സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, പ്രാഥമിക പദങ്ങൾ "ഘടകം" അല്ലെങ്കിൽ "നമ്പർ" (ഈ മാനുവലിൻ്റെ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് പര്യായപദങ്ങളായി പരിഗണിക്കാം) കൂടാതെ "സെറ്റ്", പ്രധാന ബന്ധങ്ങൾ: "ഉള്ളത്" (ഘടകം ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്), "സമത്വം" കൂടാതെ " ഫോളോ അപ്പ്”, സൂചിപ്പിക്കുന്നത് a / (“സ്‌ട്രോക്ക് എന്ന സംഖ്യ a എന്ന സംഖ്യയെ പിന്തുടരുന്നു” എന്ന് വായിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, a two ന് ശേഷം മൂന്ന്, അതായത് 2 / = 3, സംഖ്യ 10 ന് ശേഷം 11 എന്ന സംഖ്യ, അതായത്, 10 / = 11, മുതലായവ).

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം(നാച്ചുറൽ സീരീസ്, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ) അവതരിപ്പിച്ച "പിന്തുടരുക" ബന്ധമുള്ള ഒരു സെറ്റ് N ആണ്, അതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന 4 സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സംതൃപ്തമാണ്:

എ 1. N എന്ന സെറ്റിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ട് യൂണിറ്റ്, മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പിന്തുടരുന്നില്ല.

എ 2. സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ ഓരോ മൂലകത്തിനും, അതിനടുത്തായി ഒരെണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ.

എ 3. N ൻ്റെ ഓരോ മൂലകവും സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയിലെ ഒരു ഘടകത്തെ പിന്തുടരുന്നു.

എ 4.( ഇൻഡക്ഷൻ്റെ ആക്സിയം) ഒരു സെറ്റ് N-ൻ്റെ ഒരു ഉപഗണം M-ൽ ഒരെണ്ണം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിലെ ഓരോ മൂലകങ്ങൾക്കൊപ്പം a, ഇനിപ്പറയുന്ന മൂലകവും a / ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, M N-മായി യോജിക്കുന്നു.

ഒരേ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

മൂലകം ബി മൂലകം a (b = a /) പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, മൂലകം a മൂലകത്തിന് മുമ്പുള്ളതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും (അല്ലെങ്കിൽ b ന് മുമ്പുള്ളതാണ്). ഈ സിദ്ധാന്ത വ്യവസ്ഥയെ വിളിക്കുന്നു പീനോ ആക്സിയം സിസ്റ്റങ്ങൾ(19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗ്യൂസെപ്പെ പീനോയാണ് ഇത് അവതരിപ്പിച്ചത്). സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം നിർവചിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രാമാണങ്ങളുടെ സാധ്യമായ സെറ്റുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രമാണിത്; സമാനമായ മറ്റ് സമീപനങ്ങളുണ്ട്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗുണങ്ങൾ

സ്വത്ത് 1. മൂലകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അവയെ പിന്തുടരുന്നവ വ്യത്യസ്തമാണ്, അതായത്

a  b => a /  b / .

തെളിവ്വൈരുദ്ധ്യത്താൽ നടപ്പിലാക്കുന്നു: a / = b / എന്ന് കരുതുക, തുടർന്ന് (A 3 വഴി) a = b, ഇത് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 2. മൂലകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് മുമ്പുള്ളവ (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) വ്യത്യസ്തമാണ്, അതായത്

a /  b / => a  b.

തെളിവ്: a = b എന്ന് കരുതുക, അപ്പോൾ, A 2 അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു / = b / ഉണ്ട്, അത് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ്.

സ്വത്ത് 3. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും അടുത്ത ഒന്നിന് തുല്യമല്ല.

തെളിവ്: ഈ വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തുന്ന അത്തരം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ എം സെറ്റ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

M = (a  N | a  a / ).

ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കും. M എന്ന സെറ്റിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ്. അടുത്ത 1M, ഒരാൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും (A 1) പിന്തുടരാത്തതിനാൽ, അതായത് a = 1 നും നമുക്കുണ്ട്: 1  1 / . ഇനി നമുക്ക് ചില a  M എന്ന് അനുമാനിക്കാം. ഇതിനർത്ഥം a  a / (M ൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്), എവിടെ നിന്ന് a /  (a /) / (property 1), അതായത്, a /  M. എല്ലാത്തിൽ നിന്നും മുകളിൽ, ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് M = N എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം, അതായത്, നമ്മുടെ സിദ്ധാന്തം എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 4. 1 ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും, അതിന് മുമ്പുള്ള ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്.

തെളിവ്: സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

ഈ M എന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ്, ഒന്ന് വ്യക്തമായി ഈ ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്. ഈ സെറ്റിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം മുൻഗാമികൾ ഉള്ള മൂലകങ്ങളാണ്, അതിനാൽ, ഒരു  M ആണെങ്കിൽ, a / ഉം M യുടെതാണ് (അതിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം, a / ഒരു മുൻഗാമി ഉള്ളതിനാൽ - ഇത് a ആണ്). അതിനാൽ, ഇൻഡക്ഷൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ഗണവുമായി M യോജിക്കുന്നു, അതായത് എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും ഒന്നുകിൽ 1 അല്ലെങ്കിൽ മുൻ മൂലകം ഉള്ളവയാണ്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥിരത

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു അവബോധജന്യമായ മാതൃക എന്ന നിലയിൽ, നമുക്ക് വരികളുടെ സെറ്റ് പരിഗണിക്കാം: നമ്പർ 1 |, നമ്പർ 2 || മുതലായവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, അതായത്, സ്വാഭാവിക ശ്രേണിക്ക് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

"ഒരു സംഖ്യയിലേക്ക് ഒരു വരി ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യുക" എന്നത് "പിന്നീട് പിന്തുടരുക" എന്ന റിലേഷനായി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ വരികളുടെ വരികൾക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മാതൃകയായി പ്രവർത്തിക്കാനാകും. എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും സാധുത അവബോധപൂർവ്വം വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ മാതൃക കർശനമായി യുക്തിസഹമല്ല. കർശനമായ ഒരു മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായും സ്ഥിരതയുള്ള മറ്റൊരു ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ അത്തരമൊരു സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങളുടെ പക്കലില്ല. അതിനാൽ, ഒന്നുകിൽ നമ്മൾ അവബോധത്തെ ആശ്രയിക്കാൻ നിർബന്ധിതരാകുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ മോഡലുകളുടെ രീതി അവലംബിക്കരുത്, പക്ഷേ 6 ആയിരം വർഷത്തിലേറെയായി, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം നടത്തിയിട്ടും, വൈരുദ്ധ്യങ്ങളൊന്നുമില്ല എന്ന വസ്തുത പരാമർശിക്കുക. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

പീനോ ആക്സിയം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യം

ആദ്യത്തെ ആക്സിയത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യം തെളിയിക്കാൻ, ആക്സിയം A 1 തെറ്റായതും A 2, A 3, A 4 എന്നിവ ശരിയുമുള്ള ഒരു മാതൃക നിർമ്മിക്കാൻ മതിയാകും. നമുക്ക് 1, 2, 3 സംഖ്യകളെ പ്രാഥമിക പദങ്ങൾ (ഘടകങ്ങൾ) ആയി പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ ബന്ധങ്ങൾ വഴി "പിന്തുടരുക" ബന്ധം നിർവ്വചിക്കാം: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

ഈ മോഡലിൽ മറ്റൊന്നും പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകവുമില്ല (ആക്സിയം 1 തെറ്റാണ്), എന്നാൽ മറ്റെല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും തൃപ്തികരമാണ്. അതിനാൽ, ആദ്യ സിദ്ധാന്തം മറ്റുള്ളവരെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

രണ്ടാമത്തെ സിദ്ധാന്തം രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു - അസ്തിത്വവും അതുല്യതയും. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ (അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ) സ്വാതന്ത്ര്യം രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ (1, 2) ഒരു മാതൃക ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കാൻ കഴിയും, ഒരൊറ്റ ബന്ധത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട "ഫോളോ" റിലേഷൻ: 1 / = 2:

രണ്ടിന്, അടുത്ത മൂലകം കാണുന്നില്ല, എന്നാൽ A 1, A 3, A 4 എന്നിവ ശരിയാണ്.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യം, അദ്വിതീയതയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, N എന്ന സെറ്റ് എല്ലാ സാധാരണ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും എല്ലാത്തരം പദങ്ങളുടെയും (അർത്ഥം ആവശ്യമില്ലാത്ത അക്ഷരങ്ങളുടെ കൂട്ടം) ഗണമായിരിക്കുന്ന ഒരു മാതൃകയാണ് ചിത്രീകരിക്കുന്നത്. ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാലയിലെ അക്ഷരങ്ങളുടെ മുകളിൽ (z എന്ന അക്ഷരത്തിന് ശേഷം അടുത്തത് aa ആയിരിക്കും, പിന്നെ ab ... az, പിന്നെ ba ...; സാധ്യമായ എല്ലാ രണ്ടക്ഷര പദങ്ങളും, അതിൽ അവസാനത്തേത് zz ആയിരിക്കും, പിന്തുടരും aaa എന്ന വാക്കിലൂടെയും മറ്റും). ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ "ഫോളോ" ബന്ധം അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

ഇവിടെ A 1, A 3, A 4 എന്നീ സിദ്ധാന്തങ്ങളും ശരിയാണ്, എന്നാൽ 1 ന് തൊട്ടുപിന്നാലെ 2, a എന്നീ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ വരുന്നു. അതിനാൽ, ആക്സിയം 2 മറ്റുള്ളവരെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

ആക്‌സിയം 3 ൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യം മാതൃകയിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഇതിൽ A 1, A 2, A 4 എന്നിവ ശരിയാണ്, എന്നാൽ സംഖ്യ 2 സംഖ്യ 4-നെയും നമ്പർ 1-നെയും പിന്തുടരുന്നു.

ഇൻഡക്ഷൻ ആക്സിയത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യം തെളിയിക്കാൻ, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും അടങ്ങുന്ന സെറ്റ് N ഉപയോഗിക്കുന്നു. മൂന്ന് അക്ഷരങ്ങൾ(എ, ബി, സി). ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഈ മാതൃകയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം അവതരിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക്, സാധാരണ പിന്തുടരൽ ബന്ധം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അക്ഷരങ്ങൾക്ക്, ഫോളോ റിലേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു: a / = b, b / = c, c / = a. 1 ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും പിന്തുടരുന്നില്ല എന്നത് വ്യക്തമാണ്, ഓരോന്നിനും അടുത്തത്, ഒന്ന് മാത്രം, ഓരോ മൂലകവും പരമാവധി ഒരു ഘടകത്തെ പിന്തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സാധാരണ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അടങ്ങുന്ന M ഒരു സെറ്റ് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഈ സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഉപഗണമായിരിക്കും, കൂടാതെ M-ൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ഘടകത്തിനും അടുത്ത ഘടകവും ആയിരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഉപഗണം മുഴുവൻ മോഡലുമായി പൊരുത്തപ്പെടില്ല പരിഗണന, കാരണം അതിൽ a, b, c അക്ഷരങ്ങൾ ഉണ്ടാകില്ല. അതിനാൽ, ഈ മാതൃകയിൽ ഇൻഡക്ഷൻ ആക്‌സിയം തൃപ്‌തികരമല്ല, അതിനാൽ, ഇൻഡക്ഷൻ ആക്‌സിയം മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം വർഗ്ഗീയമായ(ഇടുങ്ങിയ അർത്ഥത്തിൽ പൂർണ്ണം).

 (n /) =( (n)) / .

സമ്പൂർണ്ണ ഗണിത പ്രേരണയുടെ തത്വം.

ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം.എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ചില പ്രസ്താവനകൾ P(n) രൂപപ്പെടുത്തട്ടെ, കൂടാതെ a) P(1) ശരിയായിരിക്കട്ടെ, b) P(k) ശരിയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് P(k /) ശരിയാണ്. അപ്പോൾ P(n) എന്ന പ്രസ്താവന എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് P(n) എന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാകുന്ന n (M  N) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം M അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് axiom A 4 ഉപയോഗിക്കാം, അതായത്, ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കും:

1. k  M => k /  M.

നമ്മൾ വിജയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, A 4 ആക്സിയം അനുസരിച്ച്, M = N, അതായത് P(n) എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

1) സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ a) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, P(1) ശരിയാണ്, അതിനാൽ, 1  M.

2) ചില k  M ആണെങ്കിൽ, (M യുടെ നിർമ്മാണം വഴി) P(k) ശരിയാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ b) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഇത് P(k /) ൻ്റെ സത്യത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത് k /  M.

അങ്ങനെ, ഇൻഡക്ഷൻ (A 4) M = N, അതായത് P(n) എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്.

അതിനാൽ, "ഇൻഡക്ഷൻ വഴി" സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി സൃഷ്ടിക്കാൻ ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നതിൽ ഈ രീതി ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1) പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത പരിശോധിക്കുന്നുഎൻ=1 (ഇൻഡക്ഷൻ ബേസ്) ,

2) ഈ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നുഎൻ= കെ, എവിടെകെ- അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ(ഇൻഡക്റ്റീവ് ഹൈപ്പോതെസിസ്) , കൂടാതെ ഈ അനുമാനം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നുഎൻ= കെ / (ഇൻഡക്ഷൻ ഘട്ടം ).

തന്നിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു തെളിവിനെ പ്രൂഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഗണിത ഇൻഡക്ഷൻ വഴി .

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ

നമ്പർ 1.1. ലിസ്റ്റുചെയ്ത സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെയാണ് പീനോ ആക്സിമുകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തുക (അവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ മാതൃകകളാണ്), ഏതൊക്കെ ആക്സിമുകൾ തൃപ്തികരമാണെന്നും ഏതൊക്കെയല്ലെന്നും നിർണ്ണയിക്കുക.

a) N =(3, 4, 5...), n / = n + 1;

b) N =(n  6, n  എൻ), n / = n + 1;

c) N =(n  – 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N =(n  - 2, n  Z), n / = n + 2;

ഇ) ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, n / = n +1;

f) ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, n / = n +2;

g) n / = n + 2 എന്ന അനുപാതമുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, n / = n + 3 എന്ന അനുപാതമുള്ള 3 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ

k) n / = n + 2 എന്ന അനുപാതമുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ പോലും

m) പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ,
.

വ്യായാമം 3.1.4-ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, പൂർണ്ണസംഖ്യ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റം സ്വതന്ത്രമല്ല.

സിദ്ധാന്തം 1.പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

തെളിവ്. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന അനുമാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥിരത ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു മാതൃക ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഒരു മോതിരം നിർമ്മിക്കാം. സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക

എൻ´ എൻ = {(എ, ബി)ï എ, ബിÎ എൻ}.

എ, ബി) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ. അത്തരമൊരു ജോടിയിലൂടെ നമുക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം മനസ്സിലാകും a–b. എന്നാൽ അത്തരമൊരു വ്യത്യാസം നിലനിൽക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നതുവരെ, അത്തരമൊരു പദവി ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമില്ല. അതേ സമയം, അത്തരമൊരു ധാരണ നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ജോഡികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ക്രമീകരിക്കാനുള്ള അവസരം നൽകുന്നു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യസ്ത വ്യത്യാസങ്ങൾ ഒരേ പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സെറ്റിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു എൻ´ എൻസമത്വ ബന്ധം:

(എ, ബി) = (സി,ഡി) Û a + d = b + c.

ഈ ബന്ധം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതും സമമിതിപരവും സംക്രമണപരവുമാണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണ്, സമത്വം എന്ന് വിളിക്കാനുള്ള അവകാശവുമുണ്ട്. സെറ്റുകളുടെ ഫാക്ടർ സെറ്റ് എൻ´ എൻ Z. നാം അതിൻ്റെ മൂലകങ്ങളെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കും. ജോഡികളുടെ ഗണത്തിൽ അവർ തുല്യത ക്ലാസുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു ജോഡി അടങ്ങുന്ന ക്ലാസ്
(എ, ബി), സൂചിപ്പിക്കുന്നത് [ എ, ബി].

Z എ, ബി] എങ്ങനെ വ്യത്യാസം a–b

[എ, ബി] + [സി,ഡി] = [a+c, b+d];

[എ, ബി] × [ സി,ഡി] = [ac+bd, ad+bc].

കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവിടെ ഓപ്പറേഷൻ ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഉപയോഗം പൂർണ്ണമായും ശരിയല്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരേ ചിഹ്നം + സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ജോഡികളുടെയും കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഓപ്പറേഷൻ ഏത് സെറ്റിലാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നതെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമാകുന്നതിനാൽ, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കില്ല.

ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങളുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഫലങ്ങൾ ഘടകങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എഒപ്പം ബി, ജോഡി നിർവചിക്കുന്നു [ എ, ബി]. തീർച്ചയായും, അനുവദിക്കുക

[എ, ബി] = [എ 1 ,ബി 1 ], [എസ്, ഡി] = [കൂടെ 1 ,ഡി 1 ].

അതിനർത്ഥം അതാണ് a+b 1 = b+a 1 , സി + ഡി 1 =ഡി + കൂടെ 1 . ഈ സമത്വങ്ങൾ ചേർത്താൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

a+b 1 + സി + ഡി 1 = b+a 1 +ഡി + കൂടെ 1 Þ[ a + b, c + d] = [എ 1 +കൂടെ 1 ,ബി 1 + ഡി 1] Þ

Þ [ എ, ബി] + [സി,ഡി] = [എ 1 ,ബി 1 ] + [സി 1 ,ഡി 1 ].

ഗുണനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ കൃത്യതയും സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഇവിടെ നിങ്ങൾ ആദ്യം അത് പരിശോധിക്കണം [ എ, ബി] × [ സി,ഡി] = [എ 1 ,ബി 1 ] × [ സി,ഡി].

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബീജഗണിതം ഒരു റിംഗ് ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ പരിശോധിക്കണം, അതായത്, axioms (Z1) - (Z6).

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി, അതായത് ആക്സിയം (Z2). നമുക്ക് ഉണ്ട്

[സി,ഡി] + [എ, ബി] = = [a+c, b+d] = [എ, ബി] + [സി,ഡി].

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കുള്ള സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കുള്ള സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, ഇത് ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

Axioms (Z1), (Z5), (Z6) സമാനമായി പരിശോധിക്കുന്നു.

ജോഡിയാണ് പൂജ്യത്തിൻ്റെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നത്. നമുക്ക് അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം 0 . ശരിക്കും,

[എ, ബി] + 0 = [എ, ബി] + = [a+ 1,b+ 1] = [എ, ബി].

ഒടുവിൽ, -[ എ, ബി] = [ബി, എ]. ശരിക്കും,

[എ, ബി] + [ബി, എ] = [a+b, b+a] = = 0 .

ഇനി നമുക്ക് എക്സ്റ്റൻഷൻ ആക്സിമുകൾ പരിശോധിക്കാം. മോതിരത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ജോഡി വിഭാഗങ്ങളായതിനാൽ, നിർമ്മിച്ച വളയത്തിൽ അത്തരം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളൊന്നുമില്ല എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതിനാൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ അർദ്ധവിന്യാസത്തിന് ഒരു സബൽജിബ്ര ഐസോമോഫിക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇവിടെ വീണ്ടും ഒരു ദമ്പതികളുടെ ആശയം [ എ, ബി] എങ്ങനെ വ്യത്യാസം a–b. സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എൻരണ്ട് പ്രകൃതിദത്തങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്നത്: എൻ = (എൻ+ 1) - 1. അതിനാൽ കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കാനുള്ള നിർദ്ദേശം ഉയർന്നുവരുന്നു എഫ്: എൻ ® Zചട്ടം അനുസരിച്ച്

എഫ്(എൻ) = [എൻ + 1, 1].

ഈ കത്തിടപാടുകൾ കുത്തിവയ്പ്പാണ്:

എഫ്(എൻ) = എഫ്(എം) Þ [ എൻ + 1, 1]= [എം+ 1, 1] Þ ( എൻ + 1) + 1= 1 + (എം+ 1) Þ n = m.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ തമ്മിൽ പരസ്പരം കത്തിടപാടുകൾ ഉണ്ട് എൻചില ഉപവിഭാഗങ്ങളും Z, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് N*. ഇത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം:

എഫ്(എൻ) + എഫ്(എം) = [എൻ + 1, 1]+ [എം + 1, 1] = [എൻ + m+ 2, 2]= [എൻ + എം+ 1, 1] = എഫ്(n+m);

എഫ്(എൻ) × എഫ്(എം) = [എൻ+ 1, 1]× [ എം + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = എഫ്(nm).

ഇത് സ്ഥാപിക്കുന്നു N*ൽ രൂപപ്പെടുന്നു Zസങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു സബൽജിബ്ര ഐസോമോർഫിക് എൻ

നമുക്ക് ജോഡിയെ സൂചിപ്പിക്കാം [ എൻ+ 1, 1] നിന്ന് N* എൻ, വഴി എൻ എ, ബി] നമുക്ക് ഉണ്ട്

[എ, ബി] = [എ + 1, 1] + = [എ + 1, 1] – [ബി + 1, 1] = എ – ബി .

ഇത് ഒടുവിൽ ദമ്പതികളുടെ ആശയത്തെ സാധൂകരിക്കുന്നു [ എ, ബി] സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം പോലെ. അതേ സമയം, നിർമ്മിച്ച സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളും സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു Zരണ്ട് സ്വാഭാവികവയുടെ വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഇത് മിനിമലിറ്റി ആക്സിയം പരിശോധിക്കാൻ സഹായിക്കും.

അനുവദിക്കുക എം -ഉപഗണം Z, അടങ്ങുന്ന N*കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾക്കൊപ്പം എഒപ്പം ബിഅവരുടെ വ്യത്യാസം എ - ബി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം എം =Z. തീർച്ചയായും, ഏതെങ്കിലും ഘടകം Zരണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അവ വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച് ഉൾപ്പെടുന്നു എംഅതിൻ്റെ വ്യത്യാസങ്ങൾക്കൊപ്പം.

Z

സിദ്ധാന്തം 2.പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം വർഗ്ഗീയമാണ്.

തെളിവ്. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും രണ്ട് മാതൃകകൾ ഐസോമോഫിക് ആണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

അനുവദിക്കുക Z 1, +, ×, എൻ 1 ñ ഉം a ഉം Z 2, +, ×, എൻ 2 ñ - നമ്മുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് മാതൃകകൾ. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അവയിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കണം. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഈ ആവശ്യകതയിൽ നിന്ന് അകന്നുപോകും: ഓരോ തവണയും എന്താണ് പ്രവർത്തനം എന്ന് വ്യക്തമാണ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്. പരിഗണനയിലുള്ള മോഡലുകളുടെ ഘടകങ്ങൾക്ക് അനുബന്ധ സൂചികകൾ 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 നൽകും.

ആദ്യ മോഡൽ മുതൽ രണ്ടാമത്തേത് വരെയുള്ള ഐസോമോഫിക് മാപ്പിംഗ് ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ പോകുന്നു. കാരണം എൻ 1 ഒപ്പം എൻ 2 സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സെമിറിംഗുകളാണ്, തുടർന്ന് ആദ്യ സെമിറിംഗിൻ്റെ ഐസോമോഫിക് മാപ്പിംഗ് j രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക്. നമുക്ക് മാപ്പിംഗ് നിർവചിക്കാം എഫ്: Z 1® Z 2. ഓരോ പൂർണ്ണസംഖ്യയും എക്സ് 1 Î Zരണ്ട് സ്വാഭാവികവയുടെ വ്യത്യാസമായി 1 പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:
എക്സ് 1 = എ 1 –ബി 1 . നാം വിശ്വസിക്കുന്നു

എഫ് (x 1) = j( എ 1) – j( ബി 1).

അത് തെളിയിക്കട്ടെ എഫ്- ഐസോമോർഫിസം. മാപ്പിംഗ് ശരിയായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: എങ്കിൽ എക്സ് 1 = ചെയ്തത് 1 എവിടെ വൈ 1 = സി 1 – ഡി 1, പിന്നെ

എ 1 –ബി 1 = സി 1 – ഡി 1 Þ എ 1 +d 1 = ബി 1 + സി 1 Þ j( എ 1 +d 1) = j( ബി 1 + സി 1) Þ

Þ j( എ 1) + j( ഡി 1) = j( ബി 1) + j( സി 1) Þ j( എ 1)– ജെ( ബി 1)= j( സി 1) - ജെ( ഡി 1) Þ എഫ്(x 1) =എഫ് (വൈ 1).

അത് പിന്തുടരുന്നു f -ഒന്ന്-ടു-വൺ മാപ്പിംഗ് Z 1 ഇഞ്ച് Z 2. എന്നാൽ ആർക്കും എക്സ് 2 ൽ Z 2 പ്രകൃതിദത്ത ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും എ 2 ഒപ്പം ബി 2 അത്തരം എക്സ് 2 = എ 2 –ബി 2. j ഒരു ഐസോമോർഫിസം ആയതിനാൽ, ഈ മൂലകങ്ങൾക്ക് വിപരീത ചിത്രങ്ങളുണ്ട് എ 1 ഒപ്പം ബി 1 . അർത്ഥം, x 2 = j( എ 1) – j( ബി 1) =
= എഫ് (എ 1 –ബി 1), കൂടാതെ ഓരോ ഘടകത്തിനും Z 2 ഒരു പ്രോട്ടോടൈപ്പ് ആണ്. അതിനാൽ കത്തിടപാടുകൾ എഫ്ഒന്ന്-ഒന്ന്. ഇത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം.

എങ്കിൽ എക്സ് 1 = എ 1 –ബി 1 , വൈ 1 = സി 1 –ഡി 1, പിന്നെ

എക്സ് 1 + വൈ 1 = (എ 1 + സി 1) – (ബി 1 +ഡി 1),

എഫ്(എക്സ് 1 + വൈ 1) = j( എ 1 + സി 1) – j( ബി 1 +ഡി 1) =j( എ 1)+ j( സി 1) – j( ബി 1) – j( ഡി 1) =

ജെ( എ 1) – j( ബി 1)+ j( സി 1)– j( ഡി 1) =എഫ്(എക്സ് 1) + എഫ്(വൈ 1).

അതുപോലെ, ഗുണനം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഇത് സ്ഥാപിക്കുന്നു എഫ്ഒരു ഐസോമോർഫിസം ആണ്, സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

വ്യായാമങ്ങൾ

1. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉൾപ്പെടുന്ന ഏതൊരു വളയത്തിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു വളയവും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.

2. ഐഡൻ്റിറ്റിയുള്ള എല്ലാ മിനിമം ഓർഡർ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് റിംഗും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിന് ഐസോമോഫിക് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. പൂജ്യം വിഭജനങ്ങളില്ലാത്ത, ക്രമീകരിച്ച ഓരോ വളയത്തിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിലേക്ക് ഒരു സബ്റിംഗ് ഐസോമോഫിക് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ എന്ന് തെളിയിക്കുക.

4. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള രണ്ടാം ഓർഡർ മെട്രിക്സുകളുടെ വളയത്തിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വളയത്തിന് ഐസോമോർഫിക്ക് അനന്തമായ നിരവധി സബ്‌റിംഗുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ്

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ചെയ്യുന്ന അതേ രീതിയിലാണ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിർവചനവും നിർമ്മാണവും നടപ്പിലാക്കുന്നത്.

നിർവ്വചനം.പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണമായ ഒരു മിനിമം ഫീൽഡാണ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം.

ഈ നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ആക്‌സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മാണം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

പ്രാഥമിക നിബന്ധനകൾ:

ക്യു- യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം;

0, 1 - സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ;

+, × – ബൈനറി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓണാണ് Q;

Z- ഉപഗണം ക്യു, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം;

Å, Ä – ബൈനറി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓണാണ് Z.

പ്രമാണങ്ങൾ:

ഐ. ഫീൽഡ് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

(Q1) എ+ (ബി+സി) = (a+b) + സി.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" എ) എ + 0 = എ.

(Q4) (" എ)($(–എ)) എ + (–എ) = 0.

(Q5) എ× ( ബി× സി) = (എ× ബി) × സി.

(Q6) എ× b = b× എ.

(Q7) എ× 1 = എ.

(Q8) (" എ¹ 0)($ എ –1) എ × എ –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× സി.

II. വിപുലീകരണ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

(Q10) ബി Z, Å, Ä, 0, 1ñ - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വളയം.

(Q11) Z Í ക്യു.

(Q12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ ബി.

(Q13) (" a,bÎ Z) എ× b = aÄ ബി.

III. മിനിമലിറ്റിയുടെ ആക്സിയം.

(Q14) എംÍ ക്യു, ZÍ എം, ("എ, ബിÎ എം)(ബി ¹ 0 ® എ× ബി–1 ഒ എം)Þ എം = ക്യു.

നമ്പർ എ× ബി-1 സംഖ്യകളുടെ ഘടകമെന്ന് വിളിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി, സൂചിപ്പിച്ചു എ/ബിഅഥവാ .

സിദ്ധാന്തം 1.രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി എല്ലാ അനുകരണ സംഖ്യയും പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

തെളിവ്. അനുവദിക്കുക എം- രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം. എങ്കിൽ എൻ- മുഴുവൻ, പിന്നെ n = n/1 വകയാണ് എം, അതിനാൽ, ZÍ എം. എങ്കിൽ എ, ബിÎ എം, അത് a = k/l, b = m/n,എവിടെ k, l, m, nÎ Z. അതിനാൽ, എ/ബി=
= (kn) / (lm)Î എം. സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് (Q14) എം= ക്യു, സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2.യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് രേഖീയമായും കർശനമായും ക്രമീകരിച്ചും അതുല്യമായ രീതിയിലും ആകാം. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിലെ ക്രമം ആർക്കിമിഡിയൻ ആണ് കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിൽ ക്രമം തുടരുന്നു.

തെളിവ്. എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം ക്യു+ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാവുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾ, എവിടെ kl> 0. ഈ അവസ്ഥ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ തരത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

നമുക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം ക്യു + – ഫീൽഡിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗം ക്യു. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്ന് klമൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: kl = 0, klÎ എൻ, –kl Î എൻ, അപ്പോൾ a = ന് നമുക്ക് മൂന്ന് സാധ്യതകളിൽ ഒന്ന് ലഭിക്കും: a = 0, aО ക്യു+ , –aО ക്യു + . കൂടാതെ, a = , b = ഉൾപ്പെട്ടാൽ ക്യു+, പിന്നെ kl > 0, mn> 0. പിന്നെ a + b = , ഒപ്പം ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. അതിനാൽ a + bО ക്യു + . abО എന്നതിന് സമാനമായ രീതിയിൽ ഇത് പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ് ക്യു + . അങ്ങനെ, ക്യു + - ഫീൽഡിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ഭാഗം ക്യു.

അനുവദിക്കുക ക്യു++ - ഈ ഫീൽഡിൻ്റെ ചില പോസിറ്റീവ് ഭാഗം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

l =.l 2 ഒ ക്യു ++ .

ഇവിടെ നിന്ന് എൻÍ ക്യു++. സിദ്ധാന്തം 2.3.4 പ്രകാരം, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിപരീതങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു ക്യു++. പിന്നെ ക്യു + Í ക്യു++. സിദ്ധാന്തം 2.3.6 പ്രകാരം ക്യു + =ക്യു++. അതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് ഭാഗങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഓർഡറുകളും യോജിക്കുന്നു ക്യു+ ഒപ്പം ക്യു ++ .

കാരണം Z + = എൻÍ ക്യു+ , അപ്പോൾ ഓർഡർ ആണ് ക്യുക്രമത്തിൽ തുടരുന്നു Z.

ഇനി a => 0, b => 0. ആർക്കിമീഡിയൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയത്തിലെ ക്രമം മുതൽ, പോസിറ്റീവ് knഒപ്പം മില്ലിസ്വാഭാവികമായ എന്തോ ഒന്ന് ഉണ്ട് കൂടെഅത്തരം കൂടെ× kn>മില്ലി. ഇവിടെ നിന്ന് കൂടെ a = കൂടെ> = ബി. ഇതിനർത്ഥം യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ മണ്ഡലത്തിലെ ക്രമം ആർക്കിമിഡിയൻ ആണെന്നാണ്.

വ്യായാമങ്ങൾ

1. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡ് സാന്ദ്രമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക, അതായത്, ഏത് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾക്കും എ < ബിഒരു യുക്തി ഉണ്ട് ആർഅത്തരം എ < ആർ < ബി.

2. സമവാക്യം തെളിയിക്കുക എക്സ് 2 = 2 ന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല ക്യു.

3. സെറ്റ് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക ക്യുകണക്കാക്കാവുന്ന.

സിദ്ധാന്തം 3.യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

തെളിവ്. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥിരത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അതേ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാനമായി ഞങ്ങൾ സെറ്റ് എടുക്കുന്നു

Z´ Z* = {(എ, ബി)ï എ, ബിÎ Z, ബി ¹ 0}.

ഈ സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ജോഡികളാണ് ( എ, ബി) പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. അത്തരമൊരു ജോടിയിലൂടെ നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകാംശം മനസ്സിലാകും എ/ബി. ഇതിന് അനുസൃതമായി, ജോഡികളുടെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ സജ്ജമാക്കുന്നു.

നമുക്ക് സെറ്റിൽ പരിചയപ്പെടുത്താം Z´ Z*സമത്വ ബന്ധം:

(എ, ബി) = (സി,ഡി) Û പരസ്യം = ബിസി.

ഇത് ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണെന്നും സമത്വം എന്ന് വിളിക്കാനുള്ള അവകാശമുണ്ടെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. സെറ്റുകളുടെ ഫാക്ടർ സെറ്റ് Z´ Z*ഈ സമത്വ ബന്ധം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ക്യു. നാം അതിൻ്റെ മൂലകങ്ങളെ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കും. ഒരു ജോടി അടങ്ങുന്ന ക്ലാസ് ( എ, ബി), സൂചിപ്പിക്കുന്നത് [ എ, ബി].

നിർമ്മിച്ച സെറ്റിൽ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം ക്യുസങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ. മൂലകത്തെ മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് നമ്മെ സഹായിക്കും [ എ, ബി] സ്വകാര്യമായി എ/ബി. ഇതിന് അനുസൃതമായി, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു:

[എ, ബി] + [സി,ഡി] = [ad+bc, bd];

[എ, ബി] × [ സി,ഡി] = [എസി, ബിഡി].

ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങളുടെ കൃത്യത ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു, അതായത്, ഫലങ്ങൾ ഘടകങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എഒപ്പം ബി, ജോഡി നിർവചിക്കുന്നു [ എ, ബി]. സിദ്ധാന്തം 3.2.1 ൻ്റെ തെളിവിലെ അതേ രീതിയിലാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്.

ജോഡിയാണ് പൂജ്യത്തിൻ്റെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നത്. നമുക്ക് അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം 0 . ശരിക്കും,

[എ, ബി] + 0 = [എ, ബി] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [എ, ബി].

എതിര്ഭാഗത്തായി [ എ, ബി] ജോഡിയാണ് -[ എ, ബി] = [–എ, ബി]. ശരിക്കും,

[എ, ബി] + [–എ, ബി]= [ab - ab, bb] = = 0 .

യൂണിറ്റ് ജോഡി = 1 . ജോഡിയിലേക്ക് വിപരീതം [ എ, ബി] - ജോഡി [ ബി, എ].

ഇനി നമുക്ക് എക്സ്റ്റൻഷൻ ആക്സിമുകൾ പരിശോധിക്കാം. കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിക്കാം
എഫ്: Z ® ക്യുചട്ടം അനുസരിച്ച്

എഫ്(എൻ) = [എൻ, 1].

ഇത് തമ്മിലുള്ള ഒരു കത്തിടപാട് ആണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു Zചില ഉപവിഭാഗങ്ങളും ക്യു, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് Z*. ഇത് പ്രവർത്തനങ്ങളെ സംരക്ഷിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം ഇത് തമ്മിൽ ഒരു ഐസോമോർഫിസം സ്ഥാപിക്കുന്നു എന്നാണ് Zവളയത്തിന് കീഴിലും Z*വി ക്യു. ഇതിനർത്ഥം വിപുലീകരണ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പരിശോധിച്ചുവെന്നാണ്.

നമുക്ക് ജോഡിയെ സൂചിപ്പിക്കാം [ എൻ, 1] നിന്ന് Z*, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എൻ, വഴി എൻ . തുടർന്ന് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ജോഡിക്ക് [ എ, ബി] നമുക്ക് ഉണ്ട്

[എ, ബി] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = എ /ബി .

ഇത് ഒരു ജോടി എന്ന ആശയത്തെ ന്യായീകരിക്കുന്നു [ എ, ബി] പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകമായി. അതേ സമയം, നിർമ്മിച്ച സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളും സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു ക്യുരണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഇത് മിനിമലിറ്റി ആക്സിയം പരിശോധിക്കാൻ സഹായിക്കും. സിദ്ധാന്തം 3.2.1-ൽ ഉള്ളതുപോലെ പരിശോധന നടത്തുന്നു.

അങ്ങനെ, നിർമ്മിച്ച സിസ്റ്റത്തിന് ക്യുപൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും തൃപ്തികരമാണ്, അതായത്, ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു മാതൃക നിർമ്മിച്ചു. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 4.യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം വർഗ്ഗീയമാണ്.

തെളിവ് സിദ്ധാന്തം 3.2.2 ൻ്റെ തെളിവിന് സമാനമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 5.ഒരു ആർക്കിമീഡിയൻ ഓർഡർ ചെയ്ത ഫീൽഡ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൻ്റെ വിപുലീകരണമാണ്.

തെളിവ് ഒരു വ്യായാമമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 6.അനുവദിക്കുക എഫ്– ആർക്കിമീഡിയൻ ഓർഡർ ചെയ്ത ഫീൽഡ്, എ > b,എവിടെ എ, ബിÎ എഫ്. Î എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യയുണ്ട് എഫ്അത്തരം എ > > ബി.

തെളിവ്. അനുവദിക്കുക എ > ബി³ 0. പിന്നെ a–b> 0, കൂടാതെ ( a–b) –1 > 0. ഒരു സ്വാഭാവികതയുണ്ട് ടിഅത്തരം എം×1 > ( a–b) -1 , എവിടെ നിന്ന് എം –1 < a–b £ എ. കൂടാതെ, ഒരു സ്വാഭാവികതയുണ്ട് കെഅത്തരം കെ× എം–1³ എ. അനുവദിക്കുക കെഈ അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ്. കാരണം കെ> 1, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇടാം k = n + 1, എൻ Î എൻ. അതിൽ
(എൻ+ 1)× എം–1³ എ, എൻ× എം –1 < എ. എങ്കിൽ എൻ× എം–1 £ ബി, അത് എ = ബി + (a–b) > b+m–1³ എൻ× എം –1 + എം –1 =
= (എൻ+ 1)× എം-1. വൈരുദ്ധ്യം. അർത്ഥം, എ >എൻ× എം –1 > ബി.

വ്യായാമങ്ങൾ

4. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വലയം ഉൾപ്പെടുന്ന ഏതൊരു ഫീൽഡിലും യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡും ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.

5. ഓരോ മിനിമം ഓർഡർ ഫീൽഡും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിന് ഐസോമോഫിക് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ

ഏതെങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണത്തിൽ, ഉറപ്പാണ് നിയമങ്ങൾ:

· സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചില ആശയങ്ങൾ അടിസ്ഥാനപരമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും നിർവചനം കൂടാതെ അംഗീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു;

അടിസ്ഥാനപരമായവയുടെ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഓരോ ആശയത്തിനും ഒരു നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നു;

സിദ്ധാന്തങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - ഒരു നിശ്ചിത സിദ്ധാന്തത്തിൽ തെളിവില്ലാതെ അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്ന നിർദ്ദേശങ്ങൾ; അവർ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു;

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിർദ്ദേശങ്ങളും തെളിയിക്കപ്പെടണം; അത്തരം നിർദ്ദേശങ്ങളെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആക്സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മാണത്തിൽ, എല്ലാ പ്രസ്താവനകളും തെളിവ് മുഖേന സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

അതിനാൽ, ആക്സിമുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പ്രത്യേക ആവശ്യകതകൾ ബാധകമാണ്. ആവശ്യകതകൾ:

· സ്ഥിരത (പരസ്പര വിരുദ്ധമായ രണ്ട് നിർദ്ദേശങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് യുക്തിപരമായി ഊഹിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആക്സിമുകളുടെ ഒരു വ്യവസ്ഥയെ സ്ഥിരത എന്ന് വിളിക്കുന്നു);

· സ്വാതന്ത്ര്യം (ഈ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളൊന്നും മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമല്ലെങ്കിൽ ഒരു വ്യവസ്ഥിതിയെ സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു).

തന്നിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും അതിൽ സംതൃപ്തമാണെങ്കിൽ, അതിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുള്ള ഒരു ബന്ധമുള്ള ഒരു സെറ്റിനെ തന്നിരിക്കുന്ന ആക്സിയം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാതൃക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു കൂട്ടം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കായി പ്രാമാണങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളുടെ ഒരു തുക അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഓർഡർ ബന്ധം അടിസ്ഥാന ആശയമായി എടുക്കാം. ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സങ്കലനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം അംഗീകരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു സിദ്ധാന്തം നൽകാം.

ശൂന്യമല്ലാത്ത സെറ്റ് എൻഅതിൽ പ്രവർത്തനം നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ നമുക്ക് അതിനെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കാം (എ; b) → a + b, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ളതും:

1. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്, അതായത്. a + b = b + a.

2. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അനുബന്ധമാണ്, അതായത്. (a + b) + c = a + (b + c).

4. ഏത് സെറ്റിലും എ, ഇത് സെറ്റിൻ്റെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണ് എൻ, എവിടെ എഒരു സംഖ്യയുണ്ട്, അങ്ങനെ എല്ലാം ഹാ, തുല്യമാണ് a+b, എവിടെ bN.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ഗണിതവും നിർമ്മിക്കാൻ 1 മുതൽ 4 വരെയുള്ള പ്രമാണങ്ങൾ മതിയാകും. എന്നാൽ അത്തരമൊരു നിർമ്മിതിയിൽ ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ പ്രതിഫലിക്കാത്ത പരിമിതമായ സെറ്റുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ ആശ്രയിക്കാൻ ഇനി സാധ്യമല്ല.

ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക..." എന്ന ബന്ധം നമുക്ക് പ്രധാന ആശയമായി എടുക്കാം എൻ. അപ്പോൾ സംഖ്യകളുടെ സ്വാഭാവിക ശ്രേണി സെറ്റ് N ആയിരിക്കും, അതിൽ "ഉടനെ പിന്തുടരുക" എന്ന ബന്ധം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ N ൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കും, ഇനിപ്പറയുന്നവ നിലനിർത്തുന്നു: പീനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ:

ആക്‌സിയോം 1.

സമൃദ്ധമായിഎൻഈ സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തെ ഉടനടി പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകമുണ്ട്. നമ്മൾ അതിനെ ഐക്യം എന്ന് വിളിക്കുകയും 1 എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും.

ആക്‌സിയോം 2.

ഓരോ ഘടകത്തിനും എഎൻa. തൊട്ടുപിന്നാലെ ഒരൊറ്റ ഘടകം ഉണ്ട്.

ആക്‌സിയോം 3.

ഓരോ ഘടകത്തിനും എഎൻഒരു മൂലകവും തൊട്ടുപിന്നാലെ ഒരു ഘടകമുണ്ട്.

AXOIMA 4.

സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഉപഗണം എംഎൻയോജിക്കുന്നുഎൻ, ഇതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ: 1) 1 M ൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; 2) M-ൽ a അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, M-ലും a അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു കൂട്ടം എൻ,"നേരിട്ട് പിന്തുടരുക..." എന്ന ബന്ധം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ട മൂലകങ്ങൾക്ക്, തൃപ്തികരമായ 1 - 4 സിദ്ധാന്തങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം , അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എന്നിവയാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ.

ഒരു സെറ്റ് ആയി ആണെങ്കിൽ എൻ"നേരിട്ട് പിന്തുടരുക ..." എന്ന ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ബന്ധം നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില നിർദ്ദിഷ്ട സെറ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, 1 - 4 തത്വങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് വ്യത്യസ്തമായി ലഭിക്കും വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ (മാതൃകകൾ) നൽകിയത് ആക്സിയം സിസ്റ്റങ്ങൾ.

പീനോ ആക്‌സിയം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മോഡൽ ഈ പ്രക്രിയയിൽ ഉടലെടുത്തതാണ് ചരിത്രപരമായ വികസനംസമൂഹം സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പര: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Peano axioms ൻ്റെ മാതൃക ഏത് കണക്കാക്കാവുന്ന സെറ്റ് ആകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, I, II, III, IIII, ...

അയ്യോ അയ്യോ അയ്യോ...

ഒന്ന് രണ്ട് മൂന്ന് നാല്, …

സെറ്റ് (oo) പ്രാരംഭ ഘടകമായ സെറ്റുകളുടെ ഒരു ക്രമം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ ഓരോ തുടർന്നുള്ള സെറ്റും മറ്റൊരു സർക്കിൾ ചേർത്ത് മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു (ചിത്രം 15).

പിന്നെ എൻവിവരിച്ച രൂപത്തിൻ്റെ സെറ്റുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റ് ഉണ്ട്, ഇത് പീനോ ആക്‌സിയം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു മാതൃകയാണ്.

തീർച്ചയായും, പലതിലും എൻതന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തെ ഉടനടി പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകം (oo) ഉണ്ട്, അതായത്. ഓരോ സെറ്റിനും ആക്സിയം 1 തൃപ്തികരമാണ് എപരിഗണനയിലുള്ള ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഒരൊറ്റ സെറ്റ് ഉണ്ട് എഒരു സർക്കിൾ ചേർത്തുകൊണ്ട്, അതായത്. ഓരോ സെറ്റിനും ആക്സിയം 2 കൈവശം വയ്ക്കുന്നു എഒരു സെറ്റ് രൂപപ്പെടുന്ന ഒരു സെറ്റ് ഉണ്ട് എഒരു സർക്കിൾ ചേർത്തുകൊണ്ട്, അതായത്. ആക്സിയം 3 കൈവശം വച്ചാൽ എംഎൻപലതും അറിയപ്പെടുന്നു എഅടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എം,സെറ്റിനേക്കാൾ ഒരു വൃത്തം കൂടുതലുള്ള ഒരു ഗണത്തെ അത് പിന്തുടരുന്നു എ, എന്നിവയിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എം, അത് എം =എൻ, അതിനാൽ ആക്സിയം 4 തൃപ്തികരമാണ്.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ നിർവചനത്തിൽ, ഒരു സിദ്ധാന്തവും ഒഴിവാക്കാനാവില്ല.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സെറ്റുകളിൽ ഏതാണ് എന്ന് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാം. 16 പീനോ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ മാതൃകയാണ്.

1 ഒരു ബി ഡി എ ജി) ചിത്രം.16

പരിഹാരം.ചിത്രം 16 a) തത്വങ്ങൾ 2 ഉം 3 ഉം തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു സെറ്റ് കാണിക്കുന്നു, ഓരോ മൂലകത്തിനും ഉടൻ തന്നെ ഒരു അതുല്യമായ ഒന്ന് ഉണ്ട്, അത് പിന്തുടരുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ ഘടകമുണ്ട്. എന്നാൽ ഈ ഗണത്തിൽ, axiom 1 തൃപ്തികരമല്ല (ആക്സിയം 4-ന് അർത്ഥമില്ല, കാരണം മറ്റൊന്നും ഉടനടി പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകവും സെറ്റിൽ ഇല്ല). അതിനാൽ, ഈ സെറ്റ് പീനോ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഒരു മാതൃകയല്ല.

ചിത്രം 16 b) 1, 3, 4 എന്നീ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു സെറ്റ് കാണിക്കുന്നു, എന്നാൽ മൂലകത്തിന് പിന്നിൽ എആക്സിയം 2-ൽ ആവശ്യമുള്ളതുപോലെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു, ഒന്നല്ല. അതിനാൽ, ഈ സെറ്റ് പീനോ ആക്സിമുകളുടെ ഒരു മാതൃകയല്ല.

ചിത്രത്തിൽ. 16 c) 1, 2, 4 എന്നീ പ്രമാണങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു സെറ്റ് കാണിക്കുന്നു, എന്നാൽ മൂലകം കൂടെഉടൻ തന്നെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സെറ്റ് പീനോ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഒരു മാതൃകയല്ല.

ചിത്രത്തിൽ. 16 d) axioms 2, 3 എന്നിവയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു സെറ്റ് കാണിക്കുന്നു, കൂടാതെ നമ്മൾ സംഖ്യ 5 പ്രാരംഭ ഘടകമായി എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സെറ്റ് 1, 4 എന്നീ പ്രമാണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും. അതായത്, ഈ ഗണത്തിൽ ഓരോ മൂലകത്തിനും ഉടനടി ഒരു അതുല്യമായ ഒന്ന് ഉണ്ട്. അതിനെ പിന്തുടരുന്നു, അത് പിന്തുടരുന്ന ഒരൊറ്റ ഘടകം ഉണ്ട്. ഈ സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തെ ഉടനടി പിന്തുടരാത്ത ഒരു ഘടകവുമുണ്ട്, ഇത് 5 ആണ് , ആ. അതനുസരിച്ച്, ആക്‌സിയം 1 തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, ഈ സെറ്റ് പീനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഒരു മാതൃകയാണ്.

പീനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് നിരവധി പ്രസ്താവനകൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും അസമത്വം ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും x x.

തെളിവ്.എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം എസ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഒരു എ.നമ്പർ 1 വകയാണ് എ, എന്നതിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സംഖ്യയും പിന്തുടരാത്തതിനാൽ എൻ, അത് സ്വയം പിന്തുടരുന്നില്ല എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്: 1 1. അനുവദിക്കുക aA,പിന്നെ ഒരു എ.സൂചിപ്പിക്കാം എവഴി ബി. ആക്സിയം 3 പ്രകാരം, എb,ആ. ബി ബിഒപ്പം bA.

പൂർണ്ണസംഖ്യ സിസ്റ്റം

വസ്തുക്കളെ പട്ടികപ്പെടുത്താൻ പ്രകൃതിദത്ത ശ്രേണി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടുവെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. എന്നാൽ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് അക്കങ്ങളിൽ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. അതായത്, നമുക്ക് ആപ്പിളുകൾ അടുക്കിവെക്കാനോ ഒരു കേക്ക് വിഭജിക്കാനോ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അക്കങ്ങളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ +, * എന്നിവ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ നിർവചിക്കുന്ന പ്രാമാണങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം തന്നെ വികസിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എങ്ങനെ വികസിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം. ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രവർത്തനം, ആദ്യം ആവശ്യമുള്ള ഒന്നാണ്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. സങ്കലനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം നിർവചിക്കണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വിപരീതം - വ്യവകലനം നിർവചിക്കണം. വാസ്തവത്തിൽ, സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഫലം എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 5 ഉം 2 ഉം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇതുപോലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയണം: 11 ലഭിക്കാൻ 4-ൽ എന്താണ് ചേർക്കേണ്ടത്. അതായത്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഉണ്ടാകും. വിപരീത പ്രവർത്തനം നടത്താനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ് - കുറയ്ക്കൽ. എന്നാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർത്താൽ വീണ്ടും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നത് N-ന് ചേരാത്ത ഫലം നൽകുന്നു. മറ്റ് ചില സംഖ്യകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു. നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന വ്യവകലനവുമായി സാമ്യം കൂടുതൽചെറുതിൽ നിന്ന് ചെറുത് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അവതരിപ്പിച്ചു - ഇങ്ങനെയാണ് നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്.

+ ഒപ്പം - എന്ന ഓപ്പറേഷനുകൾക്കൊപ്പം സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയെ സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

Z=N+പ്രവർത്തനങ്ങൾ(+-)

ഗണിതത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഷയായി യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ സംവിധാനം

ഇനി നമുക്ക് അടുത്ത ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കാം - ഗുണനം. സാരാംശത്തിൽ, ഇത് ആവർത്തിച്ചുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണ്. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായി തുടരുന്നു.

എന്നാൽ ഗുണനത്തിലേക്കുള്ള വിപരീത പ്രവർത്തനം വിഭജനമാണ്. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മികച്ച ഫലം നൽകുന്നില്ല. വീണ്ടും നമ്മൾ ഒരു ധർമ്മസങ്കടത്തെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു - ഒന്നുകിൽ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം "നിലവിലില്ല" എന്ന് അംഗീകരിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും പുതിയ തരത്തിലുള്ള സംഖ്യകൾ കൊണ്ടുവരിക. ഇങ്ങനെയാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്.

നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എടുത്ത് ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്കൊപ്പം അനുബന്ധമായി നൽകാം. നമുക്ക് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു.

Q=Z+പ്രവർത്തനങ്ങൾ(*/)

അതിനാൽ, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഭാഷ ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുംഅക്കങ്ങൾക്ക് മുകളിൽ. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഭാഷ ഇതിന് പര്യാപ്തമായിരുന്നില്ല.

നമുക്ക് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അച്ചുതണ്ട് നിർവ്വചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം. ഒരു കൂട്ടം Q-യെ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ അതിൻ്റെ മൂലകങ്ങളെ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളുടെ കൂട്ടം, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ആക്‌സിയോമാറ്റിക്സ് സംതൃപ്തമാണെങ്കിൽ:

കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. ഓർഡർ ചെയ്ത ഓരോ ജോഡിക്കും x,yമുതൽ ഘടകങ്ങൾ ക്യുചില ഘടകങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു x+yഒക്യു, തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

1. (പൂജ്യത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം) ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂലകം 0 (പൂജ്യം) ഉണ്ട് എക്സ്ÎQ

എക്സ്+0=0+എക്സ്=എക്സ്.

2. ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് എക്സ്О Q ഒരു ഘടകമുണ്ട് - എക്സ്О Q (എതിർവശം എക്സ്) അത്തരം

എക്സ്+ (-X) = (-X) + എക്സ് = 0.

3. (കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി) ഏതിനും x,yഒ ക്യു

4. (അസോസിയേറ്റിവിറ്റി) ഏതെങ്കിലും x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

ഓർഡർ ചെയ്ത ഓരോ ജോഡിക്കും x, y Q-ൽ നിന്നുള്ള ഘടകങ്ങൾ ചില ഘടകങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു xyО Q, ഉൽപ്പന്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്സ്ഒപ്പം യു.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

5. (ഒരു യൂണിറ്റ് മൂലകത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം) ഏതെങ്കിലും ഒരു മൂലകം 1 О Q ഉണ്ട് എക്സ്ഒ ക്യു

എക്സ് . 1 = 1. x = x

6. ഏതെങ്കിലും മൂലകത്തിന് എക്സ്О Q , ( എക്സ്≠ 0) ഒരു വിപരീത മൂലകമുണ്ട് എക്സ്-1 ≠0 അത്തരം

എക്സ്. x -1 = x -1. x = 1

7. (അസോസിയേറ്റിവിറ്റി) ഏതെങ്കിലും x, y, zഒ ക്യു

എക്സ് . (വൈ . z) = (x . y) . z

8. (കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി) ഏതിനും x, yഒ ക്യു

സങ്കലനവും ഗുണനവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

9. (ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി) ഏതിനും x, y, zഒ ക്യു

(x+y) . z = x . z+y . z

ക്രമത്തിൻ്റെ തത്വങ്ങൾ.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ x, y,О Q ഒരു താരതമ്യ ബന്ധത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുക ≤. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

10. (എക്സ്≤ചെയ്തത്)എൽ ( ചെയ്തത്≤x) ó x=y

11. (എക്സ്≤y)എൽ ( y≤ z) => x≤z

12. ആർക്കും x, y O Q അല്ലെങ്കിൽ x< у, либо у < x .

മനോഭാവം< называется строгим неравенством,

ബന്ധത്തെ = Q-ൽ നിന്നുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ തുല്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ക്രമവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

13. ഏത് x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

ഗുണനവും ക്രമവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

ആർക്കിമിഡീസിൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ സിദ്ധാന്തം.

15. ഏതെങ്കിലും a > b > 0 എന്നതിന്, m ³ 1, n എന്നിങ്ങനെയുള്ള m О N ഉം n О Q ഉം നിലവിലുണ്ട്.< b и a= mb+n.

*****************************************

അങ്ങനെ, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ സമ്പ്രദായം ഗണിതത്തിൻ്റെ ഭാഷയാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗിക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഭാഷ പര്യാപ്തമല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി.

സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയുടെ അച്ചുതണ്ട് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കലും വിഭജനവും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതി

ഏതെങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന തത്ത്വങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു: ചില നിയമങ്ങൾ:

1. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചില ആശയങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു പ്രധാനംനിർവചിക്കാതെ സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

2. രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ തെളിവില്ലാതെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടവ, അവ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

3. അടിസ്ഥാനപരമായവയുടെ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഓരോ ആശയവും നൽകിയിരിക്കുന്നു നിർവചനം, പ്രധാനവും മുമ്പുള്ളതുമായ ആശയങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അതിൻ്റെ അർത്ഥം വിശദീകരിക്കുന്നു.

4. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിർദ്ദേശങ്ങളും തെളിയിക്കപ്പെടണം. അത്തരം നിർദ്ദേശങ്ങൾ വിളിക്കുന്നു സിദ്ധാന്തങ്ങൾപരിഗണനയിലിരിക്കുന്നതിന് മുമ്പുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ അവ തെളിയിക്കുക.

ആക്സിയം സിസ്റ്റം ഇതായിരിക്കണം:

a) സ്ഥിരതയുള്ള:തന്നിരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് സാധ്യമായ എല്ലാ നിഗമനങ്ങളും വരച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ ഒരിക്കലും ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് വരില്ലെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പുണ്ടായിരിക്കണം;

ബി) സ്വതന്ത്ര: ഒരു സിദ്ധാന്തവും ഈ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അനന്തരഫലമായിരിക്കരുത്.

വി) നിറഞ്ഞു, അതിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിലാണെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രസ്താവനയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ നിഷേധമോ തെളിയിക്കാൻ എപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

ആക്സിയോമാറ്റിക് തിയറി നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ആദ്യ അനുഭവം യൂക്ലിഡ് തൻ്റെ "ഘടകങ്ങളിൽ" (ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) ജ്യാമിതിയുടെ അവതരണമായി കണക്കാക്കാം. ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആക്സിയോമാറ്റിക് രീതിയുടെ വികസനത്തിന് ഒരു പ്രധാന സംഭാവന നൽകിയത് എൻ.ഐ. ലോബചെവ്സ്കിയും ഇ. ഗലോയിസും. 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ. ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പീനോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ബന്ധങ്ങളും. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം.

ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റിലെ അടിസ്ഥാന (നിർവചിക്കപ്പെടാത്ത) ആശയം എന്ന നിലയിൽ എൻ തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു മനോഭാവം , കൂടാതെ സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് ആശയങ്ങളും യുക്തിയുടെ നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മൂലകത്തിന് തൊട്ടുപിന്നാലെയുള്ള ഘടകം എ,സൂചിപ്പിക്കുക എ".

"നേരിട്ട് പിന്തുടരുക" ബന്ധം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:

പീനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ:

ആക്സിയം 1. സമൃദ്ധമായി എൻ നേരിട്ട് ഒരു ഘടകം ഉണ്ട് അടുത്തതല്ലഈ സെറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകത്തിന് വേണ്ടിയല്ല. നമുക്ക് അവനെ വിളിക്കാം യൂണിറ്റ്ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു 1 .

ആക്സിയം 2. ഓരോ മൂലകത്തിനും എ നിന്ന് എൻ ഒരു ഘടകം മാത്രമേയുള്ളൂ എ" , ഉടനെ പിന്തുടരുന്നു എ .

ആക്സിയം 3. ഓരോ മൂലകത്തിനും എ നിന്ന് എൻഉടനടി പിന്തുടരുന്ന ഒരു ഘടകമുണ്ട് എ .

ആക്സിയം 4.ഏതെങ്കിലും ഉപവിഭാഗം എം സെറ്റുകൾ എൻ യോജിക്കുന്നു എൻ , അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ: 1) 1 അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എം ; 2) വസ്തുതയിൽ നിന്ന് എ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എം , അത് പിന്തുടരുന്നു എ" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എം.

നിർവ്വചനം 1. ഒരു കൂട്ടം എൻ , ആരുടെ ഘടകങ്ങൾക്കാണ് ബന്ധം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നത് "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക", തൃപ്തികരമായ 1-4 സിദ്ധാന്തങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എന്നിവയാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ.

ഈ നിർവചനം സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും പറയുന്നില്ല എൻ . അതുകൊണ്ട് എന്തും ആകാം. ഒരു സെറ്റായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു എൻ "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക" എന്ന ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ബന്ധം നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില നിർദ്ദിഷ്ട സെറ്റ്, 1-4 പ്രമാണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാതൃക സിദ്ധാന്തം.

സമൂഹത്തിൻ്റെ ചരിത്രപരമായ വികാസ പ്രക്രിയയിൽ ഉയർന്നുവന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ് പീനോ ആക്സിയം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് മോഡൽ: 1,2,3,4,... സ്വാഭാവിക പരമ്പര ആരംഭിക്കുന്നത് നമ്പർ 1 (ആക്സിയം 1); എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഉടനടി ഒരൊറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (ആക്സിയം 2); എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഉടനടി ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ പിന്തുടരുന്നു (ആക്സിയം 3); നമ്പർ 1-ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, പരസ്പരം പിന്തുടരുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഈ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റും നമുക്ക് ലഭിക്കും (ആക്സിയം 4).

അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർമ്മാണം ആരംഭിച്ചു "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക" ബന്ധംഅതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളും. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ നിർമ്മാണത്തിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഗുണങ്ങളും അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളും പരിഗണിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. അവ നിർവചനങ്ങളിലും സിദ്ധാന്തങ്ങളിലും വെളിപ്പെടുത്തണം, അതായത്. "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക" എന്ന ബന്ധത്തിൽ നിന്നും 1-4 പ്രമാണങ്ങളിൽ നിന്നും തികച്ചും യുക്തിസഹമായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ നിർവചിച്ചതിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ ആശയം ഇതാണ് മനോഭാവം "ഉടൻ മുമ്പേ" , സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയുടെ സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2.സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ബി നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നുസ്വാഭാവിക സംഖ്യ എ, ആ നമ്പർ എ വിളിച്ചു തൊട്ടുമുമ്പ്(അല്ലെങ്കിൽ മുമ്പത്തെ) നമ്പർ ബി .

"മുമ്പുള്ള" ബന്ധം ഉണ്ട് നിരവധി പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

സിദ്ധാന്തം 1. യൂണിറ്റിന് മുമ്പുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യയില്ല.

സിദ്ധാന്തം 2. ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും എ, 1 ഒഴികെയുള്ള, ഒരൊറ്റ മുൻ സംഖ്യയുണ്ട് b,അത്തരം ബി"= എ.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആക്സിയോമാറ്റിക് നിർമ്മാണം പ്രാരംഭത്തിലോ ഇൻലോ പരിഗണിക്കില്ല ഹൈസ്കൂൾ. എന്നിരുന്നാലും, പിയാനോയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക" എന്ന ബന്ധത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ കോഴ്സിൽ പഠന വിഷയമാണ്. ഇതിനകം ഒന്നാം ക്ലാസിൽ, ആദ്യ പത്തിൻ്റെ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ സംഖ്യയും എങ്ങനെ ലഭിക്കും എന്ന് വ്യക്തമാകും. "പിന്തുടരുന്നു", "മുൻപോട്ട്" എന്നീ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ പുതിയ സംഖ്യയും സംഖ്യകളുടെ സ്വാഭാവിക ശ്രേണിയുടെ പഠന വിഭാഗത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഓരോ സംഖ്യയും അടുത്തത് പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്, കൂടാതെ, സംഖ്യകളുടെ സ്വാഭാവിക ശ്രേണി അനന്തമാണെന്ന് ഒരു കാര്യം മാത്രം.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

ഒരു ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ നിർവചനം ബന്ധം മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് അവതരിപ്പിക്കണം. "നേരിട്ട് പിന്തുടരുക", ആശയങ്ങളും "സ്വാഭാവിക സംഖ്യ"ഒപ്പം "മുമ്പത്തെ നമ്പർ".

സങ്കലനത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളോടെ നമുക്ക് ആമുഖം നൽകാം. ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ എ 1 ചേർക്കുക, നമുക്ക് നമ്പർ ലഭിക്കും എ",ഉടനെ പിന്തുടരുന്നു എ, അതായത്. എ+ 1= എ"അതിനാൽ ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്കും 1 ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ലഭിക്കും. എന്നാൽ ഒരു നമ്പറിലേക്ക് എങ്ങനെ ചേർക്കാം എസ്വാഭാവിക സംഖ്യ b, 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണോ? നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുത ഉപയോഗിക്കാം: 2 + 3 = 5 ആണെന്ന് നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, തുക 2 + 4 = 6 ആണ്, അത് ഉടൻ തന്നെ 5 എന്ന സംഖ്യയെ പിന്തുടരുന്നു. ഇത് സംഭവിക്കുന്നത് 2 + 4 ൽ രണ്ടാമത്തെ പദം ഉടൻ വരുന്ന സംഖ്യയാണ്. നമ്പർ 3. അങ്ങനെ, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". IN പൊതുവായ കാഴ്ചനമുക്ക് ഉണ്ട് , .

ആക്സിയോമാറ്റിക് സിദ്ധാന്തത്തിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഈ വസ്തുതകളാണ്.

നിർവ്വചനം 3. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നുഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ള ഒരു ബീജഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്:

നമ്പർ a + b വിളിച്ചു സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക എഒപ്പം ബി , അക്കങ്ങളും എഒപ്പം ബി - നിബന്ധനകൾ.