Poin (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, perpotongannya dengan tesseract itu sendiri mendefinisikan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasangan wajah 3D nonparalel berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Akhirnya, sebuah tesseract memiliki 8 wajah 3D, 24 2D, 32 edge dan 16 vertex.

Deskripsi Populer

Mari kita coba bayangkan bagaimana hypercube akan terlihat tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada garis - kami memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kami menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujungnya. Anda akan mendapatkan CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan pesawat, kami mendapatkan CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus di dimensi keempat (tegak lurus ke tiga yang pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Konstruksi tesseract di pesawat

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi CDBA persegi dua dimensi, persegi adalah sisi kubus CDBAGHFE, yang, pada gilirannya, akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Segmen garis lurus memiliki dua titik batas, persegi memiliki empat simpul, dan kubus memiliki delapan. Jadi, dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asli dan 8 simpul yang digeser di dimensi keempat. Ini memiliki 32 tepi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir dari kubus asli, dan 8 tepi lagi "menggambar" delapan simpulnya yang telah pindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi, itu adalah satu (persegi itu sendiri), kubus memiliki 6 di antaranya (dua wajah dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi akan menggambarkan sisi-sisinya). Sebuah hypercube empat dimensi memiliki 24 wajah persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas sisinya.

Karena sisi persegi adalah 4 segmen satu dimensi, dan sisi (wajah) kubus adalah 6 persegi dua dimensi, jadi untuk "kubus empat dimensi" (tesseract) sisinya adalah 8 kubus tiga dimensi. Ruang dari pasangan kubus tesseract yang berlawanan (yaitu, ruang tiga dimensi tempat kubus ini berada) adalah paralel. Pada gambar, ini adalah kubus: CDBAGHFE dan KLJIOPNM, CDBAKLJI dan GHFEOPNM, EFBAMNJI dan GHDCOPLK, CKIAGOME dan DLJBHPNF.

Demikian pula, kita dapat melanjutkan alasan untuk hypercubes lagi dimensi, tetapi jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Mari kita gunakan untuk ini metode analogi yang sudah dikenal.

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan lihat dengan satu mata dari sisi wajah. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (wajah dekat dan jauh), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua "kotak" kubik yang dimasukkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan membentang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus tidak dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser oleh panjang wajah, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hypercube. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang di masa depan akan terlihat cantik sosok yang kompleks. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus dalam jumlah tak terbatas, sama seperti kubus tiga dimensi dapat "dipotong" menjadi kotak datar dalam jumlah tak terbatas.

Dengan memotong enam wajah kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi sosok datar - sebuah perkembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang "tumbuh" darinya, ditambah satu lagi - "hyperface" terakhir.

Properti dari tesseract adalah perpanjangan dari properti bentuk geometris dimensi yang lebih rendah menjadi ruang empat dimensi.

proyeksi

ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk memproyeksikan tesseract ke dalam ruang 2D atau 3D. Selain itu, proyeksi ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul dari hypercube. Dengan cara ini, dapat diperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur vertex link, seperti pada contoh berikut:

Gambar ketiga menunjukkan tesseract dalam isometri, relatif terhadap titik konstruksi. Pandangan ini menarik ketika menggunakan tesseract sebagai dasar jaringan topologi untuk menghubungkan beberapa prosesor dalam komputasi paralel.

ke ruang tiga dimensi

Salah satu proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi adalah dua kubus tiga dimensi bersarang, simpul yang sesuai yang dihubungkan oleh segmen. Kubus dalam dan luar memiliki ukuran yang berbeda dalam ruang 3D, tetapi mereka adalah kubus yang sama dalam ruang 4D. Untuk memahami kesetaraan semua kubus tesseract, model berputar tesseract telah dibuat.

• Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama. Namun, kubus ini untuk tesseract seperti kotak (wajah) adalah kubus. Tetapi pada kenyataannya, sebuah tesseract dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terbatas, sama seperti sebuah kubus dapat dibagi menjadi sejumlah kotak yang tak terbatas, atau sebuah kotak dapat dibagi menjadi sejumlah segmen yang tak terbatas.

Proyeksi lain yang menarik dari tesseract ke ruang tiga dimensi adalah belah ketupat dengan empat diagonalnya ditarik, menghubungkan pasangan simpul yang berlawanan pada sudut belah ketupat yang besar. Dalam hal ini, 14 dari 16 simpul tesseract diproyeksikan menjadi 14 simpul belah ketupat, dan proyeksi 2 sisanya bertepatan di tengahnya. Dalam proyeksi ke ruang tiga dimensi seperti itu, kesetaraan dan paralelisme semua sisi satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi dipertahankan.

pasangan stereo

Sebuah stereopair tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Penggambaran tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopik muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract sedang berlangsung

Permukaan tesseract dapat dibuka menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibuka menjadi enam kotak). Ada 261 pengungkapan berbeda dari tesseract. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

• Dalam New Plain karya Edwine A. Abbott, hypercube adalah naratornya.
• Dalam salah satu episode The Adventures of Jimmy Neutron, "bocah jenius" Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road (1963) karya Robert Heinlein.
• Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes dalam setidaknya tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam The House of Four Dimensions (The House That Teel Built), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai pengungkapan sebuah tesseract, dan kemudian, karena gempa bumi, "terbentuk" di dimensi keempat dan menjadi tesseract yang "nyata".
• Dalam novel Glory Road karya Heinlein, digambarkan sebuah kotak hiperdimensi yang lebih besar di dalam daripada di luar.
• Kisah Henry Kuttner "All Borog's Tenals" menggambarkan mainan pendidikan untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, serupa strukturnya dengan tesseract.
• Dalam novel Alex Garland ( ), istilah "tesseract" digunakan untuk pembukaan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, daripada hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognisi harus lebih luas daripada yang dapat dikenali.
• Plot The Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
• Serial TV Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai alat konspirasi. Mereka terutama dimaksudkan untuk mengontrol ruang dan waktu.
• Lukisan " Penyaliban"(Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali ().
• Buku komik Nextwave menggambarkan kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
• Dalam album Voivod Nothingface, salah satu lagunya berjudul "In my hypercube".
• Dalam novel Route Cube Anthony Pierce, salah satu bulan orbit IDA disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
• Di serial "School" Black Hole "" di musim ketiga ada episode "Tesseract". Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai "berbentuk seperti tesseract matematika".
• Istilah "tesseract" dan istilah "tesse" berasal darinya ditemukan dalam cerita Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time".
• TesseracT adalah nama grup djent Inggris.
• Dalam serial film Marvel Cinematic Universe, Tesseract adalah elemen plot utama, artefak kosmik berbentuk hypercube.
• Dalam cerita Robert Sheckley "Nona Tikus dan Dimensi Keempat", seorang penulis esoteris, seorang kenalan penulis, mencoba untuk melihat tesseract, mencari berjam-jam pada perangkat yang ia rancang: sebuah bola di kaki dengan batang yang ditancapkan ke dalamnya, di kubus mana yang ditanam, ditempel dengan segala macam simbol esoteris. Ceritanya menyebutkan karya Hinton.
• Dalam film The First Avenger, The Avengers. Tesseract adalah energi seluruh alam semesta

Nama lain

• Hexadecachoron (Bahasa Inggris) Heksadekakoron)
• Octochoron (Inggris) oktakoron)
• kubus
• 4-kubus
• Hypercube (jika jumlah dimensi tidak ditentukan)

Catatan

literatur

• Charles H. Hinton. Dimensi Keempat, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Karnaval Matematika, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Konsep Matematika Modern, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Tautan

Dalam bahasa Rusia

• program Transformator4D. Pembentukan model proyeksi tiga dimensi dari objek empat dimensi (termasuk Hypercube).
• Program yang mengimplementasikan konstruksi tesseract dan semua transformasi affinenya, dengan sumber C++.

Dalam Bahasa Inggris

• Mushware Limited adalah program keluaran tesseract ( Pelatih Tesseract, dilisensikan di bawah GPLv2) dan penembak orang pertama 4D ( Adanaxis; grafis, kebanyakan tiga dimensi; ada versi GPL di repositori OS).

Polihedra
benar (Padatan Platonis)
Dodecahedron berbintang Icosidodecahedron berbintang Ikosahedron berbintang Polihedron berbintang Oktahedron berbintang
cembung	padatan Archimedean Cuboctahedron Icosidodecahedron Tetrahedron terpotong Oktahedron terpotong Icosahedron terpotong Kubus terpotong Kubus terpotong Dodecahedron terpotong Rhombicuboctahedron Rhomboicosododecahedron Rhombicosidodecahedron Kuboctahedron terpotong Rhomboctahedron Snunctahedron terpotong Badan Katalan Rhombododecahedron Rhombotriacontahedron Triakistetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoid icositetrahedron Deltoidal hexecontahedron Pentagonal icositetrahedron Pentagonal hexecontahedron Disdakisdode Tanpa simetri spasial yang lengkap Piramida Prisma Bipyramid Antiprism Zonohedron Paralelepiped Rhombohedron Prismatoid Piramida Terpotong Pentagondodecahedron Parallelohedron
rumus, teorema, teori
Lainnya

Tesseract (dari bahasa Yunani lainnya - empat sinar) - hypercube empat dimensi - analog kubus dalam ruang empat dimensi.

Bayangan adalah proyeksi (perspektif) kubus empat dimensi ke ruang tiga dimensi.

Menurut Kamus Oxford, kata "tesseract" diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut sosok yang sama "tetracube".

Geometri

Sebuah tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean didefinisikan sebagai lambung titik-titik cembung (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, perpotongannya dengan tesseract itu sendiri mendefinisikan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasangan wajah 3D nonparalel berpotongan membentuk wajah 2D (persegi), dan seterusnya. Akhirnya, sebuah tesseract memiliki 8 wajah 3D, 24 2D, 32 edge dan 16 vertex.

Deskripsi Populer

Mari kita coba bayangkan bagaimana hypercube akan terlihat tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada garis - kami memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kami menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujungnya. Dapatkan persegi ABCD. Mengulangi operasi ini dengan pesawat, kita mendapatkan kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan menggeser kubus di dimensi keempat (tegak lurus ke tiga yang pertama) sejauh L, kita mendapatkan hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi persegi dua dimensi ABCD, persegi adalah sisi kubus ABCDHEFG, yang, pada gilirannya, akan menjadi sisi hiperkubus empat dimensi. Segmen garis lurus memiliki dua titik batas, persegi memiliki empat simpul, dan kubus memiliki delapan. Jadi, dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asli dan 8 simpul yang digeser di dimensi keempat. Ini memiliki 32 tepi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir dari kubus asli, dan 8 tepi lagi "menggambar" delapan simpulnya yang telah pindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi, itu adalah satu (persegi itu sendiri), kubus memiliki 6 di antaranya (dua wajah dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi akan menggambarkan sisi-sisinya). Sebuah hypercube empat dimensi memiliki 24 wajah persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas sisinya.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan alasan untuk hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, tetapi jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Mari kita gunakan untuk ini metode analogi yang sudah dikenal.

Tesseract sedang berlangsung

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan lihat dengan satu mata dari sisi wajah. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (wajah dekat dan jauh), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua "kotak" kubik yang dimasukkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan membentang di dimensi keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus tidak dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser oleh panjang wajah, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hypercube. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang di masa depan akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Bagiannya, yang tetap berada di ruang "kita", digambar dengan garis-garis tegas, dan bagian yang masuk ke hyperspace dibuat putus-putus. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus dalam jumlah tak terbatas, sama seperti kubus tiga dimensi dapat "dipotong" menjadi kotak datar dalam jumlah tak terbatas.

Dengan memotong enam wajah kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi sosok datar - jaring. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang "tumbuh" darinya, ditambah satu lagi - "hyperface" terakhir.

Sifat-sifat tesseract merupakan perluasan sifat-sifat bangun-bangun geometris dari dimensi yang lebih kecil ke dalam ruang empat dimensi.

proyeksi

ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk memproyeksikan tesseract ke dalam ruang 2D atau 3D. Selain itu, proyeksi ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul dari hypercube. Dengan cara ini, dapat diperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur vertex link, seperti pada contoh berikut:


ke ruang tiga dimensi

Proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi adalah dua kubus tiga dimensi bersarang, simpul yang sesuai yang dihubungkan oleh segmen. Kubus dalam dan luar memiliki ukuran yang berbeda dalam ruang 3D, tetapi mereka adalah kubus yang sama dalam ruang 4D. Untuk memahami kesetaraan semua kubus tesseract, model berputar tesseract telah dibuat.

Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama.
pasangan stereo

Sebuah stereopair tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Penggambaran tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopik muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract sedang berlangsung

Permukaan tesseract dapat dibuka menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibuka menjadi enam kotak). Ada 261 pengungkapan berbeda dari tesseract. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

Dalam New Plain karya Edwine A. Abbott, hypercube adalah naratornya.
Dalam salah satu episode The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan foldbox dari Heinlein's 1963 Glory Road.
Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes dalam setidaknya tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai pengungkapan sebuah tesseract.
Dalam novel Heinlein Glory Road, piring berukuran besar dijelaskan yang lebih besar di dalam daripada di luar.
Cerpen Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" menggambarkan mainan pendidikan untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, mirip strukturnya dengan tesseract.
Dalam novel karya Alex Garland (1999), istilah "tesseract" digunakan untuk pembukaan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, daripada hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognisi harus lebih luas daripada yang dapat dikenali.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
Serial TV Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai alat konspirasi. Mereka terutama dimaksudkan untuk mengontrol ruang dan waktu.
Lukisan "Penyaliban" (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali (1954)
Buku komik Nextwave menggambarkan kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
Dalam album Voivod Nothingface, salah satu lagunya berjudul "In my hypercube".
Dalam novel Route Cube Anthony Pierce, salah satu bulan orbit IDA disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
Di serial "School" Black Hole "" di musim ketiga ada episode "Tesseract". Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai terbentuk seperti tesserak matematika.
Istilah "tesseract" dan istilah "tesse" berasal darinya ditemukan dalam cerita Madeleine L'Engle "Wrinkle of Time"

Jika Anda penggemar film Avengers, hal pertama yang terlintas di benak Anda ketika mendengar kata "Tesseract" adalah wadah Batu Infinity berbentuk kubus transparan yang berisi kekuatan tak terbatas.

Bagi penggemar Marvel Universe, Tesseract adalah kubus biru bercahaya, yang membuat orang-orang tidak hanya dari Bumi, tetapi juga planet lain menjadi gila. Itu sebabnya semua Avengers bersatu untuk melindungi penduduk bumi dari serangan yang sangat kekuatan destruktif Tesseract.

Apa yang perlu dikatakan adalah ini: Tesseract adalah konsep geometris yang sebenarnya, lebih khusus lagi, bentuk yang ada dalam 4D. Ini bukan hanya kubus biru dari The Avengers... ini adalah konsep nyata.

Tesseract adalah objek dalam 4 dimensi. Namun sebelum kita menjelaskannya secara detail, mari kita mulai dari awal.

Apa itu "pengukuran"?

Setiap orang telah mendengar istilah 2D dan 3D, yang masing-masing mewakili objek ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Tapi apa ini?

Dimensi hanyalah arah yang bisa Anda tuju. Misalnya, jika Anda menggambar garis pada selembar kertas, Anda dapat bergerak ke kiri/kanan (sumbu x) atau atas/bawah (sumbu y). Jadi kita katakan kertas itu dua dimensi karena Anda hanya bisa berjalan di dua arah.

Ada rasa kedalaman dalam 3D.

Sekarang, di dunia nyata, selain dua arah yang disebutkan di atas (kiri/kanan dan atas/bawah), Anda juga bisa masuk/keluar. Akibatnya, rasa kedalaman ditambahkan dalam ruang 3D. Oleh karena itu kami mengatakan bahwa kehidupan nyata 3 dimensi.

Titik dapat mewakili 0 dimensi (karena tidak bergerak ke segala arah), garis mewakili 1 dimensi (panjang), persegi mewakili 2 dimensi (panjang dan lebar), dan kubus mewakili 3 dimensi (panjang, lebar, dan tinggi). ).

Ambil kubus 3D dan ganti setiap wajah (yang saat ini berbentuk persegi) dengan kubus. Sehingga! Bentuk yang Anda dapatkan adalah tesseract.

Apa itu tesseract?

Sederhananya, tesseract adalah kubus dalam ruang 4 dimensi. Anda juga dapat mengatakan bahwa ini setara dengan kubus 4D. Ini adalah bentuk 4D di mana setiap wajah adalah kubus.

Proyeksi 3D dari tesseract yang melakukan rotasi ganda di sekitar dua bidang ortogonal.
Gambar: Jason Hise

Berikut cara sederhana untuk mengkonseptualisasikan dimensi: persegi adalah dua dimensi; jadi masing-masing sudutnya memiliki 2 garis yang memanjang 90 derajat satu sama lain. Kubus itu 3D, jadi masing-masing sudutnya memiliki 3 garis yang keluar darinya. Demikian juga, tesseract adalah bentuk 4D, sehingga setiap sudut memiliki 4 garis yang memanjang darinya.

Mengapa sulit membayangkan tesseract?

Karena kita sebagai manusia telah berevolusi untuk membuat objek dalam tiga dimensi, apa pun yang masuk ke dimensi ekstra seperti 4D, 5D, 6D, dll. tidak masuk akal bagi kami karena kami tidak dapat memvisualisasikannya sama sekali. Otak kita tidak dapat memahami dimensi ke-4 di luar angkasa. Kami hanya tidak bisa memikirkannya.

Dalam geometri hypercube- dia n analogi dimensi persegi ( n= 2) dan kubus ( n= 3). Ini adalah gambar cembung tertutup, terdiri dari kelompok garis paralel yang terletak di tepi yang berlawanan dari gambar, dan terhubung satu sama lain di sudut kanan.

Angka ini juga dikenal sebagai tesseract(tesserak). Tesseract adalah untuk kubus seperti kubus adalah untuk persegi. Lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polytop empat dimensi cembung biasa (polytope) yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.

Menurut Oxford English Dictionary, kata "tesseract" diciptakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya A New Era of Thought. Kata tersebut dibentuk dari bahasa Yunani "τεσσερες " ("empat sinar"), berbentuk empat sumbu koordinat. Selain itu, di beberapa sumber, sosok yang sama disebut kubus(tetrakuba).

n-dimensi hypercube juga disebut kubus n.

Titik adalah hiperkubus berdimensi 0. Jika Anda menggeser sebuah titik dengan satuan panjang, Anda mendapatkan segmen dengan satuan panjang - sebuah hiperkubus berdimensi 1. Selanjutnya, jika Anda menggeser segmen dengan satuan panjang ke arah tegak lurus ke arah segmen, Anda mendapatkan kubus - hypercube berdimensi 2. Menggeser persegi dengan satuan panjang ke arah tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar, diperoleh kubus - hypercube berdimensi 3. Proses ini dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Misalnya, jika Anda menggeser kubus dengan satuan panjang di dimensi keempat, Anda mendapatkan tesseract.

Keluarga hypercubes adalah salah satu dari sedikit polihedra biasa yang dapat direpresentasikan dalam dimensi apa pun.

elemen hypercube

Dimensi hypercube n memiliki 2 n"sisi" (garis satu dimensi memiliki 2 titik; persegi dua dimensi - 4 sisi; kubus tiga dimensi - 6 wajah; tesseract empat dimensi - 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hypercube adalah 2 n(misalnya, untuk kubus - 2 3 simpul).

Kuantitas M-hiperkubus dimensi pada batas n-kubus sama dengan

Misalnya, di perbatasan hypercube ada 8 kubus, 24 kotak, 32 tepi dan 16 simpul.

Elemen hypercubes

kubus n	Nama	Puncak (0-wajah)	Tepian (1-wajah)	tepian (2-wajah)	Sel (3-wajah)	(4-wajah)	(5-wajah)	(6-wajah)	(7-wajah)	(8-wajah)
0-kubus	Dot	1
1-kubus	Bagian	2	1
2-kubus	Kotak	4	4	1
3-kubus	kubus	8	12	6	1
4-kubus	tesseract	16	32	24	8	1
5-kubus	penetrasi	32	80	80	40	10	1
6-kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kubus	Hepterak	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubus	okter	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubus	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Proyeksi pesawat

Pembentukan hypercube dapat direpresentasikan dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B dapat dihubungkan membentuk ruas garis AB.
• Dua segmen sejajar AB dan CD dapat dihubungkan membentuk persegi ABCD.
• Dua buah persegi ABCD dan EFGH yang sejajar dapat digabungkan untuk membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua buah kubus sejajar ABCDEFGH dan IJKLMNOP dapat dihubungkan membentuk hiperkubus ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir tidak mudah untuk dibayangkan, tetapi dimungkinkan untuk menggambarkan proyeksinya ke dua atau tiga dimensi. Selain itu, proyeksi ke bidang 2D dapat lebih berguna dengan mengatur ulang posisi simpul yang diproyeksikan. Dalam hal ini, dapat diperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial elemen-elemen dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi verteks, seperti pada contoh di bawah ini.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana tesseract terbentuk pada prinsipnya dengan menggabungkan dua kubus. Skema ini mirip dengan skema untuk membuat kubus dari dua kotak. Diagram kedua menunjukkan bahwa semua tepi tesseract memiliki panjang yang sama. Skema ini juga dipaksa untuk mencari kubus yang terhubung satu sama lain. Pada diagram ketiga, simpul dari tesseract terletak sesuai dengan jarak di sepanjang permukaan relatif terhadap titik bawah. Skema ini menarik karena digunakan sebagai skema dasar untuk topologi jaringan yang menghubungkan prosesor dalam mengatur komputasi paralel: jarak antara dua node tidak melebihi 4 panjang tepi, dan ada banyak cara berbeda untuk menyeimbangkan beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam fiksi ilmiah sejak 1940, ketika Robert Heinlein, dalam cerita "The House That Teal Built" ("Dan Dia Membangun Rumah yang Bengkok"), menggambarkan sebuah rumah yang dibangun dalam bentuk tesseract. Dalam cerita, ini Selanjutnya, rumah ini dilipat, berubah menjadi tesseract empat dimensi. Setelah itu, hypercube muncul di banyak buku dan novel.

Cube 2: Hypercube adalah sekitar delapan orang yang terjebak dalam jaringan hypercube.

Lukisan Penyaliban (Corpus Hypercubus), 1954 oleh Salvador Dali menggambarkan Yesus disalibkan pada scan tesseract. Lukisan ini bisa dilihat di Museum Seni (Metropolitan Museum of Art) di New York.

Kesimpulan

Hypercube adalah salah satu objek empat dimensi paling sederhana, pada contoh di mana Anda dapat melihat semua kompleksitas dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang tampak mustahil dalam tiga dimensi mungkin dalam empat, misalnya, angka-angka yang mustahil. Jadi, misalnya, batang-batang segitiga mustahil dalam empat dimensi akan dihubungkan pada sudut siku-siku. Dan gambar ini akan terlihat seperti ini dari semua sudut pandang, dan tidak akan terdistorsi, tidak seperti implementasi segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat Gambar.

Bacalier Maria

Cara-cara memperkenalkan konsep kubus empat dimensi (tesseract), strukturnya dan beberapa sifat sedang dipelajari Pertanyaan tentang benda tiga dimensi apa yang diperoleh ketika kubus empat dimensi berpotongan dengan hyperplane yang sejajar dengan tiga dimensinya? wajah dimensi, serta dengan hyperplanes tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Peralatan geometri analitik multidimensi yang digunakan untuk penelitian dipertimbangkan.

Unduh:

Pratinjau:

Pendahuluan………………………………………………………………………….2

Bagian utama………………………………………………………………..4

Kesimpulan………….. …………………………………………………………..12

Referensi…………………………………………………………..13

pengantar

Ruang empat dimensi telah lama menarik perhatian baik matematikawan profesional maupun orang-orang yang jauh dari mempraktekkan ilmu ini. Ketertarikan pada dimensi keempat mungkin karena asumsi bahwa dunia tiga dimensi kita "dibenamkan" dalam ruang empat dimensi, seperti halnya sebuah pesawat "dibenamkan" dalam ruang tiga dimensi, sebuah garis lurus "dibenamkan" dalam sebuah bidang, dan sebuah titik berada pada garis lurus. Selain itu, ruang empat dimensi memainkan peran penting dalam teori modern relativitas (yang disebut ruang-waktu atau ruang Minkowski), dan juga dapat dianggap sebagai kasus khususruang Euclidean berdimensi (untuk).

Kubus empat dimensi (tesseract) adalah objek ruang empat dimensi yang memiliki dimensi maksimum yang mungkin (seperti kubus biasa adalah objek ruang tiga dimensi). Perhatikan bahwa ini juga menarik secara langsung, yaitu, dapat muncul dalam masalah optimasi pemrograman linier (sebagai area di mana fungsi linier minimum atau maksimum dari empat variabel ditemukan), dan juga digunakan dalam mikroelektronika digital (ketika memprogram pengoperasian tampilan jam elektronik). Selain itu, proses mempelajari kubus empat dimensi berkontribusi pada pengembangan pemikiran spasial dan imajinasi.

Oleh karena itu, studi tentang struktur dan sifat khusus kubus empat dimensi cukup relevan. Perlu dicatat bahwa dari segi struktur, kubus empat dimensi telah dipelajari dengan cukup baik. Yang jauh lebih menarik adalah sifat bagian-bagiannya oleh berbagai hyperplanes. Dengan demikian, tujuan utama dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari struktur tesseract, serta untuk mengklarifikasi pertanyaan tentang objek tiga dimensi apa yang akan diperoleh jika kubus empat dimensi dipotong oleh hyperplane yang sejajar dengan salah satu dari tiga dimensinya. wajah dimensi, atau dengan hyperplanes tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Sebuah hyperplane dalam ruang empat dimensi adalah subruang tiga dimensi. Kita dapat mengatakan bahwa garis lurus pada sebuah bidang adalah hyperplane satu dimensi, sebuah bidang dalam ruang tiga dimensi adalah hyperplane dua dimensi.

Tujuan yang ditetapkan menentukan tujuan penelitian:

1) Mempelajari fakta-fakta dasar geometri analitik multidimensi;

2) Untuk mempelajari fitur membangun kubus dimensi dari 0 sampai 3;

3) Mempelajari struktur kubus empat dimensi;

4) Mendeskripsikan kubus empat dimensi secara analitik dan geometris;

5) Membuat model sapuan dan proyeksi pusat kubus tiga dimensi dan empat dimensi.

6) Dengan menggunakan peralatan geometri analitik multidimensi, gambarkan objek tiga dimensi yang diperoleh dengan melintasi kubus empat dimensi dengan hyperplane yang sejajar dengan salah satu wajah tiga dimensinya, atau dengan hyperplane yang tegak lurus dengan diagonal utamanya.

Informasi yang diperoleh dengan cara ini akan memungkinkan untuk lebih memahami struktur tesseract, serta mengungkapkan analogi mendalam dalam struktur dan sifat kubus dari berbagai dimensi.

Bagian utama

Pertama, kami menjelaskan peralatan matematika yang akan kami gunakan dalam studi ini.

1) Koordinat vektor: jika, kemudian

2) Persamaan hyperplane dengan vektor normal terlihat seperti di sini

3) Pesawat dan paralel jika dan hanya jika

4) Jarak antara dua titik didefinisikan sebagai berikut: jika, kemudian

5) Kondisi ortogonalitas vektor:

Pertama-tama, mari kita cari tahu bagaimana kubus empat dimensi dapat dijelaskan. Ini dapat dilakukan dengan dua cara - geometris dan analitis.

Jika kita berbicara tentang metode pengaturan geometris, maka disarankan untuk mengikuti proses pembuatan kubus, mulai dari dimensi nol. Kubus berdimensi nol adalah sebuah titik (perhatikan bahwa sebuah titik juga dapat berperan sebagai bola berdimensi nol). Selanjutnya, kami memperkenalkan dimensi pertama (sumbu absis) dan pada sumbu yang sesuai kami menandai dua titik (dua kubus berdimensi nol) yang terletak pada jarak 1 satu sama lain. Hasilnya adalah segmen - kubus satu dimensi. Kami segera mencatat fitur yang menonjol: Batas (ujung) kubus satu dimensi (ruas) adalah dua buah kubus berdimensi nol (dua titik). Selanjutnya, kami memperkenalkan dimensi kedua (sumbu y) dan pada bidangMari kita buat dua kubus satu dimensi (dua segmen), yang ujung-ujungnya berjarak 1 satu sama lain (sebenarnya, salah satu segmen adalah proyeksi ortogonal dari yang lain). Menghubungkan ujung segmen yang sesuai, kami mendapatkan kotak - kubus dua dimensi. Sekali lagi, kita perhatikan bahwa batas kubus dua dimensi (persegi) adalah empat kubus satu dimensi (empat segmen). Akhirnya, kami memperkenalkan dimensi ketiga (sumbu aplikasi) dan membangun dalam ruangdua kotak sedemikian rupa sehingga salah satunya adalah proyeksi ortogonal dari yang lain (dalam hal ini, simpul yang sesuai dari kotak berada pada jarak 1 dari satu sama lain). Hubungkan simpul yang sesuai dengan segmen - kami mendapatkan kubus tiga dimensi. Kita melihat bahwa batas kubus tiga dimensi adalah enam kubus dua dimensi (enam kotak). Konstruksi yang dijelaskan memungkinkan untuk mengungkapkan keteraturan berikut: pada setiap langkahkubus dimensi "bergerak, meninggalkan jejak" diIni adalah pengukuran pada jarak 1, sedangkan arah gerakan tegak lurus terhadap kubus. Kelanjutan formal dari proses inilah yang memungkinkan kita sampai pada konsep kubus empat dimensi. Yaitu, mari kita paksa kubus tiga dimensi untuk bergerak ke arah dimensi keempat (tegak lurus dengan kubus) pada jarak 1. Bertindak mirip dengan yang sebelumnya, yaitu, menghubungkan simpul yang sesuai dari kubus, kita akan mendapatkan kubus empat dimensi. Perlu dicatat bahwa konstruksi seperti itu secara geometris tidak mungkin di ruang kita (karena itu tiga dimensi), tetapi di sini kita tidak menemukan kontradiksi apa pun dari sudut pandang logis. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi analitis dari kubus empat dimensi. Itu juga diperoleh secara formal, dengan bantuan analogi. Jadi, tugas analitis kubus satuan berdimensi nol mempunyai bentuk :

Tugas analitis kubus satuan satu dimensi memiliki bentuk:

Tugas analitis kubus satuan dua dimensi memiliki bentuk:

Tugas analitis kubus satuan tiga dimensi memiliki bentuk:

Sekarang sangat mudah untuk memberikan representasi analitik dari kubus empat dimensi, yaitu:

Seperti yang Anda lihat, baik metode geometris dan analitis untuk menentukan kubus empat dimensi menggunakan metode analogi.

Sekarang, dengan menggunakan peralatan geometri analitik, kita akan mengetahui struktur apa yang dimiliki kubus empat dimensi. Pertama, mari kita cari tahu elemen apa saja yang ada di dalamnya. Di sini sekali lagi, Anda dapat menggunakan analogi (untuk mengajukan hipotesis). Batas-batas kubus satu dimensi adalah titik (kubus nol), kubus dua dimensi - segmen (kubus satu dimensi), kubus tiga dimensi - kotak (wajah dua dimensi). Dapat diasumsikan bahwa batas-batas tesseract adalah kubus tiga dimensi. Untuk membuktikannya, mari kita perjelas apa yang dimaksud dengan vertex, edge, dan face. Titik sudut kubus adalah titik sudutnya. Artinya, koordinat simpul bisa nol atau satu. Dengan demikian, ditemukan hubungan antara dimensi kubus dan jumlah simpulnya. Kami menerapkan aturan produk kombinatorial - karena vertexkubus memiliki tepatkoordinat, yang masing-masing sama dengan nol atau satu (terlepas dari semua yang lain), maka adapuncak. Jadi, di sembarang titik, semua koordinat tetap dan dapat sama dengan atau . Jika kita memperbaiki semua koordinat (mengatur masing-masing sama dengan atau , terlepas dari yang lain), kecuali satu, maka kita mendapatkan garis lurus yang berisi tepi kubus. Mirip dengan yang sebelumnya, kita dapat menghitung bahwa ada persishal-hal. Dan jika kita sekarang memperbaiki semua koordinat (menetapkan masing-masing koordinat sama dengan atau , terlepas dari yang lain), kecuali untuk beberapa dua, kami memperoleh bidang yang berisi wajah dua dimensi kubus. Menggunakan aturan kombinatorik, kami menemukan bahwa ada tepathal-hal. Selanjutnya, sama - memperbaiki semua koordinat (mengatur masing-masing sama dengan atau , terlepas dari yang lain), kecuali untuk beberapa tiga, kami mendapatkan hyperplanes yang berisi wajah tiga dimensi kubus. Menggunakan aturan yang sama, kami menghitung jumlah mereka - persisdll. Ini akan cukup untuk penelitian kita. Mari kita terapkan hasil yang diperoleh pada struktur kubus empat dimensi, yaitu, dalam semua rumus turunan yang kita tetapkan. Oleh karena itu, kubus empat dimensi memiliki: 16 simpul, 32 rusuk, 24 wajah dua dimensi, dan 8 wajah tiga dimensi. Untuk kejelasan, kami mendefinisikan secara analitis semua elemennya.

Titik sudut kubus empat dimensi:

Sisi-sisi kubus empat dimensi ():

Wajah dua dimensi dari kubus empat dimensi (pembatasan serupa):

Wajah tiga dimensi dari kubus empat dimensi (pembatasan serupa):

Sekarang setelah struktur kubus empat dimensi dan metode untuk mendefinisikannya dijelaskan dengan cukup lengkap, mari kita lanjutkan ke implementasi tujuan utama- untuk memperjelas sifat berbagai bagian kubus. Mari kita mulai dengan kasus dasar ketika bagian kubus sejajar dengan salah satu wajah tiga dimensinya. Misalnya, pertimbangkan bagian-bagiannya dengan hyperplanes yang sejajar dengan wajahDiketahui dari geometri analitik bahwa setiap bagian seperti itu akan diberikan oleh persamaanMari kita atur bagian yang sesuai secara analitis:

Seperti yang Anda lihat, kami telah memperoleh tugas analitis untuk kubus satuan tiga dimensi yang terletak di hyperplane

Untuk membuat analogi, kami menulis bagian kubus tiga dimensi dengan bidang Kita mendapatkan:

Ini adalah persegi yang terletak di pesawat. Analoginya jelas.

Bagian dari kubus empat dimensi dengan hyperplanesmemberikan hasil yang sama persis. Ini juga akan menjadi kubus tiga dimensi tunggal yang terletak di hyperplanes masing-masing.

Sekarang mari kita perhatikan bagian kubus empat dimensi dengan hyperplanes yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Mari kita selesaikan masalah ini untuk kubus tiga dimensi terlebih dahulu. Menggunakan metode di atas untuk menentukan kubus tiga dimensi satuan, ia menyimpulkan bahwa, misalnya, segmen dengan ujung dapat diambil sebagai diagonal utama dan . Ini berarti bahwa vektor diagonal utama akan memiliki koordinat. Oleh karena itu, persamaan setiap bidang yang tegak lurus dengan diagonal utama adalah:

Mari kita tentukan batas perubahan parameter. Karena , kemudian, menambahkan pertidaksamaan ini istilah demi istilah, kita mendapatkan:

Atau .

Jika kemudian (karena pembatasan). Demikian pula, jika, kemudian . Jadi, di dan di bidang potong dan kubus memiliki tepat satu titik yang sama ( dan masing-masing). Sekarang mari kita perhatikan berikut ini. Jika(sekali lagi, karena keterbatasan variabel). Bidang-bidang yang bersesuaian memotong tiga wajah sekaligus, karena, jika tidak, bidang potong akan sejajar dengan salah satu dari mereka, yang tidak terjadi pada kondisi tersebut. Jika, maka bidang tersebut memotong semua permukaan kubus. Jika, maka bidang tersebut memotong wajah. Mari kita sajikan perhitungan yang sesuai.

Membiarkan Kemudian pesawatmelewati batas dalam garis lurus, apalagi. Perbatasan, apalagi. tepian bidang berpotongan pada garis lurus, lebih-lebih lagi

Membiarkan Kemudian pesawatmelintasi tepi:

tepi dalam garis lurus, apalagi.

tepi dalam garis lurus, apalagi.

tepi dalam garis lurus, apalagi.

tepi dalam garis lurus, apalagi.

tepi dalam garis lurus, apalagi.

tepi dalam garis lurus, apalagi.

Kali ini, enam segmen diperoleh, memiliki ujung yang sama berturut-turut:

Membiarkan Kemudian pesawatmelewati batas dalam garis lurus, apalagi. tepian bidang berpotongan pada garis lurus, dan . tepian bidang berpotongan pada garis lurus, lebih-lebih lagi . Artinya, diperoleh tiga segmen yang memiliki ujung umum berpasangan:Jadi, untuk nilai parameter yang ditentukanpesawat akan memotong kubus dalam segitiga biasa dengan simpul

Jadi, berikut adalah deskripsi lengkap dari angka-angka pesawat yang diperoleh dengan melintasi kubus dengan bidang yang tegak lurus terhadap diagonal utamanya. Ide utamanya adalah sebagai berikut. Penting untuk memahami wajah mana yang berpotongan dengan bidang, di set apa yang memotongnya, bagaimana set ini saling berhubungan. Misalnya, jika ternyata bidang itu memotong tepat tiga wajah di sepanjang segmen yang memiliki ujung yang sama berpasangan, maka bagian itu adalah segitiga sama sisi (yang dibuktikan dengan menghitung langsung panjang segmen), yang simpulnya adalah ujung ini. dari segmen.

Dengan menggunakan peralatan yang sama dan ide yang sama untuk menyelidiki penampang, fakta-fakta berikut dapat disimpulkan dengan cara yang persis sama:

1) Vektor salah satu diagonal utama kubus satuan empat dimensi memiliki koordinat

2) Setiap hyperplane yang tegak lurus dengan diagonal utama kubus empat dimensi dapat ditulis sebagai:.

3) Dalam persamaan hyperplane garis potong, parameterdapat bervariasi dari 0 hingga 4;

4) Pada dan hyperplane garis potong dan kubus empat dimensi memiliki satu titik yang sama ( dan masing-masing);

5) Kapan di bagian tersebut, tetrahedron biasa akan diperoleh;

6) Kapan di bagian itu, sebuah oktahedron akan diperoleh;

7) Kapan tetrahedron biasa akan diperoleh di bagian.

Dengan demikian, di sini hyperplane memotong tesseract di sepanjang bidang, di mana, karena keterbatasan variabel, wilayah segitiga dialokasikan (analogi - bidang melintasi kubus sepanjang garis lurus, di mana, karena keterbatasan variabel, segmen dialokasikan). Dalam kasus 5), hyperplane memotong tepat empat wajah tesseract tiga dimensi, yaitu, diperoleh empat segitiga yang memiliki sisi umum berpasangan, dengan kata lain, membentuk tetrahedron (seperti yang dapat dihitung - benar). Dalam kasus 6), hyperplane memotong tepat delapan wajah tesseract tiga dimensi, yaitu, diperoleh delapan segitiga yang memiliki sisi-sisi yang sama, dengan kata lain, membentuk segi delapan. Kasus 7) benar-benar mirip dengan kasus 5).

Mari kita ilustrasikan apa yang telah dikatakan dengan contoh spesifik. Yaitu, kami mempelajari bagian kubus empat dimensi dengan hyperplaneKarena kendala variabel, hyperplane ini memotong wajah 3D berikut: tepian berpotongan di pesawatKarena keterbatasan variabel, kami memiliki:Dapatkan area segitiga dengan simpulLebih jauh,kita mendapatkan segitigaDi persimpangan hyperplane dengan wajahkita mendapatkan segitigaDi persimpangan hyperplane dengan wajahkita mendapatkan segitigaDengan demikian, simpul dari tetrahedron memiliki koordinat berikut:. Semudah menghitung, tetrahedron ini memang benar.

kesimpulan

Jadi, selama studi ini, fakta-fakta utama geometri analitik multidimensi dipelajari, fitur konstruksi kubus dimensi dari 0 hingga 3 dipelajari, struktur kubus empat dimensi dipelajari, kubus empat dimensi dipelajari. dideskripsikan secara analitik dan geometrik, dibuat model perkembangan dan proyeksi pusat kubus tiga dimensi dan empat dimensi, kubus tiga dimensi adalah objek yang digambarkan secara analitis yang dihasilkan dari perpotongan kubus empat dimensi oleh hyperplane yang sejajar dengan salah satu dari tiga dimensinya. wajah dimensi, atau dengan hyperplanes tegak lurus terhadap diagonal utamanya.

Studi ini memungkinkan untuk mengungkapkan analogi yang mendalam dalam struktur dan sifat kubus dari berbagai dimensi. Teknik analogi yang digunakan dapat diterapkan dalam penelitian, misalnya,bola dimensi atausimpleks dimensi. Yaitu,bola dimensi dapat didefinisikan sebagai kumpulan titikruang dimensi, berjarak sama dari titik tertentu, yang disebut pusat bola. Lebih jauh,simpleks dimensi dapat didefinisikan sebagai bagianruang dimensi, dibatasi oleh jumlah minimumhyperplane dimensi. Misalnya, simpleks satu dimensi adalah segmen (bagian dari ruang satu dimensi yang dibatasi oleh dua titik), simpleks dua dimensi adalah segitiga (bagian dari ruang dua dimensi yang dibatasi oleh tiga garis lurus), tiga dimensi simpleks adalah tetrahedron (bagian dari ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh empat bidang). Akhirnya,simpleks dimensi didefinisikan sebagai bagianruang dimensi, terbatashyperplane dimensi.

Perhatikan bahwa, meskipun banyak aplikasi tesseract di beberapa bidang sains, penelitian ini sebagian besar masih merupakan penelitian matematika.

Bibliografi

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Matematika yang lebih tinggi, jilid 1 - M.: Drofa, 2005 - 284 hal.

2) kuantum. Kubus empat dimensi / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) kuantum. Cara menggambar kubus dimensi / Demidovich N.B., No. 8, 1974.