Apsvarstykite pavyzdį, kai kvadratinėje nelygybėje prieš „x 2“ yra neigiamas koeficientas.

Šioje pamokoje ir toliau spręsime padidinto sudėtingumo racionalias nelygybes intervalų metodu. Pavyzdžiuose bus naudojamos sudėtingesnės kombinuotos funkcijos ir atsižvelgta į tipines klaidas, kurios atsiranda sprendžiant tokius nelygumus.

Tema: Dietatikrosios nelygybės ir jų sistemos

Pamoka: Racionaliųjų nelygybių sprendimaspovypatingas sudėtingumas

1. Pamokos tema, įvadas

Išsprendėme racionaliai nelygybės forma ir joms spręsti buvo naudojamas intervalinis metodas. Funkcija buvo arba tiesinė, arba trupmeninė tiesinė, arba daugianario.

2. Problemų sprendimas

Panagrinėkime kito tipo nelygybes.

1. Išspręskite nelygybę

Nelygybę transformuojame naudodami ekvivalentines transformacijas.

Dabar galime ištirti funkciją

Apsvarstykite funkciją be šaknų.

Schemiškai pavaizduokime ir perskaitykime funkcijos grafiką (1 pav.).

Funkcija yra teigiama bet kuriai .

Kadangi mes tai nustatėme šia išraiška galime padalyti abi nelygybės puses.

Kad trupmena būtų teigiama, skaitiklis turi turėti teigiamą vardiklį.

Panagrinėkime funkciją.

Schemiškai pavaizduokime funkcijos grafiką – parabolę, o tai reiškia, kad šakos nukreiptos žemyn (2 pav.).

2. Išspręskite nelygybę

Apsvarstykite funkciją

1. Apibrėžimo sritis

2. Funkcijos nuliai

3. Pasirinkite pastovumo intervalus.

4. Ženklų išdėstymas (3 pav.).

Jei laikiklis yra lygus laipsnis, einant per šaknį, funkcija keičia ženklą. Jei skliaustas yra lyginis, funkcija ženklo nekeičia.

Padarėme tipišką klaidą – į atsakymą neįtraukėme šaknies. Šiuo atveju lygybė nuliui leidžiama, nes nelygybė nėra griežta.

Norint išvengti tokių klaidų, būtina tai atsiminti

Atsakymas:

Mes apsvarstėme sudėtingų nelygybių ir galimų tipinių klaidų intervalų metodą, taip pat būdus, kaip jas pašalinti.

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį.

3. Išspręskite nelygybę

Išskaidykime kiekvieną skliaustą atskirai.

, todėl į šį veiksnį galima nepaisyti.

Dabar galite taikyti intervalų metodą.

Apsvarstykite Skaitiklio ir vardiklio nesumažinsime, tai klaida.

1. Apibrėžimo sritis

2. Jau žinome funkcijos nulius

Tai nėra funkcijos nulis, nes ji neįtraukta į apibrėžimo sritį – šiuo atveju vardiklis lygus nuliui.

3. Nustatykite ženklų pastovumo intervalus.

4. Ant intervalų dedame ženklus ir parenkame intervalus, kurie atitinka mūsų sąlygas (4 pav.).

3. Išvada

Mes svarstėme padidinto sudėtingumo nelygybes, tačiau intervalų metodas suteikia mums raktą joms išspręsti, todėl jį naudosime ateityje.

1. Mordkovich A. G. ir kt. Algebra 9 klasė: Proc. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos – 4 leidimas. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: iliustr.

2. Mordkovich A. G. ir kt.Algebra 9 kl.: Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4th ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9 klasė: vadovėlis. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7-asis leidimas, kun. ir papildomas - M .: Mnemosyne, 2008 m.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin ir Yu. V. Sidorov, Algebra. 9 klasė 16-asis leidimas - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12 leid., ištrinta. — M.: 2010. — 224 p.: iliustr.

6. Algebra. 9 klasė 2 val.. 2 dalis. Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina ir kt.; Red. A. G. Mordkovičius. - 12 leidimas, kun. — M.: 2010.-223 p.: iliustr.

1. Mordkovich A. G. ir kt.Algebra 9 klasė: Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. Nr.37; 45(a, c); 47(b, d); 49.

1. Gamtos mokslų portalas.

2. Gamtos mokslų portalas.

3. Elektroninis edukacinis metodinis kompleksas, skirtas rengti 10-11 klases stojamiesiems informatikos, matematikos, rusų kalbos egzaminams.

4. Virtualus dėstytojas.

5. Švietimo centras „Ugdymo technologija“.

6. Kolegijos skyrius. ru matematikoje.

2. Dalingeris V.A. Dažnos matematikos klaidos per stojamuosius ir kaip jų išvengti. - Omskas: Omsko NNN leidykla, 1991 m.

3. Dalingeris V.A. Viskas, kad būtų užtikrinta sėkmė matematikos baigiamuosiuose ir stojamuosiuose egzaminuose. 5 klausimas. Eksponentinės, logaritminės lygtys, nelygybės ir jų sistemos: Pamoka. - Omskas: OmGPU leidykla, 1996 m.

4. Dalingeris V.A. Matematinės analizės užuomazgos: tipinės klaidos, jų priežastys ir prevencijos būdai: vadovėlis. - Omskas: „Leidėjas-poligrafas“, 2002 m.

5. Dalingeris V.A., Zubkovas A.N. Matematikos egzamino laikymo vadovas: stojantiesiems padarytų matematikos klaidų analizė ir jų išvengimo būdai. – Omskas: OmGPU leidykla, 1991 m.

6. Kutasovas A.D. Eksponentinės ir logaritminės lygtys, nelygybės, sistemos: Mokymo priemonė N7. - Rusijos atvirojo universiteto leidykla, 1992 m.

Klaidos, kurias daro studentai spręsdami logaritmines lygtis ir nelygybes, yra labai įvairios: nuo neteisingo sprendinio projektavimo iki loginių klaidų. Šios ir kitos klaidos bus aptariamos šiame straipsnyje.

1. Tipiškiausia klaida yra ta, kad mokiniai, spręsdami lygtis ir nelygybes, be papildomų paaiškinimų, naudoja lygiavertiškumą pažeidžiančias transformacijas, dėl kurių netenkama šaknų ir atsiranda pašalinių arklių.

Pažvelkime į konkrečius tokio pobūdžio klaidų pavyzdžius, bet pirmiausia atkreipiame skaitytojo dėmesį į tokią mintį: nebijokite įgyti pašalinių šaknų, patikrinus jas galima išmesti, bijoti prarasti šaknis.

a) Išspręskite lygtį:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Studentai dažnai išsprendžia šią lygtį tokiu būdu.

log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x), log3 (5 - x) + log3 (-1 - x) = 3, log3 ((5 - x) (-1 - x)) = 3 , (5 - x) (-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Studentai dažnai be papildomų argumentų atsakydami užrašo abu skaičius. Tačiau, kaip rodo patikrinimas, skaičius x = 8 nėra pradinės lygties šaknis, nes esant x = 8 lygties kairioji ir dešinė pusės praranda savo reikšmę. Patikrinimas rodo, kad skaičius x = -4 yra duotosios lygties šaknis.

b) Išspręskite lygtį

Pradinės lygties apibrėžimo sritį suteikia sistema

Norėdami išspręsti pateiktą lygtį, pereiname prie logaritmo bazėje x, gauname

Matome, kad kairė ir dešinė šios paskutinės lygties pusės, kai x = 1, nėra apibrėžtos, tačiau šis skaičius yra pradinės lygties šaknis (galime tai patikrinti tiesioginiu pakeitimu). Taigi formalus perėjimas prie naujos bazės lėmė šaknies praradimą. Kad neprarastumėte šaknies x = 1, turėtumėte nurodyti, kad naujasis pagrindas turi būti teigiamas skaičius, išskyrus vieną, ir atskirai apsvarstyti atvejį x = 1.

2. Visa grupė klaidų, o tiksliau trūkumų, susideda iš to, kad studentai neskiria reikiamo dėmesio lygčių apibrėžimo srities paieškai, nors kai kuriais atvejais būtent ši sritis yra raktas į sprendimą. Pažvelkime į pavyzdį šiuo klausimu.

išspręsti lygtį

Raskime šios lygties apibrėžimo sritį, kuriai sprendžiame nelygybių sistemą:

Iš kur turime x = 0. Tiesiogiai pakeiskime, ar skaičius x = 0 yra pradinės lygties šaknis

Atsakymas: x = 0.

3. Tipiška mokinių klaida – jie nemoka reikiamu lygiu sąvokų apibrėžimų, formulių, teoremų formuluočių, algoritmų. Patvirtinkime tai, kas buvo pasakyta, tokiu pavyzdžiu.

išspręsti lygtį

Čia yra klaidingas šios lygties sprendimas:

Patikrinimas rodo, kad x = -2 nėra pradinės lygties šaknis.

Išvada rodo, kad duota lygtis neturi šaknų.

Tačiau taip nėra. Pateiktoje lygtyje pakeisdami x = -4, galime patikrinti, ar tai yra šaknis.

Išanalizuokime, kodėl šaknis buvo prarasta.

Pradinėje lygtyje išraiškos x ir x + 3 gali būti abi neigiamos arba abi teigiamos vienu metu, tačiau pereinant prie lygties, tos pačios išraiškos gali būti tik teigiamos. Vadinasi, apibrėžimo sritis susiaurėjo, o tai lėmė šaknų praradimą.

Kad neprarastumėte šaknies, galite elgtis taip: pradinėje lygtyje pereikime nuo sumos logaritmo prie sandaugos logaritmo. Tokiu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, tačiau jūs galite jų atsikratyti pakeitus.

4. Daug klaidų, padarytų sprendžiant lygtis ir nelygybes, atsiranda dėl to, kad studentai labai dažnai bando spręsti uždavinius pagal šabloną, tai yra įprastu būdu. Parodykime tai pavyzdžiu.

Išspręskite nelygybę

Bandymas išspręsti šią nelygybę įprastais algoritminiais būdais neduos atsakymo. Sprendimas čia turėtų būti kiekvieno termino verčių įvertinimas kairėje nelygybės srityje nelygybės srityje.

Raskite nelygybės apibrėžimo sritį:

Visiems x iš intervalo (9;10] išraiška turi teigiamas vertes(vertybės eksponentinė funkcija visada posityvus).

Visiems x iš intervalo (9;10] išraiška x - 9 turi teigiamas reikšmes, o išraiška lg(x - 9) turi neigiamas reikšmes arba nulį, tada išraiška (- (x - 9) lg(x) - 9) yra teigiamas arba lygus nuliui.

Galiausiai turime x∈ (9;10]. Atkreipkite dėmesį, kad tokioms kintamojo reikšmėms kiekvienas narys kairėje nelygybės pusėje yra teigiamas (antrasis narys gali būti lygus nuliui), o tai reiškia, kad jų suma visada yra didesnis už nulį, todėl pradinės nelygybės sprendimas yra intervalas (9;10]).

5. Viena iš klaidų yra susijusi su grafiniu lygčių sprendimu.

išspręsti lygtį

Mūsų patirtis rodo, kad mokiniai, išspręsdami šią lygtį grafiškai (atkreipkite dėmesį, kad ji negali būti išspręsta kitais elementariais metodais), gauna tik vieną šaknį (tai taško, esančio tiesėje y = x, abscisė), nes funkcijų grafikai

Tai yra tarpusavyje atvirkštinių funkcijų grafikai.

Tiesą sakant, pradinė lygtis turi tris šaknis: viena iš jų yra taško, esančio ant pirmojo koordinačių kampo y \u003d x bisektoriaus, abscisė, kita šaknis ir trečioji šaknis.

Atkreipkite dėmesį, kad lygtys logax = ax ties 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Šis pavyzdys sėkmingai iliustruoja tokią išvadą: lygties f(x) = g(x) grafinis sprendimas yra „tobulas“, jei abi funkcijos yra daugiamonotoninės (viena iš jų didėja, o kita mažėja), ir nepakankamai matematiškai teisinga tuo atveju monotoniškų funkcijų (abi arba mažėti vienu metu arba padidinti vienu metu).

6. Nemažai tipiškų klaidų kyla dėl to, kad studentai ne visai teisingai išsprendžia lygtis ir nelygybes, remdamiesi funkciniu požiūriu. Parodysime tipines tokio pobūdžio klaidas.

a) Išspręskite lygtį xx = x.

Funkcija kairėje lygties pusėje yra eksponentinė galia, o jei taip, tai laipsnio pagrindui turėtų būti taikomi tokie apribojimai: x> 0, x ≠ 1. Paimkime abiejų duotosios dalių logaritmą. lygtis:

Iš kur turime x = 1.

Dėl logaritmo pradinės lygties apibrėžimo sritis nesusiaurėjo. Bet vis dėlto mes praradome dvi lygties šaknis; Tiesiogiai stebime, kad x = 1 ir x = -1 yra pradinės lygties šaknys.

b) Išspręskite lygtį

Kaip ir ankstesniu atveju, turime eksponentinės galios funkciją, kuri reiškia x > 0, x ≠ 1.

Norėdami išspręsti pradinę lygtį, imame abiejų jos dalių logaritmą bet kurioje bazėje, pavyzdžiui, 10 bazėje:

Atsižvelgiant į tai, kad dviejų veiksnių sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui, o kitas yra prasmingas, turime dviejų sistemų rinkinį:

Pirmoji sistema neturi sprendimo; iš antrosios sistemos gauname x = 1. Atsižvelgiant į anksčiau įvestus apribojimus, skaičius x = 1 neturėtų būti pradinės lygties šaknis, nors tiesioginiu pakeitimu įsitikiname, kad taip nėra.

7. Apsvarstykite kai kurias klaidas, susijusias su formos sudėtingos funkcijos samprata. Parodykime klaidą pavyzdžiu.

Nustatykite funkcijos monotoniškumo tipą.

Mūsų praktika rodo, kad didžioji dauguma studentų monotoniškumą šiuo atveju nustato tik pagal logaritmo bazę, o kadangi 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Ne! Ši funkcija didėja.

Sąlygiškai rodinio funkcijai galite parašyti:

Didėjantis (mažėjantis) = mažėjantis;

Didėja (Didėja) = Didėja;

Mažėjantis (mažėjantis) = didėjantis;

Mažėja (Didėja) = Mažėja;

8. Išspręskite lygtį

Ši užduotis paimta iš trečiosios Vieningo valstybinio egzamino dalies, kuri vertinama balais (maksimalus balas – 4).

Čia yra sprendimas, kuriame yra klaidų, o tai reiškia, kad už jį nebus skiriamas maksimalus balas.

Sumažiname logaritmus iki 3 bazės. Lygtis įgaus formą

Potencuodami gauname

x1 = 1, x2 = 3.

Patikrinkime, kad nustatytų pašalines šaknis

, 1 = 1,

taigi x = 1 yra pradinės lygties šaknis.

taigi x = 3 nėra pradinės lygties šaknis.

Paaiškinkime, kodėl šiame sprendime yra klaidų. Klaidos esmė ta, kad įraše yra dvi grubios klaidos. Pirma klaida: įrašas visiškai neturi prasmės. Antroji klaida: Netiesa, kad dviejų veiksnių sandauga, iš kurių vienas yra 0, būtinai yra nulis. Nulis bus tada ir tik tada, kai vienas veiksnys yra 0, o antrasis veiksnys yra prasmingas. Čia tiesiog antrasis daugiklis neturi prasmės.

9. Grįžkime prie jau pakomentuotos klaidos, bet tuo pačiu pateiksime keletą naujų argumentų.

Sprendžiant logaritmines lygtis, jos pereina į lygtį. Kiekviena pirmosios lygties šaknis yra ir antrosios lygties šaknis. Priešingai, paprastai kalbant, netiesa, todėl, pereinant nuo lygties prie lygties, būtina patikrinti pastarosios šaknis, pabaigoje pakeičiant pradinę lygtį. Užuot tikrinus šaknis, patartina lygtį pakeisti lygiaverte sistema

Jei sprendžiant logaritminę lygtį, išraiškos

kur n yra lyginis skaičius, atitinkamai transformuojami pagal formules , , , tada, kadangi daugeliu atvejų lygties apibrėžimo sritis susiaurėja, kai kurios jos šaknys gali būti prarastos. Todėl šias formules patartina taikyti tokia forma:

n yra lyginis skaičius.

Ir atvirkščiai, jei sprendžiant logaritminę lygtį, išraiškos , , , kur n yra lyginis skaičius, atitinkamai konvertuojamos į išraiškas

tada lygties apibrėžimo sritis gali išsiplėsti, dėl ko galima įgyti pašalinių šaknų. Turint tai omenyje, tokiose situacijose būtina stebėti transformacijų lygiavertiškumą ir, plečiantis lygties apibrėžimo sričiai, patikrinti gautas šaknis.

10. Spręsdami logaritmines nelygybes taikant keitimą, visada pirmiausia išsprendžiame naują nelygybę naujo kintamojo atžvilgiu ir tik jos sprendime pereiname prie senojo kintamojo.

Moksleiviai labai dažnai klaidingai daro atvirkštinį perėjimą anksčiau, kai ieško racionalios funkcijos, gautos kairėje nelygybės pusėje, šaknų. To daryti nereikėtų.

11. Pateiksime kitos klaidos, susijusios su nelygybių sprendimu, pavyzdį.

Išspręskite nelygybę

.

Čia yra klaidingas sprendimas, kurį studentai labai dažnai siūlo.

Padėkime kvadratu abi pradinės nelygybės puses. Turėsiu:

iš kur gauname neteisingą skaitinę nelygybę , kuri leidžia daryti išvadą, kad duotoji nelygybė neturi sprendinių.

Įvadas……………………………………………………………… 3

1. Klaidų klasifikavimas su pavyzdžiais……………………………… .…… …5

1.1. Klasifikavimas pagal užduočių rūšis…………………………… … ……….5

1.2. Klasifikacija pagal transformacijų tipus…………………………………10

2. Bandymai……………………………………………….… .……………………….12

3. Sprendimų protokolai……………………….….……………………… 18

3.1. Neteisingų sprendimų protokolai ................................................... 18

3.2. Atsakymai (teisingų sprendimų protokolai)…………………………………….34

3.3. Klaidos, padarytos priimant sprendimus…………………………………… 51

Priedas………………………………………………………………………… 53

Literatūra……………………………………………………………………………….56

ĮVADAS

„Jie mokosi iš klaidų“, – sako liaudies išmintis. Tačiau norint pasimokyti iš neigiamos patirties, pirmiausia reikia pamatyti klaidą. Deja, mokinys, spręsdamas konkrečią problemą, dažnai negali to aptikti. Dėl to kilo mintis atlikti tyrimą, kurio tikslas – identifikuoti tipines mokinių daromas klaidas, taip pat jas kuo išsamiau klasifikuoti.

Atliekant šį tyrimą buvo apsvarstyta ir išspręsta daugybė užduočių iš balandžio mėnesio testų, testų ir stojamųjų egzaminų rašto užduočių į Omsko valstybinį universitetą variantų, įvairių žinynų ir problemų rinkinių stojantiesiems į universitetus, stojančiųjų į universitetus medžiagos. OmSU NOF korespondencinė mokykla buvo atidžiai studijuojama. Gauti duomenys buvo taikomi detalią analizę, tuo tarpu daug dėmesio buvo skirta sprendimų logikai. Remiantis šiais duomenimis, buvo nustatytos dažniausiai daromos klaidos, tai yra tipinės.

Remiantis šios analizės rezultatais, buvo bandoma susisteminti būdingas klaidas ir suskirstyti jas pagal transformacijų tipus ir uždavinių tipus, tarp kurių buvo nagrinėjamos kvadratinės nelygybės, nelygybių sistemos, trupmeninės-racionalios lygtys, lygtys su modulis, iracionaliosios lygtys, lygčių sistemos, judėjimo uždaviniai, darbo ir darbo našumo užduotys, trigonometrinės lygtys, trigonometrinių lygčių sistemos, planimetrija.

Prie klasifikacijos pridedama neteisingų sprendimų protokolų pavidalo iliustracija, kuri leidžia padėti mokiniams ugdyti gebėjimą pasitikrinti ir kontroliuoti save, kritiškai vertinti savo veiklą, rasti klaidų ir būdų jas pašalinti.

Kitas žingsnis buvo darbas su bandymais. Kiekvienai užduočiai buvo pasiūlyti penki atsakymai, iš kurių vienas teisingas, o likę keturi – neteisingi, tačiau jie paimti ne atsitiktinai, o atitinka sprendimą, kuriame buvo padaryta konkreti, standartinė tokio tipo užduočių klaida. Tai suteikia pagrindą prognozuoti klaidos „šiurkštumo“ laipsnį ir pagrindinių psichinių operacijų (analizė, sintezė, palyginimas, apibendrinimas) raidą. Testai turi tokią struktūrą:

Klaidų kodai skirstomi į tris tipus: OK – teisingas atsakymas, skaitinis kodas – klasifikacijos pagal užduočių tipus klaida, abėcėlinis kodas – klasifikacijos pagal transformacijų tipus klaida. Jų dekodavimą rasite 1 skyriuje Klaidų klasifikavimas su pavyzdžiais.

Buvo pasiūlytos tolimesnės užduotys ieškant sprendimo klaidos. Ši medžiaga buvo naudojama dirbant su NOF OmSU neakivaizdinės mokyklos studentais, taip pat NOF OmSU vedamuose kvalifikacijos kėlimo kursuose mokytojams Omsko ir Omsko srityje.

Ateityje atliktų darbų pagrindu galima sukurti testuojamo asmens žinių ir įgūdžių lygio stebėjimo ir vertinimo sistemą. Darbe atsiranda galimybė identifikuoti problemines sritis, fiksuoti sėkmingus metodus ir būdus, analizuoti, kokį mokymų turinį patartina plėsti. Tačiau norint, kad šie metodai būtų veiksmingesni, būtinas studento susidomėjimas. Šiuo tikslu kartu su Chubriku A.V. ir sukurtas nedidelis programinis produktas, generuojantis neteisingus tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendinius (teorinė bazė ir algoritmai – I ir Chuubrik A.V., pagalba įgyvendinant – studentų grupė MP-803 Filimonov M.V.). Darbas su šia programa suteikia mokiniui galimybę veikti kaip mokytojas, kurio mokinys yra kompiuteris.

Gauti rezultatai gali pasitarnauti kaip rimtesnių studijų pradžia, kuri artimiausiu ir ilguoju laikotarpiu galės atlikti reikiamus matematikos mokymo sistemos pakeitimus.

1. KLAIDŲ KLASIFIKACIJA SU PAVYZDŽIAIS

1.1. Klasifikavimas pagal užduočių tipus

1. Algebrinės lygtys ir nelygybės.

1.1. Kvadratinės nelygybės. Nelygybių sistemos:

1.1.1. Neteisingai randamos kvadratinio trinalio šaknys: neteisingai panaudota Vieta teorema ir šaknų radimo formulė;

1.1.2. Kvadratinio trinalio grafikas pavaizduotas neteisingai;

1.1.3. Neteisingai apibrėžtos argumentų reikšmės, kurių nelygybė tenkinama;

1.1.4. Padalijimas iš išraiškos, kurioje yra nežinoma reikšmė;

1.1.5. Nelygybių sistemose neteisingai imama visų nelygybių sprendinių sankirta;

1.1.6. Į galutinį atsakymą neteisingai įtrauktos arba neįtrauktos intervalų galūnės;

1.1.7. Apvalinimas.

1.2. Trupmeninės ir racionalios lygtys:

1.2.1. Neteisingai nurodytas arba nenurodytas ODZ: neatsižvelgta į tai, kad trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui;

ODZ: .

1.2.2. Gavus atsakymą, į ODZ neatsižvelgiama;

Norėdami išsiaiškinti, kaip išspręsti kvadratines lygtis, turime išsiaiškinti, kas yra kvadratinė funkcija ir kokias savybes ji turi.

Tikrai susimąstėte, kam iš viso reikalinga kvadratinė funkcija? Kur galime pritaikyti jos grafiką (parabolę)? Taip, tereikia apsidairyti ir pastebėti, kad kasdien su tuo susiduri. Ar pastebėjote, kaip mestas kamuolys skrenda kūno kultūros pamokose? „Arkoje“? Teisingiausias atsakymas būtų „parabolėje“! O kokia trajektorija fontane juda srovė? Taip, taip pat ir parabolėje! O kaip skrenda kulka ar sviedinys? Teisingai, taip pat ir parabolėje! Taigi, žinant savybes kvadratinė funkcija, bus galima išspręsti daugybę praktinių problemų. Pavyzdžiui, kokiu kampu reikia mesti kamuolį, kad būtų užtikrintas didžiausias skrydžio nuotolis? Arba kur atsidurs sviedinys, jei bus paleistas tam tikru kampu? ir tt

kvadratinė funkcija

Taigi, išsiaiškinkime.

Pavyzdžiui, . Kas čia yra lygūs ir? Na, žinoma, ir!

O jeigu, t.y. mažiau nei nulis? Na, žinoma, mums „liūdna“, vadinasi, šakos bus nukreiptos žemyn! Pažiūrėkime į diagramą.

Šiame paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas. Kadangi, t.y. mažesnė už nulį, parabolės šakos nukreiptos žemyn. Be to, tikriausiai jau pastebėjote, kad šios parabolės šakos susikerta su ašimi, o tai reiškia, kad lygtis turi 2 šaknis, o funkcija įgauna ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes!

Pačioje pradžioje, kai davėme kvadratinės funkcijos apibrėžimą, buvo pasakyta, kad ir yra kai kurie skaičiai. Ar jie gali būti lygūs nuliui? Na, žinoma, jie gali! Išduosiu net dar didesnę paslaptį (kuri nėra paslaptis, bet verta paminėti): šiems skaičiams (ir) išvis neribojama!

Na, pažiūrėkime, kas atsitiks su grafikais, jei ir yra lygūs nuliui.

Kaip matote, nagrinėjamų funkcijų (u) grafikai pasislinko taip, kad jų viršūnės dabar yra taške su koordinatėmis, tai yra ašių sankirtoje, ir tai neturėjo įtakos šakų krypčiai. Taigi galime daryti išvadą, kad jie yra atsakingi už parabolės grafiko „judėjimą“ išilgai koordinačių sistemos.

Funkcijų grafikas paliečia ašį taške. Taigi lygtis turi vieną šaknį. Taigi funkcija įgauna reikšmes, didesnes arba lygias nuliui.

Su funkcijos grafiku vadovaujamės ta pačia logika. Jis paliečia x ašį taške. Taigi lygtis turi vieną šaknį. Taigi funkcija įgauna reikšmes, mažesnes arba lygias nuliui, tai yra.

Taigi, norint nustatyti išraiškos ženklą, pirmiausia reikia rasti lygties šaknis. Tai mums bus labai naudinga.

Kvadratinė nelygybė

Kvadratinė nelygybė yra nelygybė, susidedanti iš vienos kvadratinės funkcijos. Taigi visos kvadratinės nelygybės sumažinamos iki šių keturių tipų:

Sprendžiant tokias nelygybes, mums reikės galimybės nustatyti, kur kvadratinė funkcija yra didesnė, mažesnė ar lygi nuliui. Tai yra:

• jei turime formos nelygybę, tai iš tikrųjų problema sumažinama iki skaitinio verčių diapazono, kuriam parabolė yra virš ašies, nustatymo.
• jei turime formos nelygybę, iš tikrųjų problema kyla dėl x reikšmių skaitinio intervalo, kurio parabolė yra žemiau ašies, nustatymo.

Jei nelygybės nėra griežtos (u), tada šaknys (parabolės susikirtimų su ašimi koordinatės) įtraukiamos į norimą skaitinį intervalą, o esant griežtoms nelygybėms - neįtraukiamos.

Visa tai gana formalizuota, tačiau nenusiminkite ir nebijokite! Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius ir viskas stos į savo vietas.

Spręsdami kvadratines nelygybes laikysimės aukščiau pateikto algoritmo ir mūsų laukia neišvengiama sėkmė!

Algoritmas	Pavyzdys:
1) Parašykime kvadratinę lygtį, atitinkančią nelygybę (tiesiog pakeiskite nelygybės ženklą į lygybės ženklą "=").
2) Raskite šios lygties šaknis.
3) Pažymėkite šaknis ant ašies ir schematiškai parodykite parabolės šakų orientaciją ("aukštyn" arba "žemyn")
4) Padėkime ant ašies kvadratinės funkcijos ženklą atitinkančius ženklus: kur parabolė yra virš ašies, dėkite "", o kur žemiau - ".
5) Išrašome intervalą (-us), atitinkantį "" arba "", priklausomai nuo nelygybės ženklo. Jei nelygybė nėra griežta, į intervalą įtraukiamos šaknys, jei griežta – neįtraukiamos.

Supratau? Tada prisisegk į priekį!

Na, ar pavyko? Jei turite kokių nors sunkumų, supraskite sprendimus.

Sprendimas:

Išrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Nelygybė nėra griežta, todėl šaknys įtraukiamos į intervalus:

Rašome atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime šios kvadratinės lygties šaknis:

Mes schematiškai pažymime gautas šaknis ant ašies ir išdėstome ženklus:

Išrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Nelygybė yra griežta, todėl šaknys neįtraukiamos į intervalus:

Rašome atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime šios kvadratinės lygties šaknis:

ši lygtis turi vieną šaknį

Mes schematiškai pažymime gautas šaknis ant ašies ir išdėstome ženklus:

Išrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Bet kuriai funkcijai naudojamos neneigiamos reikšmės. Kadangi nelygybė nėra griežta, atsakymas yra

Rašome atitinkamą kvadratinę lygtį:

Raskime šios kvadratinės lygties šaknis:

Schematiškai nubraižykite parabolės grafiką ir padėkite ženklus:

Išrašykime intervalus, atitinkančius ženklą " ", nes nelygybės ženklas yra " ". Bet kuriai funkcijai priklauso teigiamos reikšmės, todėl nelygybės sprendimas bus intervalas:

KVARTŲ NETOLYGUMAI. VIDUTINIS LYGIS

Kvadratinė funkcija.

Prieš kalbėdami apie „kvadratinių nelygybių“ temą, prisiminkime, kas yra kvadratinė funkcija ir koks yra jos grafikas.

Kitaip tariant, tai antrojo laipsnio daugianario.

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė (prisiminkite, kas tai yra?). Jos šakos nukreiptos į viršų, jei "a) funkcija visiems turi tik teigiamas reikšmes, o antroje () - tik neigiamas:

Tuo atveju, kai lygtis () turi tiksliai vieną šaknį (pavyzdžiui, jei diskriminantas yra nulis), tai reiškia, kad grafikas liečia ašį:

Tada, panašiai kaip ir ankstesniu atveju, funkcija yra neneigiama visiems, o , ji yra neteigiama.

Taigi, juk neseniai išmokome nustatyti, kur kvadratinė funkcija yra didesnė už nulį, o kur mažesnė:

Jei kvadratinė nelygybė nėra griežta, tada šaknys įtraukiamos į skaitinį intervalą, jei griežta, jos nėra.

Jei tik viena šaknis, tai gerai, visur bus tas pats ženklas. Jei šaknų nėra, viskas priklauso tik nuo koeficiento: jei, tai visa išraiška didesnė už 0, ir atvirkščiai.

Pavyzdžiai (spręskite patys):

Atsakymai:

Šaknų nėra, todėl visa išraiška kairėje pusėje turi didžiausio koeficiento ženklą: visiems. Tai reiškia, kad nelygybės sprendimų nėra.

Jei kvadratinė funkcija kairėje pusėje yra „nebaigta“, tuo lengviau rasti šaknis:

KVARTŲ NETOLYGUMAI. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

kvadratinė funkcija yra formos funkcija:

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Jo šakos nukreiptos aukštyn, jei ir žemyn, jei:

• Jei norite rasti skaitinį intervalą, kurio kvadratinis trinaris yra didesnis už nulį, tai yra skaitinis intervalas, kuriame parabolė yra virš ašies.
• Jei norite rasti skaitinį intervalą, kurio kvadratinis trinaris yra mažesnis už nulį, tai yra skaitinis intervalas, kuriame parabolė yra žemiau ašies.

Kvadratinių nelygybių tipai:

Visos kvadratinės nelygybės sumažinamos iki šių keturių tipų:

Sprendimo algoritmas:

Algoritmas	Pavyzdys:
1) Parašykime kvadratinę lygtį, atitinkančią nelygybę (tiesiog pakeiskite nelygybės ženklą į lygybės ženklą "").
2) Raskite šios lygties šaknis.
3) Pažymėkite šaknis ant ašies ir schematiškai parodykite parabolės šakų orientaciją ("aukštyn" arba "žemyn")
4) Ant ašies pastatykime kvadratinės funkcijos ženklą atitinkančius ženklus: kur parabolė yra virš ašies, dedame "", o kur žemiau - ".
5) Išrašome intervalą (-us), atitinkantį (-us) "" arba "", priklausomai nuo nelygybės ženklo. Jei nelygybė nėra griežta, šaknys įtraukiamos į intervalą, jei nelygybė griežta, jos neįtraukiamos.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 899 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Ankstesnis įrašas

Valcavimo staklės: apžvalga, tipai, charakteristikos Naminis valcavimo vamzdžių lenkimo staklės

Kitas įrašas

Kaip išsirinkti tinkamus drabužius biurui Jaunimo biuro stilius