जोड़ना और घटाना दशमलवप्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के समान, लेकिन कुछ शर्तों के साथ।

नियम। पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के अंकों द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के रूप में निष्पादित किया जाता है।

लेखन में दशमलव को जोड़ना और घटानापूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम जोड़ और योग पर या एक कॉलम में लघुअंत, उपप्रकार और अंतर पर स्थित होना चाहिए (शर्त लिखने से लेकर गणना के अंत तक अल्पविराम के नीचे एक अल्पविराम)।

दशमलव को जोड़ना और घटानापंक्ति के लिए:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

दशमलव को जोड़ना और घटानाएक कॉलम में:

जब स्थानीय मान का योग दस से अधिक हो जाता है तो दशमलव जोड़ने के लिए संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष पंक्ति की आवश्यकता होती है। दशमलव को घटाने के लिए उस स्थान को चिह्नित करने के लिए एक अतिरिक्त शीर्ष रेखा की आवश्यकता होती है जहां 1 उधार लिया गया है।

यदि परिशिष्ट या लघुअंत के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग के पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में दाईं ओर आप उतने ही शून्य जोड़ सकते हैं (भिन्नात्मक भाग का अंक बढ़ाएँ) जितने अन्य परिशिष्ट में अंक हैं। या minuend.

दशमलव को गुणा करनासमान नियमों के अनुसार प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान तरीके से किया जाता है, लेकिन उत्पाद में भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार एक अल्पविराम लगाया जाता है, दाएं से बाएं तक गिनती (योग का योग) गुणक के अंक कारकों के दशमलव बिंदु के बाद एक साथ लिए गए अंकों की संख्या है)।

उदाहरण:

पर दशमलव को गुणा करनाएक कॉलम में, दाईं ओर के पहले महत्वपूर्ण अंक को दाईं ओर के पहले महत्वपूर्ण अंक के नीचे हस्ताक्षरित किया जाता है, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं में होता है:

अभिलेख दशमलव को गुणा करनाएक कॉलम में:

अभिलेख दशमलव का विभाजनएक कॉलम में:

रेखांकित वर्ण वे वर्ण हैं जिनके बाद अल्पविराम लगता है क्योंकि भाजक एक पूर्णांक होना चाहिए।

नियम। पर भिन्नों को विभाजित करनादशमलव विभाजक को उतने ही अंकों से बढ़ाया जाता है जितने भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंश नहीं बदलता है, लाभांश को अंकों की समान संख्या से बढ़ाया जाता है (लाभांश और भाजक में, दशमलव बिंदु को अंकों की समान संख्या पर ले जाया जाता है)। विभाजन के उस चरण में भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है जब भिन्न का पूरा भाग विभाजित हो जाता है।

दशमलव भिन्नों के लिए, जैसा कि प्राकृतिक संख्याओं के लिए, नियम रहता है: आप दशमलव भिन्न को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

दशमलव को दो प्रकार से जोड़ा जा सकता है:

1. दशमलव को भिन्नों के रूप में निरूपित करें और उनका योग जोड़ें।
2. दशमलव भिन्नों का स्तंभ जोड़ करें.

साधारण भिन्नों में रूपांतरण द्वारा योग

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करके जोड़ते समय, आपको निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होना चाहिए:

1. आपको दशमलव भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या की तुलना करने की आवश्यकता है।
2. यदि दशमलव स्थानों की संख्या समान है, तो दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें और उन्हें जोड़ें।
3. यदि दशमलव स्थानों की संख्या भिन्न है, तो आपको सबसे पहले दशमलव अंश के दाईं ओर जोड़कर उनकी संख्या को बराबर करना होगा से कमशून्य की आवश्यक संख्या पर हस्ताक्षर करता है।

उदाहरण 1. संख्याएँ 3.1 और 4.7 जोड़ें।

समाधान. चूँकि दशमलव स्थानों की संख्या समान है, हम बस दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं। दशमलव भिन्न 3.1 एक साधारण भिन्न से मेल खाता है, और दशमलव भिन्न 4.7 एक साधारण भिन्न से मेल खाता है, जिसका अर्थ है:

उदाहरण 2. संख्याएँ 3.45 और 7.368 जोड़ें।

समाधान. चूँकि दशमलव स्थानों की संख्या अलग-अलग है, इसलिए हम पहले भिन्न 3.45 के दाईं ओर संख्या 0 जोड़कर उनकी संख्या को बराबर करते हैं। दशमलव भिन्न 3.450 एक साधारण भिन्न से मेल खाता है, और दशमलव भिन्न 7.368 एक साधारण भिन्न से मेल खाता है, जिसका अर्थ है। :

किसी कॉलम में दशमलव भिन्न जोड़ना

दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में जोड़ा जा सकता है।

किसी कॉलम में दशमलव भिन्न जोड़ते समय, आपको निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होना चाहिए:

1. दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि समान अंकों के अंक एक दूसरे के बगल में हों। दशमलव भिन्नों के अल्पविरामों को भी एक के नीचे एक रखा जाना चाहिए।
2. यदि भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या भिन्न है, तो सुविधा के लिए आप कम दशमलव स्थानों के साथ दशमलव भिन्न के दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर उनकी संख्या को बराबर कर सकते हैं।
3. अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, जोड़ वैसे ही निष्पादित करें जैसे आप प्राकृतिक संख्याओं का एक स्तंभ जोड़ते हैं।
4. परिणामी योग में अल्पविराम लगाएं ताकि वह पदों के अल्पविराम के नीचे रहे।

उदाहरण 1. संख्याएँ 3.1 और 4.7 जोड़ें।

समाधान. हम अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, उसी प्रकार जोड़ करते हैं जैसे हम प्राकृतिक संख्याओं के कॉलम के साथ जोड़ते हैं:

उदाहरण 2. 3.45 और 7.368 जोड़ें।

समाधान. हम जोड़ उसी तरह करते हैं जैसे प्राकृतिक संख्याओं का एक कॉलम जोड़ते हैं। सुविधा के लिए, आप जोड़े गए भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर कर सकते हैं:

एक प्राकृतिक संख्या के साथ दशमलव अंश जोड़ना

प्राकृतिक संख्याओं के साथ दशमलव जोड़ने का नियम:

दशमलव अंश और प्राकृतिक संख्या को जोड़ने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश के पूरे भाग में जोड़ना होगा, और भिन्नात्मक भाग को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण. 14.3 और 29 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान. जोड़ने में आसानी के लिए, किसी भी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको इकाई के स्थान के बाद अल्पविराम लगाना होगा और अल्पविराम के बाद आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ना होगा। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ने के नियम के अनुसार जोड़ किया जाता है:

भिन्न में दशमलव जोड़ना

दशमलव को उभयनिष्ठ भिन्नों से जोड़ने का नियम।

दशमलव जोड़नाकॉलम जोड़ने के नियमों के अनुसार किया जाता है।

दशमलव अंशों को अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, एक कॉलम में जोड़ा जाता है।

अंतिम परिणाम में, मूल भिन्नों की तरह अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाया जाता है।

ध्यान देना! यदि प्रारंभिक दशमलव अंशों में दशमलव स्थानों (अंकों) की संख्या अलग-अलग है, तो कम दशमलव स्थानों वाले अंश में आपको अंशों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करने के लिए शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है।

यदि परिशिष्ट या लघुअंत के दाईं ओर भिन्नात्मक भाग के पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में दाईं ओर आप उतने ही शून्य जोड़ सकते हैं (भिन्नात्मक भाग का अंक बढ़ाएँ) जितने अन्य परिशिष्ट में अंक हैं। या minuend.

आइए एक उदाहरण देखें. दशमलव भिन्नों का योग ज्ञात करें:

0,678 + 13,7 =

हम दशमलव भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करते हैं। दशमलव भिन्न के दाईं ओर 2 शून्य जोड़ें 13,7 :

0,678 + 13,700 =

हम उत्तर लिखते हैं:

0,678 + 13,7 = 14,378

दशमलव जोड़ने के बुनियादी नियम:

• दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें.
• दशमलव भिन्नों को एक के नीचे एक लिखें ताकि अल्पविराम एक दूसरे के नीचे रहें।
• किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के नियमों के अनुसार, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, दशमलव अंश जोड़ें।
• अपने उत्तर में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं।

दशमलव अंशों के लिखित जोड़ और घटाव में, अल्पविराम जो पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करता है, उसी कॉलम में जोड़ और योग के बगल में स्थित होना चाहिए (शर्त लिखने से लेकर गणना के अंत तक अल्पविराम के नीचे एक अल्पविराम) ).

उदाहरण के लिए।एक स्ट्रिंग में दशमलव जोड़ना:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651.

स्कूली गणित का पाठ्यक्रम काफी बड़ा है, इसलिए एक बार जब छात्रों को साधारण भिन्न और मिश्रित संख्याएँ जोड़ने की आदत हो जाती है, तो उन्हें दशमलव जोड़ने के नए नियम सीखने की ज़रूरत होती है। दोबारा न सीखने के लिए, आपको विषय को एक बार समझना होगा और दोबारा कभी गलतियाँ नहीं करनी होंगी।

भिन्नों के प्रकार

भिन्नों के दो बड़े उपप्रकार हैं:

• साधारण भिन्न.इसमें वे संख्याएँ शामिल हैं जो भिन्नात्मक रेखा से लिखी जाती हैं। ऐसी संख्याओं में हमेशा एक अंश और एक हर होता है।
• दशमलव भिन्न.दशमलव भिन्नों के लिए, अंश को रेखा पर लिखा जाता है, और हर को दशमलव बिंदु की स्थिति से निर्धारित किया जा सकता है। दशमलव स्थानों की संख्या उस घात के बराबर होती है जिस तक हर प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को बढ़ाया जाना चाहिए।

मिश्रित संख्याएँ साधारण और दशमलव दोनों भिन्नों में मौजूद होती हैं। इस स्थिति में, अनियमित दशमलव अंश नहीं हो सकता। अंकन प्रणाली ऐसी है कि दशमलव अंश का पूरा भाग स्वचालित रूप से हाइलाइट हो जाता है।

अतः संख्या 0.17 का हर संख्या 100 है, क्योंकि भिन्न में 2 दशमलव स्थान होते हैं। दशमलव भिन्न कहा जाता है क्योंकि हर में हमेशा 10 की घात होती है, यह ऐसी संख्याओं को लिखने की प्रणाली से ही निहित है।

साधारण भिन्नों को जोड़ने के नियम

भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों संख्याओं का हर समान हो।

यदि साधारण भिन्नों के हर अलग-अलग हों तो उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता!

पहला कदम विभिन्न हर वाले भिन्नों को एक हर के अंतर्गत लाना है। अगला कदम अंशों को जोड़ना है। भाजक वही रहते हैं. दो या दो से अधिक संख्याओं का उभयनिष्ठ हर हर का LCM होता है।

दशमलव जोड़ना

दशमलव भिन्नों के साथ समस्या अधिक जटिल है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, हर यहाँ दिखाई नहीं दे रहा है। इसे अल्पविराम से दर्शाया जाता है। दो दशमलव जोड़ने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों संख्याओं में दशमलव स्थानों की संख्या समान हो।

ऐसा करने के लिए, सबसे बड़ी संख्या में चिह्नों वाले अंश का चयन किया जाता है, और सभी चिह्नों की पुनर्गणना की जाती है। फिर दाईं ओर कम वर्णों वाली संख्या को शून्य की आवश्यक संख्या निर्दिष्ट की जाती है। इसके बाद भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ दिया जाता है और अल्पविराम को उसी स्थिति में ले जाया जाता है।

एक कॉलम में दो दशमलव भिन्नों को जोड़ने के लिए, एक संख्या को दूसरे के नीचे लिखें ताकि दशमलव बिंदु दशमलव बिंदु के नीचे हो। इस जोड़ के बाद, चिन्ह दूसरी जगह नहीं जाएगा, और आप कोई गलती नहीं करेंगे।

आइए दशमलव जोड़ने का एक छोटा सा उदाहरण देखें:

0.12+0.1258 - दशमलव स्थानों की सबसे बड़ी संख्या 4. इसका मतलब है कि उदाहरण को हल करने के लिए इसे इस तरह लिखना होगा:

0.1200+0.1258 - परिणाम में दशमलव बिंदु की स्थिति को भ्रमित न करने के लिए, आप एक ट्रिक का उपयोग कर सकते हैं और एक सामान्य गुणनखंड जोड़ सकते हैं

0.1200+0.1258=0.0001*(1200+1258)=0.0001*2458=0.2458 - इस ट्रिक का उपयोग करना आवश्यक नहीं है। कॉलम में गणना करते समय कोई त्रुटि नहीं होनी चाहिए। लेकिन यह तकनीक आपको दशमलव भिन्नों को एक पंक्ति में सही ढंग से जोड़ने में मदद करेगी।

हमने क्या सीखा?

हमने दशमलव और भिन्नों को जोड़ने में अंतर के बारे में बात की। उन्होंने हमें बताया कि एक कॉलम और एक पंक्ति में दशमलव भिन्नों को सही ढंग से कैसे जोड़ा जाए। उन्होंने एक उदाहरण भी दिया जहां उन्होंने गणना को सरल बनाने के लिए एक छोटी सी तरकीब देखी।

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जोड़ की तरह, दशमलव को घटाना भी संख्याओं को सही ढंग से लिखने पर निर्भर करता है।

दशमलव घटाने का नियम

1) अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम!

नियम का यह भाग सबसे महत्वपूर्ण है. दशमलव अंशों को घटाते समय, उन्हें इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम सख्ती से एक दूसरे के नीचे हों।

2) हम दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या छोटी है, हम दशमलव बिंदु के बाद शून्य जोड़ते हैं।

3) अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए संख्याओं को घटाएं।

4) अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा दें।

दशमलव घटाने के उदाहरण.

दशमलव भिन्नों 9.7 और 3.5 के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें इस प्रकार लिखते हैं कि दोनों संख्याओं में अल्पविराम सख्ती से एक दूसरे के नीचे हों। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए घटाते हैं। परिणामी परिणाम में, हम अल्पविराम हटाते हैं, अर्थात, हम मीनूएंड और सबट्रेंड के अल्पविराम के नीचे लिखते हैं:

2) 23,45 — 1,5

एक दशमलव भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको उन्हें इस प्रकार लिखना होगा कि अल्पविराम एक दूसरे के ठीक नीचे स्थित हों। चूँकि 23.45 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं, और 1.5 में केवल एक अंक है, इसलिए हम 1.5 में एक शून्य जोड़ते हैं। इसके बाद हम अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए घटाव करते हैं। परिणामस्वरूप, हम अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा देते हैं:

23,45 — 1,5=21,95.

हम दशमलव भिन्नों को लिखकर घटाना शुरू करते हैं ताकि अल्पविराम एक दूसरे के ठीक नीचे स्थित हों। पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरी में तीन अंक होता है, इसलिए हम पहली संख्या में लुप्त दो अंकों के स्थान पर शून्य लिखते हैं। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, संख्याओं को घटा देते हैं। परिणामी परिणाम में, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम हटा दें:

63,5-8,921=54,579.

4) 2,8703 — 0,507

इन दशमलव भिन्नों को घटाने के लिए, हम उन्हें इस प्रकार लिखते हैं कि दूसरी संख्या का दशमलव बिंदु पहले के दशमलव बिंदु के ठीक नीचे स्थित हो। पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद चार अंक होते हैं, दूसरी संख्या में तीन अंक होते हैं, इसलिए हम दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक अंतिम शून्य जोड़ते हैं। इसके बाद हम इन संख्याओं को साधारण प्राकृतिक संख्याओं की तरह बिना अल्पविराम का ध्यान रखे घटा देते हैं। परिणामी परिणाम में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लिखें:

2,8703 — 0,507 = 2,3663.

5) 35,46 — 7,372

हम संख्याओं को लिखकर दशमलव भिन्नों को घटाना शुरू करते हैं ताकि अल्पविराम एक दूसरे के नीचे हों। हम पहली संख्या में दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य जोड़ते हैं ताकि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हों। फिर हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए घटाते हैं। उत्तर में हम अल्पविराम के नीचे से अल्पविराम हटाते हैं:

35,46 — 7,372 = 28,088.

किसी प्राकृतिक संख्या से दशमलव भिन्न को घटाने के लिए अंत में अल्पविराम लगाएं और दशमलव बिंदु के बाद आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ें। हम अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना घटाव क्यों करते हैं? जवाब में, हम अल्पविराम के ठीक नीचे अल्पविराम हटा देते हैं:

45 — 7,303 = 37,698.

7) 17,256 — 4,756

हम दशमलव भिन्नों को घटाने पर यह उदाहरण उसी प्रकार निष्पादित करते हैं। परिणाम अंत में दशमलव बिंदु के बाद शून्य वाली एक संख्या है। हम उन्हें उत्तर में नहीं लिखते हैं: 17.256 - 4.756 = 12.5.