МОУ «Средняя общеобразовательная школа №24»

город Подольск

Московская область

Доклад

« Симметрия кристаллов »

Выполнила:

Орлова

Ольга Романовна,

ученица 10 класса «Г»

Научный руководитель:

Елющев Олег Владимирович,

учитель

математики

2012 год.

План.

I Вступление. Понятие симметрии.

II Основная часть.

1)равные части и фигуры в геометрии и в кристаллографии;

2)кристаллы и их строение;

3)элементарные ячейки к кристалле;

4)симметрия и анизотропия кристаллических многогранников;

5)симметрия и ее элементы;

6)группы или виды симметрии;

7)сингонии кристаллов;

9)симметрия реальных кристаллов;

III Вывод. Симметрия как кристаллофизический метод исследования.

Симметрия кристаллов.

Греческое слово "симметрия" в переводе на русский язык означает "соразмерность". В целом же, симметрию можно определить как способность к закономерному повторению фигурой своих частей. Представление о симметрии широко распространено в повседневной жизни. Симметричными называются, например, венчики цветов, крылья бабочки, снежные звездочки. Человечество издавна пользовалось понятием о симметрии, применяя его в самых разнообразных областях своей деятельности. Однако математическая разработка учения о симметрии была осуществлена лишь во второй половине XIX века.

Симметричная фигура должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. Поэтому в основе представления о симметричных фигурах лежит понятие о равных частях.

"Две фигуры называются взаимно равными, если для каждой точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры, причем расстояние между двумя любыми точками одной фигуры равно расстоянию между двумя соответственными точками другой".

Понятие равенства фигур, согласно данному определению, значительно шире соответственного понятия, принятого в элементарной геометрии. В элементарной геометрии равными называются обычно такие фигуры, которые при наложении одна на другую совпадают всеми своими точками. В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.

До сих пор говорилось о геометрических фигурах. Переходя к кристаллам, надо помнить, что они представляют собой реальные тела и что равные их части должны быть не только геометрически равными, но и физически одинаковыми.

Вообще же кристаллами обычно называются твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях в виде многогранников.

Поверхность таких многогранников ограничена более или менее совершенными плоскостями - гранями, пересекающимися по прямым линиям - ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины.

Геометрически правильная форма кристаллов обуславливается, прежде всего, их строго закономерным внутренним строением.

Во всех кристаллических структурах можно выделить множество одинаковых атомов, расположенных наподобие узлов пространственной решетки. Чтобы представить себе такую решетку, необходимо мысленно заполнить пространство без остатка множеством равных параллелепипедов, параллельно ориентированных и смежных по целым граням. Простейший пример подобных параллелепипедальных систем представляет собой совокупность кубиков или кирпичиков, вплотную приложенных друг к другу. Если в таких воображаемых параллелепипедах выделить соответственные точки, например, их центры или любые другие точки, то можно получить так называемую пространственную решетку. Выделенные соответственные точки называются узлами. В реальных структурах кристаллов места узлов пространственных решеток могут заниматься отдельными атомами, ионами или группами атомов.

Решетчатое строение характерно для всех кристаллов без исключения.

Таким образов, наиболее полное определение кристалла будет звучать так: кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.

Твердые тела, в которых частицы располагаются беспорядочно, называются аморфными. Примерами аморфных образований служат стекла, пластмассы, смолы, клей. Аморфное вещество не является устойчивым и обнаруживает с течением времени тенденцию к кристаллизации. Так стекло "закристаллизовывается", образуя агрегаты мелких кристаллов.

Примерами кристаллов могут служить кубики поваренной соли, заостренные на концах шестигранные призмы горного хрусталя, восьмигранники алмаза, двенадцатигранники граната.

В современном описании минерала обязательно указываются параметры его элементарной ячейки - наименьшей группы атомов, параллельным перемещением которой можно построить всю структуру данного вещества. Несмотря на то что количество атомов в элементарной ячейке и их тип у каждого минерала различны, в природных кристаллах существует всего семь типов элементарных ячеек, которые, повторяясь миллионы раз в трехмерном пространстве, образуют различные кристаллы. Каждый тип ячейки соответствует определенной сингонии, что позволяет разделить все кристаллы на семь групп.

Облик кристаллов во многом зависит от формы элементарных ячеек и их расположения в пространстве. Из кубических элементарных ячеек можно получить большие кубические кристаллы. В то же время ступенчатое расположение "кубиков" позволяет создавать более сложные формы.

Элементарные ячейки всегда выстраиваются таким образом, что грани растущего кристалла и образуемые ими углы располагаются не случайно, а в правильном порядке. Каждый тип грани имеет определенное положение относительно оси, плоскости или центра симметрии, которыми обладает тот или иной минерал. Кристаллография основана на законах симметрии, в соответствии с которыми проводится классификация кристаллов по определенным сингониям.

В природе, в научных и заводских лабораториях кристаллы растут в виде красивых, правильных многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами. Симметрия и правильность внешней формы природных кристаллических многогранников - отличительная особенность кристаллов, но не обязательная. В заводских и лабораторных условиях часто выращивают кристаллы не многогранные, но их свойства от этого не изменяются. Из природных и искусственно выращенных кристаллов вырезают пластинки, призмы, стержни, линзы, в которых уже нет следов внешней многогранной формы кристалла, но сохраняется удивительная симметрия структуры и свойств кристаллического вещества.

Опыт показывает, что если поместить обломок или пластинку из кристалла в раствор или расплав того же вещества и дать им возможность свободно расти, то опять вырастет кристалл в форме правильного, симметричного многоугольника. Это происходит из-за того, что скорость роста кристаллов в разных направлениях различна. Это лишь один пример анизотропии физических свойств кристалла.

Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения. В кристаллическом многограннике и в вырезанной из него пластинке одинаково закономерное, симметричное, периодическое расположение частиц. Частицы, из которых сложены кристаллы, образуют правильные, симметричные ряды, сетки, решетки.

Камни, металлы, химические продукты - органические и неорганические, в том числе такие сложные, как волокна хлопка и искусственного шелка, кости человека и животных, и, наконец, такие сложно организованные объекты, как вирусы, гемоглобин, инсулин, ДНК и многие другие, имеют закономерное внутреннее строение. Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок, характерный "узор" и симметрия в расположении частиц, установившиеся расстояния между частицами, причем все эти закономерности можно определить качественно и количественно.

Все сказанное относится к идеально развитым кристаллам. Но в природе редко встречаются совершенные геометрические формы. Чаще всего кристаллы деформируются в результате неравномерного развития граней или имеют прерывистые, изогнутые линии, сохраняя при этом углы между различными гранями. Кристаллы могут расти в виде геометрически упорядоченных агрегатов или в полном беспорядке. Нередко минералы демонстрируют сочетание различных кристаллографических форм. Иногда росту кристалла мешают определенные препятствия, из-за чего внутренняя кристаллическая структура не находит идеального отражения во внешней форме, и минерал образовывает незакономерные сростки ил плотные массы. Вместе с тем, согласно закону постоянства гранных углов, в кристаллах определенного вещества и величина граней, и форма их могут изменяться, но углы между соответственными гранями остаются постоянными. Поэтому при изучении симметрии и вообще геометрии реальных кристаллов необходимо основываться на углах между гранями.

Знакомясь с данным разделом кристаллографии, не обойтись без использования геометрически правильных многогранников, представляющих идеализированные модели тех или иных кристаллов.

Учение о симметрии кристаллов основывается на геометрии. Однако своим развитием этот раздел науки обязан главным образов ученым, работавшим в области кристаллографии. Наиболее блестящие достижения связаны с именами кристаллографов, среди которых выделяются фамилии двух русских академиков - А.В.Гадолина и Е.С.Федорова.

Теперь необходимо рассказать о самой симметрии и ее элементах. В определении симметрии упоминалось о закономерном повторении равных частей фигур. Для уточнения понятия об указанной закономерности пользуются воображаемыми вспомогательными образами (точками, прямыми, плоскостями), относительно которых правильно повторяются равные части фигур. Такие образы носят название элементов симметрии.

Примерами упомянутых элементов являются: центр инверсии, оси и плоскости симметрии.

Чтобы охарактеризовать ту или иную ось, необходимо выяснить величину наименьшего угла поворота, приводящего фигуру в совмещение. Такой угол носит название элементарного угла поворота оси.

Элементарный угол поворота любой оси симметрии содержится целое число раз в 360°:

где n - целое число, называющееся порядком (наименованием) оси.

Порядок оси симметрии отвечает числу, показывающему, сколько раз элементарный угол поворота содержится в 360°. Одновременно порядок оси дает число совмещений фигуры самой с собой при полном повороте вокруг данной оси.

Каждой оси соответствует свой элементарный угол поворота:

при n =1 α=360°

n =2 α=180°

n =3 α=120°

n =4 α=90°

n =5 α=72°

n =6 α=60° и т.д.

В геометрии существует бесконечный ряд осей различных целых наименований. Однако симметрия кристаллов описывается конечным набором осей. Их число ограничивается фактом существования пространственной решетки. Решетка накладывает запрет на реализацию в кристаллах осей пятого порядка и осей выше шестого порядка.

Кроме того, существуют так называемые инверсионные оси.

Подобный элемент симметрии представляет как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не порознь, а совместно. Участвуя лишь в качестве составной части инверсионной оси, центр инверсии может не проявляться в виде самостоятельного элемента симметрии. На всех моделях, где приходится определять инверсионные оси, центра инверсии нет.

В кристаллографии совокупность элементов симметрии называют видом симметрии кристаллического многогранника.

Все группы (виды) симметрии кристаллов получил в 1820 г. немецкий профессор минералогии И.Гессель. Их оказалось 32. Однако его результаты не были замечены научной общественностью отчасти по причине неудачного изложения, отчасти потому, что статья Гесселя была опубликована в малодоступном издании.

Независимо от Гесселя вывод 32 групп (видов) симметрии кристаллов осуществил в 1867 году российский академик, профессор Артиллерийской академии, кристаллограф - любитель, генерал А.В.Гадолин. Его работа была сразу высоко оценена специалистами.

Группы симметрии кристаллов или, как их принято называть, виды симметрии, удобно разделить на системы, объединяющие группы со сходными элементами симметрии. Таких систем шесть - триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, гексагональная и кубическая.

Кристаллографы, изучающие внешнюю форму кристаллов и их строение, часто выделяют из гексагональной системы тригональные кристаллы. Таким образом, все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений. Существенно отметить, что пространственные решетки, относящиеся к кристаллам одной и той же сингонии, должны обладать элементарными ячейками с одинаковой симметрией.

Названия сингоний объясняются следующим образом: в кристаллах триклинной сингонии все три угла между ребрами параллелепипеда являются косыми [клино (греч.) - наклонять]. В кристаллах моноклинной сингонии между указанными ребрами имеется лишь один косой угол (два другие - прямые). Ромбическая сингония характеризуется тем, что относящиеся к ней простые формы нередко имеют форму ромбов.

Названия "тригональная", "тетрагональная", "гексагональная" сингонии указывают на типичную симметрию относящихся сюда кристаллов. Тригональная сингония часто называется ромбоэдрической, так как для большинства видов симметрии этой сингонии характерна простая форма, называемая ромбоэдром.

Кристаллам кубической сингонии свойственны пространственные решетки, элементарные параллелепипеды которых по форме представляют кубы.

Триклинная сингония. Сингония с самыми примитивными кристаллическими формами и очень простой симметрией. Характерной формой триклинной сингонии является косоугольная призма. Типичные представители: бирюза и родонит.

Моноклинная сингония. Характерны призмы с параллелограммом в основании. К моноклинной сингонии относятся кристаллы таких минералов, как алебастр, малахит, нефрит.

Ромбическая сингония. Характерными формами являются ромбическая призма, пирамида и бипирамида. Среди типичных минералов этой сингонии топаз, хризоберилл, оливин.

Тригональная сингония. Простыми формами являются тригональные призмы, пирамиды, бипирамиды, а также ромбоэдры и скаленоэдры. Примером минералов тригональной сингонии служат кальцит, кварц, турмалин.

Гексагональная сингония. Типичные формы: 6- или 12- гранные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии выделяются берилл, ванадинит (используется как руда ванадия).

Тетрагональная сингония. Простыми формами являются тетрагональные призмы, пирамиды и бипирамиды. В этой сингонии кристаллизуются циркон и рутил.

Кубическая сингония. Простые формы: куб, октаэдр, тетраэдр. В кубической сингонии кристаллизуются флюорит, алмаз, пирит.

Сингонии, в свою очередь, группируются в три категории: низшую, среднюю, высшую.

Кристаллы низшей категории характеризуются наличием нескольких единичных направлений (единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется единичным) и отсутствием осей симметрии порядка выше 2. Сюда относятся три сингонии: триклинная, моноклинная и ромбическая.

Кристаллы средней категории обладают одним единичным направлением, совпадающим с единственной осью порядка выше 2. Сюда также принадлежат три сингонии: тригональная, тетрагональная и гексагональная.

В кристаллах высшей категории при отсутствии единичных направлений всегда имеется несколько осей порядка выше 2. Сюда относится одна кубическая сингония.

До сих пор рассматривались идеализированные модели кристаллических многогранников.

Значительно сложнее определять симметрию реальных кристаллов. Выше отмечалось неравномерное развитие симметричных граней кристаллов вследствие неодинакового притока к ним питающего раствора. В связи с этим куб реального кристалла нередко получает форму уплощенного или вытянутого параллелепипеда. Мало того, иногда наблюдается даже частичное отсутствие симметричных граней. Поэтому, исходя из внешних форм реальных кристаллов, легко ошибочно понизить их действительную симметрию.

На помощь здесь приходят точные измерения углов между гранями, по которым нетрудно восстановить истинную симметрию многогранника. Однако нередко происходят и обратные ошибки, когда кристаллам приписывается более высокая симметрия по сравнению с действительной.

Также интересно, что одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.

Итак, симметрия, периодичность и закономерность структуры - основные характеристики кристаллического состояния вещества.

То, как кристалл устроен изнутри, неизбежно отражается на его внешнем облике и на его форме. Форма кристалла позволяет предполагать, в каком порядке соединились частицы в его структуре. И конечно, можно с большой уверенностью говорить, что в октаэдрическом кристалле флюорита, шестиугольной пластинке графита и пластинчатом кристалле барита частицы расположены по-разному. А вот в "кубиках" галита и галенита они размещаются очень похоже, хотя эти минералы имеют разный химический состав.

Все эти отличия и сходства помогает описать симметрия.

Однако симметрия не ограничивается выявлением закономерностей в расположении частиц в пространственных решетках и во внешней форме кристаллов. Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств. Более того, оказалось возможным приписать симметрию математическим величинам - скалярам, векторам, описывающим физические свойства кристаллов. И, наконец, самим физическим явлениям в кристаллах можно приписать ту или иную симметрию, совпадающую с симметрией математических величин, которые описывают эти явления.

Список литературы

1. А.С.Сонин. "Курс макроскопической кристаллофизики", М., "Наука", 2006г.

2. М.П.Шаскольская. "Кристаллография", М., "Высшая школа", 1984 г.

3.Г.М.Попов, И.И.Шафрановский. "Кристаллография", М.,"Высшая школа",1972 г.

4. М.Аксенова, В.Володин. Энциклопедия для детей. Геология, М., "Аванта +", 2006 г.

5.А.Жаркова. "Минералы. Сокровища земли", М., "Де Агостини", 2009 г.

Пояснительная записка.

Темой моего реферата является симметрия кристаллов. Цель моего реферата - рассказ о симметрии кристаллов. Задачами моей работы являются изучение элементов симметрии, рассказ о значении симметрии в изучении свойств кристаллов, обобщение полученных данных. Предметом моего исследования являются кристаллы. Во время проведения исследования я пользовалась разнообразной литературой. Одним из главных источников была книга М.П.Шаскольской "Кристаллография", содержавшая много статей о строении кристаллов и самой симметрии. Также я пользовалась книгой Г.М.Попова, И.И.Шафрановского "Кристаллография", где нашла большое количество интересной информации. Для более подробного анализа и рассказа о симметрии кристаллов я использовала другую литературу, журналы и энциклопедии.

Тезисы.

Греческое слово "симметрия" в переводе на русский язык означает "соразмерность". В целом же, симметрию можно определить как способность к закономерному повторению фигурой своих частей.

В кристаллографии равными считаются не только такие совместимо - равные фигуры, но также фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.

Все кристаллы построены из материальных частиц, геометрически правильно расположенных в пространстве. Упорядоченное распределение атомов, ионов, молекул отличает кристаллическое состояние от некристаллического, где степень упорядоченности совершенно ничтожна.

Кристаллами называются все твердые тела, в которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены закономерно в виде узлов пространственных решеток.

В современном описании минерала обязательно указываются параметры его элементарной ячейки - наименьшей группы атомов, параллельным перемещением которой можно построить всю структуру данного вещества.

Анизотропия и симметрия - характерные особенности кристаллов, обусловленные закономерностью и симметрией их внутреннего строения.

Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур.

Центром инверсии называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Подобная точка в геометрии называется центром симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально - равные части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение.

Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой несколько раз повторяются равные части фигуры.

Инверсионной осью называется такая прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.

Все кристаллы при этом делятся на семь сингоний (от греческого "син" - вместе, "гония" - угол): триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В кристаллографии сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими сходными элементами симметрии при одинаковом числе единичных направлений.

Одни и те же вещества при разных условиях могут образовывать совершенно разные кристаллические структуры, а следовательно, и разные минералы. Ярким примером служит углерод: если у него гексагональная сингония, то образуется графит, если кубическая - алмаз.

То, как кристалл устроен изнутри, неизбежно отражается на его внешнем облике и на его форме. Форма кристалла позволяет предполагать, в каком порядке соединились частицы в его структуре.

Кроме того, все физические свойства тесным образом связаны с симметрией. Она определяет, какими физическими свойствами может или не может обладать той или иной кристалл. Она диктует количество независимых величин, необходимых для полной характеристики данного физического свойства, и направления их измерений по отношению к элементам симметрии, т.е. определяет характер анизотропии физических свойств.

Симметрия пронизывает всю кристаллофизику и выступает как специфический метод исследования физических свойств кристаллов.

Поэтому основным методом кристаллографии является установление симметрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов.

Приложение.

Все разнообразие кристаллов сводится к следующим семи основным кристаллографическим системам, или сингониям.

Сингония - сходноугольность (сходство углов).

Первая система: - Кубическая

Узлы кристаллической решетки создают куб, у которого параметры решетки одинаковы a=b=c , а углы a=b=g=90⁰

Рисунок 14. Кубическая ячейка.

В этой решетке кристаллизуются все кристаллы n-ых проводников (Si, Ge, GaAs, Cu), щелочно-галлоидные кристаллы (LiF, NaCl, KCl).

Кристаллы с кубической решеткой относятся к высшей категории симметрии. В этих кристаллах анизотропия свойств в различных направлениях выражена слабо. Многие физические свойства в этих кристаллах изотропны: теплопроводимость, электропроводимость,

показатель преломления одинаковых во всех направлениях.

Внешняя форма этих кристаллов, как правило, изометрична, т.е. развита примерно одинакова по всем направлениям. Кристаллы имеют форму куба (6-граней), октаэдра (8-граней). В этих кристаллах анизотропия таких свойств, как упругость и электрооптический эффект развиты гораздо слабее, чем у кристаллов других категорий.

Кристаллографические категории, сингонии и системы координат.

Плоскости симметрии, оси симметрии и центры симметрии образуются в кристаллах в разных сочетаниях. Например: у кристаллов с кубической решеткой (у полупроводников и щелочно-галлоидных кристаллов) один и тот же набор элементов симметрии: плоскостей симметрии m (P) - 9, 3 оси четвертого порядка 4(L 4), 4 оси третьего порядка 3(L 3), 6 осей второго порядка 2(L 2) и один центр симметрии (С), единичных направлений нет.

Категории симметрии : их три высшая, средняя и низшая. Это деление на категории происходит по симметрии и числу единичных направлений кристалла. Симметрия куба или октаэдра характерна для кристаллов высшей категории. (См. Кубическую решетку)

Тетрагональная – главная ось симметрии 4 или ; a=b≠c, a=b=g=90°

Форма элементарной ячейки-призма с квадратным основанием.

Рисунок 15. Тетрагональная ячейка.

К тетрагональной системе относятся кристаллы KDP и ADP (искусственные)

(дигидрофосфат калия и дигидрофосфат амония), селаита MgF 2 .

Тригональная – главная ось симметрии 3 или ; a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 16. Тригональная ячейка.

Форма элементарной ячейки-призма с ромбическим основании с углом 120°

К тригональной системе относятся кристаллы кальцитаCaCO 3 (природные и искусственные), кварца (a-SiO 2), ниобата и танталата лития(LiNbO 3 и LiTaO 3).

Гексагональная - главная ось симметрии 6 или

a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 17. гексагональная ячейка.

Форма элементарной ячейки – призма с ромбическим основанием с углами 120°. Три такие призмы составляют шестигранную призму, уже не примитивную, гексагональную ячейку. К гексагональной системе относятся кристаллы кварца (b-кварц).

Ромбическая – три оси 2 и три плоскости m симметрии a≠b≠c, a=b=g=90°

Рисунок 18. Ромбическая ячейка.

К ромбической системе относится кристаллическая сера.

Моноклинная – ось 2 или плоскость m симметрии, a≠b≠c, a=b=g=90°

В структуре кристаллов к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавляются еще бесконечные симметрические преобразования.

Основное бесконечное преобразование - трансляция, т.е. беско­нечно повторяющийся перенос вдоль одной прямой на одно и тоже опре­деленное расстояние называемое периодом трансляции. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве. Так, совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину равную половине периода трансляции вдоль плоскости - это плоскость скользящего отражения. Симметрическое преобразование плоскостью скользящего отражения можно описать, указав, как при этом изменяются координаты произвольной точки X, Y, Z. Совокупность оси симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно дает винтовую ось симметрии. Винтовые оси в кристаллическом прост­ранстве могут быть только порядков 2,3,4 и 6. Различают левые и правые винтовые оси.

Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.

В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основ­ных трансляций а, в, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия органичивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, со­ответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.

14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний (см. таблицу).

Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки (точнее; она должна совпадать с симметрией голоэдрического класса той системы, к которой относится кристалл), 2) число прямых углов и равных сторон было мак­симальным и 3) объем ячейки минимальным.

В структуре кристалла решетки Вравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур. (Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры).

Умножение элементов симметрии структур подчиняется теоремам 1-6. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания.

Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр t=2а, где а-расстояние между плоскостями..

Теорема 7а . Любую трансляцию t можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, относящихся друг от друга на расстояние T/ 2.

Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые "вставленные" плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее.

Теорема 9 . Плоскость симметрии и трансляция t, составляющая с плоскостью угол , порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину(t /2), sinвеличина скольжения вдоль порожденной плоскости равнаt*cos

Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция Т порождает такую же ось симметрии, параллельную данной, обстоящую от нее на расстояние (t/2) sin() и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляцииt вее середине.

Теорема 11. и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же углом и тем же переносом, параллельную данной, отстоящую от нее на(t/2) sin (/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине.

Теорема 12 . Ось симметрии с углом поворота и трансляция t составляющая с ней угол , порождают винтовую ось симметрии.

Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота и переносом t 1 и трансляция t, составляющая с осью угол порождает винтовую ось симметрии с тем же углом поворота.

Теорема 14 . Инверсионно- поворотная ось с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция порождают ту же инверсионно -поворотную ось, параллельную порождающей.

Теорема 15 . Инверсионно - поворотная ось с углом поворота и трансляция , составляющая с этой осью угол , порождают инверсионную ось с тем же поворотом параллельную данной.

ЗАДАЧИ

1. Записать матричное представление всех операций симметрии, вхо­дящих в точечную группу mmm.

2. Найти матричное представление и порядок группы симметрии низко­температурной модификации кварца.

3. Известна теорема Эйлера: равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось симметрии, проходящая через точку пересечения первых двух. Пользуясь матричным представлением элементов симметрии, проиллюстрировать теорему Эйлера на примере класса 4 2 2.

4. Кристалл поворачивают на 90° с последующим отражением в центре инверсии, затем поворачивают на 180° вокруг направления, перпендику­лярного оси первого поворота. Найти матричное представление опера­ции симметрии, которая приводит к тому же результату.

5. Кристалл поворачивают на 120°, затем отражают в центре инверсии. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

Все сведения о кристаллах, необходимые для решения задач, см. в таблицах, помещенных в конце описания.

6. Используя матричное представление элементов симметрии, найти такую операцию симметрии, действие которой давало бы тот же результат, что и действие двух осей второго порядка, пересекающихся под углом 90°.

7. Найти матричное представление операции симметрии, действие которой дает тот же результат, что и действие осей второго порядка, расположенных под углом 60° друг к другу. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

8. Найти матричное представление и порядок точечной группы симметрии дигидрофосфата калия (КДР) для стандартного и нестандартного (4m2) выбора кристаллофизических осей координат.

9. Найти матричное представление точечной группы симметрии 6 2 2.

10. Найти матричное представление и порядок группы 6.

11. Пользуясь матричным представлением операций симметрии, проверить справедливость теоремы ЭЙЛЕРА НА ПРИМЕРЕ точечной группы 2 2 2,

12. Убедиться в справедливости теоремы Эйлера на примере осей второго порядка, располагающихся под углом 45° друг к другу.

13. Каков порядок следующих групп симметрии: m т , 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Записать систему генераторов для группы 4/mmm.

15. На примере точечной группы симметрии 2/m проверить, выполняются ли все групповые аксиомы.

16. Используя матричное представление операций симметрии, проверить справедливость теоремы: сочетание оси четного порядка и перпендикулярной ей плоскости дает центр симметрии.

17. Доказать, что в кристаллической решетке отсутствует ось симметрии пятого порядка.

18. Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае а) простой, б) объемноцентрированной и в) гранецентрированной кубических решеток?

19. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гекcагональной плотноупакованной решетки?

20. Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (125).

21. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры решетки а=3, b =5 и с==6.

22. Даны грани (320) и (11О). Найти символ ребраих пересечения,

23. Даны два ребра и . Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

24. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

25. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 и с=5,20.Определить векторы обратной решетки.

26. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

27. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

28. Найти векторы обратной решетки для кристалла кальцита (СаСО 3), если a =6,36 , =46°6".

29. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl ) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора r*hkl из начала координат в точку hkl обратной решетки.

30. В триклинной решетке кианита (Al 2 O 3 , SiO 2) параметры a, b, c и углы , , элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 и; 90°55 ; 101°2; 105°44 . Определить расстояние между плоскостями (102).

31. Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром a

32. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки a=10,437 ,b =12,845 и,С. =24,369

33. Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50 ,c= 7.64 8.

34. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

35. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление перпендикулярно к плоскости (hkl ) с теми же значениями индексов Миллера.

36. Определить угол между телесной диагональю и ребром куба.

37. Определить угол между двумя направлениями и в кристалле триглицинсульфата ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) с параметрами элементарной ячейки a=9,42,b =12,64,c=5,73 и углом моноклинности=ПО°23 .

38. Вычислить угол между двумя прямыми и в ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a =4,88 ,b=6,66 и. С =8,32.

А. И. Сёмке ,
, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.

Симметрия кристаллов

Цели урока: Образовательная – знакомство с симметрией кристаллов; закрепление знаний и умений по теме «Свойства кристаллов» Воспитательная – воспитание мировоззренческих понятий (причинно-следственные связи в окружающем мире, познаваемость окружающего мира и человечества); нравственное воспитание (воспитание любви к природе, чувства товарищеской взаимовыручки, этики групповой работы) Развивающая – развитие самостоятельности мышления, грамотной устной речи, навыков исследовательской, экспериментальной, поисковой и практической работы.

Симметрия… является той идеей, посредством
которой человек на протяжении веков пытался
постичь порядок, красоту и совершенство.
Герман Вейль

Физический словарик

• Кристалл – от греч. κρύσταλλος – буквально лёд, горный хрусталь.
• Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований.

Вводный этап

Симметрия кристаллов – наиболее общая закономерность, связанная со строением и свойствами кристаллического вещества. Она является одним из обобщающих фундаментальных понятий физики и естествознания в целом . Согласно определению симметрии, данному Е.С. Фёдоровым, «симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением». Таким образом, симметричным является такой объект, который может быть совмещён сам с собой определёнными преобразованиями: поворотами вокруг осей симметрии или отражениями в плоскостях симметрии. Такие преобразования принято называть симметрическими операциями . После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте, что означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые и зеркальные). Внутренняя атомная структура кристаллов – трёхмерно-периодическая, т. е. она описывается как кристаллическая решётка. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его внутреннего атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Исследовательская работа 1. Описание кристаллов

Кристаллическая решётка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решётки понимаются свойства решётки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях. Если решётка совпадает сама с собой при повороте некоторой оси на угол 2π/n , то эта ось называется осью симметрии n -го порядка.

Кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии, описывающие структуру кристаллов на атомарном уровне, и точечные группы симметрии, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами . В обозначения точечных групп входят символы основных присущих им элементов симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки кристалла в семь кристаллографических сингоний – триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе симметрии и сингонии определяется измерениями углов или методом рентгеноструктурного анализа.

В порядке возрастающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом (обозначения осей и углов понятны из рисунка):

Триклинная система. Характерное свойство: a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ. Элементарная ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда.

Моноклинная система. Характерное свойство: два угла прямые, третий отличен от прямого. Следовательно, a ≠ b ≠ c ; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда с прямоугольником в основании.

Ромбическая система. Все углы прямые, все рёбра разные: a ≠ b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Тетрагональная система. Все углы прямые, два ребра одинаковые: a = b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с квадратным основанием.

Ромбоэдрическая (тригональная) система. Все рёбра одинаковые, все углы одинаковые и отличны от прямого: a = b = c ; α = β = γ ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба, деформированного сжатием или растяжением вдоль диагонали.

Гексагональная система. Рёбра и углы между ними удовлетворяют условиям: a = b ≠ c ; α = β = 90°; γ = 120°. Если составить вместе три элементарные ячейки, то получается правильная шестигранная призма. гексагональную упаковку имеют более 30 элементов (С в аллотропной модификации графита, Be, Cd, Ti и др.).

Кубическая система. Все рёбра одинаковые, все углы прямые: a = b = c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба. В кубической системе различают три вида так называемых решёток Бравэ : примитивную (а ), объёмно-центрированную (б ) и гранецентрированную (в ).

Примером кубической системы являются кристаллы поваренной соли (NaCl, г ). Более крупные ионы хлора (светлые шарики) образуют плотную кубическую упаковку, в свободных узлах которой (в вершинах правильного октаэдра) расположены ионы натрия (чёрные шарики).

Ещё один пример кубической системы – решётка алмаза (д ). Она представляет собой две кубические гранецентрированные решётки Бравэ, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Такой решёткой обладают, например, химические элементы кремний, германий, а также аллотропная модификация олова – серое олово.

Экспериментальная работа «Наблюдение кристаллических тел»

Оборудование: лупа или короткофокусная линза в оправе, набор кристаллических тел.

Порядок выполнения

1. С помощью лупы рассмотрите кристаллики поваренной соли. Обратите внимание на то, что все они имеют форму кубиков. Одиночный кристалл называют монокристаллом (имеет макроскопически упорядоченную кристаллическую решётку). Основным свойством кристаллических тел является зависимость физических свойств кристалла от направления – анизотропия.
2. Рассмотрите кристаллики медного купороса, обратите внимание на наличие плоских граней у отдельных кристалликов, углы между гранями не равны 90°.
3. Рассмотрите кристаллики слюды в виде тонких пластинок. Торец одной из пластин слюды расщеплён на множество тонких листочков. Пластинку слюды трудно разорвать, но легко расщепить на более тонкие листочки по плоскостям (анизотропия прочности ).
4. Рассмотрите поликристаллические тела (излом куска железа, чугуна или цинка). Обратите внимание: на изломе можно различить мелкие кристаллики, из которых и состоит кусок металла. Большинство встречающихся в природе и получаемых в технике твёрдых тел представляют собой совокупность сросшихся друг с другом хаотически ориентированных маленьких кристалликов. В отличие от монокристаллов поликристаллы изотропны, т. е. их свойства одинаковы по всем направлениям.

Исследовательская работа 2. Симметрия кристаллов (кристаллические решётки)

Кристаллы могут иметь форму различных призм, основанием которых служат правильный треугольник, квадрат, параллелограмм и шестиугольник. В основе классификации кристаллов и объяснения их физических свойств может лежать не только форма элементарной ячейки, но и другие виды симметрии, например, поворот вокруг оси. Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на 360° кристалл (его решётка) несколько раз совмещается сам с собой. Число этих совмещений называют порядком оси симметрии . Существуют кристаллические решётки, обладающие осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Возможна симметрия кристаллической решётки относительно плоскости симметрии, а также комбинации разных видов симметрии.

Русский учёный Е.С. Фёдоров установил, что 230 различных пространственных групп охватывают все возможные кристаллические структуры, встречающиеся в природе. Евграф Степанович Фёдоров (22 декабря 1853 г. – 21 мая 1919 г.) – русский кристаллограф, минералог, математик. Крупнейшее достижение Е.С. Фёдорова – строгий вывод всех возможных пространственных групп в 1890 г. Тем самым Фёдоров описал симметрии всего разнообразия кристаллических структур. В то же время он фактически решил известную с древности задачу о возможных симметричных фигурах. Кроме того, Евграф Степанович создал универсальный прибор для кристаллографических измерений – столик Фёдорова .

Экспериментальная работа «Демонстрация кристаллических решёток»

Оборудование: модели кристаллических решёток хлористого натрия, графита, алмаза.

Порядок выполнения

1. Соберите модель кристалла хлористого натрия (приводится рисунок ). Обращаем внимание на то, что шарики одного цвета имитируют ионы натрия, а другого – ионы хлора. Каждый ион в кристалле совершает тепловое колебательное движение около узла кристаллической решётки. Если соединить эти узлы прямыми линиями, то образуется кристаллическая решётка. Каждый ион натрия окружён шестью ионами хлора, и наоборот, каждый ион хлора – шестью ионами натрия.
2. Выберите направление вдоль одного из рёбер решётки. Обратите внимание: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
3. Выберите направление вдоль второго ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
4. Выберите направление вдоль третьего ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
5. Проведите мысленно прямую линию по диагонали куба, – на ней окажутся только белые или только чёрные шарики, т. е. ионы одного элемента. Это наблюдение может служить основанием для объяснения явления анизотропии, свойственном кристаллическим телам.
6. Размеры ионов в решётке неодинаковы: радиус иона натрия приблизительно в 2 раза больше радиуса иона хлора. В результате этого в кристалле поваренной соли ионы расположены так, что положение решётки устойчивое, т. е. имеется минимум потенциальной энергии.
7. Соберите модель кристаллической решётки алмаза и графита. Различие в упаковке атомов углерода в решётках графита и алмаза определяет существенные различия их физических свойств. Такие вещества называют аллотропными.
8. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды кристаллов.

1. Альмандин. 2. Исландский шпат. 3. Апатит. 4. Лёд. 5. Поваренная соль. 6. Ставролит (двойник). 7. Кальцит (двойник). 8. Золото.

Исследовательская работа 3. Получение кристаллов

Кристаллы ряда элементов и многих химических веществ обладают замечательными механическими, электрическими, магнитными, оптическими свойствами. Развитие науки и техники привело к тому, что многие редко встречающиеся в природе кристаллы стали очень нужны для изготовления деталей приборов, машин, для выполнения научных исследований. Возникла задача разработки технологии изготовления монокристаллов многих элементов и химических соединений. Как известно, алмаз – это кристалл углерода, рубин и сапфир – кристаллы оксида алюминия с различными примесями.

Наиболее распространёнными способами выращивания монокристаллов является кристаллизация из расплава и кристаллизация из раствора. Кристаллы из раствора выращивают при медленном испарении растворителя из насыщенного раствора или при медленном понижении температуры раствора.

Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

Оборудование: насыщенные растворы поваренной соли, двухромокислого аммония, гидрохинона, хлористый аммоний, предметное стекло, стеклянная палочка, лупа или линза в оправе.

Порядок выполнения

1. Возьмите стеклянной палочкой небольшую каплю насыщенного раствора поваренной соли и перенесите на предметное предварительно нагретое стекло (растворы готовятся заранее и хранятся в небольших колбочках или пробирках, закрытых пробками ).
2. Вода с тёплого стекла сравнительно быстро испаряется, и из раствора начинают выпадать кристаллы. Возьмите лупу и наблюдайте за процессом кристаллизации.
3. Наиболее эффективно проходит опыт с двухромокислым аммонием. На краях, а затем по всей поверхности капли появляются золотисто-оранжевые ветви с тонкими иглами, образующие причудливый рисунок.
4. Хорошо можно видеть неодинаковые скорости роста кристаллов в различных направлениях – анизотропию роста – у гидрохинона.
5. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды полученных кристаллов.

Исследовательская работа 4. Применение кристаллов

Кристаллы обладают замечательным свойством анизотропии (механическими, электрическими, оптическими и т. д.). Современные производства невозможно представить без использования кристаллов.

Кристалл		Пример применения
	Разведка и добыча полезных ископаемых	Буровые инструменты
	Ювелирная промышленность	Украшения
	Контрольно-измерительные приборы	Морские хронометры – особо точные приборы
	Обрабатывающая промышленность	Алмазные подшипники
	Приборостроение	Опорные камни для часов
	Химическая промышленность	Фильеры для протяжки волокна
	Научные исследования	Рубиновый лазер
	Ювелирная промышленность	Украшения
Германий, кремний	Электронная промышленность	Полупроводниковые схемы и устройства
Флюорит, турмалин, исландский шпат	Опто-электронная промышленность	Оптические приборы
Кварц, слюда	Электронная промышленность	Электронные приборы (конденсаторы и т. д.)
Сапфир, аметист	Ювелирная промышленность	Украшения
	Обрабатывающая промышленность	Графитовая смазка
	Машиностроение	Графитовая смазка

Интересная информация

Кто и когда открыл жидкие кристаллы? Где используются ЖК?

В конце XIX в. германский физик О. Леман и австрийский ботаник Ф. Рейнитцер обратили внимание на то, что некоторые аморфные и жидкие вещества отличаются весьма упорядоченной параллельной укладкой удлинённых по форме молекул . Позже по степени структурной упорядоченности их назвали жидкими кристаллами (ЖК). Различают смектические кристаллы (с послойной укладкой молекул), нематические (с хаотически параллельно смещёнными удлинёнными молекулами) и холестерические (по структуре близкие к нематическим, но отличающиеся большей подвижностью молекул). Было замечено, что при внешнем воздействии, например, малого по величине электрического напряжения, при изменении температуры, напряжённости магнитного поля меняется оптическая прозрачность молекулы ЖК. Выяснилось, что происходит это за счёт переориентации осей молекул в направлении, перпендикулярном исходному состоянию.

Жидкие кристаллы: а ) смектические; б ) нематические; в ) холестерические.
URL: http://www.superscreen.ru

Принцип работы ЖК-индикатора:
слева – электрическое поле выключено, свет проходит через стёкла; справа – поле включено, свет не проходит, видны чёрные символы (URL тот же)

Очередная волна научного интереса к жидким кристаллам поднялась в послевоенные годы. В числе исследователей-кристаллографов веское слово сказал наш соотечественник И.Г. Чистяков. В конце 60-х гг. прошлого века американская корпорация RСA начала проводить первые серьёзные исследования по использованию нематических ЖК для визуального отображения информации. Однако опередила всех японская компания Sharp , которая в 1973 г. предложила жидкокристаллическую буквенно-цифровую мозаичную панель – ЖК-дисплей (LCD – Liquid Crystal Display ). Это были скромные по размерам монохромные индикаторы, где полисегментные электроды использовались в основном для нумерации чисел. Начавшаяся «индикаторная революция» привела практически к полной замене стрелочных механизмов (в электроизмерительных приборах, наручных и стационарных часах, бытовой и промышленной радиоаппаратуре) на средства визуального отображения информации в цифре – более точные, с безошибочным отсчётом.

Жидкокристаллические дисплеи разного типа. URL: http://www.permvelikaya.ru ; http://www.gio.gov.tw ; http://www.radiokot.ru

Благодаря успехам микроэлектроники карманные и настольные калькуляторы заменили арифмометры, счёты, логарифмические линейки. Лавинообразное снижение себестоимости интегральных микросхем привело даже к явлениям, явно противоречащим техническим тенденциям. Например, современные цифровые наручные часы заметно дешевле пружинно-стрелочных, которые, по инерции мышления, сохраняют популярность, перейдя в категорию «престижных».

От каких параметров зависит форма снежинок? Какая наука и для каких целей занимается изучением снега, льда, снежинок?

Первый альбом с зарисовками разных снежинок, сделанных с помощью микроскопа, появился ещё в начале ХIХ в. в Японии . Его создал учёный Дои Тишицура. Почти сто лет спустя другой японский учёный, Укисиро Накайя, создал классификацию снежинок. Его исследования доказали, что привычные нам ветвистые снежинки шестиконечной формы возникают только при определённой температуре: 14–17 °С. При этом влажность воздуха должна быть очень высокой. В остальных случаях снежинки могут приобретать самые различные формы.

Самая распространённая форма снежинок – дендриты (от греч. δέντρο – дерево ). Лучи этих кристаллов похожи на ветви деревьев.

Миром снега и льда занимается наука гляциология . Она возникла в ХVII в. после того, как швейцарский естествоиспытатель О. Соссюр опубликовал книгу об альпийских ледниках. Гляциология существует на стыке множества других наук, в первую очередь физики, геологии и гидрологии. Изучать лёд и снег нужно для того, чтобы знать, как предотвратить снежные лавины и гололёд. Ведь на борьбу с их последствиями во всём мире ежегодно тратятся миллионы долларов. Но если знать природу снега и льда, можно сэкономить немало денег и спасти множество человеческих жизней. А ещё лёд может рассказать об истории Земли. Например, в 70-е гг. гляциологи изучали ледяной покров Антарктиды, бурили скважины и исследовали особенности льда в разных слоях. Благодаря этому удалось узнать о множестве изменений климата, которые происходили на нашей планете на протяжении 400 000 лет.

Занимательные и нестандартные задачи (групповая работа)

На берегу Северного пролива, на северо-востоке острова Ирландия поднимаются невысокие горы Антрим. Они сложены черными базальтами – следами деятельности древних вулканов, высившихся вдоль гигантского разлома, отделившего 60 млн лет назад Ирландию от Великобритании. Потоки чёрных лав, излившихся из этих кратеров, образовали прибрежные горы на ирландском побережье и на Гебридских островах по ту сторону Северного пролива. Удивительная порода этот базальт! Жидкий, легко текучий в расплавленном виде (по склонам вулканов базальтовые потоки несутся порой со скоростью до 50 км/ч), он при остывании и затвердевании трескается, образуя правильные шестигранные призмы. Издали базальтовые обрывы напоминают огромные органы с сотнями чёрных труб. А когда поток лавы стекает в воду, возникают иной раз такие причудливые образования, что трудно не поверить в их волшебное происхождение. Именно такое природное явление можно наблюдать у подножья Антрима. От вулканического массива отделяется здесь своеобразная «дорога в никуда». Дамба возвышается над морем на 6 м и состоит примерно из 40 000 базальтовых колонн. Она похожа на недостроенный мост через пролив, задуманный каким-то сказочным великаном, и носит название «Мостовая Гигантов».

Задача. О каких свойствах кристаллических тел и жидкостей идёт речь? Какие отличия между кристаллическими твёрдыми телами и жидкостями вы знаете? (Ответ. Правильная геометрическая форма является существенным внешним признаком любого кристалла в природных условиях.)

Первый алмаз в Южной Африке нашёл в 1869 г. мальчик-пастух. Через год здесь был основан город Кимберли, по названию которого коренная алмазоносная порода стала называться кимберлитом. Содержание алмазов в кимберлитах очень низкое – не более 0,000 007 3%, что эквивалентно 0,2 г (1 карату) на каждые 3 т кимберлитов. Ныне одна из достопримечательностей Кимберли – огромный котлован глубиной 400 м, вырытый добытчиками алмазов.

Задача. Где применяются ценные свойства алмазов?

«Такая снеговинка (речь идёт о снежинке. – А. С. ), шестигранная, правильная звёздочка, упала Нержину на рукав старой фронтовой порыжевшей шинели».

А.И. Солженицын. В круге первом.

? Почему снежинки имеют правильную форму? (Ответ. Основное свойство кристаллов – симметрия.)

«Окно брякнуло с шумом; стёкла, звеня, вылетели вон, и страшная свиная рожа выставилась, поводя очами, как будто спрашивая: «А что вы тут делаете, добрые люди?»

Н.В. Гоголь.

? Почему стекло разбивается даже при небольшой нагрузке? (Ответ. Стекло относят к хрупким телам, у которых практически отсутствует пластическая деформация, так что упругая деформация непосредственно завершается разрушением.)

«Морозило сильнее, чем с утра; но зато так было тихо, что скрып мороза под сапогами слышался за полверсты».

Н.В. Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки.

? Почему в мороз снег скрипит под ногами? (Ответ. Снежинки – кристаллики, под ногами они разрушаются, вследствие этого и появляется звук.)

Алмаз алмазом режется.

? Алмаз и графит состоят из одинаковых атомов углерода. Почему же отличаются свойства алмаза и графита? (Ответ. Эти вещества различаются кристаллическим строением. У алмаза прочные ковалентные связи, у графита – слоистая структура.)

? Какие вещества вы знаете, которые не уступают алмазу по прочности? (Ответ. Одним из таких веществ является нитрид бора. Очень прочной ковалентной связью связываются атомы бора и азота в кристаллической решётке нитрида бора. Нитрид бора по твёрдости не уступает алмазу, по прочности и термостойкости превосходит его.)

Туп конец, востёр резец: режет листки, летят куски. Что это? (Ответ. Алмаз.)

? Какое свойство отличает алмаз от других веществ? (Ответ. Твёрдость.)

Самые большие кристаллы были обнаружены в пещере Найка, в мексиканском штате Чиуауа. Некоторые из них в длину достигают 13 м, а в ширину 1 м.

А.Е. Ферсман в начале XX в. описал каменоломню на Южном Урале, заложенную в одном гигантском кристалле полевого шпата.

Заключение

В заключение урока хочу привести уникальный пример использования симметрии. Медоносные пчёлы должны уметь считать и экономить. Чтобы выделить особыми железами всего 60 г воска, им надо съесть 1 кг мёда из нектара и пыльцы, а на постройку средних размеров гнезда требуется около 7 кг сладкой пищи. Ячейки сотов в принципе могут быть квадратными, но пчёлы выбирают шестигранную форму: она обеспечивает самую плотную упаковку личинок, так что на постройку стенок уходит минимум драгоценного воска. Соты вертикальные, ячейки на них расположены с обеих сторон, т. е. дно у них общее – ещё экономия. Они направлены вверх под углом 13°, чтобы не вытекал мёд. В таких сотах помещается несколько килограммов меда. Вот настоящие чудеса природы.

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003.
2. Вейль Г. Симметрия: пер с англ. М., 1968.
3. Гляциологический словарь / Под ред. В.М. Котлякова. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
4. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.
5. Меркулов Д. Магия жидких кристаллов // Наука и жизнь. 2004. № 12.
6. Фёдоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. М., 1949.
7. Физика: энц. для детей. М.: Аванта+, 2000.
8. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд-е 2. М., 1972.