Funktion des Formulars , wo aufgerufen wird quadratische Funktion.

Graph der quadratischen Funktion − Parabel.

Betrachten Sie die Fälle:

FALL I, KLASSISCHE PARABOLA

Also , ,

Füllen Sie zum Erstellen die Tabelle aus, indem Sie x-Werte in die Formel einsetzen:

Punkte markieren (0;0); (1;1); (-1;1) usw. Auf der Koordinatenebene (je kleiner der Schritt, den wir für x-Werte nehmen (in diesem Fall Schritt 1), und je mehr x-Werte wir nehmen, desto glatter wird die Kurve), erhalten wir eine Parabel:

Es ist leicht zu sehen, dass wir, wenn wir den Fall , , , annehmen, eine um die Achse (ox) symmetrische Parabel erhalten. Es ist leicht, dies zu überprüfen, indem Sie eine ähnliche Tabelle ausfüllen:

II FALL, "a" UNTERSCHIEDLICH VON EINS

Was passiert, wenn wir , , nehmen? Wie wird sich das Verhalten der Parabel ändern? Mit title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Das erste Bild (siehe oben) zeigt deutlich, dass die Punkte aus der Tabelle für die Parabel (1;1), (-1;1) in die Punkte (1;4), (1;-4) umgewandelt wurden, also bei gleichen Werten wird die Ordinate jedes Punktes mit 4 multipliziert. Dies geschieht mit allen Schlüsselpunkten der Originaltabelle. Ähnlich argumentieren wir in den Fällen der Bilder 2 und 3.

Und wenn die Parabel "breiter wird" Parabel:

Lassen Sie uns rekapitulieren:

1)Das Vorzeichen des Koeffizienten ist für die Richtung der Verzweigungen verantwortlich. Mit title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluter Wert Koeffizient (Modul) ist verantwortlich für die „Ausdehnung“, „Stauchung“ der Parabel. Je größer , desto schmaler die Parabel, je kleiner |a|, desto breiter die Parabel.

FALL III, „C“ ERSCHEINT

Lassen Sie uns nun ins Spiel bringen (das heißt, wir betrachten den Fall, wenn ), wir werden Parabeln der Form betrachten. Es ist leicht zu erraten (Sie können sich immer an der Tabelle orientieren), dass sich die Parabel je nach Vorzeichen entlang der Achse nach oben oder unten bewegt:

IV FALL, „b“ ERSCHEINT

Wann „reißt“ die Parabel von der Achse ab und „wandert“ schließlich entlang der gesamten Koordinatenebene? Wenn es aufhört, gleich zu sein.

Hier brauchen wir, um eine Parabel zu konstruieren Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts: , .

Wir werden also an dieser Stelle (wie am Punkt (0; 0) des neuen Koordinatensystems) eine Parabel bauen, die bereits in unserer Macht steht. Wenn wir uns mit dem Fall befassen, dann legen wir von oben ein einzelnes Segment nach rechts, eins nach oben, - der resultierende Punkt ist unser Punkt (ähnlich ist ein Schritt nach links, ein Schritt nach oben unser Punkt); Wenn wir es zum Beispiel damit zu tun haben, legen wir von oben ein einzelnes Segment nach rechts, zwei nach oben usw.

Zum Beispiel der Scheitelpunkt einer Parabel:

Jetzt müssen wir vor allem verstehen, dass wir an diesem Scheitelpunkt eine Parabel gemäß der Parabelvorlage bauen, denn in unserem Fall.

Beim Konstruieren einer Parabel nach dem Finden der Koordinaten des Scheitelpunkts ist sehrEs ist zweckmäßig, die folgenden Punkte zu berücksichtigen:

1) Parabel muss durch den Punkt gehen . In der Tat, wenn wir x=0 in die Formel einsetzen, erhalten wir das . Das heißt, dies ist die Ordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der Achse (oy). In unserem Beispiel (oben) schneidet die Parabel die y-Achse bei , da .

2) Symmetrieachse Parabeln ist eine gerade Linie, also sind alle Punkte der Parabel symmetrisch dazu. In unserem Beispiel nehmen wir sofort den Punkt (0; -2) und bauen eine um die Symmetrieachse symmetrische Parabel, wir erhalten den Punkt (4; -2), durch den die Parabel verlaufen wird.

3) Gleichsetzend finden wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse (ox). Dazu lösen wir die Gleichung. Abhängig von der Diskriminante erhalten wir eins (, ), zwei ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Im vorherigen Beispiel haben wir eine Wurzel aus der Diskriminante - keine ganze Zahl, beim Aufbau macht es für uns wenig Sinn, die Wurzeln zu finden, aber wir können deutlich sehen, dass wir zwei Schnittpunkte mit der (oh) haben werden Achse (seit Titel = "(!LANG: gerendert von QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Also lass uns trainieren

Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel, wenn sie im Formular angegeben ist

1) Bestimmen Sie die Richtung der Zweige (a>0 - nach oben, a<0 – вниз)

2) Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel durch die Formel , .

3) Wir finden den Schnittpunkt der Parabel mit der Achse (oy) durch den freien Term, wir bauen einen Punkt auf, der symmetrisch zu dem gegebenen in Bezug auf die Symmetrieachse der Parabel ist (es ist zu beachten, dass dies der Fall ist). unrentabel, diesen Punkt beispielsweise zu markieren, weil der Wert groß ist ... wir überspringen diesen Punkt ...)

4) Am gefundenen Punkt - der Spitze der Parabel (wie am Punkt (0; 0) des neuen Koordinatensystems) bauen wir eine Parabel. Wenn title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Wir finden die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse (oy) (falls sie selbst noch nicht „aufgetaucht“ sind) und lösen die Gleichung

Beispiel 1

Beispiel 2

Bemerkung 1. Wenn uns die Parabel zunächst in der Form gegeben wird, wo einige Zahlen stehen (z. B. ), dann ist es noch einfacher, sie zu bauen, weil wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts erhalten haben. Wieso den?

Nehmen wir ein quadratisches Trinom und wählen darin ein volles Quadrat aus: Sehen Sie, hier haben wir das , . Wir haben zuvor die Spitze der Parabel genannt, das heißt jetzt.

Zum Beispiel, . Wir markieren die Spitze der Parabel im Flugzeug, wir verstehen, dass die Äste nach unten gerichtet sind, die Parabel wird (relativ) erweitert. Das heißt, wir führen die Schritte 1 aus; 3; 4; 5 aus dem Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel (siehe oben).

Bemerkung 2. Wird die Parabel in einer ähnlichen Form angegeben (d. h. als Produkt zweier linearer Faktoren dargestellt), dann sehen wir sofort die Schnittpunkte der Parabel mit der (x)-Achse. In diesem Fall - (0;0) und (4;0). Im Übrigen handeln wir nach dem Algorithmus und öffnen die Klammern.

Parallele Übertragung.

TRANSFER ENTLANG DER Y-ACHSE

f(x) => f(x) - b
Es sei erforderlich, die Funktion y \u003d f (x) - b zu zeichnen. Es ist leicht zu sehen, dass die Ordinaten dieses Diagramms für alle Werte von x auf |b| liegen Einheiten kleiner als die entsprechenden Ordinaten des Funktionsgraphen y = f(x) für b>0 und |b| mehr Einheiten - bei b 0 oder höher bei b Um die Funktion y + b = f(x) darzustellen, zeichnen Sie die Funktion y = f(x) und verschieben Sie die x-Achse nach |b| Einheiten nach oben für b>0 oder um |b| Einheiten nach unten bei b

TRANSFER ENTLANG DER X-ACHSE

f(x) => f(x + a)
Es sei erforderlich, die Funktion y = f(x + a) zu zeichnen. Betrachten Sie eine Funktion y = f(x), die irgendwann x = x1 den Wert y1 = f(x1) annimmt. Offensichtlich nimmt die Funktion y = f(x + a) denselben Wert am Punkt x2 an, dessen Koordinate aus der Gleichheit x2 + a = x1 bestimmt wird, d.h. x2 = x1 - a, und die betrachtete Gleichheit gilt für die Gesamtheit aller Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion. Daher kann der Graph der Funktion y = f(x + a) durch paralleles Verschieben des Graphen der Funktion y = f(x) entlang der x-Achse nach links um |a| erhalten werden Einsen für a > 0 oder nach rechts um |a| Einheiten für a Um die Funktion y = f(x + a) darzustellen, zeichnen Sie die Funktion y = f(x) und verschieben Sie die y-Achse nach |a| Einheiten nach rechts für a>0 oder |a| Einheiten nach links für a

Beispiele:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Betrachtung.

GRAPHISCHE DARSTELLUNG EINER FUNKTION DER ANSICHT Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Offensichtlich nehmen die Funktionen y = f(-x) und y = f(x) gleiche Werte an Punkten an, deren Abszissen im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt sind. Mit anderen Worten, die Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(-x) im Bereich positiver (negativer) Werte von x sind gleich den Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) mit negativen (positiven) x-Werten, die im absoluten Wert entsprechen. Damit erhalten wir die folgende Regel.
Um die Funktion y = f(-x) zu zeichnen, sollten Sie die Funktion y = f(x) zeichnen und entlang der y-Achse spiegeln. Der resultierende Graph ist der Graph der Funktion y = f(-x)

GRAPHISCHE DARSTELLUNG EINER FUNKTION DER ANSICHT Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Die Ordinaten des Graphen der Funktion y = - f(x) für alle Werte des Arguments sind im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt zu den Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) für die gleichen Werte des Arguments. Damit erhalten wir die folgende Regel.
Um die Funktion y = - f(x) zu plotten, sollten Sie die Funktion y = f(x) plotten und an der x-Achse spiegeln.

Beispiele:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Verformung.

DEFORMATION DES GRAPHEN ENTLANG DER Y-ACHSE

f(x) => kf(x)
Betrachten Sie eine Funktion der Form y = kf(x), wobei k > 0. Es ist leicht zu erkennen, dass bei gleichen Werten des Arguments die Ordinaten des Graphen dieser Funktion k-mal größer sind als die Ordinaten von der Graph der Funktion y = f(x) für k > 1 oder 1/k mal kleiner als die Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) für k ) oder seine Ordinaten um 1/k mal für k verringern
k > 1- Dehnung von der Ochsenachse
0 - Komprimierung auf der OX-Achse

GRAPH DEFORMATION ENTLANG DER X-ACHSE

f(x) => f(kx)
Es sei erforderlich, die Funktion y = f(kx) zu zeichnen, wobei k>0. Betrachten Sie eine Funktion y = f(x), die an einem beliebigen Punkt x = x1 den Wert y1 = f(x1) annimmt. Offensichtlich nimmt die Funktion y = f(kx) denselben Wert an der Stelle x = x2 an, deren Koordinate durch die Gleichheit x1 = kx2 bestimmt wird, und diese Gleichheit gilt für die Gesamtheit aller Werte von x aus der Definitionsbereich der Funktion. Folglich wird der Graph der Funktion y = f(kx) (für k 1) entlang der Abszissenachse relativ zu dem Graph der Funktion y = f(x) gestaucht. Damit erhalten wir die Regel.
Um die Funktion y = f(kx) darzustellen, zeichnen Sie die Funktion y = f(x) und verkürzen Sie ihre Abszisse um k-mal für k>1 (schrumpfen Sie den Graphen entlang der Abszisse) oder erhöhen Sie ihre Abszisse um 1/k-mal für k
k > 1- Kompression auf der Oy-Achse
0 - Dehnung von der OY-Achse

Geben Sie Abhängigkeit += ein

Der Graph dieser Gleichung ist ein Kreis auf der Koordinatenebene x Oy mit dem Mittelpunkt im Punkt O(a;b) und dem Radius r (r>0).

Der Graph dieser Gleichung kann nicht als Funktionsgraph bezeichnet werden, weil Die Funktionsdefinition wird verletzt: Jeder Wert von x entspricht einem einzelnen Wert von y.

Bewegung von Funktionen entlang der Koordinatenachsen

wo l eine gegebene positive Zahl ist, müssen Sie den Graphen der Funktion y=f(x) entlang der x-Achse um l Skaleneinheiten nach links verschieben.

Um eine Funktion zu plotten

wo l eine gegebene positive Zahl ist, müssen Sie den Graphen der Funktion y=f(x) entlang der x-Achse um l Skaleneinheiten nach rechts verschieben.

Um eine Funktion zu plotten

wo m eine gegebene positive Zahl ist, muss der Graph der Funktion y=f(x) entlang der y-Achse um m Skaleneinheiten nach oben verschoben werden.

Um einen Graphen der Funktion y=f(x)-m zu erstellen, wobei m eine gegebene positive Zahl ist, ist es notwendig, den Graphen der Funktion y=f(x) entlang der y-Achse um m Skaleneinheiten nach unten zu verschieben .

Algorithmus 1 zum Plotten der Funktion y=f(x+l)+m:

• 1. Zeichnen Sie die Funktion y=f(x).
• 2. Führen Sie eine parallele Übertragung des Graphen y=f(x) entlang der x-Achse durch Skaleneinheiten nach links, falls l>0, und nach rechts, falls l, durch
• 3. Führen Sie eine parallele Übertragung des im zweiten Schritt erhaltenen Diagramms entlang der y-Achse durch Skaleneinheiten nach oben durch, falls

Algorithmus 2 zum Zeichnen des Graphen der Funktion y=f(x+l)+m:

• 1. Gehen Sie zum Hilfskoordinatensystem, indem Sie Hilfslinien x=-l, y=m mit einer gepunkteten Linie zeichnen, d.h. Auswahl des Punktes (-l;m) als Ursprung des neuen Koordinatensystems.
• 2. Hängen Sie den Graphen der Funktion y=f(x) an das neue Koordinatensystem an.

, Wettbewerb "Präsentation für den Unterricht"

Präsentation für den Unterricht

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Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau dient nur zu Informationszwecken und stellt möglicherweise nicht den vollen Umfang der Präsentation dar. Wenn Sie interessiert sind diese Arbeit Bitte laden Sie die Vollversion herunter.

Lernziele:

Lehrreich: untersuchen Sie die Verschiebung des Graphen einer quadratischen Funktion, bestimmen Sie die Position des Graphen in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten b, c.

Lehrreich: Fähigkeit, in einer Gruppe, Organisation zu arbeiten.

Lehrreich: Recherchefähigkeiten, die Fähigkeit, Hypothesen aufzustellen, die Ergebnisse zu analysieren, die Daten zu systematisieren.

Unterrichtsstruktur

1. Organisatorischer Moment - 3 Minuten.
2. Forschung- 20 Minuten.
3. Konsolidierung des studierten Materials - 15 Minuten.
4. Reflexion - 2 Minuten.
5. Das Ende der Lektion beträgt 3 Minuten.
6. Hausaufgaben - 2 Minuten.

Der Zweck des Unterrichts ist die Durchführung von Forschungsarbeiten. Gegenstand der Untersuchung sind quadratische Funktionen andere Art. Sie müssen bestimmen, wie sich die Koeffizienten b, c auf den Funktionsgraphen der Form y=x 2 +c, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c auswirken.

Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, sich in Gruppen aufzuteilen (4 Gruppen von 5 Personen, eine Gruppe von „Experten“ sind die am besten vorbereiteten Schüler).

Jede Gruppe erhält einen Studienplan<Приложение>, A3-Blatt zur Registrierung der Ergebnisse.

Zwei Gruppen (Stufe A) untersuchen Funktionen der Form y= x 2 +c, eine Gruppe (Stufe B) untersucht eine Funktion der Form y=(xb) 2 , eine Gruppe (Stufe C) untersucht die Funktion y=(xb ) 2 + c. Eine Gruppe von „Experten“ prüft alle Funktionen.

	Funktion	Ergebnis
1 Gruppe	y \u003d x 2 +3;	<Рисунок 10>
2 Gruppe	y \u003d x 2 -5;	<Рисунок 11>
3 Gruppe	y \u003d (x-4) 2;	<Рисунок 12>
4 Gruppe	y \u003d (x-2) 2 +3.	<Рисунок 13>

Arbeitsplan

1. Um eine Hypothese aufzustellen, stellen Sie eine Vermutung darüber an, wie Ihre Funktion aussehen könnte.
2. Erstellen Sie ein Diagramm der zu untersuchenden Funktionen (definieren Sie die Spitze der Parabel (x 0, y 0), setzen Sie 4 Punkte in die Tabelle).
3. Vergleichen Sie das resultierende Diagramm mit der Kontrollprobe y=x 2 .
4. Ziehen Sie eine Schlussfolgerung (wie sich die Position des Graphen Ihrer Funktion relativ zur Kontrollprobe geändert hat).
5. Halten Sie die Ergebnisse auf einem A3-Blatt fest und präsentieren Sie diese der Gruppe „Experten“.

Die Gruppe „Experten“ vergleicht ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen anderer Gruppen, systematisiert und fasst die Ergebnisse zusammen und zieht Schlussfolgerungen. Im Falle von Ungenauigkeiten oder Fehlern nimmt der Lehrer Korrekturen vor.

Überprüfung der erhaltenen Ergebnisse mit Folien 2-5.

Jede quadratische Funktion y = ax 2 + bx + c kann geschrieben werden als y = a(x – x 0) 2 + y 0, wobei x 0 und y 0 als Koeffizienten a, b, c ausgedrückt werden. Ihre Koeffizienten b=x 0 , c=y 0 sind also die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.

Frontalarbeit mit der Klasse.

1. Finden Sie einen Fehler in Funktionsgraphen (Folien #6-9).

Koeffizient b	Kein Fehler
Bild 1	Figur 2
y \u003d (x + 5) 2 -1	y \u003d (x-2) 2 +2
Koeffizient b und c	Koeffizient b
Figur 3	Figur 4