 1,5, тогда

м = 83 нм.

Заметим, что при любой толщине пленки погасить на 100 % можно только свет определенной длины волны (при условии отсутствия поглощения!). Обычно «гасят» свет средней части спектра (желтый и зеленый). Остальные цвета при этом гасятся значительно слабее.

Читатель : А чем объяснить радужную окраску пленки бензина в луже?

Автор : Здесь тоже имеет место интерференция, как при просветлении оптики. Поскольку толщина пленки в разных местах различно, то в одном месте гасятся одни цвета, а в других – другие. «Непогашенные» цвета мы и видим на поверхности лужи.

СТОП! Решите самостоятельно: В6, С1–С5, D1.

Кольца Ньютона

Рис. 19.18

Задача 19.6. Рассмотрим подробно уже описанный нами опыт (рис. 19.18): на плоской стеклянной пластине лежит плосковыпуклая линза радиусом R . Сверху на линзу падает свет с длиной волны l. Свет является монохроматичным, т.е. длина волны жестко фиксирована и не меняется со временем. При наблюдении сверху видна интерференционная картина из концентрических светлых и темных колец (кольца Ньютона). При этом по мере удаления от центра кольца становятся более узкими. Требуется найти радиус N -го темного кольца (считая от центра).

(рис. 19.19). Именно этот отрезок определяет геометрическую разность хода лучи 1 ¢ и 2 ¢.

Рис. 19.19

Рассмотрим DОВС : (по теореме Пифагора),

h = АC = ОА – ОС = . (1)

Попробуем немного упростить выражение (1), учитывая, что r << R . Действительно, эксперименты показывают, что если R ~ 1 м, то r ~ 1 мм. Умножим и разделим выражение (1) на сопряженное выражение , получим

Запишем условие минимума для отраженного света: геометрическая разность хода лучей 1 ¢ и 2 ¢ составляет 2h , но луч 2 ¢ теряет полволны за счет отражения от оптически более плотной среды – стекла, поэтому оптическая разность хода получается на полволны меньше, чем геометрическая разность хода:

Нас интересует радиус N -го темного кольца. Правильнее сказать, речь идет о радиусе окружности , в которой достигается N -й по счету от центра минимум освещенности. Если r N – искомый радиус, то условие минимума имеет вид:

где N = 0, 1, 2…

Запомним:

. (19.12)

Кстати, при N = –1 r 0 = 0. Это значит, что в центре будет находиться темное пятно.

Ответ :

Заметим, что, зная r N , R и N , можно экспериментально определить длину волны света!

Читатель : А если бы нас интересовал радиус N -го светлого кольца?

Рис. 19.20

Читатель : А можно ли наблюдать кольца Ньютона в проходящем свете?

СТОП! Решите самостоятельно: А7, В7, С6–С9, D2, D3.

Интерференция от двух щелей (опыт Юнга)

Английский ученый Томас Юнг (1773–1829) в 1807 г. поставил следующий опыт. Яркий пучок солнечного света он направил на экран с малым отверстием или узкой щелью S (рис. 19.21). Свет, прошедший через щель S , шел ко второму экрану с двумя узкими отверстиями или щелями S 1 и S 2 .

Рис. 19.21

Щели S 1 и S 2 представляют собой когерентные источники, так как они имели «общее происхождение» – щель S . Свет от щелей S 1 и S 2 падал на удаленный экран, и на этом экране наблюдалось чередование темных и светлых участков.

Разберемся с этим опытом подробно. Будем считать, что S 1 и S 2 представляет собой длинные узкие щели , которые являются когерентными источниками, испускающими световые волны. На рис. 19.21 показан вид сверху.

Рис. 19.22

Область пространства, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции . В этой области наблюдается чередование мест с максимальной и минимальной освещенностью. Если в поле интерференции внести экран, то на нем будет видна интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. В объеме это выглядит так, как показано на рис. 19.22.

Пусть нам задана длина волны l, расстояние между источниками d и расстояние до экрана l . Найдем координаты х min и х max темных и светлых полос. Точнее, точки, соответствующие минимуму и максимуму освещенности. Все дальнейшие построения будем проводить в горизонтальной плоскости a, на которую будем «смотреть сверху» (рис. 19.23).

Рис. 19.23

Рассмотрим точку Р на экране, находящуюся на расстоянии х от точки О (точка О – это пересечение экрана с перпендикуляром, восстановленным из середины отрезка S 1 S 2). В точке Р налагаются друг на друга луч S 1 P , идущий от источника S 1 , и луч S 2 P , идущий от источника S 2 . Геометрическая разность хода этих лучей равна разности отрезков S 1 P и S 2 Р . Заметим, что поскольку оба луча распространяются в воздухе и не испытывают никаких отражений, то геометрическая разность хода равна оптической разности хода:

D = S 2 P – S 1 Р .

Рассмотрим прямоугольные треугольники S 1 АР и S 2 ВР . По теореме Пифагора: , . Тогда

.

Умножим и разделим выражение это выражение на сопряженное выражение, получим:

Учитывая, что l >> x и l >> d , упростим выражение

Условие максимума:

где k = 0, 1, 2, …

Условие минимума:

, (19.14)

где k = 0, 1, 2, …

Расстояние между соседними минимумами называется шириной интерференционной полосы .

Найдем расстояние между (k + 1)-м и k -м минимумами:

Запомним: ширина интерференционной полосы не зависит от порядкового номера полосы и равна

СТОП! Решите самостоятельно: А9, А10, В8–В10, С10.

Билинза

Задача 19.6. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = = 10 см разрезана пополам и половинки раздвинуты на расстояние h = 0,50 мм. Найти: 1) ширину интерференционных полос; 2) число интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии D = 60 см, если перед линзой имеется точечный источник монохроматического света с длиной волны l = 500 нм, удаленный от нее на расстояние а = 15 см.

Рис. 19.24

2. Сначала найдем расстояние b от линзы до изображений S 1 и S 2 . Применим формулу линзы:

Тогда расстояние от источников до экрана:

l = D – b = 60 – 30 = 30 cм.

3. Найдем расстояние между источниками. Для этого рассмотрим подобные треугольники SO 1 O 2 и SS 1 S 2 . Из их подобия следует

4. Теперь мы вполне можем воспользоваться формулой (19.15) и вычислить ширину интерференционной полосы:

= м = 0,10 мм.

5. Чтобы определить, сколько интерференционных полос получится на экране, изобразим поле интерференции , т.е. ту область, в которой перекрываются волны от когерентных источников S 1 и S 2 (рис. 19.25).

Рис. 19.25

Как видно из рисунка, лучи от источника S 1 покрывают область S 1 AA 1 , а лучи от источника S 2 покрывают область S 2 ВВ 1 . Поле интерференции – область, которая является пересечением этих областей, показана более темной штриховкой. Размер интерференционной полосы на экране – это отрезок АВ 1 , обозначим его длину через L .

Рассмотрим треугольники SO 1 O 2 и SAB 1 . Из их подобия следует

Если на участке длиной L содержатся N полос, длиной Dх каждая, то

Ответ : Dх = 0,10 мм; N = 25.

СТОП! Решите самостоятельно: D4, D5.

При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку или пластину имеет место отражение от обеих поверхностей пленки.

В результате возникают когерентные световые волны, которые обусловливают интерференцию света.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом и падает плоская монохроматическая волна. Падающая волна частично отражается от верхней поверхности пленки (луч 1). Преломленная волна, частично отразившись от нижней поверхности пленки, на верхней поверхности вновь частично отражается, а преломленная волна (луч 2) накладывается на первую отраженную волну (луч 1). Параллельные лучи 1 и 2 когерентны между собой, они дают локализованную на бесконечности интерференционную картину, которая определяется оптической разностью хода. Оптическая разность хода для проходного света отличается от оптической разности хода для отраженного света на, так проходящий свет не отражается от оптически густой среды. Таким образом, максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы интерференции в проходящем свете, и наоборот.

Интерференция монохроматического света на плоскопараллельной пластинке определяется величинами?0, d, n, и и. Разным углам падения и отвечают разные точки интерференционной картины (полосы). Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения волн, падающих на плоскопараллельную пластину под одинаковыми углами, называют полосами одинакового наклона. Параллельные лучи 1 и 2 сходятся в бесконечности, поэтому говорят, что полосы одинакового наклона локализованы на бесконечности. Для их наблюдения используют собирательную линзу и экран, расположенный в фокальной плоскости линзы.

6.4.2. Рассмотрим интерференцию света на клинообразной пленке переменной толщины. Пусть на клин с углом? между боковыми гранями падает плоская волна (лучи 1, 2 на рис. 6.10). Очевидно, что отраженные лучи 1 ? и 1 ? ? от верхней и нижней поверхностей клина (так же как 2 ? и 2 ? ?) когерентные между собой. Они могут интерферировать. Если угол? мал, то оптическая разность хода лучей 1 ? и 1.

где dm - средняя толщина клина на участке АС. Из рис. 6.10 видно, что интерференционная картина локализована у поверхности клина. Система интерференционных полос возникает за счет отражения от мест пленки имеют одинаковую толщину. Эти полосы называются полосами одинаковой толщины. Пользуясь (6.21), можно определить расстояние?у между двумя соседними максимумами для случая монохроматического света, нормального падения лучей и малого угла?:

Частным случаем полос одинаковой толщины являются кольца Ньютона , возникающие в воздушной прослойке между Плосковыпуклая линзой большого радиуса кривизны R и плоской стеклянной пластиной, которые соприкасаются в точке Р. При наложении отраженных волн возникают интерференционные полосы одинаковой толщины, имеющие при нормальном падении света вид концентрических колец. В центре картины находится интерференционный минимум нулевого порядка. Это обусловлено тем, что в точке Р разность хода между когерентными лучами определяется только потерей полуволны при отражении от поверхности пластины. Геометрическим местом точек одинаковой толщины воздушной прослойки между линзой и пластиной есть круг, поэтому интерференционная картина наблюдается в виде концентрических темных и светлых колец.В проходящем свете наблюдается дополняющая картина - центральный круг светлое, следующее кольцо темное и т. д.
Найдем радиусы светлых и темных колец. Пусть d - толщина воздушного слоя на расстоянии r от точки Р. Оптическая разность хода? между лучом, который отбился от пластины, и лучом, который потерпел отражения на границе раздела выпуклая поверхность линзы - воздух. Очевидно, что в проходящем свете формулы (6.22) и (6.23) меняются местами. Экспериментальные измерения радиусов колец Ньютона позволяют рассчитать по этим формулам радиус Плосковыпуклая линзы R. Изучая кольца Ньютона в целом, нельзя давать оценку качеству обработки поверхностей линзы и пластины. Следует заметить, что при наблюдении интерференции в белом свете интерференционная картина приобретает радужной расцветки.

6.4.3. Явление интерференции света лежит в основе работы многочисленных оптических приборов - интерферометров, с помощью которых с большой точностью измеряют длину световых волн, линейные размеры тел и их изменение, а также измеряют показатели преломления веществ.
В частности, на рис. 6.12 изображена схема интерферометра Майкельсона. Свет от источника S падает под углом 450на полупрозрачную пластину Р1. Половина падающего пучка света отражается в направлении луча 1, половина проходит через пластину в направлении луча 2. Пучок 1 отражается зеркалом М1 и, возвращаясь назад, снова проходит через пластину Р1 (). Пучок света 2 идет к зеркалу М2, отражается от него и, отразившись от пластины Р1, идет в направлении луча 2 ?. Поскольку луч 1 проходит через пластину Р1 трижды, а луч 2 только один раз, то для компенсации разности хода на пути луча 2 относится пластина Р2 (такая же как и Р1, но без полупрозрачного покрытия).

Интерференционная картина зависит от положения зеркал и геометрии пучка света, падающего на прибор. Если падающий пучок параллельный, а плоскости зеркал М1 и М2 почти перпендикулярны, то в поле зрения наблюдаются интерференционные полосы равной толщины. Смещение картинки на одну полосу соответствует смещению одного из зеркал на расстояние Таким образом, интерферометр Майкельсона используется для точных измерений длины. Абсолютная погрешность при таких измерениях составляет? 10-11 (м). Интерферометр Майкельсона можно использовать для измерения малых изменений показателей преломления прозрачных тел в зависимости от давления, температуры, примесей.

А. Смакула разработал способ просветления оптических устройств для уменьшения потерь света, обусловленных его отражением от Заломного поверхностей. В сложных объективах число отражений велико, поэтому потери светового потока довольно значительны. Чтобы элементы оптических систем сделать просветленными, их поверхности покрывают прозрачными пленками, показатель преломления которых меньше, чем стекла. При отражении света на границе раздела воздух-пленка и пленка-стекло возникает интерференция отраженных волн. Толщину пленки d и показатели преломления стекла nc и пленки n подбирают так, чтобы отраженные волны гасят друг друга. Для этого их амплитуды должны быть ровными, а оптическая разность хода соответствовать условию минимума.

Практически создать два когерентных источника света сложно (это достигается, в частности, использованием оптических квантовых генераторов - лазеров). Однако существует относительно простой способ осуществить интерференцию. Речь идет о расщеплении одного светового луча, а точнее - каждого цуга световой волны, на два с помощью отражений от зеркал, и затем сведении их в одной точке. При этом расщепленный цуг интерферирует «сам с собой» (являясь сам себе когерентным)! На рисунке 7.6 представлена принципиальная схема такого эксперимента. В точке О на границе двух сред с показателями преломления «1 и п 2 волновой цуг расщепляется на две части. С помощью двух зеркал Р и Р 2 оба луча направляются в точку М, в которой они интерферируют. Скорости распространения двух лучей в двух разных средах равны Oi = с/п и и 2 = с/п 2 . В точке М две части цуга сойдутся со сдвигом

Рис. 7.6. Прохождение частей цуга волн в двух средах с п х и п 2 . Р и Р 2 - зеркала

по времени, равным где =

= ОР х М и S 2 = ОР 2 М - суммарные геометрические пути световых лучей от точки О до точки М в разных средах. Колебания векторов напряженности электрического поля в точке М будут Е т cos со (Г - Si/v x) и Е 02 cos со(/ - S 2 /v 2) соответственно. Квадрат амплитуды результирующего колебания в точке М будет

Так как со = 2п/Т(Т - период колебаний), а и = с/п, то выражение в квадратных скобках равно Дер = (2n/cT)(S 2 n 2 - 5, л,) = (2n/ 0)(S 2 n 2 - - 5i«i), где / Ч) - длина световой волны в вакууме. Произведение длины пути S на показатель п преломления той среды, в которой распространяется свет (Sn), называют оптической длиной пути, а разность оптических длин путей обозначают символом Д и называют оптической разностью хода волн. Имея в виду, что сТ=Х 0 , можно записать

Это выражение связывает между собой разность фаз Дер колебаний и оптическую разность хода Д лучей двух частей «расщепленного цуга». Именно Дер определяет интерференционные эффекты. Действительно, наибольшей интенсивности соответствует cos Дер = 1, т.е. Дер = (2лДо)Д = = 2 лт. Отсюда вытекает условие усиления света при интерференции

где т - любое целое (т = 0, 1,2,...) число.

Наибольшему ослаблению света соответствует cos Аф = -1, т.е. Дф = (2т + 1)7г. Тогда (2т + 1)л= (2лДо)Д, или

также при целочисленныхт = 0, 1,2,....

Легко видеть, что описанное ранее сложение волн с четырехкратным усилением интенсивности соответствует смещению двух «частей» расщепленного цуга световых волн друг относительно друга на целое число длин волн (или, соответственно, изменению разности фаз Дф на четное число л), тогда как полное взаимное погашение волн при равенстве их интенсивностей («свет + свет» дает темноту!) наблюдается при смещении двух частей цуга на половину длины волны (на нечетное число полуволн, т.е., соответственно, при Дф = (2т + 1)л и любом целом т. Сделанное заключение определяет интерференционные эффекты во всех возможных случаях.

Рис. 7.7.

Рассмотрим в качестве примера интерференцию света при отражении от тонкой пленки (или от тонкой плоскопараллельной прозрачной пластины) толщиной d (рис. 7.7). Направление падающего на пленку луча отмечено на рисунке стрелкой. Расщепление цугов происходит в этом случае при частичном отражении каждой части цуга на верхней (точка А) и нижней (точка В) поверхности пленки. Будем считать, что световой луч идет из воздуха и уходит после точки В также в воздух (среду с показателем преломления, равным единице), а материал пленки имеет показатель преломления п > 1. Каждый цуг падающего под углом а луча в точке А расщепляется на две части: одна из них отражается (луч 1 на схеме), другая - преломляется (лучАВ). В точке В каждый цуг преломленного луча расщепляется вторично: он частично отражается от нижней поверхности пленки, а частично преломляется (пунктир) и выходит за ее пределы. В точке С цуг снова расщепляется на два, но нас будет интересовать только та его часть (луч 2), которая выходит из пленки под тем же углом а, что и луч 1. Отраженные от верхней поверхности пленки лучи 1 и 2 собираются линзой в одну точку (на рисунке не показана) на экране или в хрусталике глаза наблюдателя (та же линза). Будучи частями одного и того же первичного цуга, лучи 1 и 2 являются когерентными и могут участвовать в интерференции, причем усиление или ослабление интенсивности света зависит от их оптической разности хода (или разности фаз колебаний).

Разность фаз между колебаниями в волнах 1 и 2 создается на длинах пути AD (в воздухе) и АВС (в пленке). Оптическая разность хода составляет при этом

Имея в виду, что

sin а = п sin р (закон преломления), можно получить Д = (2dn/ cos Р)(1 - sin 2 p) или Д = 2dn cos р. Вследствие того, что условия задачи задаются обычно не углом преломления р, а углом падения а, величину Д удобнее представить в виде

При определении условий максимума или минимума интенсивности света следовало бы приравнять величину Д целому или полуцелому числу длин волн (условия (7.6) и (7.7)). Однако помимо оценки оптической разности хода Д, следует иметь в виду также возможность «потери» (или, что то же самое, «приобретения») половины длины волны лучом при отражении от оптически более плотной среды. Реализация этой возможности зависит от конкретной задачи, точнее от того, какая среда окружает пленку. Если пленка с п > 1 окружена воздухом с п = 1, потеря половины длины волны происходит только в точке А (см. рис. 7.7). А если пленка лежит на поверхности тела (другая среда) с показателем преломления п большим, чем для материала пленки, потеря половины длины волны происходит в двух точках А к В; но, так как при этом «набегает» целая длина волны, этот эффект можно не учитывать - фазовые условия интерферирующих волн сохраняются. Видно, что задача требует индивидуального подхода. Основной принцип ее решения заключается в том, чтобы сначала найти оптическую разность хода интерферирующих лучей, рассмотрев возможную потерю половины длины волны в разных точках отражения (при необходимости добавить или вычесть ее в Д), и приравнять целому числу длин волн при определении условий усиления интенсивности света или к полуцелому числу длин волн (нечетному числу полуволн) - при нахождении минимума освещенности (ослабление при интерференции). В случае находящейся в воздухе пленки, изображенной на рис. 7.7, условие интерференционного максимума имеет вид

Вследствие того, что показатель преломления зависит от длины волны (см. подраздел 7.5), условия усиления и ослабления интенсивности для света

Рис. 7.8.

разных длин волн будут разные. Поэтому пленка будет разлагать падающий белый свет в спектр, т.е. в отраженном белом свете тонкая пленка видится окрашенной в разные цвета. С примерами этого каждый из нас встречался неоднократно, наблюдая разноцветные мыльные пузыри и пятна масла на поверхности воды.

Рассмотрим теперь пример тонкого воздушного клина (рис. 7.8). Пластина с хорошо обработанной поверхностью лежит на другой такой же пластине. В определенном месте между двумя пластинами находится предмет (например, тонкая проволочка) так, что образуется воздушный клин с углом 5. Рассмотрим луч света, падающий нормально на пластины. Будем считать, что расходимость цугов световых волн в точках отражения и преломления при отражении от поверхностей воздушного клина пренебрежимо мала, поэтому интерферирующие лучи собираются в одной точке наблюдения (их так же, как и в предыдущем примере, можно собрать с помощью вспомогательной линзы). Допустим, что в некоторой точке А по длине пластин оптическая разность хода Д равна целому числу т длин волн плюс Хо/2 (за счет отражения от оптически более плотной среды нижней пластины). Такая точка всегда найдется. При этом окажется, что в точке В на расстоянии АВ = d, отсчитываемом вдоль пластин и равном )^о /(2 tg 8) (множитель 2 возникает за счет того, что луч проходит пространство между пластинами дважды, в одну и другую сторону), интерференционная картина повторится для т ± 1 (фазовые условия при сложении волн повторятся). Измеряя расстояние d между этими двумя точками, легко связать длину волны с углом б

Рис. 7.9.

Если посмотреть на эту картину сверху, то можно увидеть геометрическое место точек, в которых при определенных целых числах т образовались светлые (или темные) полосы, горизонтальные и параллельные основанию клина (т.е. возникли условия интерференционных максимумов или минимумов). Вдоль этой полосы соблюдаются условия (7.6) или (7.7), а также (7.10), т.е. вдоль нее воздушный зазор имеет одну и ту же толщину. Такие полосы носят название полос равной толщины. При условии, что пластины изготовлены тщательно, полосы равной толщины представляются параллельными прямыми. Если в пластинах имеются изъяны, характер полос заметно меняется, положение и форма изъянов проступают четко. На этом интерференционном эффекте, в частности, основан способ контроля качества обработки поверхности.

На рисунке 7.9 показаны полосы равной толщины: в середине воздушного клина создан узкий поток теплого воздуха, плотность которого и, соответственно, показатель преломления отличаются от значений для холодного воздуха. Видно искривление линий постоянной толщины в области потока.

Если выпуклая линза лежит на плоской прозрачной пластине, то при определенном соотношении радиуса R кривизны линзы и длины волны X света можно наблюдать так называемые кольца Ньютона.

Они представляют собой те же полосы равной толщины в форме концентрических окружностей.

Рассмотрим такой интерференционный опыт, приводящий к образованию колец Ньютона сначала в отраженном - точка М наблюдения сверху (рис. 7.10, а), а затем в проходящем свете (рис. 7.10, б) - точка М расположена внизу под линзой Л) и прозрачной пластиной П. Определим радиусы г т светлых и темных колец Ньютона (наблюдаемая картина К на рисунках) в зависимости от длины /. волны света и радиуса R кривизны используемой в опыте линзы.

Схема опыта представляет оптическую систему, состоящую из плоской с одной стороны и выпуклой с другой линзы Л! малой кривизны, лежащей на стеклянной пластине П, произвольной толщины.

На линзу Л (падает плоский волновой фронт света от монохроматического источника, (длина к волны света) который в результате интерференции отражений, возникающих в воздушном зазоре между линзой и пластиной образует изображение К, которое можно наблюдать сверху от линзы - точка М (см. рис. 7.10, а), либо снизу от нее (см. рис. 7.10, б). Для удобства наблюдения изображения в расходящихся из-за не параллельности отражающих плоскостей лучах используется вспомогательная собирающая линза Л 2 (на небольших расстояниях наблюдения ее наличие не обязательно). Можно вести наблюдение непосредственно или регистрировать изображение с помощью оптически чувствительного детектора (например, фотоэлемента).

Рассмотрим ход двух близкорасположенных лучей 1 и 2 (рис. 7.10, а). Эти лучи до попадания в точку наблюдения М (глаз наблюдателя на рисунке) испытывают многократные отражения на участке распространения и преломления «вниз» на границах раздела воздух-линза Л, линза-воздушный зазор толщины d = АВ, и на участке «вверх» соответственно. Но в образовании интересующей нас интерференционной картины существенно их поведение в области воздушного промежутка d = АВ. Именно здесь образуется оптическая разность хода Д лучей 1 и 2, благодаря которой создаются условия наблюдения интерференции в опыте с кольцами Ньютона. Если отражение (поворот) луча 1 происходит в точке Л, а отражение (поворот) луча 2 - в точке В (при отражении луча 2 в той же точке, что и луча 1, т.е. в точке А, разности хода Д не будет, и луч 2 будет просто «эквивалентен» лучу 1), то интересующая нас оптическая разность хода

т.е. удвоенной толщине воздушного зазора (при малой кривизне линзы и близкорасположенных лучах 1 и 2 АВ + ВА » 2d) плюс-минус половина длины волны (/./2), которая теряется (или приобретается) при отражении света от оптически более плотной (показатель преломления стекла л ст = п 2 = 1,5 больше показателя преломления воздуха п тт = П= 1) среды в точке А (изменение фазы колебаний на ±л), где луч 1 отражается от стеклянной пластины П и возвращается в воздушный зазор. Потери (приобретения) полуволны лучом 2, распространяющимся в стекле при отражении от границы раздела в точке В, не происходит (граница раздела стекло-воздух и отражение от воздуха - оптически менее плотной среды - здесь п ст = П > «2 = /г возд). На участке «вверх» от точки В до точки наблюдения М у отраженных лучей 1 "и 2"оптические пути одинаковы (оптической разности хода нет).

Рис. 7.10.

Из рассмотрения схемы опыта в предположении малости величины воздушного зазора d (d « R и r m) между линзой Л! и пластиной П, т.е., полагая d 2 ~ 0, можно записать:

отсюда следует При этом для оптической разности хода Д рассматриваемых лучей имеем

Оставляя для знак «+» в последнем выражении («-» даст в результате номера т тех же колец, отличающиеся на единицу) и принимая во внимание условия интерференционного максимума Д = тХ и минимума Д = (2ти+1) л/2, где /и = О, 1, 2, 3,целые числа, получаем:

Для максимума (светлые кольца)

Для минимума (темные кольца)

Полученные результаты можно объединить одним условием

определив т - как четные для максимума (светлые кольца) и нечетные для минимума (темные кольца).

Из полученного результата следует, что в центре интерференционной картины, т.е. при т = 0, наблюдаемой в отраженном свете, будет темное (г ттсш1 = 0) кольцо (точнее пятно).

Аналогичное рассмотрение можно провести и для опыта в проходящем свете (рис. 7.10, б - точка М наблюдения внизу). Из рассмотрения увеличенного фрагмента рисунка видно, что отличие от предыдущего опыта в проходящем свете воздушный зазор между Л| и пластиной П проходится лучом 1 трижды (вниз, вверх и снова вниз) и дважды происходит его отражение от оптически более плотной среды (стекла) - в точках А и В. При этом луч 2 проходит воздушный промежуток между линзой и пластиной однократно (отражения и преломления этого луча в других точках на границах радела на наблюдаемую картину влияния не оказывают и во внимание не принимаются) и отражений от оптически более плотной среды у него не происходит. Поэтому оптическая разность хода лучей 1 и 2 в рассматриваемом случае будет

или просто

так как изменение оптической разности хода на длину волны X в ту или иную сторону (или на целое число длин волн) не приводит к существенному для интерференции изменению фазовых соотношений в интерферирующих волнах (лучах) - разность фаз между лучами 1 и 2 в этом случае сохраняется. Условия максимума и минимума (Д = тХ и Д = (2т + 1) Х/2 соответственно), а также

геометрическое условие для радиусов г т соответствующих колец

для опыта в проходящем свете остаются прежними, поэтому получаем:

Для максимумов

Для минимумов

при т = 0,1,2,3,... - т. е. условия, противоположные рассмотренным для опыта в отраженном свете. Снова переопределяя т как четные и нечетные, можно написать обобщенную формулу и для этого случая в виде

где уже для нечетных т получаем максимум (светлое кольцо), а для четных - минимум (темное кольцо). Таким образом, в проходящем свете по сравнению с отраженным светлые и темные кольца меняются местами гт г т (в центре, при т = 0 получается светлое пятно г" тсв = 0).

Рис. 7.11.

Явления интерференции находят широкое применение в технике и промышленности. Они также используются в интерферометрии при определении показателей преломления веществ во всех трех его состояниях - твердом, жидком и газообразном. Имеется большое число разновидностей интерферометров, различающихся своим назначением (один из них - интерферометр Майкельсона, ранее рассмотрен нами при обсуждении гипотезы мирового эфира (см. рис. 1.39)).

Проиллюстрируем определение показателя преломления вещества на примере интерферометра Жамёна, предназначенного для измерения показателей преломления жидкостей и газов (рис. 7.11). Две одинаковые плоскопараллельные и полупрозрачные зеркальные пластины А и В установлены параллельно друг другу. Луч света из источника S падает на поверхность пластины А под углом а, близким к 45°. В результате отражения от внешней и внутренней поверхностей пластины А исходят два параллельных луча 1 и 2. Пройдя сквозь две одинаковые стеклянные кюветы Ki и К2, эти лучи попадают на пластину В, снова отражаются от обеих ее поверхностей и собираются с помощью линзы L в точке наблюдения Р. В этой точке они интерферируют, и интерференционные полосы рассматриваются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одна из кювет (например К|) заполняется веществом с известным абсолютным показателем преломления П, а вторая - веществом, показатель преломления «2 которого измеряется, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами будет 6 = (п - п 2)1, где / - длина кювет на пути света. При этом наблюдается смещение интерференционных полос относительно их положения при пустых кюветах. Смещение S пропорционально разности («! - « 2), что позволяет определить один из показателей преломления, зная другой. При относительно невысоких требованиях к точности измерения положения полос, точность в определении показателя преломления может достигать 10~*-10 -7 (т.е. 10 -4 - 10 _5 %). Эта точность обеспечивает наблюдение малых примесей в газах и жидкостях, измерение зависимости показателей преломления от температуры, давления, влажности и др.

Существует много других конструкций интерферометров, предназначенных для различных физических и технических измерений. Как уже упоминалось, с помощью специально сконструированного интерферометра А.А. Майкельсоном и Е.В. Морли в 1881 г. исследована зависимость скорости света от скорости движения испускающего его источника. Установленный в этом опыте факт постоянства скорости света был положен А. Эйнштейном в основу специальной теории относительности.

• Д измеряется в единицах длины (в СИ это метры), а Д
• Вообще говоря, требование монохроматичности не является обязательным, но в случае полихроматического (белого) света источника наблюдаемая картина будет представлять собой наложение колец разной цветности и затруднять выделение интересующегонас эффекта.