Triqonometrik funksiyaları dövri, yəni müəyyən müddətdən sonra təkrarlanırlar. Nəticə etibarilə bu intervalda funksiyanı öyrənmək və aşkar edilmiş xassələri bütün digər dövrlərə şamil etmək kifayətdir.
Təlimatlar
1. Əgər sizə yalnız bir triqonometrik funksiyanın (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) olduğu və funksiyanın daxilindəki bucağın heç bir ədədə vurulmadığı və özünün heç bir rəqəmə qaldırılmadığı primitiv ifadə verilirsə. güc - tərifdən istifadə edin. Tərkibində sin, cos, sec, cosec olan ifadələr üçün cəsarətlə 2P dövrü təyin edin, əgər tənlikdə tg, ctg varsa - onda P. Tutaq ki, y = 2 sinx + 5 funksiyası üçün dövr 2P olacaq.
2. Triqonometrik funksiyanın işarəsi altındakı x bucağı hansısa ədədə vurulursa, bu funksiyanın dövrünü tapmaq üçün tipik dövrü bu ədədə bölün. Tutaq ki, sizə y = sin 5x funksiyası verilib. Bir sinüs üçün tipik dövr 2R-dir, onu 5-ə bölmək, 2R / 5 alırsınız - bu, bu ifadənin istənilən dövrüdür.
3. Bir gücə yüksəldilmiş triqonometrik funksiyanın dövrünü tapmaq üçün gücün bərabərliyini qiymətləndirin. üçün hətta dərəcə tipik dövrü yarıya endir. Deyək ki, əgər sizə y = 3 cos ^ 2x funksiyası verilibsə, onda tipik dövr 2P 2 dəfə azalacaq, beləliklə, dövr P-yə bərabər olacaq. Qeyd edək ki, tg, ctg funksiyaları dövri P-dir.
4. Sizə məhsulu və ya 2 nisbətini ehtiva edən bir tənlik verilirsə triqonometrik funksiyalar, əvvəlcə hamısı üçün ayrı-ayrılıqda dövrü tapın. Bundan sonra hər iki dövrün tam sayına uyğun gələn minimum ədədi tapın. Tutaq ki, y = tgx * cos5x funksiyası verilmişdir. Tangens üçün P dövrü, kosinus 5x üçün - 2P / 5 dövrü. Bu dövrlərin hər ikisinə sığdırmağa icazə verilən minimum rəqəm 2P-dir, buna görə də arzu olunan dövr 2P-dir.
5. Təklif olunan yolu yerinə yetirməkdə çətinlik çəkirsinizsə və ya nəticəyə şübhə edirsinizsə, təriflə etməyə çalışın. T-ni funksiyanın dövrü kimi götürün; o, sıfırdan böyükdür. Tənlikdə x əvəzinə (x + T) ifadəsini əvəz edin və yaranan bərabərliyi T parametr və ya ədəd kimi həll edin. Nəticədə triqonometrik funksiyanın qiymətini tapacaq və ən kiçik dövrü tapa biləcəksiniz. Tutaq ki, relyef nəticəsində siz şəxsiyyət sin (T/2) = 0 alırsınız. Onun yerinə yetirildiyi T-nin minimum dəyəri 2P-ə bərabərdir, bu tapşırığın nəticəsi olacaqdır.
Dövri funksiya, sıfırdan fərqli bir müddətdən sonra dəyərlərini təkrarlayan bir funksiyadır. Funksiya dövrü funksiya arqumentinə əlavə olunduqda funksiyanın qiymətini dəyişməyən ədəddir.
Sizə lazım olacaq
- Elementar riyaziyyat bilikləri və sorğunun başlanğıcı.
Təlimatlar
1. K ədədi vasitəsilə f (x) funksiyasının dövrünü işarə edək. Bizim vəzifəmiz K-nin bu qiymətini tapmaqdır. Bunun üçün dövri funksiyanın tərifindən istifadə edərək f (x) funksiyasının f-ə bərabər olduğunu göstəririk. (x + K) = f (x).
2. Naməlum K üçün yaranan tənliyi həll edirik, sanki x sabitdir. K dəyərindən asılı olaraq bir neçə seçim əldə edirsiniz.
3. Əgər K> 0 olarsa, bu, funksiyanızın dövrüdür.Əgər K = 0 olarsa, f (x) funksiyası dövri deyildirsə, f (x + K) = f (x) tənliyinin həlli mövcud deyilsə. sıfıra bərabər olmayan hər hansı K üçün, belə bir funksiya aperiodik adlanır və onun da dövrü yoxdur.
Oxşar Videolar
Qeyd!
Bütün triqonometrik funksiyalar dövri, dərəcələri 2-dən böyük olan bütün polinomlar isə aperiodikdir.
Faydalı məsləhət
2 dövri funksiyadan ibarət funksiyanın dövrü bu funksiyaların dövrlərinin ən kiçik universal qatıdır.
Triqonometrik tənliklər naməlum səbəbdən triqonometrik funksiyaları ehtiva edən tənliklərdir (məsələn: 5sinx-3cosx = 7). Onları necə həll edəcəyinizi öyrənmək üçün bunun üçün bəzi üsulları bilməlisiniz.
Təlimatlar
1. Belə tənliklərin həlli 2 mərhələdən ibarətdir: birincisi, tənliyin ən sadə formasını almaq üçün islahat aparmaqdır. Ən sadə triqonometrik tənliklər aşağıdakı kimi adlandırılır: Sinx = a; Cosx = a və s.
2. İkincisi, alınan ən sadə triqonometrik tənliyin həllidir. Bu cür tənlikləri həll etməyin əsas yolları var: Cəbri üsulla həll. Bu üsul məktəbdən, cəbr kursundan məşhurdur. Buna dəyişən əvəzetmə və əvəzetmə üsulu da deyilir. Azaltma düsturlarını tətbiq edərək, transformasiya edirik, əvəz edirik və sonra kökləri tapırıq.
3. Tənliyin faktorinqi. Əvvəlcə bütün şərtləri sola köçürür və onları faktorlara ayırırıq.
4. Tənliyin homojenə endirilməsi. Əgər bütün üzvləri eyni dərəcədə və sinus, kosinusu eyni bucaqlıdırsa, tənliklər bircins tənliklər adlanır.Onu həll etmək üçün: əvvəlcə onun bütün üzvlərini sağ tərəfdən sol tərəfə keçirmək; bütün ümumi amilləri mötərizədən kənara köçürün; çarpanları və mötərizələri sıfıra bərabərləşdirmək; ekvivalent mötərizələr ən yüksək dərəcədə cos (və ya sin) ilə bölünməli olan daha az dərəcədə homojen bir tənlik verir; alınanı həll edir cəbri tənlik tan ilə bağlı.
5. Başqa bir yol yarım küncə getməkdir. Tutaq ki, tənliyi həll edək: 3 sin x - 5 cos x = 7 Yarım bucağa keçək: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos? (x / 2) + 5 günah? (x / 2) = 7 günah? (x / 2) + 7 cos? (x / 2), bundan sonra bütün şərtləri bir hissəyə (sağda daha fərqli) gətiririk və tənliyi həll edirik.
6. Aksesuar künc girişi. Tam dəyərini cos (a) və ya sin (a) ilə əvəz etdikdə. "A" işarəsi köməkçi bucaqdır.
7. Əsərin məbləğə çevrilməsi üsulu. Burada uyğun düsturları tətbiq etməlisiniz. 2 sin x sin 3x = cos 4x verilmişdirsə, onu sol tərəfi cəmiyə çevirərək həll edin, yəni: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0.8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.
8. Son üsul çoxfunksiyalı axtarış adlanır. İfadəni çeviririk və dəyişiklik edirik, Cos (x / 2) = u deyirik və sonra u parametri ilə tənliyi həll edirik. Cəmi əldə edərkən dəyəri əksinə tərcümə edirik.
Oxşar Videolar
Əgər dairənin üzərindəki nöqtələri nəzərə alsaq, onda x, x + 2π, x + 4π və s. bir-biri ilə üst-üstə düşür. Beləliklə, triqonometrik funksiyaları düz xətt üzərində vaxtaşırı mənasını təkrarlayın. Əgər dövr məşhurdursa funksiyaları, bu dövrə funksiya qurmağa və başqalarında təkrar etməyə icazə verilir.
Təlimatlar
1. Dövr elə T ədədidir ki, f (x) = f (x + T). Dövrü tapmaq üçün arqument kimi x və x + T-ni əvəz edərək müvafiq tənliyi həll edin. Eyni zamanda, funksiyalar üçün daha məşhur dövrlərdən istifadə edirlər. Sinus və kosinus funksiyaları üçün dövr 2π, tangens və kotangens üçün isə π-dir.
2. f (x) = sin ^ 2 (10x) funksiyası verilsin. sin ^ 2 (10x) = sin ^ 2 (10 (x + T)) ifadəsini nəzərdən keçirək. Aşağı salma düsturundan istifadə edin: sin ^ 2 (x) = (1 - cos 2x) / 2. Sonra 1 - cos 20x = 1 - cos 20 (x + T) və ya cos 20x = cos (20x + 20T) alırsınız. Kosinusun dövrünün 2π olduğunu bilməklə, 20T = 2π. Deməli, T = π / 10. T minimum düzgün dövrdür və funksiya 2T-dən sonra, 3T-dən sonra və ox boyunca digər istiqamətdə təkrarlanacaq: -T, -2T və s.
Faydalı məsləhət
Funksiya dərəcəsini azaltmaq üçün düsturlardan istifadə edin. Bəzi funksiyaların dövrləri ilə daha çox tanışsınızsa, mövcud funksiyanı məlum olanlara qədər azaltmağa çalışın.
Cüt və tək paritet üçün funksiyanın tapılması funksiyanın qrafikini qurmağa və onun davranışının xarakterini anlamağa kömək edir. Bu araşdırma üçün "x" arqumenti və "-x" arqumenti üçün yazılmış verilmiş funksiyanı müqayisə etməlisiniz.
Təlimatlar
1. Tədqiq etmək istədiyiniz funksiyanı y = y (x) şəklində yazın.
2. Funksiya arqumentini “-x” ilə əvəz edin. Bu arqumenti funksional ifadəyə yerləşdirin.
3. İfadəni sadələşdirin.
4. Beləliklə, x və -x arqumentləri üçün yazılmış eyni funksiya ilə başa çatırsınız. Bu iki qeydə baxın.Əgər y (-x) = y (x) olarsa, bu cüt funksiyadır. Əgər y (-x) = - y (x) olarsa, bu, tək funksiyadır. Demək mümkün deyilsə. y (-x) = y (x) və ya y (-x) = - y (x) olan funksiya haqqında, onda paritet xassəsinə görə bu ümumi funksiyadır. Yəni nə cüt, nə də tək deyil.
5. Əldə etdiyiniz nəticələri yazın. İndi siz onlardan funksiyanın qrafikinin qurulmasında və ya gələcək funksiyanın xassələrinin analitik tədqiqatında istifadə edə bilərsiniz.
6. Funksiya qrafiki daha yaxından qurulduqda funksiyanın bərabərlik və təklikdən danışmağa da icazə verilir. Tutaq ki, qrafik fiziki təcrübənin nəticəsidir.Əgər funksiyanın qrafiki ordinata görə simmetrikdirsə, y (x) cüt funksiyadır.Əgər funksiyanın qrafiki absissə görə simmetrikdirsə, onda x (y) ) cüt funksiyadır. x (y) y (x) funksiyasının tərsidir.Əgər funksiyanın qrafiki (0,0) başlanğıcına görə simmetrikdirsə, y (x) tək funksiyadır. Tərs x (y) funksiyası da tək olacaq.
7. Yadda saxlamaq lazımdır ki, funksiyanın təklik və təklik ideyası birbaşa funksiyanın sahəsi ilə bağlıdır. Tutaq ki, x = 5-də cüt və ya tək funksiya yoxdursa, x = -5-də mövcud deyildir, ümumi funksiya haqqında demək mümkün deyil. Tək və cüt paritet təyin edərkən, funksiyanın domeninə diqqət yetirin.
8. Düzlük və təklik üçün funksiyanın tapılması funksiyanın qiymətlər çoxluğunun tapılması ilə əlaqələndirilir. Cüt funksiyanın qiymətlər çoxluğunu tapmaq üçün funksiyanın yarısını, sıfırın sağında və ya solunda görmək kifayətdir. Əgər x> 0 üçün bərabər y (x) funksiyası A-dan B-yə qədər qiymət alırsa, o zaman x üçün də eyni dəyərləri alacaq.<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 tək funksiyası y (x) A-dan B-yə, sonra isə x-də bir sıra qiymətlər alır<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Triqonometrik" bir dəfə düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının tərəflərinin uzunluqlarından asılılığı ilə təyin olunan funksiyaları çağırmağa başladı. Bu funksiyalara ilk növbədə sinus və kosinus, ikincisi - bu funksiyaların tərsi sekant və kosekant, onlardan alınan tangens və kotangens, eləcə də tərs funksiyalar arksinus, tərs kosinus və s. daxildir.. Danışmaq daha müsbətdir. belə funksiyaların “həlli” haqqında deyil, onların “hesablanması”, yəni ədədi qiymətinin tapılması haqqında.
Təlimatlar
1. Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti naməlumdursa, bu funksiyaların təriflərinə əsasən onun qiymətini dolayı üsulla hesablamağa icazə verilir. Bunu etmək üçün siz üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını, hesablamaq istədiyiniz bucaqlardan biri üçün triqonometrik funksiyanı bilməlisiniz. Tərifinə görə, düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın sinusu bu bucağın əksinə olan ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbətidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bucağın sinusunu tapmaq üçün bu 2 tərəfin uzunluqlarını bilmək kifayətdir. Bənzər bir tərif, kəskin bucağın sinusunun bu bucağa bitişik ayağın uzunluğunun hipotenuzun uzunluğuna nisbəti olduğunu bildirir. Kəskin bucağın tangensi qarşı ayağın uzunluğunu bitişik ayağın uzunluğuna bölmək yolu ilə hesablana bilər və kotangens üçün bitişik ayağın uzunluğunu əks ayağın uzunluğuna bölmək lazımdır. Kəskin bucağın sekantını hesablamaq üçün hipotenuzanın uzunluğunun tələb olunan bucağa bitişik ayağın uzunluğuna nisbətini tapmaq lazımdır və kosekant hipotenuzanın uzunluğunun bucağa nisbəti ilə müəyyən edilir. əks ayağın uzunluğu.
2. Əgər triqonometrik funksiyanın arqumentini biliriksə, onda üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını bilmək tələb olunmur - qiymət cədvəllərindən və ya triqonometrik funksiyaların kalkulyatorlarından istifadə etməyə icazə verilir. Belə bir kalkulyator Windows əməliyyat sisteminin standart proqramları arasındadır. Onu işə salmaq üçün Win + R düymələri birləşməsini basıb, calc əmrini daxil edib "OK" düyməsini sıxa bilərsiniz. Proqram interfeysində "Görünüş" bölməsini açın və "Mühəndislik" və ya "Alim" maddəsinə üstünlük verin. Daha sonra triqonometrik funksiyanın arqumentini təqdim etməyə icazə verilir. Sinus, kosinus və tangens funksiyalarını hesablamaq üçün dəyəri daxil etməkdən daha gec, uyğun interfeys düyməsini (sin, cos, tg) vurun və onların tərs arksinusu, arkkosinusu və arktangensini tapmaq üçün əvvəlcədən Inv qeyd qutusunu seçin. .
3. Alternativ üsullar da var. Onlardan biri Nigma və ya Google axtarış sisteminin saytına daxil olmaq və axtarış sorğusu kimi istədiyiniz funksiyanı və onun arqumentini daxil etməkdir (məsələn, sin 0.47). Bu axtarış sistemlərində daxili kalkulyatorlar var, ona görə də belə bir sorğu göndərdikdən sonra daxil etdiyiniz triqonometrik funksiyanın dəyərini alacaqsınız.
Oxşar Videolar
İpucu 7: Triqonometrik funksiyaların dəyərini necə aşkar etmək olar
Triqonometrik funksiyalar ilk dəfə düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaqların qiymətlərinin onun tərəflərinin uzunluqlarından asılılığının mücərrəd riyazi hesablamaları üçün alət kimi meydana çıxdı. İndi onlar insan fəaliyyətinin həm elmi, həm də texniki sahələrində geniş istifadə olunur. Verilmiş arqumentlərdən triqonometrik funksiyaların utilitar hesablamaları üçün müxtəlif vasitələrdən istifadə etməyə icazə verilir - aşağıda onlardan bir neçəsi xüsusilə təsvir edilmişdir.
Təlimatlar
1. Məsələn, əməliyyat sistemi ilə standart olaraq quraşdırılmış kalkulyator proqramından istifadə edin. "Bütün proqramlar" bölməsində yerləşən "Tipik" alt bölməsindən "Sistem" qovluğunda "Kalkulyator" maddəsini seçməklə açılır. Bu bölməni "Başlat" düyməsini sıxaraq əməliyyat sisteminin əsas menyusunu açmaqla tapmaq olar. Əgər siz Windows 7 versiyasından istifadə edirsinizsə, o zaman əsas menyunun “Proqramları və faylları tap” sahəsinə “Kalkulyator” sözünü primitiv şəkildə daxil etmək və sonra axtarış nəticələrində müvafiq keçidi klikləmək şansınız var.
2. Triqonometrik funksiyanı hesablamaq istədiyiniz bucağın dəyərini daxil edin və sonra bu funksiyaya uyğun olan düyməni vurun - sin, cos və ya tan. Əgər siz tərs triqonometrik funksiyalardan (arksinus, arkkosinus və ya arktangent) narahatsınızsa, onda əvvəlcə Inv etiketli düyməni sıxın - o, kalkulyatorun idarəetmə düymələrinə təyin edilmiş funksiyaları əksinə dəyişir.
3. ƏS-nin köhnə versiyalarında (məsələn, Windows XP) triqonometrik funksiyalara daxil olmaq üçün kalkulyator menyusunda "Görünüş" bölməsini açın və "Mühəndislik" xəttini seçin. Bundan əlavə, Inv düyməsinin əvəzinə proqramın köhnəlmiş versiyalarının interfeysində eyni yazı ilə bir onay qutusu var.
4. İnternetə çıxışınız varsa, kalkulyator olmadan etməyə icazə verilir. İnternetdə müxtəlif şəkildə təşkil edilmiş triqonometrik funksiya kalkulyatorları təklif edən bir çox xidmətlər var. Xüsusilə əlverişli seçimlərdən biri Nigma axtarış sistemində quraşdırılmışdır. Onun əsas səhifəsinə keçərək, axtarış sorğusu sahəsinə narahatçılığınızın dəyərini primitiv olaraq daxil edin - deyək ki, "30 dərəcə qövs tangensi". Daha sonra "Kəşf et!" düyməsini basaraq. axtarış sistemi hesablayacaq və hesablamanın nəticəsini göstərəcək - 0,482347907101025.
Oxşar Videolar
Triqonometriya tərəflərin müxtəlif asılılıqlarını ifadə edən funksiyaları dərk etmək üçün riyaziyyatın bir sahəsidir. düz üçbucaq hipotenuza ilə iti bucaqların böyüklüyü haqqında. Belə funksiyalar triqonometrik, işini asanlaşdırmaq üçün isə triqonometrik adlanırdı şəxsiyyətlər .
Performans şəxsiyyətlər riyaziyyatda ona daxil olan funksiyaların arqumentlərinin bütün qiymətləri üçün təmin edilən bərabərliyi ifadə edir. Triqonometrik şəxsiyyətlər- bunlar triqonometrik düsturlarla işi sadələşdirmək üçün təsdiq edilmiş və qəbul edilmiş triqonometrik funksiyaların bərabərlikləridir.Triqonometrik funksiya düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarından birinin hipotenuzadakı iti bucağın böyüklüyündən asılılığının elementar funksiyasıdır. Ümumi olaraq istifadə edilən altı əsas triqonometrik funksiya var: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangent), sec (sekant) və cosec (kosekant). Bu funksiyalar birbaşa adlanır, tərs funksiyalar da var, deyək ki, sinus - arksinus, kosinus - arkkosin və s. Əvvəlcə triqonometrik funksiyalar həndəsədə öz əksini tapdı, sonra digər elm sahələrinə: fizika, kimya, coğrafiya, optika, ehtimal nəzəriyyəsi, həmçinin akustika, musiqi nəzəriyyəsi, fonetika, kompüter qrafikası və bir çox başqaları. İndi bu funksiyalar olmadan riyazi hesablamaları təsəvvür etmək daha çətindir, baxmayaraq ki, uzaq keçmişdə onlardan yalnız astronomiya və memarlıqda istifadə olunurdu. şəxsiyyətlər uzun triqonometrik düsturlarla işi sadələşdirmək və həzm oluna bilən formaya gətirmək üçün istifadə olunur. Altı əsas triqonometrik eynilik var, onlar birbaşa triqonometrik funksiyalarla əlaqələndirilir: tg? = günah? / cos?; günah ^ 2? + çünki ^ 2? = 1; 1 + tg ^ 2? = 1 / cos ^ 2 ?; 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / günah ^ 2 ?; sin (? / 2 -?) = cos?; cos (? / 2 -?) = günah?. Bunlar şəxsiyyətlər düzbucaqlı üçbucaqda aspekt nisbətinin və bucaqların xassələrindən təsdiq etmək asan: sin? = BC / AC = b / c; çünki? = AB / AC = a / c; tg? = b / a.Birinci şəxsiyyət tg-dir? = günah? / cos? üçbucaqda aspekt nisbətindən və günahı cos-a bölərkən c (hipotenuz) tərəfinin aradan qaldırılmasından irəli gəlir. Bu şəxsiyyət ctg? = cos?/ sin?, ctg ki? = 1 / tg?.Pifaqor teoremi ilə a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Bu bərabərliyi c ^ 2-yə bölün, ikinci eyniliyi alırıq: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => sin ^ 2? + çünki ^ 2? = 1. Üçüncü və dördüncü şəxsiyyətlər müvafiq olaraq b ^ 2 və a ^ 2-yə bölmək yolu ilə alır: a ^ 2 / b ^ 2 + 1 = c ^ 2 / b ^ 2 => tg ^ 2? + 1 = 1 / cos ^ 2?; 1 + b ^ 2 / a ^ 2 = c ^ 2 / a ^ 2 => 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / günah ^? yoxsa 1 + ctg ^ 2? = 1 / sin ^ 2?. Beşinci və altıncı əsas şəxsiyyətlər düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəminin müəyyən edilməsi ilə sübut edilir ki, bu da 90 ° və ya?/2. Daha çətin triqonometrik şəxsiyyətlər: arqumentlər əlavə etmək üçün düsturlar, qoşa və üçlü bucaqlar, dərəcənin azaldılması, funksiyaların cəmi və ya hasilinin islahatı, həmçinin triqonometrik əvəzetmə düsturları, yəni əsas triqonometrik funksiyaların tg yarım bucaq baxımından ifadələri: sin? = (2) * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2); cos? = (1 - tg ^ 2? / 2) / (1 = tg ^ 2? / 2); tg? = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).
Minimum tapmaq ehtiyacı məna riyazi funksiyaları tətbiqi problemlərin həllində, məsələn, iqtisadiyyatda faktiki marağı təmsil edir. Böyük məna sahibkarlıq fəaliyyəti üçün itkilərin minimuma endirilməsi var.
Təlimatlar
1. Minimumu tapmaq üçün məna funksiyaları, y (x0) bərabərsizliyinin x0 arqumentinin hansı qiymətində tutacağını müəyyən etmək lazımdır? y (x), harada x? x0. Həmişə olduğu kimi, bu problem müəyyən bir intervalda və ya hər bir dəyər diapazonunda həll edilir funksiyaları müəyyən edilmədikdə. Həllin bir tərəfi sabit nöqtələri tapmaqdır.
2. Stasionar nöqtə deyilir məna törəmənin olduğu arqument funksiyaları yox olur. Fermat teoreminə görə, əgər diferensiallanan funksiya ekstremal alırsa məna bir nöqtədə (bu halda, yerli minimum), onda bu nöqtə stasionardır.
3. Minimum məna funksiya çox vaxt məhz bu nöqtəni alır, lakin onu daim müəyyən etməyə icazə verilmir. Üstəlik, minimumun nə olduğunu dəqiqliklə söyləməyə həmişə icazə verilmir funksiyaları ya da sonsuz kiçikliyi qəbul edir məna... Sonra, həmişəki kimi, azaldıqca cazibəsinin həddi tapırlar.
4. Minimum müəyyən etmək üçün məna funksiyaları, dörd mərhələdən ibarət hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetirmək lazımdır: tərif sahəsinin tapılması funksiyaları, sabit nöqtələrin əldə edilməsi, dəyərlərin icmalı funksiyaları bu nöqtələrdə və boşluğun uclarında minimumun aşkarlanması.
5. Belə çıxır ki, A və B nöqtələrində sərhədləri olan intervalda hansısa y (x) funksiyası verilsin. Onun oblastını tapın və intervalın onun alt çoxluğu olub-olmadığını öyrənin.
6. Törəməni hesablayın funksiyaları... Yaranan ifadəni sıfıra qoyun və tənliyin köklərini tapın. Bu stasionar nöqtələrin boşluğa düşdüyünü yoxlayın. Əgər yoxsa, növbəti mərhələdə onlar nəzərə alınmır.
7. Sərhədlərin növü üçün boşluğu nəzərdən keçirin: açıq, qapalı, mürəkkəb və ya ölçülməz. Bu, minimumu necə axtarmağınızdan asılıdır məna... Tutaq ki, [A, B] seqmenti qapalı intervaldır. Onları funksiyaya qoşun və dəyərləri hesablayın. Sabit nöqtə ilə də eyni şeyi edin. Ən kiçik cəmi seçin.
8. Açıq və ölçülməz boşluqlarla işlər bir az daha çətinləşir. Burada hər zaman birmənalı nəticə verməyən birtərəfli məhdudiyyətlər axtarmalı olacaqsınız. Məsələn, bir qapalı və bir deşilmiş sərhədi [A, B) olan interval üçün x = A-da funksiya və x-də birtərəfli limit y tapılmalıdır? B-0.
Əsas anlayışlar
Başlamaq üçün tərifi xatırlayın cüt, tək və dövri funksiyalar.
Tərif 2
Cüt funksiya müstəqil dəyişənin işarəsi dəyişdikdə dəyərini dəyişməyən funksiyadır:
Tərif 3
Müəyyən vaxt intervalında öz dəyərlərini təkrarlayan funksiya:
T funksiyanın müddətidir.
Triqonometrik funksiyaların cüt və təkliyi
Aşağıdakı rəqəmə nəzər salın (Şəkil 1):
Şəkil 1.
Burada $ \ overrightarrow (OA_1) = (x_1, y_1) $ və $ \ overrightarrow (OA_2) = (x_2, y_2) $ $ Ox $ oxuna görə simmetrik olan vahid uzunluqlu vektorlardır.
Aydındır ki, bu vektorların koordinatları aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:
Triqonometrik sinus və kosinus funksiyaları vahid triqonometrik çevrədən istifadə etməklə müəyyən edilə bildiyindən, sinus funksiyasının tək, kosinus funksiyasının isə cüt funksiya olacağını alırıq, yəni:
Triqonometrik funksiyaların dövriliyi
Aşağıdakı şəkli nəzərdən keçirin (şək. 2).
Şəkil 2.
Burada $ \ overrightarrow (OA) = (x, y) $ vahid uzunluqlu vektordur.
$ \ overrightarrow (OA) $ vektoru ilə tam dönüş edək. Yəni bu vektoru $ 2 \ pi $ radyanla çevirək. Bundan sonra vektor tamamilə orijinal vəziyyətinə qayıdacaq.
Triqonometrik sinus və kosinus funksiyaları vahid triqonometrik çevrədən istifadə etməklə təyin oluna bildiyindən bunu əldə edirik.
Yəni sinus və kosinus funksiyaları dövri funksiyaları ən kiçik $ T = 2 \ pi $ olan dövri funksiyalardır.
İndi tangens və kotangens funksiyalarını nəzərdən keçirək. $ tgx = \ frac (sinx) (cosx) $ olduğundan, onda
$ ctgx = \ frac (cosx) (sinx) $ olduğundan, onda
Triqonometrik funksiyaların bərabərlik, təklik və dövrilikdən istifadəsinə dair məsələlərə nümunələr
Misal 1
Aşağıdakı ifadələri sübut edin:
a) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
c) $ sin ((- 721) ^ 0) = - sin1 ^ 0 $
a) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
Tangens minimum dövrü $ (360) ^ 0 $ olan dövri funksiya olduğundan, alırıq
b) $ (cos \ sol (-13 \ pi \ sağ) \) = - 1 $
Kosinus bərabər və dövri funksiya olduğundan minimum dövr $2 \ pi $, alırıq
\ [(cos \ sol (-13 \ pi \ sağ) \) = (cos 13 \ pi \) = (cos \ sol (\ pi +6 \ cdot 2 \ pi \ sağ) = cos \ pi \) = - 1\]
c) $ sin ((- 721) ^ 0) = - sin1 ^ 0 $
Sinus, minimum dövrü $ (360) ^ 0 $ olan tək və dövri funksiya olduğundan, alırıq
|BD | - mərkəzi A nöqtəsində olan dairənin qövsünün uzunluğu.
α radyanla ifadə olunan bucaqdır.
tangent ( tg α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq qarşı ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC | bitişik ayağın uzunluğuna | AB | ...
kotangent ( ctg α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB | əks ayağın uzunluğuna | BC | ...
Tangens
Harada n- bütöv.
V Qərb ədəbiyyatı tangens aşağıdakı kimi işarələnir:
.
;
;
.
Tangens funksiyasının qrafiki, y = tg x
Kotangent
Harada n- bütöv.
Qərb ədəbiyyatında kotangens aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
Aşağıdakı təyinatlar da qəbul edilir:
;
;
.
Kotangent funksiya qrafiki, y = ctg x
Tangens və kotangens xassələri
Dövrilik
Funksiyalar y = tg x və y = ctg xπ dövrü ilə dövri.
Paritet
Tangens və kotangens funksiyaları təkdir.
Domenlər və dəyərlər, artan, azalan
Tangens və kotangens funksiyaları öz təyinat sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Tangens və kotangensin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir ( n- bütöv).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Tərif və davamlılıq sahəsi | ||
| Dəyərlər diapazonu | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Artan | - | |
| Azalan | - | |
| İfrat | - | - |
| Sıfırlar, y = 0 | ||
| y oxu ilə kəsişmə nöqtələri, x = 0 | y = 0 | - |
Formulalar
Sinus və kosinus baxımından ifadələr
;
;
;
;
;
Cəm və fərqin tangensi və kotangensi üçün düsturlar
Qalan formulları, məsələn, əldə etmək asandır
Tangenslərin məhsulu
Tangenslərin cəmi və fərqi üçün düstur
Bu cədvəl arqumentin bəzi dəyərləri üçün tangens və kotangentlərin dəyərlərini göstərir. 
Kompleks ədədlərlə ifadələr
Hiperbolik funksiyalar baxımından ifadələr
;
;
Törəmələri
; .
.
Funksiyanın x dəyişəninə münasibətdə n-ci dərəcəli törəmə:
.
Tangens üçün düsturların alınması>>>; kotangens üçün>>>>
İnteqrallar
Serialın genişləndirilməsi
X-in güclərində tangensin genişlənməsini əldə etmək üçün funksiyalar üçün güc seriyasında genişlənmənin bir neçə şərtini götürməlisiniz. günah x və cos x və bu çoxhədliləri bir-birinə bölmək,. Bu, aşağıdakı düsturları verir.
Saat .
at.
harada B n- Bernoulli nömrələri. Onlar ya təkrarlanma əlaqəsindən müəyyən edilir:
;
;
harada.
Və ya Laplas düsturuna görə: 
Tərs funksiyalar
Tangens və kotangensin tərs funksiyaları müvafiq olaraq qövs tangensi və qövs kotangensidir.
Arktangent, arctg
, harada n- bütöv.
Arkkotangent, arkctg
, harada n- bütöv.
İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və Texniki Müəssisələrin Tələbələri üçün Riyaziyyat Kitabı, "Lan", 2009.
G. Korn, Alimlər və Mühəndislər üçün Riyaziyyat Kitabı, 2012.
Başlanğıcda mərkəzləşdirilmiş vahid çevrə qurursanız və arqument üçün ixtiyari dəyər təyin edirsinizsə x 0 və oxdan sayın öküz inyeksiya x 0, onda vahid dairədəki bu bucaq hansısa nöqtəyə uyğun gəlir A(şək. 1) və onun ox üzrə proyeksiyası Oh bir məqam olacaq M. Seqment uzunluğu OM nöqtənin absissinin mütləq qiymətinə bərabərdir A... Verilmiş arqument dəyəri x 0 funksiya dəyəri xəritələnir y= cos x 0 nöqtənin absisləri kimi A. Müvafiq olaraq nöqtə V(x 0 ;saat 0) funksiya qrafikinə aiddir saat= cos NS(şək. 2). Əgər nöqtə A oxun sağında yerləşir OU, tokosin müsbət olacaq, əgər solda mənfi olacaq. Amma hər halda məsələ A dairəni tərk edə bilməz. Beləliklə, kosinus -1 ilə 1 arasındadır:
–1 = cos x = 1.
İstənilən bucağa əlavə fırlanma, 2-yə çoxluq səh, nöqtəni qaytarır A eyni yerə. Buna görə də funksiya y = cos xsəh:
çünki ( x+ 2səh) = cos x.
Mütləq dəyərinə bərabər, işarəsi ilə əks olan iki arqument dəyərini götürsək, x və - x, dairənin müvafiq nöqtələrini tapın A x və A -x. Şəkildə göründüyü kimi. 3 onların ox üzərində proyeksiyası Oh eyni məqamdır M. Buna görə də
çünki (- x) = cos ( x),
olanlar. kosinus cüt funksiyadır, f(–x) = f(x).
Beləliklə, funksiyanın xüsusiyyətlərini araşdıra bilərik y= cos NS seqmentdə , sonra onun paritetini və dövriliyini nəzərə al.
At NS= 0 xal A ox üzərində yerləşir Oh, onun absissası 1-ə bərabərdir və buna görə də cos 0 = 1. Artımla NS nöqtə A dairə boyunca yuxarı və sola hərəkət edir, onun proyeksiyası, əlbəttə ki, yalnız sola və x = üçün səh/ 2 kosinus 0-a bərabər olur. Nöqtə A bu anda maksimum hündürlüyə qalxır və sonra sola doğru hərəkət etməyə davam edir, lakin artıq azalır. Onun absisi -1 at-a bərabər ən kiçik dəyərə çatana qədər hər zaman azalır NS= səh... Beləliklə, seqmentdə funksiya saat= cos NS monoton şəkildə 1-dən –1-ə qədər azalır (şək. 4, 5).
Kosinus cüt olduğundan, seqmentdə [- səh, 0], funksiya monoton olaraq –1-dən 1-ə qədər artır və sıfır dəyərini alır x =–səh/ 2. Bir neçə dövr çəksəniz, dalğalı bir əyri alırsınız (şək. 6).
Beləliklə, funksiya y= cos x nöqtələrdə sıfır qiymət alır NS= səh/2 + kp, harada k - istənilən tam ədəd. Nöqtələrdə 1-ə bərabər yüksəklərə çatılır NS= 2kp, yəni. addım 2 ilə səh, və nöqtələrdə minimum -1-ə bərabərdir NS= səh + 2kp.
y = sin x funksiyası.
Vahid dairəsi küncündə x 0 nöqtəyə uyğundur A(şək. 7), və onun ox üzrə proyeksiyası OU bir məqam olacaq N.Z funksiya dəyəri y 0 = günah x 0 nöqtənin ordinatı kimi müəyyən edilir A. Nöqtə V(inyeksiya x 0 ,saat 0) funksiya qrafikinə aiddir y= günah x(şək. 8). Funksiyasının olduğu aydındır y = günah x dövri, onun dövrü 2-dir səh:
günah ( x+ 2səh) = günah ( x).
İki arqument dəyəri üçün, NS və - , onların müvafiq nöqtələrinin proyeksiyaları A x və A -x ox başına OU nöqtəyə yaxın simmetrik olaraq yerləşir O... Buna görə də
günah (- x) = –Günah ( x),
olanlar. sinus tək funksiyadır, f (- x) = –F ( x) (şək. 9).
Əgər nöqtə A nöqtə ətrafında fırladın O küncdə səh/ 2 saat yönünün əksinə (başqa sözlə, əgər bucaq NS ilə artır səh/ 2), onda yeni mövqedəki ordinatı köhnədəki absissə bərabər olacaqdır. Belə ki,
günah ( x+ səh/ 2) = cos x.
Əks halda, sinus kosinusdur, tərəfindən "gecikdirilir" səh/ 2, çünki arqument artdıqda hər hansı kosinus dəyəri sinusda "təkrar" edəcək səh/ 2. Sinus qrafikini çəkmək üçün kosinus qrafikini dəyişdirmək kifayətdir səh/ 2 sağa (şək. 10). Sinusun son dərəcə əhəmiyyətli bir xüsusiyyəti bərabərliklə ifadə edilir
Bərabərliyin həndəsi mənası Şəkildən görünür. 11. Burada NS - yarım qövsdür AB, və günah NS - müvafiq akkordun yarısı. Aydındır ki, xallar yaxınlaşdıqca A və V akkord uzunluğu getdikcə qövs uzunluğuna yaxınlaşır. Eyni rəqəmdən bərabərsizliyi çıxarmaq asandır
| günah x| x |, istənilən üçün etibarlıdır NS.
Formula (*) riyaziyyatçılar gözəl həddi deyirlər. Ondan, xüsusən, o günah gəlir NS» NS kiçikdə NS.
Funksiyalar saat= tq x, y= ctg NS. Digər iki triqonometrik funksiya, tangens və kotangens, artıq bildiyimiz sinus və kosinus nisbətləri kimi müəyyən etmək daha asandır:
Sinus və kosinus kimi, tangens və kotangens də dövri funksiyalardır, lakin onların dövrləri bərabərdir səh, yəni. onlar sinus və kosinusun yarısı qədərdir. Bunun səbəbi aydındır: əgər sinus və kosinusun hər ikisi işarəni dəyişirsə, onda onların nisbəti dəyişməyəcək.
Kosinus tangensin məxrəcində olduğundan, kosinusun 0 olduğu nöqtələrdə tangens müəyyən edilmir. NS= səh/2 + kp. Bütün digər nöqtələrdə monoton şəkildə artır. Birbaşa NS= səh/2 + kp tangens üçün şaquli asimptotlardır. Nöqtələrdə kp tangens və yamac müvafiq olaraq 0 və 1-dir (şək. 12).
Sinusun 0 olduğu yerdə kotangent müəyyən edilmir (zaman x = kp). Digər nöqtələrdə monoton şəkildə azalır və düz xətlər x = kp – onun şaquli asimptotları. Nöqtələrdə x = p/2 + kp kotangens yox olur və bu nöqtələrdə maillik –1-dir (şək. 13).
Paritet və tezlik.
Hətta əgər funksiya çağırılır f(–x) = f(x). Kosinus və sekant funksiyaları cüt, sinus, tangens, kotangent və kosekant isə tək funksiyalardır:
| sin (–α) = - sin α | tg (–α) = - tg α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = - ctg α |
| san (–α) = saniyə α | kosek (–α) = - kosek α |
Paritet xassələri nöqtələrin simmetriyasından irəli gəlir P a və R- a (şək. 14) ox ətrafında NS. Bu simmetriya ilə nöqtənin ordinatı işarəni dəyişir (( NS;saat) gedir ( NS; –Y)). Bütün funksiyaların - dövri, sinus, kosinus, sekant və kosekant 2 dövrə malikdir səh, və tangens və kotangens - səh:
| günah (α + 2 kπ) = günah α | cos (α + 2 kπ) = cos α |
| tg (α + kπ) = tg α | ctg (α + kπ) = ctg α |
| san (α + 2 kπ) = san α | kosek (α + 2 kπ) = kosek α |
Sinus və kosinusun dövriliyi bütün nöqtələrin olmasından irəli gəlir P a + 2 kp, harada k= 0, ± 1, ± 2, ..., üst-üstə düşür və tangens və kotangensin dövriliyi nöqtələrin olmasından irəli gəlir. P a + kp növbə ilə çevrənin diametral olaraq əks iki nöqtəsinə düşür, tangens oxunda eyni nöqtəni verir.
Triqonometrik funksiyaların əsas xüsusiyyətləri cədvəldə ümumiləşdirilə bilər:
| Funksiya | domen | Çoxlu mənalar | Paritet | Monotonluq sahələri ( k= 0, ± 1, ± 2, ...) |
| günah x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | qəribə | ilə artır xО ((4 k – 1) səh /2, (4k + 1) səh/ 2), kimi azalır xО ((4 k + 1) səh /2, (4k + 3) səh/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | hətta | Artır xО ((2 k – 1) səh, 2kp), kimi azalır x O (2 kp, (2k + 1) səh) |
| tg x | x № səh/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | qəribə | ilə artır xО ((2 k – 1) səh /2, (2k + 1) səh /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | qəribə | da azalır x O ( kp, (k + 1) səh) |
| san x | x № səh/2 + p k | (–Ґ, –1] VƏ [+1, + Ґ) | hətta | Artır x O (2 kp, (2k + 1) səh), kimi azalır xО ((2 k- 1) səh, 2 kp) |
| kosek x | x № p k | (–Ґ, –1] VƏ [+1, + Ґ) | qəribə | ilə artır xО ((4 k + 1) səh /2, (4k + 3) səh/ 2), kimi azalır xО ((4 k – 1) səh /2, (4k + 1) səh /2) |
Döküm düsturları.
Bu düsturlara görə a arqumentinin triqonometrik funksiyasının qiyməti, burada səh/ 2 a p, a arqumentinin funksiyasının dəyərinə endirilə bilər, burada 0 a p / 2, həm eyni, həm də onu tamamlayır.
| Arqument b |  - a |
+ a | səh- a | səh+ a | + a | + a | 2səh- a |
| günah b | cos a | cos a | günah a | – Günah a | – Cos a | – Cos a | – Günah a |
| cos b | günah a | – Günah a | – Cos a | – Cos a | – Günah a | günah a | cos a |
Buna görə də, triqonometrik funksiyalar cədvəllərində qiymətlər yalnız kəskin açılar üçün verilir və özümüzü, məsələn, sinus və tangenslə məhdudlaşdırmaq kifayətdir. Cədvəl sinus və kosinus üçün yalnız ən ümumi düsturları ehtiva edir. Onlardan tangens və kotangens üçün düsturlar almaq asandır. Formanın arqumentindən funksiyanı köçürərkən kp/ 2 ± a, harada k- a arqumentindən funksiyaya tam ədəd:
1) funksiyanın adı saxlanılır, əgər k cütdür və əgər "tamamlayıcı" olaraq dəyişir k qəribə;
2) sağ tərəfdəki işarə nöqtədə kiçildilmiş funksiyanın işarəsi ilə üst-üstə düşür kp/ 2 ± a bucağı a kəskin olarsa.
Məsələn, ctg tökərkən (a - səh/ 2) əmin edirik ki, a - səh/ 0 a p / 2 üçün 2 kotangensin mənfi olduğu dördüncü kvadrantda yerləşir və 1-ci qaydaya uyğun olaraq funksiyanın adını dəyişdiririk: ctg (a - səh/ 2) = –tg a.
Əlavə düsturlar.
Çox Bucaq Düsturları.
Bu düsturlar birbaşa əlavə düsturlarından əldə edilir:
sin 2a = 2 sin a cos a;
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;
sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a - 3 cos a;
Cos 3a düsturu Fransua Viet tərəfindən kub tənliyini həll edərkən istifadə edilmişdir. O, ilk olaraq cos üçün ifadələr tapdı n a və günah n a, sonralar Moivre düsturundan daha sadə şəkildə əldə edilmişdir.
İkiqat arqument üçün düsturlarda a-nı a / 2 ilə əvəz etsəniz, onlar yarım bucaq düsturlarına çevrilə bilər:
Universal əvəzetmə düsturları.
Bu düsturlardan istifadə edərək, eyni arqumentdən fərqli triqonometrik funksiyaları ehtiva edən bir ifadə bir funksiyadan rasional ifadə kimi yenidən yazıla bilər tg (a / 2), bu, bəzi tənlikləri həll edərkən faydalıdır:
 |
|
 |
 |
Məbləğləri məhsula və məhsulları cəminə çevirmək üçün düsturlar.
Kompüterlərin meydana çıxmasından əvvəl bu düsturlar hesablamaları sadələşdirmək üçün istifadə olunurdu. Hesablamalar loqarifmik cədvəllərdən, daha sonra isə slayd qaydasından istifadə edilərək aparılmışdır loqarifmlər ədədləri çoxaltmaq üçün ən uyğundur, buna görə də bütün orijinal ifadələr loqarifmlərin alınması üçün əlverişli formaya endirilmişdir, yəni. işləmək üçün, məsələn:
2 günah a sin b = cos ( a - b) - çünki ( a + b);
2 cos a cos b= cos ( a - b) + cos ( a + b);
2 günah a cos b= günah ( a - b) + günah ( a + b).
Tangens və kotangens funksiyaları üçün düsturları yuxarıdakılardan əldə etmək olar.
Dərəcə azaldılması düsturları.
Çoxlu arqumentin düsturlarından aşağıdakı düsturlar əldə edilir:
| sin 2 a = (1 - cos 2a) / 2; | cos 2 a = (1 + cos 2a) / 2; |
| sin 3 a = (3 sin a - sin 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a) / 4. |
Bu düsturlardan istifadə edərək triqonometrik tənlikləri aşağı dərəcəli tənliklərə endirmək olar. Eyni şəkildə, daha yüksək dərəcə sinus və kosinus üçün azalma düsturları əldə edə bilərsiniz.
| Triqonometrik funksiyaların törəmələri və inteqralları | |
| (günah x) `= cos x; | (cos x) `= -Günah x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t günah x dx= –Cos x + C; | t cos x dx= günah x + C; |
| t tg x dx= –Ln | cos x| + C; | t ctg x dx = ln | günah x| + C; |
Tərif sahəsinin hər bir nöqtəsində hər bir triqonometrik funksiya davamlıdır və sonsuz diferensiallanır. Bundan başqa, triqonometrik funksiyaların törəmələri triqonometrik funksiyalardır və inteqral olduqda triqonometrik funksiyalar və ya onların loqarifmləri də alınır. Triqonometrik funksiyaların rasional birləşmələrinin inteqralları həmişə elementar funksiyalardır.
Triqonometrik funksiyaların qüdrət sıraları və sonsuz hasillər şəklində təqdim edilməsi.
Bütün triqonometrik funksiyalar güc seriyalarında genişləndirilə bilər. Bu vəziyyətdə funksiyalar günahdır x b cos x sətirlərlə təmsil olunur. bütün dəyərlər üçün birləşir x:
Bu sıralar günah üçün təxmini ifadələr əldə etmək üçün istifadə edilə bilər x və cos x kiçik dəyərlərdə x:
at | x | p / 2;
0 x |-da səh
(B n Bernoulli ədədləridir).
Günah funksiyaları x və cos x sonsuz əsərlər şəklində təqdim oluna bilər:
Triqonometrik sistem 1, cos x, günah x, cos 2 x, günah 2 x, ¼, cos nx, günah nx, ¼, seqmentdə formalar [- səh, səh] funksiyaları triqonometrik sıralar şəklində təqdim etməyə imkan verən ortoqonal funksiyalar sistemi.
real arqumentin müvafiq triqonometrik funksiyalarının kompleks müstəviyə analitik davamı kimi müəyyən edilir. Beləliklə, günah z və cos z günah üçün sıradan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər x və cos x, əvəzinə əgər x qoy z:
Bu seriyalar bütün təyyarə üzərində birləşir, buna görə də günah z və cos z- bütün funksiyalar.
Tangens və kotangens düsturlarla müəyyən edilir:
Tg funksiyaları z və ctg z- meromorf funksiyalar. Polyaklar tg z və s z- sadə (1-ci sıra) və nöqtələrdə yerləşir z = p/2 + p n, dirəklər ctg z və kosek z- həm də sadə və nöqtələrdədir z = p n, n = 0, ± 1, ± 2, ...
Həqiqi arqumentin triqonometrik funksiyaları üçün etibarlı olan bütün düsturlar kompleks üçün də etibarlıdır. Xüsusilə,
günah (- z) = –Günah z,
çünki (- z) = cos z,
tg (- z) = –Tg z,
ctg (- z) = –Ctg z,
olanlar. cüt və tək paritet qorunur. Formulalar da saxlanılır
günah ( z + 2səh) = günah z, (z + 2səh) = cos z, (z + səh) = tg z, (z + səh) = ctg z,
olanlar. dövrilik də qorunub saxlanılır və dövrlər faktiki arqumentin funksiyaları ilə eynidir.
Triqonometrik funksiyalar sırf xəyali arqumentin eksponensial funksiyası ilə ifadə edilə bilər:
Geri, e iz cos ilə ifadə olunur z və günah z düstura görə:
e iz= cos z + i günah z
Bu düsturlara düsturlar deyilir Eyler... Leonard Euler onları 1743-cü ildə çıxardı.
Triqonometrik funksiyaları hiperbolik funksiyalarla da ifadə etmək olar:
z = –iş iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
burada sh, ch və th hiperbolik sinus, kosinus və tangensdir.
Kompleks arqumentin triqonometrik funksiyaları z = x + iy, harada x və y- həqiqi ədədlər, həqiqi arqumentlərin triqonometrik və hiperbolik funksiyaları ilə ifadə edilə bilər, məsələn:
günah ( x + iy) = günah x ch y + i cos xş y;
çünki ( x + iy) = cos x ch y + i günah xş y.
Mürəkkəb bir arqumentin sinusu və kosinusu mütləq dəyərdə 1-dən böyük real dəyərləri qəbul edə bilər. Misal üçün:
Əgər naməlum bucaq triqonometrik funksiyaların arqumenti kimi tənliyə daxil olarsa, o zaman tənliyə triqonometrik deyilir. Belə tənliklər o qədər geniş yayılmışdır ki, onların üsulları həllər çox detallı və diqqətlə hazırlanmışdır. İLƏ müxtəlif texnika və düsturlardan istifadə edərək triqonometrik tənliklər formanın tənliklərinə endirilir f(x)= a, harada f- ən sadə triqonometrik funksiyalardan hər hansı biri: sinus, kosinus, tangens və ya kotangens. Sonra da arqumentini bildirirlər x bu funksiya məlum dəyəri ilə a.
Triqonometrik funksiyalar dövri olduğundan, eynidir a dəyərlər diapazonundan arqumentin sonsuz sayda dəyərinə uyğun gəlir və tənliyin həlli tək funksiya kimi yazıla bilməz. a. Buna görə də, əsas triqonometrik funksiyaların hər birinin təyini sahəsində, hər biri yalnız bir dəfə bütün qiymətlərini aldığı bölmə fərqləndirilir və bu bölmədə ona tərs olan bir funksiya tapılır. Bu cür funksiyalar qövs (qövs) prefiksini orijinal funksiyanın adına aid etməklə işarələnir və tərs triqonometrik adlanır. funksiyaları və ya sadəcə qövs funksiyaları.
Tərs triqonometrik funksiyalar.
Günah üçün NS, cos NS, tg NS və ctg NS tərs funksiyaları təyin edə bilərsiniz. Onlar müvafiq olaraq arcsin ilə işarələnirlər NS("arcsine" oxuyun x»), Arcos x, arctg x və arcctg x... Tərifinə görə, arcsin NS belə bir nömrə var y, nə
günah saat = NS.
Eyni şəkildə digər tərs triqonometrik funksiyalar üçün. Lakin bu tərif bəzi qeyri-dəqiqlikdən əziyyət çəkir.
Əgər günahı əks etdirirsənsə NS, cos NS, tg NS və ctg NS koordinat müstəvisinin birinci və üçüncü kvadrantlarının bissektrisasına nisbətən funksiyalar dövriliyinə görə qeyri-müəyyən olur: eyni sinus (kosinus, tangens, kotangens) sonsuz sayda bucaqlara uyğun gəlir.
Qeyri-müəyyənlikdən qurtulmaq üçün hər bir triqonometrik funksiyanın qrafikindən eni ilə əyrinin bir hissəsi səh, bu halda arqumentlə funksiyanın qiyməti arasında təkbətək uyğunluğun müşahidə olunması zəruridir. Mənşəyə yaxın seçilmiş ərazilər. Sinus üçün seqment [- səh/2, səh/ 2], üzərində sinus monoton olaraq –1-dən 1-ə qədər artır, kosinus üçün - seqment, tangens və kotangens üçün müvafiq olaraq intervallar (- səh/2, səh/ 2) və (0, səh). İntervaldakı hər əyri bisektora nisbətən əks olunur və indi siz tərs triqonometrik funksiyaları təyin edə bilərsiniz. Məsələn, arqument dəyəri verilsin x 0, belə ki, 0 Ј x 0 Ј 1. Sonra funksiyanın qiyməti y 0 = arcsin x 0 yeganə mənası olacaq saat 0 , belə - səh/ 2 Ј saat 0 Ј səh/ 2 və x 0 = günah y 0 .
Beləliklə, arcsinus arcsin funksiyasıdır a, [–1, 1] seqmentində müəyyən edilir və hər biri üçün bərabərdir a belə bir dəyər, - səh/ 2 a p / 2 elə olsun ki, sin a = a. Onu vahid dairədən istifadə etməklə təmsil etmək çox rahatdır (şək. 15). Nə vaxt | və | 1 dairədə ordinatı olan iki nöqtə var a ox ətrafında simmetrikdir saat. Onlardan biri bucağa uyğundur a= arcsin a, digəri isə küncdür p - a. İLƏ sinusun dövriliyini nəzərə alaraq, sin tənliyinin həlli x= a aşağıdakı kimi yazılır:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
harada n= 0, ± 1, ± 2, ...
Digər sadə triqonometrik tənliklər də həll olunur:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =± arcos a + 2p n,
harada NS= 0, ± 1, ± 2, ... (Şəkil 16);
tg NS = a;
x= arctg a + səh n,
harada n = 0, ± 1, ± 2, ... (Şəkil 17);
ctg NS= a;
NS= arcctg a + səh n,
harada n = 0, ± 1, ± 2, ... (Şəkil 18).
Tərs triqonometrik funksiyaların əsas xassələri:
arcsin NS(şək. 19): tərif sahəsi - seqment [–1, 1]; dəyərlər diapazonu - [- səh/2, səh/ 2], monoton artan funksiya;
arccos NS(şək. 20): tərif sahəsi - seqment [–1, 1]; dəyərlər diapazonu -; monoton azalan funksiya;
arctg NS(şək. 21): əhatə dairəsi - bütün həqiqi ədədlər; diapazon - interval (- səh/2, səh/ 2); monoton artan funksiya; düz saat= –səh/ 2 və y = p / 2 -üfüqi asimptotlar;
arcctg NS(şək. 22): əhatə dairəsi - bütün həqiqi ədədlər; dəyərlər diapazonu - interval (0, səh); monoton azalan funksiya; düz y= 0 və y = p- üfüqi asimptotlar.
Çünki kompleks arqument sin triqonometrik funksiyaları z və cos z(həqiqi arqumentin funksiyalarından fərqli olaraq) bütün mürəkkəb dəyərləri götürür, sonra tənliklər günah edir z = a və cos z = a hər hansı bir kompleks üçün həllər var a x və y- həqiqi ədədlər, bərabərsizliklər baş verir
½| e \ e y–e -y| ≤ | günah z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e -y| ≤ | cos z|≤½( e y + e -y),
hansı saatda y® Ґ asimptotik düsturları nəzərdə tutur (bərabər şəkildə x)
| günah z| "1/2 e |y | ,
| cos z| "1/2 e |y | .
Triqonometrik funksiyalar ilk dəfə astronomiya və həndəsə tədqiqatları ilə əlaqədar yaranmışdır. Triqonometrik funksiyalar olan üçbucaq və çevrədəki xətt seqmentlərinin nisbətlərinə artıq III əsrdə rast gəlinir. e.ə NS. qədim Yunanıstan riyaziyyatçılarının əsərlərində – Evklid , Arximed, Perqalı Apollonius və başqaları, lakin bu əlaqələr müstəqil tədqiqat obyekti deyildi, ona görə də triqonometrik funksiyalar onlar tərəfindən öyrənilməmişdir. Onlar əvvəlcə seqmentlər kimi qəbul edilmiş və bu formada Aristarx (e.ə. IV əsrin sonu - III əsrin 2-ci yarısı), Hipparx (e.ə. II əsr), Menelaus (e.ə. I əsr) və Ptolemey (e. II əsr) həll edərkən istifadə etmişlər. sferik üçbucaqlar. Ptolemey kəskin bucaqlar üçün ilk akkord cədvəlini hər 30 "10 -6 dəqiqliklə tərtib etdi. Bu, sinusların ilk cədvəli idi. Nisbət olaraq, sin funksiyası artıq tapılır. Ariabhat(V əsrin sonu). tg a və ctg a funksiyalarına əl-Bəttanidə (IX əsrin 2-ci yarısı - 10-cu əsrin əvvəlləri) və Əbül-Vəfada (10-cu əsr) rast gəlinir, o da sec a və cosec a-dan istifadə edir. Ariabhata artıq (sin 2 a + cos 2 a) = 1 düsturunu, həmçinin sin və cos yarımbucaqlı düsturlarını bilirdi, onların köməyi ilə 3 ° 45 "dən çox bucaqlar üçün sinus cədvəllərini qurdu; ən sadə arqumentlər üçün triqonometrik funksiyaların məlum qiymətləri.(12-ci əsr) toplama düsturlarından istifadə edərək 1 baxımından cədvəllərin qurulması metodunu verdi.Müxtəlif arqumentlərin triqonometrik funksiyalarının cəmini və fərqini hasilə çevirmək üçün düsturlar Regiomontanus tərəfindən çıxarılmışdır. (15-ci əsr) və J. Napier tərəfindən loqarifmlərin ixtirası ilə əlaqədar (1614). 1-dən sonra sinus dəyərləri cədvəli ". Qüvvət sıralarında triqonometrik funksiyaların genişlənməsi alınır I. Nyuton(1669). Triqonometrik funksiyalar nəzəriyyəsini müasir formaya L. Eyler (XVIII əsr) gətirmişdir. Onların həqiqi və mürəkkəb arqumentlər üçün tərifinə, hazırda qəbul edilmiş simvolizmə, əlaqənin qurulmasına sahibdir. eksponensial funksiya sinuslar və kosinuslar sisteminin ortoqonallığı.
