Razmotrimo primjer gdje postoji negativan koeficijent ispred "x 2" u kvadratnoj nejednadžbi.

U ovoj lekciji nastavit ćemo rješavati racionalne nejednakosti povećane složenosti metodom intervala. U primjerima će se koristiti složenije kombinirane funkcije i razmatrati tipične pogreške koje nastaju pri rješavanju takvih nejednakosti.

Tema: Dijetastvarne nejednakosti i njihovi sustavi

Lekcija: Rješavanje racionalnih nejednakostipovekstremna složenost

1. Tema lekcije, uvod

Riješili smo racionalno nejednakosti oblik i za njihovo rješavanje korištena je intervalna metoda. Funkcija je bila ili linearna, ili frakcijska linearna, ili polinom.

2. Rješavanje problema

Razmotrimo nejednakosti drugog tipa.

1. Riješite nejednakost

Nejednakost transformiramo pomoću ekvivalentnih transformacija.

Sada možemo istražiti funkciju

Razmotrimo funkciju bez korijena.

Prikažimo shematski i pročitajmo graf funkcije (slika 1).

Funkcija je pozitivna za bilo koji .

Pošto smo to ustanovili ovim izrazom možemo podijeliti obje strane nejednakosti.

Da bi razlomak bio pozitivan, brojnik mora imati pozitivan nazivnik.

Razmotrimo funkciju.

Prikažimo shematski graf funkcije - parabolu, što znači da su grane usmjerene prema dolje (slika 2).

2. Riješite nejednakost

Razmotrite funkciju

1. Područje definicije

2. Nule funkcije

3. Odaberite intervale konstantnosti.

4. Raspored znakova (slika 3).

Ako je nosač unutra čak i stupanj, kada prolazi kroz korijen, funkcija mijenja predznak. Ako je zagrada na paran stepen, funkcija ne mijenja predznak.

Napravili smo tipičnu pogrešku – nismo uključili korijen u odgovor. U ovom slučaju dopuštena je jednakost nuli, budući da nejednakost nije stroga.

Kako biste izbjegli takve pogreške, potrebno je to zapamtiti

Odgovor:

Razmotrili smo intervalnu metodu za složene nejednakosti i moguće tipične pogreške, kao i načine za njihovo otklanjanje.

Razmotrimo još jedan primjer.

3. Riješite nejednakost

Faktorizirajmo svaku zagradu zasebno.

, pa se ovaj faktor može zanemariti.

Sada možete primijeniti intervalnu metodu.

Smatrati Brojnik i nazivnik nećemo smanjivati ​​za, ovo je greška.

1. Područje definicije

2. Već znamo nule funkcije

To nije nula funkcije, budući da nije uključena u domenu definicije - u ovom slučaju nazivnik je jednak nuli.

3. Odrediti intervale konstantnosti predznaka.

4. Na intervale postavljamo znakove i odabiremo intervale koji zadovoljavaju naše uvjete (slika 4).

3. Zaključak

Razmatrali smo nejednakosti povećane složenosti, ali intervalna metoda nam daje ključ za njihovo rješavanje pa ćemo je koristiti u budućnosti.

1. Mordkovich A. G. i dr. Algebra 9. razred: Proc. Za opće obrazovanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.

2. Mordkovich A. G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izd., vlč. i dodatni - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, i Yu. V. Sidorov, Algebra. 9. razred 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izd., izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred U 2 sata. Dio 2. Zadatak za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. izd., vlč. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Mordkovich A. G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. broj 37; 45 (a, c); 47 (b, d); 49.

1. Portal prirodnih znanosti.

2. Portal prirodnih znanosti.

3. Elektronički obrazovni i metodički kompleks za pripremu 10.-11. razreda za prijemne ispite iz informatike, matematike i ruskog jezika.

4. Virtualni učitelj.

5. Centar za odgoj i obrazovanje "Tehnologija obrazovanja".

6. Fakultetska sekcija. ru u matematici.

2. Dalinger V.A. Uobičajene matematičke pogreške na prijemnim ispitima i kako ih izbjeći. - Omsk: Izdavačka kuća Omskog IUU, 1991.

3. Dalinger V.A. Sve za uspjeh na završnim i prijemnim ispitima iz matematike. Broj 5. Eksponencijalne, logaritamske jednadžbe, nejednakosti i njihovi sustavi: Vodič. - Omsk: Izdavačka kuća OmGPU, 1996.

4. Dalinger V.A. Počeci matematičke analize: tipične pogreške, njihovi uzroci i načini prevencije: udžbenik. - Omsk: "Izdavač-poligrafist", 2002.

5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Priručnik za polaganje ispita iz matematike: Analiza pogrešaka pristupnika iz matematike i načini njihovog sprječavanja. - Omsk: Izdavačka kuća OmGPU, 1991.

6. Kutasov A.D. Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe, nejednakosti, sustavi: Nastavno pomagalo N7. - Izdavačka kuća Ruskog otvorenog sveučilišta, 1992.

Pogreške koje učenici čine pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi vrlo su raznolike: od netočnog oblikovanja rješenja do logičkih pogrešaka. Ove i druge pogreške bit će obrađene u ovom članku.

1. Najtipičnija pogreška je da učenici pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi, bez dodatnih objašnjenja, koriste transformacije koje narušavaju ekvivalentnost, što dovodi do gubitka korijena i pojave stranih konja.

Pogledajmo konkretne primjere grešaka ove vrste, ali najprije skrećemo pozornost čitatelja na sljedeću misao: ne bojte se steći vanjske korijene, oni se mogu odbaciti provjerom, bojte se izgubiti korijene.

a) Riješite jednadžbu:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Učenici ovu jednadžbu često rješavaju na sljedeći način.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Učenici često, bez dodatnog obrazloženja, zapisuju oba broja kao odgovor. Ali kao što provjera pokazuje, broj x = 8 nije korijen izvorne jednadžbe, budući da pri x = 8 lijeva i desna strana jednadžbe gube svoje značenje. Provjera pokazuje da je broj x = -4 korijen zadane jednadžbe.

b) Riješite jednadžbu

Područje definicije izvorne jednadžbe zadano je sustavom

Za rješavanje zadane jednadžbe prelazimo na logaritam u bazi x, dobivamo

Vidimo da lijeva i desna strana ove posljednje jednadžbe kod x = 1 nisu definirane, ali je ovaj broj korijen izvorne jednadžbe (to možemo provjeriti izravnom zamjenom). Dakle, formalni prijelaz na novu bazu doveo je do gubitka korijena. Kako biste izbjegli gubitak korijena x = 1, trebali biste navesti da nova baza mora biti pozitivan broj koji nije jedan, a slučaj x = 1 razmotrite zasebno.

2. Cijela skupina pogrešaka, odnosno nedostataka, sastoji se u tome što studenti ne obraćaju dužnu pažnju na pronalaženje područja definicije jednadžbi, iako je u nekim slučajevima upravo to područje ključno za rješenje. Pogledajmo primjer u tom pogledu.

riješiti jednadžbu

Nađimo područje definicije ove jednadžbe za koju rješavamo sustav nejednačina:

Odakle imamo x = 0. Provjerimo izravnom zamjenom je li broj x = 0 korijen izvorne jednadžbe

Odgovor: x = 0.

3. Tipična pogreška učenika je što ne poznaju definicije pojmova, formula, formulacija teorema i algoritama na traženoj razini. Potvrdimo rečeno sljedećim primjerom.

riješiti jednadžbu

Evo pogrešnog rješenja ove jednadžbe:

Provjera pokazuje da x = -2 nije korijen izvorne jednadžbe.

Zaključak se nameće sam od sebe da data jednadžba nema korijen.

Međutim, nije. Zamjenom x = -4 u danu jednadžbu možemo provjeriti da je ovo korijen.

Analizirajmo zašto je korijen izgubljen.

U izvornoj jednadžbi izrazi x i x + 3 mogu biti negativni ili oba pozitivni u isto vrijeme, ali kada se prijeđe na jednadžbu, ti isti izrazi mogu biti samo pozitivni. Posljedično, došlo je do sužavanja domene definicije, što je dovelo do gubitka korijena.

Kako biste izbjegli gubitak korijena, možete postupiti na sljedeći način: prijeđimo u izvornoj jednadžbi s logaritma zbroja na logaritam proizvoda. U ovom slučaju moguća je pojava stranih korijena, ali možete ih se riješiti zamjenom.

4. Mnoge pogreške u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi rezultat su činjenice da učenici vrlo često pokušavaju riješiti probleme prema predlošku, odnosno na uobičajen način. Pokažimo to na primjeru.

Riješite nejednakost

Pokušaj rješavanja ove nejednakosti na uobičajene algoritamske načine neće dovesti do odgovora. Rješenje se ovdje treba sastojati u procjeni vrijednosti svakog člana na lijevoj strani nejednakosti na domeni nejednakosti.

Pronađite područje definicije nejednakosti:

Za sve x iz intervala (9;10] izraz ima pozitivne vrijednosti(vrijednosti eksponencijalna funkcija uvijek pozitivan).

Za sve x iz intervala (9;10] izraz x - 9 ima pozitivne vrijednosti, a izraz lg(x - 9) ima negativne vrijednosti ili nulu, tada izraz (- (x - 9) lg(x) - 9) je pozitivan ili jednak nuli.

Konačno, imamo x∈ (9;10]. Imajte na umu da je za takve vrijednosti varijable svaki član s lijeve strane nejednakosti pozitivan (drugi član može biti jednak nuli), što znači da je njihov zbroj je uvijek veći od nule. Stoga je rješenje izvorne nejednadžbe interval (9;10).

5. Jedna od pogrešaka vezana je za grafičko rješenje jednadžbi.

riješiti jednadžbu

Naše iskustvo pokazuje da učenici, rješavajući ovu jednadžbu grafički (imajte na umu da se ona ne može riješiti drugim elementarnim metodama), dobivaju samo jedan korijen (to je apscisa točke koja leži na pravoj y = x), jer grafovi funkcija

To su grafovi međusobno inverznih funkcija.

Zapravo, izvorna jednadžba ima tri korijena: jedan od njih je apscisa točke koja leži na simetrali prvog koordinatnog kuta y \u003d x, drugi korijen i treći korijen.

Imajte na umu da su jednadžbe oblika logax = ax na 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Ovaj primjer uspješno ilustrira sljedeći zaključak: grafičko rješenje jednadžbe f(x) = g(x) je “savršeno” ako su obje funkcije multimonotonske (jedna od njih raste, a druga opada), te nedovoljno matematički ispravno u slučaju monotonih funkcija (obje ili se istovremeno smanjuju ili istovremeno povećavaju).

6. Niz tipičnih pogrešaka nastaje zbog činjenice da učenici ne rješavaju sasvim točno jednadžbe i nejednadžbe na temelju funkcionalnog pristupa. Prikazat ćemo tipične greške ove vrste.

a) Riješite jednadžbu xx = x.

Funkcija na lijevoj strani jednadžbe je eksponencijalna, a ako je tako, na temelju stupnja treba nametnuti sljedeća ograničenja: x > 0, x ≠ 1. Uzmimo logaritam oba dijela zadanog jednadžba:

Odatle imamo x = 1.

Logaritam nije doveo do sužavanja područja definicije izvorne jednadžbe. Ali ipak smo izgubili dva korijena jednadžbe; izravnim promatranjem nalazimo da su x = 1 i x = -1 korijeni izvorne jednadžbe.

b) Riješite jednadžbu

Kao iu prethodnom slučaju, imamo funkciju eksponencijalne snage, što znači x > 0, x ≠ 1.

Za rješavanje izvorne jednadžbe uzimamo logaritam oba njezina dijela u bilo kojoj bazi, na primjer, u bazi 10:

S obzirom da je umnožak dvaju faktora jednak nuli kada je barem jedan od njih jednak nuli, dok drugi ima smisla, imamo skup od dva sustava:

Prvi sustav nema rješenja; iz drugog sustava dobivamo x = 1. S obzirom na ranije nametnuta ograničenja, broj x = 1 ne bi trebao biti korijen izvorne jednadžbe, iako izravnom zamjenom osiguravamo da to nije slučaj.

7. Razmotrite neke od pogrešaka povezanih s konceptom složene funkcije oblika . Pokažimo pogrešku na primjeru.

Odredite vrstu monotonosti funkcije.

Naša praksa pokazuje da velika većina studenata monotonost u ovom slučaju određuje samo bazom logaritma, a budući da je 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Ne! Ova funkcija se povećava.

Uvjetno za funkciju prikaza možete napisati:

Povećanje (silazno) = silazno;

Povećanje (Povećanje) = Povećanje;

Smanjenje (opadanje) = povećanje;

Smanjenje (Povećanje) = Smanjenje;

8. Riješite jednadžbu

Ovaj zadatak je preuzet iz trećeg dijela Jedinstvenog državnog ispita koji se ocjenjuje bodovima (maksimalni broj bodova je 4).

Evo rješenja koje sadrži greške, što znači da se za njega neće dati maksimalni broj bodova.

Svodimo logaritme na bazu 3. Jednadžba će poprimiti oblik

Potenciranjem dobivamo

x1 = 1, x2 = 3.

Provjerimo kako bismo identificirali strane korijene

, 1 = 1,

pa je x = 1 korijen izvorne jednadžbe.

pa x = 3 nije korijen izvorne jednadžbe.

Objasnimo zašto ovo rješenje sadrži greške. Bit pogreške je da unos sadrži dvije grube greške. Prva greška: zapis uopće nema smisla. Druga pogreška: Nije točno da je umnožak dvaju faktora, od kojih je jedan 0, nužno nula. Nula će biti ako i samo ako je jedan faktor 0, a drugi faktor ima smisla. Evo, samo, drugi množitelj nema smisla.

9. Vratimo se na već komentiranu pogrešku, ali ćemo istovremeno dati neke nove argumente.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi one prelaze u jednadžbu. Svaki korijen prve jednadžbe također je korijen druge jednadžbe. Obrnuto, općenito govoreći, nije točno, stoga je pri prelasku s jednadžbe na jednadžbu potrebno provjeriti korijene potonje zamjenom u izvornu jednadžbu na kraju. Umjesto provjere korijena, preporučljivo je zamijeniti jednadžbu s ekvivalentnim sustavom

Ako se pri rješavanju logaritamske jednadžbe izrazi

gdje je n paran broj, transformiraju se, odnosno, prema formulama , , , tada, budući da je u mnogim slučajevima područje definicije jednadžbe suženo, neki od njezinih korijena mogu biti izgubljeni. Stoga je preporučljivo primijeniti ove formule u sljedećem obliku:

n je paran broj.

Obrnuto, ako se pri rješavanju logaritamske jednadžbe izrazi , , , gdje je n paran broj, pretvore u izraze

tada se domena definicije jednadžbe može proširiti, zbog čega je moguće dobiti strane korijene. Imajući to na umu, u takvim situacijama potrebno je pratiti ekvivalenciju transformacija i, ako se domena definicije jednadžbe proširi, provjeriti rezultirajuće korijene.

10. Kod rješavanja logaritamskih nejednadžbi zamjenom uvijek prvo rješavamo novu nejednadžbinu s obzirom na novu varijablu, a tek u njenom rješenju vršimo prijelaz na staru varijablu.

Školarci vrlo često pogrešno rade obrnuti prijelaz ranije, u fazi pronalaženja korijena racionalne funkcije, dobivene na lijevoj strani nejednakosti. To se ne smije činiti.

11. Navedimo primjer još jedne pogreške vezane uz rješenje nejednadžbi.

Riješite nejednakost

.

Evo pogrešnog rješenja koje studenti vrlo često nude.

Kvadratirajmo obje strane izvorne nejednadžbe. imat će:

odakle dobivamo netočnu brojčanu nejednakost , što nam omogućuje da zaključimo da zadana nejednadžba nema rješenja.

Uvod………………………………………………………………………… 3

1. Klasifikacija pogrešaka s primjerima…………………………… .…… …5

1.1. Razvrstavanje po vrstama zadataka……………………………………………… ………….5

1.2. Klasifikacija po vrstama transformacija………………………………………………10

2. Ispitivanja……………………………………………………….… .…………………….12

3. Protokoli odluka………………………………….….…………… 18

3.1. Protokoli pogrešnih odluka ................................................. 18

3.2. Odgovori (protokoli točnih odluka)…………………………………………….34

3.3. Pogreške u odlukama……………………………………………… 51

Dodatak…………………………………………………………………………… 53

Književnost……………………………………………………………………………………….56

UVOD

"Uče se na greškama", kaže narodna mudrost. Ali da biste naučili iz negativnog iskustva, prije svega morate vidjeti grešku. Nažalost, učenik ga često ne može otkriti prilikom rješavanja određenog problema. Kao rezultat toga, nastala je ideja da se provede istraživanje čija je svrha identificirati tipične pogreške učenika, te ih što potpunije klasificirati.

U okviru ovog istraživanja razmatran je i riješen veliki skup zadataka od opcija za travanjsko testiranje, testova i pismenih zadaća za prijemne ispite na Omskom državnom sveučilištu, raznih priručnika i zbirki zadataka za pristupnike sveučilištima, te materijala dopisnu školu pri OmSU NOF-a pomno su proučavali. Primljeni podaci podvrgnuti su detaljna analiza, dok se velika pozornost posvećivala logici odluka. Na temelju tih podataka identificirane su najčešće greške, odnosno one tipične.

Na temelju rezultata ove analize pokušano je sistematizirati karakteristične pogreške i klasificirati ih po vrstama transformacija i vrstama problema, među kojima su razmatrane: kvadratne nejednadžbe, sustavi nejednadžbi, razlomačno-racionalne jednadžbe, jednadžbe s modul, iracionalne jednadžbe, sustavi jednadžbi, zadaci o gibanju, zadaci za rad i produktivnost rada, trigonometrijske jednadžbe, sustavi trigonometrijskih jednadžbi, planimetrija.

Razvrstavanje je popraćeno ilustracijom u obliku pogrešnih protokola odlučivanja, što omogućuje učenicima da razviju sposobnost provjere i kontrole, kritičke evaluacije svojih aktivnosti, pronalaženja pogrešaka i načina za njihovo otklanjanje.

Sljedeći korak bio je rad s testovima. Za svaki zadatak ponuđeno je pet odgovora, od kojih je jedan točan, a preostala četiri netočna, ali se ne uzimaju slučajno, već odgovaraju rješenju u kojem je napravljena konkretna pogreška, standardna za zadatke ovog tipa. To daje podlogu za predviđanje stupnja "nepristojnosti" pogreške i razvoj osnovnih mentalnih operacija (analiza, sinteza, usporedba, generalizacija). Testovi imaju sljedeću strukturu:

Kodovi pogrešaka podijeljeni su u tri vrste: OK - točan odgovor, numerički kod - pogreška iz klasifikacije po vrstama zadataka, abecedni kod - pogreška iz klasifikacije po vrstama transformacija. Njihovo dekodiranje nalazi se u poglavlju 1. Klasifikacija pogrešaka s primjerima.

Ponuđeni su daljnji zadaci za pronalaženje pogreške u rješenju. Ovi materijali korišteni su u radu s učenicima dopisne škole pri NOF OmSU, kao i na tečajevima naprednog usavršavanja nastavnika u Omsku i Omskoj regiji, koje provodi NOF OmSU.

U budućnosti, na temelju obavljenog posla, moguće je izraditi sustav praćenja i ocjenjivanja razine znanja i vještina ispitivane osobe. Postaje moguće identificirati problematična područja u radu, popraviti uspješne metode i tehnike, analizirati koji sadržaj obuke je preporučljivo proširiti. Ali za najveću učinkovitost ovih metoda nužan je interes učenika. U tu svrhu, zajedno s Chubrik A.V. i razvijen je mali softverski proizvod koji generira netočna rješenja linearnih i kvadratnih jednadžbi (teorijska baza i algoritmi - I i Chuubrik A.V., pomoć u implementaciji - studentska skupina MP-803 Filimonov M.V.). Rad s ovim programom daje učeniku mogućnost da djeluje kao učitelj, čiji je učenik računalo.

Dobiveni rezultati mogu poslužiti kao početak ozbiljnijeg studija, koji će u bližoj i dugoj perspektivi moći izvršiti potrebne prilagodbe u sustavu nastave matematike.

1. KLASIFIKACIJA GREŠKA S PRIMJERIMA

1.1. Klasifikacija po vrstama zadataka

1. Algebarske jednadžbe i nejednakosti.

1.1. Kvadratne nejednakosti. Sustavi nejednakosti:

1.1.1. Korijeni kvadratnog trinoma su pogrešno pronađeni: Vietin teorem i formula za pronalaženje korijena su pogrešno korišteni;

1.1.2. Graf kvadratnog trinoma je netočno prikazan;

1.1.3. Vrijednosti argumenata su pogrešno definirane za koje je nejednakost zadovoljena;

1.1.4. Dijeljenje izrazom koji sadrži nepoznatu vrijednost;

1.1.5. U sustavima nejednadžbi netočno je uzet presjek rješenja svih nejednadžbi;

1.1.6. Netočno uključeni ili neuključeni krajevi intervala u konačni odgovor;

1.1.7. Zaokruživanje.

1.2. Frakcijsko-racionalne jednadžbe:

1.2.1. Pogrešno naznačen ili nenaveden ODZ: nije uzeto u obzir da nazivnik razlomka ne smije biti jednak nuli;

ODZ: .

1.2.2. Po primitku odgovora, ODZ se ne uzima u obzir;

Da bismo shvatili kako riješiti kvadratne jednadžbe, moramo shvatiti što je kvadratna funkcija i koja svojstva ima.

Sigurno ste se pitali zašto je kvadratna funkcija uopće potrebna? Gdje možemo primijeniti njegov graf (parabolu)? Da, samo se morate osvrnuti oko sebe, i primijetit ćete da se svaki dan u svakodnevnom životu susrećete s tim. Jeste li primijetili kako bačena lopta leti na tjelesnom? "U luku"? Najispravniji odgovor bi bio "u paraboli"! A po kojoj se putanji kreće mlaz u fontani? Da, također u paraboli! A kako leti metak ili projektil? Tako je, također u paraboli! Dakle, poznavajući svojstva kvadratna funkcija, bit će moguće riješiti mnoge praktične probleme. Na primjer, pod kojim kutom biste trebali baciti loptu da biste osigurali najveći domet leta? Ili gdje će projektil završiti ako se ispali pod određenim kutom? itd.

kvadratna funkcija

Pa, idemo to shvatiti.

Na primjer, . Što su ovdje jednaki, i? Pa, naravno, i!

Što ako, t.j. manje od nule? Pa, naravno, mi smo “tužni”, što znači da će grane biti usmjerene prema dolje! Pogledajmo grafikon.

Ova slika prikazuje graf funkcije. Budući da, t.j. manje od nule, grane parabole usmjerene su prema dolje. Osim toga, vjerojatno ste već primijetili da grane ove parabole sijeku os, što znači da jednadžba ima 2 korijena, a funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti!

Na samom početku, kada smo davali definiciju kvadratne funkcije, rečeno je da su i neki brojevi. Mogu li biti jednake nuli? Pa naravno da mogu! Čak ću vam otkriti još veću tajnu (koja uopće nije tajna, ali je vrijedno spomena): na ove brojke (i) uopće nisu nametnuta ograničenja!

Pa, da vidimo što se događa s grafovima ako su i jednaki nuli.

Kao što možete vidjeti, grafovi razmatranih funkcija (u) su se pomaknuli tako da su njihovi vrhovi sada u točki s koordinatama, odnosno na sjecištu osi i to nije utjecalo na smjer grana. Dakle, možemo zaključiti da su oni odgovorni za "kretanje" grafa parabole duž koordinatnog sustava.

Grafikon funkcije dodiruje os u točki. Dakle, jednadžba ima jedan korijen. Dakle, funkcija poprima vrijednosti veće ili jednake nuli.

S grafom funkcije slijedimo istu logiku. U točki dodiruje x-os. Dakle, jednadžba ima jedan korijen. Dakle, funkcija poprima vrijednosti manje ili jednake nuli, tj.

Dakle, da bi se odredio predznak izraza, prvo što treba učiniti je pronaći korijene jednadžbe. Ovo će nam biti od velike koristi.

Kvadratna nejednakost

Kvadratna nejednakost je nejednakost koja se sastoji od jedne kvadratne funkcije. Dakle, sve kvadratne nejednakosti se svode na sljedeća četiri tipa:

Prilikom rješavanja takvih nejednakosti trebat će nam sposobnost da odredimo gdje je kvadratna funkcija veća, manja ili jednaka nuli. tj.:

• ako imamo nejednakost oblika, onda se zapravo problem svodi na određivanje brojčanog raspona vrijednosti za koji parabola leži iznad osi.
• ako imamo nejednakost oblika, onda se zapravo problem svodi na određivanje brojčanog intervala x vrijednosti za koji parabola leži ispod osi.

Ako nejednadžbe nisu stroge (u), tada su korijeni (koordinate presjeka parabole s osi) uključeni u željeni brojčani interval, sa strogim nejednakostima su isključeni.

Sve je to prilično formalizirano, ali nemojte očajavati i plašiti se! Pogledajmo sada primjere i sve će doći na svoje mjesto.

Prilikom rješavanja kvadratnih nejednakosti pridržavat ćemo se navedenog algoritma i čeka nas neizbježan uspjeh!

Algoritam	Primjer:
1) Napišimo kvadratnu jednadžbu koja odgovara nejednadžbi (jednostavno promijenite znak nejednakosti u znak jednakosti "=").
2) Pronađite korijene ove jednadžbe.
3) Označite korijene na osi i shematski pokažite orijentaciju grana parabole ("gore" ili "dolje")
4) Postavimo na os znakove koji odgovaraju predznaku kvadratne funkcije: gdje je parabola iznad osi, stavite "", a gdje ispod - "".
5) Zapisujemo interval(e) koji odgovara "" ili "", ovisno o predznaku nejednakosti. Ako nejednakost nije stroga, korijeni su uključeni u interval; ako je stroga, oni se ne uključuju.

Shvaćam? Zatim pričvrstite naprijed!

Pa, je li uspjelo? Ako imate bilo kakvih poteškoća, razumite rješenja.

Riješenje:

Ispišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", budući da je znak nejednakosti " ". Nejednakost nije stroga, pa su korijeni uključeni u intervale:

Zapisujemo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

Dobivene korijene shematski označavamo na osi i raspoređujemo znakove:

Ispišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", budući da je znak nejednakosti " ". Nejednakost je stroga, tako da korijeni nisu uključeni u intervale:

Zapisujemo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

ova jednadžba ima jedan korijen

Dobivene korijene shematski označavamo na osi i raspoređujemo znakove:

Ispišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", budući da je znak nejednakosti " ". Za bilo koju funkciju uzima nenegativnu vrijednost. Budući da nejednakost nije stroga, odgovor je

Zapisujemo odgovarajuću kvadratnu jednadžbu:

Nađimo korijene ove kvadratne jednadžbe:

Šematski nacrtajte graf parabole i postavite znakove:

Ispišimo intervale koji odgovaraju predznaku " ", budući da je znak nejednakosti " ". Za bilo koje, funkcija poprima pozitivne vrijednosti, stoga će rješenje nejednakosti biti interval:

KVADRATNE NEJEDNAKOST. PROSJEČNA RAZINA

Kvadratna funkcija.

Prije nego počnemo govoriti o temi "kvadratne nejednakosti", prisjetimo se što je kvadratna funkcija i što je njezin graf.

Drugim riječima, ovo polinom drugog stupnja.

Graf kvadratne funkcije je parabola (sjetite se što je to?). Njegove su grane usmjerene prema gore ako "a) funkcija uzima samo pozitivne vrijednosti za sve, a u drugom () - samo negativne:

U slučaju kada jednadžba () ima točno jedan korijen (na primjer, ako je diskriminanta nula), to znači da graf dodiruje os:

Zatim, slično kao u prethodnom slučaju, za , funkcija je nenegativna za sve, a za , nije pozitivna.

Dakle, nakon svega, nedavno smo naučili odrediti gdje je kvadratna funkcija veća od nule, a gdje manja:

Ako kvadratna nejednakost nije stroga, tada su korijeni uključeni u numerički interval, ako je stroga, nisu.

Ako postoji samo jedan korijen, u redu je, svugdje će biti isti znak. Ako nema korijena, sve ovisi samo o koeficijentu: ako je, onda je cijeli izraz veći od 0, i obrnuto.

Primjeri (odlučite sami):

odgovori:

Nema korijena, pa cijeli izraz s lijeve strane ima predznak najvećeg koeficijenta: za sve. To znači da nema rješenja za nejednakost.

Ako je kvadratna funkcija s lijeve strane "nepotpuna", lakše je pronaći korijene:

KVADRATNE NEJEDNAKOST. UKRATKO O GLAVNOM

kvadratna funkcija je funkcija oblika:

Graf kvadratne funkcije je parabola. Njegove grane su usmjerene prema gore ako, i prema dolje ako:

• Ako želite pronaći brojčani interval na kojem je kvadratni trinom veći od nule, onda je to brojčani interval u kojem parabola leži iznad osi.
• Ako želite pronaći brojčani interval na kojem je kvadratni trinom manji od nule, onda je to brojčani interval u kojem parabola leži ispod osi.

Vrste nejednakosti kvadrata:

Sve kvadratne nejednakosti svode se na sljedeća četiri tipa:

Algoritam rješenja:

Algoritam	Primjer:
1) Napišimo kvadratnu jednadžbu koja odgovara nejednadžbi (jednostavno promijenite znak nejednakosti u znak jednakosti "").
2) Pronađite korijene ove jednadžbe.
3) Označite korijene na osi i shematski pokažite orijentaciju grana parabole ("gore" ili "dolje")
4) Postavimo na os znakove koji odgovaraju predznaku kvadratne funkcije: gdje je parabola iznad osi, stavljamo "", a gdje je niže - "".
5) Zapisujemo interval (s) koji odgovara (s) "" ili "", ovisno o predznaku nejednakosti. Ako nejednakost nije stroga, korijeni su uključeni u interval; ako je nejednakost stroga, oni se ne uključuju.

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 899 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Prethodni post

Njega laktova Kako laktove učiniti glatkima kod kuće

Sljedeći post

Kukuruzno brašno - što je to?