Površina paralelograma

Teorema 1

Područje paralelograma definira se kao proizvod dužine njegove stranice i visine povučene na nju.

gdje je $a$ stranica paralelograma, $h$ je visina povučena na ovu stranu.

Dokaz.

Neka nam je dat paralelogram $ABCD$ sa $AD=BC=a$. Nacrtajmo visine $DF$ i $AE$ (slika 1).

Slika 1.

Očigledno, $FDAE$ figura je pravougaonik.

\[\ugao BAE=(90)^0-\ugao A,\ \] \[\ugao CDF=\ugao D-(90)^0=(180)^0-\ugao A-(90)^0 =(90)^0-\ugao A=\ugao BAE\]

Shodno tome, pošto je $CD=AB,\ DF=AE=h$, po $I$ kriterijumu za jednakost trouglova $\trougao BAE=\trougao CDF$. Onda

Dakle, prema teoremi o površini pravokutnika:

Teorema je dokazana.

Teorema 2

Površina paralelograma definira se kao proizvod dužine njegovih susjednih stranica i sinusa ugla između ovih stranica.

Matematički se ovo može zapisati na sljedeći način

gdje su $a,\ b$ stranice paralelograma, $\alpha $ je ugao između njih.

Dokaz.

Neka nam je dat paralelogram $ABCD$ sa $BC=a,\ CD=b,\ \ugao C=\alpha $. Nacrtajmo visinu $DF=h$ (slika 2).

Slika 2.

Po definiciji sinusa, dobijamo

Dakle

Dakle, prema teoremi $1$:

Teorema je dokazana.

Površina trougla

Teorema 3

Površina trokuta definirana je kao polovina umnožaka dužine njegove stranice i nadmorske visine koja joj se povlači.

Matematički se ovo može zapisati na sljedeći način

gdje je $a$ stranica trougla, $h$ je visina povučena na ovu stranu.

Dokaz.

Slika 3.

Dakle, prema teoremi $1$:

Teorema je dokazana.

Teorema 4

Površina trokuta definirana je kao polovina proizvoda dužine njegovih susjednih stranica i sinusa ugla između ovih stranica.

Matematički se ovo može zapisati na sljedeći način

gdje su $a,\b$ stranice trougla, $\alpha$ je ugao između njih.

Dokaz.

Neka nam je dat trougao $ABC$ sa $AB=a$. Nacrtajmo visinu $CH=h$. Izgradimo ga do paralelograma $ABCD$ (slika 3).

Očigledno, po $I$ kriteriju za jednakost trokuta, $\trokut ACB=\trokut CDB$. Onda

Dakle, prema teoremi $1$:

Teorema je dokazana.

Područje trapeza

Teorema 5

Površina trapeza definira se kao polovina umnožaka zbira dužina njegovih baza i visine.

Matematički se ovo može zapisati na sljedeći način

Dokaz.

Neka nam je dat trapez $ABCK$, gdje je $AK=a,\ BC=b$. Ucrtajmo u njemu visine $BM=h$ i $KP=h$, kao i dijagonalu $BK$ (slika 4).

Slika 4.

Prema teoremi $3$, dobijamo

Teorema je dokazana.

Primer zadatka

Primjer 1

Nađite površinu jednakostraničnog trougla ako je njegova stranica $a.$

Rješenje.

Pošto je trokut jednakostraničan, svi njegovi uglovi su jednaki $(60)^0$.

Tada, prema teoremi $4$, imamo

odgovor:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Imajte na umu da se rezultat ovog problema može koristiti za pronalaženje površine bilo kojeg jednakostraničnog trokuta sa datom stranom.

Unesite dužinu i visinu stranice:

Definicija paralelograma

Paralelogram je četverougao u kojem su suprotne strane jednake i paralelne.

Online kalkulator

Paralelogram ima nešto korisna svojstva, koji pojednostavljuju rješavanje problema povezanih s ovom figurom. Na primjer, jedno od svojstava je da su suprotni uglovi paralelograma jednaki.

Razmotrimo nekoliko metoda i formula uz rješavanje jednostavnih primjera.

Formula za površinu paralelograma na osnovu njegove osnove i visine

Ova metoda pronalaženja površine je vjerojatno jedna od najosnovnijih i najjednostavnijih, jer je gotovo identična formuli za pronalaženje površine trokuta uz nekoliko izuzetaka. Prvo, pogledajmo generalizirani slučaj bez korištenja brojeva.

Neka je dat proizvoljan paralelogram sa bazom aa a, strana b b b i visina h h h, odnesen u našu bazu. Tada je formula za površinu ovog paralelograma:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

Aa a- baza;
h h h- visina.

Pogledajmo jedan lak problem za vježbanje rješavanja tipičnih problema.

Primjer

Nađite površinu paralelograma za koju je poznato da je osnova 10 (cm), a visina 5 (cm).

Rješenje

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Mi to zamjenjujemo u našu formulu. Dobijamo:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (vidi sq.)

Odgovor: 50 (vidi kvadrat)

Formula za površinu paralelograma zasnovanu na dvije strane i kutu između njih

U ovom slučaju, tražena vrijednost se nalazi na sljedeći način:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅grijeh(α)

A, b a, b a, b- stranice paralelograma;
α\alpha α - ugao između stranica aa a I b b b.

Sada riješimo još jedan primjer i koristimo formulu opisanu gore.

Primjer

Nađite površinu paralelograma ako je poznata stranica aa a, koja je osnova i ima dužinu od 20 (cm) i perimetar p str str, brojčano jednak 100 (cm), ugao između susjednih stranica ( aa a I b b b) je jednako 30 stepeni.

Rješenje

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Da bismo pronašli odgovor, znamo samo drugu stranu ovog četvorougla. Hajde da je nađemo. Opseg paralelograma je dat formulom:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Najteži dio je gotov, preostaje samo da naše vrijednosti zamijenimo stranice i ugao između njih:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (vidi sq.)

Odgovor: 300 (vidi sq.)

Formula za površinu paralelograma zasnovana na dijagonalama i kutu između njih

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅grijeh(α)

D D D- velika dijagonala;
d d d- mala dijagonala;
α\alpha α - oštar ugao između dijagonala.

Primjer

Date su dijagonale paralelograma jednake 10 (cm) i 5 (cm). Ugao između njih je 30 stepeni. Izračunajte njegovu površinu.

Rješenje

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (vidi sq.)

Prilikom rješavanja zadataka na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:

1. Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma odsiječe od njega jednakokraki trokut
2. Simetrale unutrašnjih uglova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite
3. Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutrašnjih uglova paralelograma paralelne su jedna s drugom ili leže na istoj pravoj liniji
4. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
5. Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška dijagonala i sinusa ugla između njih

Razmotrimo probleme u kojima se ova svojstva koriste.

Zadatak 1.

Simetrala ugla C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u tački M i nastavak stranice AB izvan tačke A u tački E. Nađi obim paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.

Rješenje.

1. Trougao CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.

2. Trougao EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetar ABCD = 20 cm.

Odgovori. 20 cm.

Zadatak 2.

Dijagonale su nacrtane u konveksnom četvorouglu ABCD. Poznato je da su površine trouglova ABD, ACD, BCD jednake. Dokazati da je ovaj četvorougao paralelogram.

Rješenje.

1. Neka je BE visina trougla ABD, CF visina trougla ACD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu AD, onda su i visine ovih trouglova jednake. BE = CF.

2. BE, CF su okomite na AD. Tačke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju AD. BE = CF. Dakle, prava BC || A.D. (*)

3. Neka je AL visina trougla ACD, BK visina trougla BCD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu CD, onda su i visine ovih trouglova jednake. AL = BK.

4. AL i BK su okomite na CD. Tačke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju CD. AL = BK. Dakle, prava AB || CD (**)

5. Iz uslova (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.

Odgovori. Dokazan. ABCD je paralelogram.

Zadatak 3.

Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su tačke M i H, tako da se segmenti BM i HD seku u tački O;<ВМD = 95 о,

Rješenje.

1. U trouglu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. U pravokutnom trokutu DHC
(

Onda<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Budući da je u pravokutnom trokutu krak koji leži nasuprot kuta od 30° jednak polovini hipotenuze).

Ali CD = AB. Tada je AB: HD = 2:1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma dužine 4√6 sa osnovom čini ugao od 60°, a druga dijagonala sa istom osnovom čini ugao od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Rješenje.

1. AO = 2√6.

2. Teoremu sinusa primjenjujemo na trougao AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji ugao između dijagonala jednak je manjem uglu paralelograma. Nađite zbir dužina dijagonala.

Rješenje.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a ugao između dijagonala i manjeg ugla paralelograma jednak je φ.

1. Izbrojimo dva različita
načine svoje područje.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobijamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći odnos između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Kreirajmo sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožimo drugu jednačinu sistema sa 2 i dodajmo je prvoj.

Dobijamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Otuda je Id 1 + d 2 I = 24.

Pošto su d 1, d 2 dužine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar ugao između dijagonala je 45 stepeni. Pronađite površinu paralelograma.

Rješenje.

1. Iz trougla AOB, koristeći kosinusnu teoremu, zapisujemo odnos između stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Slično pišemo relaciju za trougao AOD.

Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobijamo jednačinu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Imamo sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sistem u potpunosti, predviđajući da nam je u ovom zadatku potreban proizvod dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Nađite kvadrat manje dijagonale.

Rješenje.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobijamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Otuda je sin VAD = 4/5.

2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Prema uslovima zadatka nalazimo dužinu manje dijagonale. Dijagonala VD će biti manja ako je ugao VAD oštar. Tada je cos VAD = 3 / 5.

3. Iz trougla ABD, koristeći kosinus teorem, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odgovor: 145.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web-stranici, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je poveznica na izvorni izvor.

Paralelogram je četverougao čije su stranice paralelne u parovima.

Na ovoj slici su suprotne strane i uglovi međusobno jednaki. Dijagonale paralelograma se sijeku u jednoj tački i dijele je na pola. Formule za površinu paralelograma omogućuju vam da pronađete vrijednost pomoću stranica, visine i dijagonala. Paralelogram se također može prikazati u posebnim slučajevima. Smatraju se pravokutnikom, kvadratom i rombom.
Prvo, pogledajmo primjer izračunavanja površine paralelograma po visini i strani na koju je spušten.

Ovaj slučaj se smatra klasičnim i ne zahtijeva dodatnu istragu. Bolje je uzeti u obzir formulu za izračunavanje površine kroz dvije strane i ugla između njih. Ista metoda se koristi u proračunima. Ako su stranice i ugao između njih dati, tada se površina izračunava na sljedeći način:

Pretpostavimo da nam je dat paralelogram sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm. Ugao između njih je α = 30°. Pronađimo područje:

Površina paralelograma kroz dijagonale

Formula za površinu paralelograma pomoću dijagonala omogućava vam da brzo pronađete vrijednost.
Za izračune trebat će vam veličina ugla koji se nalazi između dijagonala.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine paralelograma pomoću dijagonala. Neka je zadan paralelogram sa dijagonalama D = 7 cm, d = 5 cm. Ugao između njih je α = 30°. Zamijenimo podatke u formulu:

Primjer izračunavanja površine paralelograma kroz dijagonalu dao nam je odličan rezultat - 8,75.

Poznavajući formulu za područje paralelograma kroz dijagonalu, možete riješiti mnoge zanimljive probleme. Pogledajmo jednu od njih.

zadatak: Dat je paralelogram površine 92 kvadratna metra. vidi Tačka F se nalazi na sredini njene strane BC. Nađimo površinu trapeza ADFB, koja će ležati u našem paralelogramu. Prvo, nacrtajmo sve što smo dobili prema uslovima.
Idemo do rješenja:

Prema našim uslovima, ah =92, i prema tome, površina našeg trapeza će biti jednaka