Tekintsünk egy példát, ahol negatív együttható van az "x 2" előtt egy négyzetegyenlőtlenségben.

Ebben a leckében a megnövekedett bonyolultságú racionális egyenlőtlenségek megoldását folytatjuk az intervallum módszerrel. A példákban bonyolultabb kombinált függvényeket használunk, és figyelembe veszik az ilyen egyenlőtlenségek megoldása során felmerülő tipikus hibákat.

Téma: Diétavalós egyenlőtlenségek és rendszereik

Lecke: Racionális egyenlőtlenségek megoldásasaját tulajdonú gépjárműrendkívüli összetettség

1. Óra témája, bevezetés

Racionálisan megoldottuk egyenlőtlenségek formában, megoldásukra pedig az intervallum módszert alkalmaztuk. A függvény vagy lineáris, vagy tört lineáris, vagy polinom volt.

2. Problémamegoldás

Tekintsük egy másik típusú egyenlőtlenségeket.

1. Oldja meg az egyenlőtlenséget!

Az egyenlőtlenséget ekvivalens transzformációkkal transzformáljuk.

Most megvizsgálhatjuk a funkciót

Tekintsünk egy gyökér nélküli függvényt.

Ábrázoljuk és olvassuk le sematikusan a függvény grafikonját (1. ábra).

A függvény bármely .

Mióta ezt megállapítottuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát feloszthatjuk ezzel a kifejezéssel.

Ahhoz, hogy egy tört pozitív legyen, a számlálónak pozitív nevezővel kell rendelkeznie.

Tekintsünk egy függvényt.

Ábrázoljuk sematikusan a függvény grafikonját - egy parabolát, ami azt jelenti, hogy az ágak lefelé irányulnak (2. ábra).

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget!

Vegye figyelembe a funkciót

1. Meghatározási tartomány

2. Funkció nullák

3. Válassza ki az állandóság intervallumait.

4. A táblák elrendezése (3. ábra).

Ha a tartó benne van páros fokozat, a gyökéren való áthaladáskor a függvény előjelet vált. Ha a zárójel páros hatványra vonatkozik, a függvény nem változtat előjelet.

Tipikus hibát követtünk el - nem vettük bele a gyökért a válaszba. Ebben az esetben a nullával való egyenlőség megengedett, mivel az egyenlőtlenség nem szigorú.

Az ilyen hibák elkerülése érdekében emlékezni kell erre

Válasz:

Figyelembe vettük az intervallum módszert a komplex egyenlőtlenségek és a lehetséges tipikus hibák esetén, valamint azok kiküszöbölésének módjait.

Nézzünk még egy példát.

3. Oldja meg az egyenlőtlenséget!

Tényezőzzünk minden zárójelet külön.

, így ez a tényező figyelmen kívül hagyható.

Most már alkalmazhatja az intervallum módszert.

Fontolgat A számlálót és a nevezőt nem fogjuk csökkenteni, ez tévedés.

1. Meghatározási tartomány

2. A függvény nulláit már ismerjük

Nem a függvény nullája, mivel nem szerepel a definíciós tartományban - ebben az esetben a nevező nullával egyenlő.

3. Határozza meg az előjelállandóság intervallumait!

4. Az intervallumokra táblákat helyezünk, és kiválasztjuk a feltételeinket kielégítő intervallumokat (4. ábra).

3. Következtetés

Fokozott bonyolultságú egyenlőtlenségekkel is foglalkoztunk, de megoldásukhoz az intervallum módszer adja a kulcsot, így a jövőben is ezt fogjuk alkalmazni.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. osztály: Proc. Általános műveltségre Intézmények – 4. kiadás. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. évfolyam: Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. kiadás. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. évfolyam: tankönyv. általános iskolai tanulók számára. intézmények / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. kiadás, Rev. és további - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin és Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. évfolyam 16. kiadás - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész Tankönyv az oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. kiadás, törölve. — M.: 2010. — 224 p.: ill.

6. Algebra. 9. évfolyam 2 óra 2. rész Feladatfüzet oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina és mások; Szerk. A. G. Mordkovich. - 12. kiadás, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. évfolyam: Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. kiadás. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 37. sz.; 45(a, c); 47(b, d); 49.

1. Természettudományi Portál.

2. Természettudományi Portál.

3. Elektronikus oktatási és módszertani komplexum a 10-11. évfolyamok számítástechnika, matematika és orosz nyelvi felvételi vizsgákra való felkészítéséhez.

4. Virtuális oktató.

5. Oktatási Központ „Oktatástechnológia”.

6. Főiskolai tagozat. ru a matematikában.

2. Dalinger V.A. Gyakori matematikai hibák a felvételi vizsgákon és azok elkerülése. - Omszk: Az Omszki IUU Kiadó, 1991.

3. Dalinger V.A. Mindent a matematika érettségi és felvételi vizsgák sikeréhez. 5. szám Exponenciális, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek és rendszereik: Oktatóanyag. - Omszk: OmGPU Kiadó, 1996.

4. Dalinger V.A. A matematikai elemzés kezdetei: tipikus hibák, okaik és a megelőzés módjai: Tankönyv. - Omszk: "Kiadó-poligráfus", 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Kézikönyv a sikeres matematikai vizsgához: A jelentkezők matematikai hibáinak elemzése és azok elhárításának módjai. - Omszk: OmGPU Kiadó, 1991.

6. Kutasov A.D. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek: Oktatási segédlet N7. - Az Orosz Nyílt Egyetem Kiadója, 1992.

A diákok által a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során elkövetett hibák nagyon sokfélék: a megoldás helytelen tervezésétől a logikai hibákig. Ezeket és más hibákat ebben a cikkben tárgyaljuk.

1. A legjellemzőbb hiba, hogy a tanulók az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során további magyarázatok nélkül olyan transzformációkat alkalmaznak, amelyek sértik az ekvivalenciát, ami gyökerek elvesztéséhez és idegen lovak megjelenéséhez vezet.

Nézzünk konkrét példákat az ilyen jellegű hibákra, de először is felhívjuk az olvasó figyelmét a következő gondolatra: ne féljünk idegen gyökereket szerezni, azokat ellenőrzéssel el lehet dobni, féljünk a gyökerek elvesztésétől.

a) Oldja meg az egyenletet:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

A tanulók gyakran a következő módon oldják meg ezt az egyenletet.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x) (-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

A tanulók gyakran további indoklás nélkül mindkét számot leírják válaszul. De ahogy az ellenőrzés is mutatja, az x = 8 szám nem az eredeti egyenlet gyöke, mivel x = 8-nál az egyenlet bal és jobb oldala elveszti értelmét. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy az x = -4 szám az adott egyenlet gyöke.

b) Oldja meg az egyenletet!

Az eredeti egyenlet definíciós tartományát a rendszer adja meg

Az adott egyenlet megoldásához áttérünk az x bázisbeli logaritmusra, megkapjuk

Látjuk, hogy ennek az utolsó egyenletnek a bal és jobb oldala x = 1-nél nincs definiálva, de ez a szám az eredeti egyenlet gyöke (ezt direkt helyettesítéssel ellenőrizhetjük). Így az új alapra való formális átmenet a gyökér elvesztéséhez vezetett. Az x = 1 gyök elvesztésének elkerülése érdekében meg kell adni, hogy az új alapnak egytől eltérő pozitív számnak kell lennie, és az x = 1 esetet külön kell figyelembe venni.

2. A hibák, vagy inkább hiányosságok egész csoportja abban áll, hogy a tanulók nem fordítanak kellő figyelmet az egyenletek definíciós tartományának megtalálására, holott esetenként éppen ez a tartomány a megoldás kulcsa. Nézzünk egy példát ezzel kapcsolatban.

oldja meg az egyenletet

Keressük meg ennek az egyenletnek a definíciós tartományát, amelyre megoldjuk az egyenlőtlenségrendszert:

Honnan van x = 0. Közvetlen helyettesítéssel ellenőrizzük, hogy az x = 0 szám az eredeti egyenlet gyöke-e

Válasz: x = 0.

3. A tanulók tipikus hibája, hogy nem ismerik a szükséges szinten a fogalmak definícióit, a képleteket, a tételek megfogalmazását, az algoritmusokat. Erősítsük meg az elmondottakat a következő példával.

oldja meg az egyenletet

Íme egy hibás megoldás ennek az egyenletnek:

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy x = -2 nem az eredeti egyenlet gyöke.

A következtetés önmagában azt sugallja, hogy az adott egyenletnek nincs gyökere.

Azonban nem. Ha x = -4-et behelyettesítünk az adott egyenletbe, ellenőrizhetjük, hogy ez gyök-e.

Elemezzük, miért veszett el a gyökér.

Az eredeti egyenletben az x és x + 3 kifejezés lehet egyszerre negatív vagy mindkettő pozitív, de az egyenletre áttérve ezek a kifejezések csak pozitívak lehetnek. Következésképpen a definíciós tartomány leszűkült, ami a gyökerek elvesztéséhez vezetett.

A gyök elvesztésének elkerülése érdekében a következőképpen járjunk el: az eredeti egyenletben térjünk át az összeg logaritmusából a szorzat logaritmusába. Ebben az esetben idegen gyökerek megjelenése lehetséges, de helyettesítéssel megszabadulhat tőlük.

4. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során elkövetett sok hiba abból adódik, hogy a tanulók nagyon gyakran sablon szerint, vagyis a megszokott módon próbálják megoldani a feladatokat. Mutassuk meg ezt egy példával.

Oldja meg az egyenlőtlenséget

Ennek az egyenlőtlenségnek a szokásos algoritmikus módszerekkel történő megoldására tett kísérlet nem vezet válaszra. A megoldás itt az egyenlőtlenség tartományában az egyenlőtlenség bal oldalán lévő egyes tagok értékeinek becsléséből áll.

Keresse meg az egyenlőtlenség definíciós tartományát:

A (9;10] intervallumból származó összes x esetén a kifejezés rendelkezik pozitív értékeket(értékek exponenciális függvény mindig pozitív).

A (9;10] intervallum összes x-ére az x - 9 kifejezés pozitív értékű, az lg(x - 9) pedig negatív vagy nulla, akkor a (- (x - 9) lg(x) - 9) pozitív vagy egyenlő nullával.

Végül van x∈ (9;10]. Vegyük észre, hogy a változó ilyen értékeinél az egyenlőtlenség bal oldalán minden tag pozitív (a második tag lehet nulla), ami azt jelenti, hogy az összegük mindig nagyobb nullánál, ezért az eredeti egyenlőtlenség megoldása a (9;10] intervallum).

5. Az egyik hiba az egyenletek grafikus megoldásához kapcsolódik.

oldja meg az egyenletet

Tapasztalataink azt mutatják, hogy a tanulók ezt az egyenletet grafikusan megoldva (megjegyezzük, hogy más elemi módszerekkel nem oldható meg) csak egy gyöket kapnak (ez az y = x egyenesen fekvő pont abszcisszája), mert a függvények grafikonjai

Ezek kölcsönösen inverz függvények grafikonjai.

Valójában az eredeti egyenletnek három gyöke van: az egyik az első y \u003d x koordinátaszög felezőjén fekvő pont abszcisszája, a másik gyök és a harmadik gyök.

Vegye figyelembe, hogy a logax = ax alakú egyenletek 0-nál< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Ez a példa sikeresen illusztrálja a következő következtetést: az f(x) = g(x) egyenlet grafikus megoldása „tökéletes”, ha mindkét függvény több monoton (az egyik növekszik, a másik csökken), és matematikailag nem kellően helyes abban az esetben. monoton funkciók (mindkettő vagy egyszerre csökken, vagy egyszerre nő).

6. Számos tipikus hiba abból adódik, hogy a tanulók nem egészen helyesen oldják meg az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket funkcionális megközelítés alapján. Megmutatjuk az ilyen tipikus hibákat.

a) Oldja meg az xx = x egyenletet!

Az egyenlet bal oldalán lévő függvény exponenciális-hatvány, és ha igen, akkor a következő megszorításokat kell alkalmazni a fokszám alapján: x> 0, x ≠ 1. Vegyük az adott mindkét részének logaritmusát. egyenlet:

Honnan van x = 1.

A logaritmus nem vezetett az eredeti egyenlet definíciós tartományának szűkítéséhez. De ennek ellenére elvesztettük az egyenlet két gyökerét; közvetlen megfigyeléssel azt találjuk, hogy x = 1 és x = -1 az eredeti egyenlet gyökerei.

b) Oldja meg az egyenletet!

Az előző esethez hasonlóan itt is van egy exponenciális hatványfüggvényünk, ami azt jelenti, hogy x > 0, x ≠ 1.

Az eredeti egyenlet megoldásához vesszük mindkét részének logaritmusát bármely bázisban, például a 10. bázisban:

Figyelembe véve, hogy két tényező szorzata nullával egyenlő, ha legalább az egyik nulla, míg a másiknak van értelme, két rendszert kapunk:

Az első rendszernek nincs megoldása; a második rendszerből x = 1-et kapunk. A korábban bevezetett megszorítások ismeretében az x = 1 szám nem lehet az eredeti egyenlet gyöke, bár direkt behelyettesítéssel megbizonyosodunk arról, hogy ez nem így van.

7. Tekintsünk néhány hibát, amelyek az alak komplex függvényének fogalmához kapcsolódnak. Mutassuk meg a hibát egy példán.

Határozza meg a függvény monotonitásának típusát!

Gyakorlatunk azt mutatja, hogy a hallgatók túlnyomó többsége ebben az esetben csak a logaritmus alapján határozza meg a monotonitást, és mivel 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Nem! Ez a funkció növekszik.

Feltételesen a nézet funkcióhoz a következőket írhatja:

Növekvő (Csökkenő) = Csökkenő;

Növekedés (Növekedés) = Növekedés;

Csökkenő (csökkenő) = Növekedés;

Csökkenő (Növekvő) = Csökkenő;

8. Oldja meg az egyenletet!

Ez a feladat az Egységes Államvizsga harmadik részéből származik, amelyet pontokkal értékelnek (a maximális pontszám 4).

Itt van egy olyan megoldás, amely hibákat tartalmaz, ami azt jelenti, hogy nem adják meg érte a maximális pontszámot.

A logaritmusokat 3-as bázisra redukáljuk. Az egyenlet a következőt veszi fel

Potencírozással azt kapjuk

x1 = 1, x2 = 3.

Vizsgáljuk meg az idegen gyökerek azonosítását

, 1 = 1,

tehát x = 1 az eredeti egyenlet gyöke.

tehát x = 3 nem az eredeti egyenlet gyöke.

Magyarázzuk meg, miért tartalmaz ez a megoldás hibákat. A hiba lényege, hogy a bejegyzés két durva hibát tartalmaz. Az első hiba: a lemeznek egyáltalán nincs értelme. Második hiba: Nem igaz, hogy két tényező szorzata, amelyek közül az egyik 0, szükségszerűen nulla. Nulla akkor és csak akkor lesz, ha az egyik tényező 0, és a második tényezőnek van értelme. Itt csak a második szorzónak nincs értelme.

9. Térjünk vissza a fentebb már kommentált hibához, de egyúttal adunk néhány új érvet.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál átmennek az egyenletre. Az első egyenlet minden gyöke egyben a második egyenlet gyöke is. Ennek a fordítottja általában nem igaz, ezért az egyenletről egyenletre való átmenet során ellenőrizni kell az utóbbi gyökereit az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel a végén. A gyökök ellenőrzése helyett célszerű az egyenletet egy ekvivalens rendszerre cserélni

Ha a logaritmikus egyenlet megoldása során a kifejezések

ahol n páros szám, a , , képletek szerint transzformáljuk, akkor mivel sok esetben az egyenlet definíciós tartománya szűkül, egyes gyökei elveszhetnek. Ezért ajánlatos ezeket a képleteket a következő formában alkalmazni:

n páros szám.

Ezzel szemben, ha a logaritmikus egyenlet megoldása során a , , , , ahol n páros szám, kifejezésekké alakítjuk

akkor az egyenlet definíciós tartománya kibővülhet, aminek köszönhetően lehetőség nyílik idegen gyökök megszerzésére. Ezt szem előtt tartva, ilyen helyzetekben figyelni kell a transzformációk ekvivalenciáját, és ha az egyenlet definíciós tartománya bővül, ellenőrizni kell a kapott gyököket.

10. A logaritmikus egyenlőtlenségek behelyettesítéssel történő megoldása során először mindig egy új egyenlőtlenséget oldunk meg egy új változóra vonatkozóan, és csak annak megoldásában lépünk át a régi változóra.

Az iskolások nagyon gyakran tévedésből korábban, az egyenlőtlenség bal oldalán kapott racionális függvény gyökereinek megtalálásában hajtják végre a fordított átmenetet. Ezt nem szabad megtenni.

11. Adjunk példát egy másik, az egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatos hibára!

Oldja meg az egyenlőtlenséget

.

Itt van egy hibás megoldás, amelyet a diákok nagyon gyakran kínálnak.

Nézzük négyzetre az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalát. Lesz:

ahonnan hibás numerikus egyenlőtlenséget kapunk, ami arra enged következtetni, hogy az adott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Bevezetés……………………………………………………………… 3

1. A hibák osztályozása példákkal……………………………… .…… …5

1.1. Feladattípusok szerinti besorolás…………………………… … ……….5

1.2. Osztályozás transzformációk típusai szerint……………………………………10

2. Tesztek………………………………………………….… .……………………….12

3. Határozatok jegyzőkönyvei……………………….….……………………… 18

3.1. A hibás megoldások jegyzőkönyvei ………………………………… 18

3.2. Válaszok (helyes döntések jegyzőkönyvei)……………………………………….34

3.3. Döntésben elkövetett hibák…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

függelék………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Irodalom……………………………………………………………………………….56

BEVEZETÉS

„Tanulnak a hibákból” – mondja a népi bölcsesség. De ahhoz, hogy tanuljunk a negatív tapasztalatokból, először is látnia kell a hibát. Sajnos a tanuló gyakran nem tudja észlelni egy adott probléma megoldása során. Ebből adódóan felmerült egy tanulmány elkészítésének ötlete, melynek célja a hallgatók által elkövetett tipikus hibák azonosítása, illetve azok minél teljesebb osztályozása.

Ennek a tanulmánynak a keretében az áprilisi tesztek, tesztek és írásbeli feladatok az Omszki Állami Egyetem felvételi vizsgáihoz, különféle kézikönyvek és problémagyűjtemények az egyetemekre jelentkezők számára, valamint az egyetemre jelentkezők anyagaiból nagy feladatsort mérlegeltek és oldottak meg. az OmSU NOF levelező iskoláját alaposan tanulmányozták. A kapott adatokat alávetettük részletes elemzés, miközben nagy figyelmet fordítottak a döntések logikájára. Ezen adatok alapján azonosították a leggyakrabban elkövetett, azaz tipikus hibákat.

Ennek az elemzésnek az eredményei alapján kísérlet történt a jellemző hibák rendszerezésére, transzformációk és problématípusok szerinti osztályozására, amelyek közül a következőket vettük figyelembe: másodfokú egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek, tört-racionális egyenletek, egyenletek modulus, irracionális egyenletek, egyenletrendszerek, mozgási problémák, munka és munkatermelékenység feladatai, trigonometrikus egyenletek, trigonometrikus egyenletrendszerek, planimetria.

A besorolást hibás döntési protokollok formájában illusztráció kíséri, amely lehetővé teszi a tanulók önellenőrzési és kontrollálási képességének fejlesztését, tevékenységeik kritikus értékelését, a hibák megtalálását és azok kiküszöbölésének lehetőségét.

A következő lépés a tesztekkel való munka volt. Minden feladathoz öt választ ajánlottak fel, amelyek közül egy helyes, a maradék négy pedig hibás, de nem véletlenszerűen vették, hanem annak a megoldásnak felelnek meg, amelyben egy konkrét, az ilyen típusú feladatokra szabványos hiba történt. Ez alapot ad a hiba "durvaságának" mértékének előrejelzéséhez és az alapvető mentális műveletek (elemzés, szintézis, összehasonlítás, általánosítás) fejlődéséhez. A tesztek felépítése a következő:

A hibakódok három típusra oszthatók: OK - a helyes válasz, egy numerikus kód - egy hiba a feladattípusok szerinti osztályozásból, egy alfabetikus kód - egy hiba a transzformációtípusok szerinti osztályozásból. Dekódolásuk az 1. Hibák osztályozása példákkal című fejezetben található.

További feladatokat ajánlottak fel, hogy megtaláljuk a hibát a megoldásban. Ezeket az anyagokat használták a NOF OmSU levelező iskola diákjaival végzett munka során, valamint az Omszkban és az Omszk régióban a NOF OmSU által lebonyolított tanárok továbbképző tanfolyamain.

A jövőben az elvégzett munka alapján lehetőség nyílik egy olyan rendszer kialakítására, amely a tesztszemély tudás- és készségszintjét figyeli és értékeli. Lehetővé válik a munka problémás területeinek azonosítása, a sikeres módszerek, technikák rögzítése, elemzése, hogy milyen képzési tartalmat célszerű bővíteni. De ezeknek a módszereknek a legnagyobb hatékonyságához a hallgató érdeklődése szükséges. Ebből a célból Chubrik A.V. és egy kis szoftverterméket fejlesztettek ki, amely lineáris és másodfokú egyenletek helytelen megoldásait generálja (elméleti alap és algoritmusok - I és Chuubrik A.V., segítség a megvalósításban - MP-803 Filimonov M.V. hallgatói csoport). Az ezzel a programmal való munka lehetőséget ad a diáknak, hogy tanárként működjön, akinek a tanítványa a számítógép.

A kapott eredmények egy komolyabb tanulmány kezdetét jelenthetik, amely a közeljövőben és hosszú távon képes lesz elvégezni a szükséges kiigazításokat a matematikatanítás rendszerében.

1. A HIBÁK OSZTÁLYOZÁSA PÉLDÁVAL

1.1. Osztályozás feladattípusok szerint

1. Algebrai egyenletekés egyenlőtlenségek.

1.1. Négyzetes egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenségrendszerek:

1.1.1. A négyzetes trinomiális gyökerei helytelenül találhatók: a Vieta-tételt és a gyökkereső képletet hibásan használják;

1.1.2. A négyzetes trinom gráfja hibásan van ábrázolva;

1.1.3. Az argumentumértékek helytelenül vannak meghatározva, amelyeknél az egyenlőtlenség teljesül;

1.1.4. Osztás ismeretlen értéket tartalmazó kifejezéssel;

1.1.5. Az egyenlőtlenségek rendszerében az összes egyenlőtlenség megoldásának metszéspontját helytelenül veszik fel;

1.1.6. Helytelenül szerepelt vagy nem szerepelt az intervallumok végén a végső válaszban;

1.1.7. Kerekítés.

1.2. Tört-racionális egyenletek:

1.2.1. Helytelenül vagy nem jelölt ODZ: nem vették figyelembe, hogy a tört nevezője ne legyen egyenlő nullával;

ODZ: .

1.2.2. A válasz kézhezvételekor az ODZ-t nem veszik figyelembe;

Másodfokú egyenletek megoldásához meg kell találnunk, hogy mi a másodfokú függvény, és milyen tulajdonságai vannak.

Biztosan elgondolkozott már azon, hogy miért van egyáltalán szükség másodfokú függvényre? Hol alkalmazhatjuk a gráfját (parabola)? Igen, csak körül kell nézned, és észre fogod venni, hogy a mindennapi életben minden nap találkozol vele. Észrevetted, hogyan repül egy eldobott labda a testnevelésben? "Ívben"? A leghelyesebb válasz a "parabolában" lenne! És milyen pályán mozog a sugár a szökőkútban? Igen, parabolában is! És hogyan repül egy golyó vagy lövedék? Így van, parabolában is! Így a tulajdonságok ismeretében másodfokú függvény, sok gyakorlati probléma megoldására lesz lehetőség. Például milyen szögben kell dobni a labdát, hogy a legnagyobb repülési távolságot biztosítsuk? Vagy hova kerül a lövedék, ha egy bizonyos szögben kilövik? stb.

másodfokú függvény

Szóval, találjuk ki.

Például, . Mi egyenlő itt, és? Hát persze, és!

Mi van, ha pl. nullánál kisebb? Hát persze, hogy „szomorúak” vagyunk, ami azt jelenti, hogy az ágak lefelé fognak irányulni! Nézzük a diagramot.

Ez az ábra egy függvény grafikonját mutatja. Azóta, i.e. nullánál kisebb, a parabola ágai lefelé mutatnak. Ezenkívül valószínűleg már észrevette, hogy ennek a parabolának az ágai metszik a tengelyt, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek 2 gyöke van, és a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz!

A legelején, amikor megadtuk a másodfokú függvény definícióját, azt mondták, hogy és néhány szám. Egyenlőek lehetnek nullával? Hát persze, hogy megtehetik! Még egy még nagyobb titkot is elárulok (ami egyáltalán nem titok, de érdemes megemlíteni): ezekre a számokra (és) egyáltalán nem vonatkoznak korlátozások!

Nos, lássuk, mi történik a grafikonokkal, ha és egyenlő nullával.

Amint látható, a vizsgált függvények (u) grafikonjai eltolódtak úgy, hogy csúcsaik most a koordinátákkal ellátott pontban, azaz a tengelyek metszéspontjában vannak, és ez nem befolyásolta az elágazások irányát. Így arra a következtetésre juthatunk, hogy ők felelősek a parabolagráf koordinátarendszer mentén történő "mozgásáért".

A függvénygrafikon egy pontban érinti a tengelyt. Tehát az egyenletnek egy gyöke van. Így a függvény nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő értékeket vesz fel.

Ugyanezt a logikát követjük a függvény grafikonjával. Egy ponton érinti az x tengelyt. Tehát az egyenletnek egy gyöke van. Így a függvény nullánál kisebb vagy azzal egyenlő értékeket vesz fel, azaz.

Így egy kifejezés előjelének meghatározásához először meg kell találni az egyenlet gyökereit. Ez nagyon hasznos lesz számunkra.

Négyzetes egyenlőtlenség

Négyzetes egyenlőtlenség egy egyenlőtlenség, amely egyetlen másodfokú függvényből áll. Így minden másodfokú egyenlőtlenség a következő négy típusra redukálódik:

Az ilyen egyenlőtlenségek megoldása során szükségünk lesz arra, hogy meghatározzuk, hol nagyobb, kisebb vagy egyenlő nullával a másodfokú függvény. Azaz:

• ha van egy formaegyenlőtlenségünk, akkor a probléma valójában annak a számszerű értéktartománynak a meghatározására redukálódik, amelynél a parabola a tengely felett van.
• ha van egy formaegyenlőtlenségünk, akkor a probléma valójában az x értékek számszerű intervallumának meghatározásában merül ki, amelyre a parabola a tengely alatt van.

Ha az egyenlőtlenségek nem szigorúak (u), akkor a gyökök (a parabola és a tengely metszéspontjainak koordinátái) belekerülnek a kívánt numerikus intervallumba, szigorú egyenlőtlenségekkel kizárva.

Mindez meglehetősen formalizált, de ne essen kétségbe, és ne féljen! Most nézzünk példákat, és minden a helyére kerül.

A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásánál a fenti algoritmust betartjuk, és elkerülhetetlen siker vár ránk!

Algoritmus	Példa:
1) Írjuk fel az egyenlőtlenségnek megfelelő másodfokú egyenletet (egyszerűen változtassa meg az egyenlőtlenség jelét "="" egyenlőségjelre.
2) Keresse meg ennek az egyenletnek a gyökereit!
3) Jelölje meg a gyökereket a tengelyen, és mutassa be sematikusan a parabola ágainak irányát ("fel" vagy "le")
4) Helyezzük a tengelyre a másodfokú függvény előjelének megfelelő jeleket: ahol a parabola a tengely felett van, tegyük "", és ahol alul - "".
5) Az egyenlőtlenség előjelétől függően kiírjuk a "" vagy a ""-nek megfelelő intervallum(oka)t. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök beleszámítanak az intervallumba, ha szigorúak, akkor nem.

Megvan? Akkor rögzítsd előre!

Nos, sikerült? Ha nehézségei vannak, akkor értse meg a megoldásokat.

Döntés:

Írjuk ki a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért a gyököket az intervallumokba foglaljuk:

Felírjuk a megfelelő másodfokú egyenletet:

Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:

A kapott gyökereket sematikusan megjelöljük a tengelyen, és elrendezzük a jeleket:

Írjuk ki a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Az egyenlőtlenség szigorú, így a gyökök nem szerepelnek az intervallumokban:

Felírjuk a megfelelő másodfokú egyenletet:

Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:

ennek az egyenletnek egy gyöke van

A kapott gyökereket sematikusan megjelöljük a tengelyen, és elrendezzük a jeleket:

Írjuk ki a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Bármely függvényhez nem negatív értékeket vesz fel. Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, a válasz igen

Felírjuk a megfelelő másodfokú egyenletet:

Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:

Rajzolja fel sematikusan egy parabola grafikonját, és helyezze el a jeleket:

Írjuk ki a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Bármelyik esetén a függvény pozitív értékeket vesz fel, ezért az egyenlőtlenség megoldása a következő intervallum lesz:

TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK. KÖZÉPSZINT

Másodfokú függvény.

Mielőtt a „négyzetegyenlőtlenségek” témájáról beszélnénk, emlékezzünk arra, hogy mi a másodfokú függvény és mi a grafikonja.

Más szóval ez másodfokú polinom.

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola (emlékszel, mi ez?). Az ágai felfelé irányulnak, ha "a) a függvény csak pozitív értékeket vesz fel mindenkinél, és a másodikban () - csak negatív:

Abban az esetben, ha a () egyenletnek pontosan egy gyöke van (például ha a diszkrimináns nulla), ez azt jelenti, hogy a gráf érinti a tengelyt:

Ekkor, hasonlóan az előző esethez, esetén a függvény nemnegatív mindenre, a függvényre pedig nem pozitív.

Végül is nemrég megtanultuk meghatározni, hogy a másodfokú függvény hol nagyobb, mint nulla, és hol kisebb:

Ha a másodfokú egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök szerepelnek a numerikus intervallumban, ha szigorúak, akkor nem.

Ha csak egy gyökér van, nem baj, mindenhol ugyanaz a jel lesz. Ha nincsenek gyökök, minden csak az együtthatótól függ: ha, akkor az egész kifejezés nagyobb, mint 0, és fordítva.

Példák (döntsd el magad):

Válaszok:

Nincsenek gyökök, így a bal oldali teljes kifejezés a legmagasabb együttható előjelét veszi fel: mindenre. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségre nincs megoldás.

Ha a bal oldalon lévő másodfokú függvény „hiányos”, annál könnyebben meg lehet találni a gyököket:

TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK. RÖVIDEN A FŐRŐL

másodfokú függvény a forma függvénye:

A másodfokú függvény grafikonja egy parabola. Az ágai felfelé irányulnak, és lefelé, ha:

• Ha olyan számintervallumot szeretne találni, amelyen a négyzetes trinom nagyobb, mint nulla, akkor ez az a számintervallum, ahol a parabola a tengely felett van.
• Ha olyan számintervallumot szeretne találni, amelyen a négyzetes trinom kisebb, mint nulla, akkor ez az a számintervallum, ahol a parabola a tengely alatt van.

A négyzetegyenlőtlenségek típusai:

Minden másodfokú egyenlőtlenség a következő négy típusra redukálódik:

Megoldási algoritmus:

Algoritmus	Példa:
1) Írjuk fel az egyenlőtlenségnek megfelelő másodfokú egyenletet (egyszerűen változtassa meg az egyenlőtlenség jelét "" egyenlőségjelre).
2) Keresse meg ennek az egyenletnek a gyökereit!
3) Jelölje meg a gyökereket a tengelyen, és mutassa be sematikusan a parabola ágainak irányát ("fel" vagy "le")
4) Helyezzük a tengelyre a másodfokú függvény előjelének megfelelő jeleket: ahol a parabola a tengely felett van, tegyük "", ahol pedig alacsonyabb - ".
5) Kiírjuk az egyenlőtlenség előjelétől függően "" vagy ""-nek megfelelő intervallum(oka)t. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök beleszámítanak az intervallumba, ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor nem.

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 899 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Előző poszt

A laminált padló gyártásának technológiája Kínában gyártott: melyik cég lamináltja a jobb

Következő bejegyzés

Holland cserépkályha Holland sütőberendezés