Triqonometrik funksiyaları dövri, yəni müəyyən müddətdən sonra təkrarlanırlar. Nəticə etibarilə bu intervalda funksiyanı öyrənmək və aşkar edilmiş xassələri bütün digər dövrlərə şamil etmək kifayətdir.
Təlimatlar
1. Əgər sizə yalnız bir triqonometrik funksiyanın (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) olduğu və funksiyanın daxilindəki bucağın heç bir ədədə vurulmadığı və özü də heç bir rəqəmə qaldırılmayan primitiv ifadə verilirsə. güc - tərifdən istifadə edin. Tərkibində sin, cos, sec, cosec olan ifadələr üçün cəsarətlə dövrü 2P, tənlikdə tg, ctg varsa, onda P. Tutaq ki, y=2 sinx+5 funksiyası üçün dövr 2P-ə bərabər olacaq. .
2. Əgər triqonometrik funksiyanın işarəsi altındakı x bucağı hansısa ədədə vurulursa, bu funksiyanın dövrünü tapmaq üçün tipik dövrü bu ədədə bölmək lazımdır. Tutaq ki, sizə y = sin 5x funksiyası verilib. Sinus üçün tipik dövr 2P-dir, onu 5-ə bölsəniz, 2P/5 alırsınız - bu ifadənin istənilən dövrüdür.
3. Bir gücə yüksəldilmiş triqonometrik funksiyanın dövrünü tapmaq üçün gücün paritetini qiymətləndirin. üçün hətta dərəcə tipik dövrü yarıya endir. Tutaq ki, əgər sizə y = 3 cos^2x funksiyası verilmişdirsə, onda 2P tipik dövrü 2 dəfə azalacaq, deməli, dövr P-ə bərabər olacaq. Nəzərə alın ki, tg, ctg funksiyaları hər birinə P-ə qədər dövri olur. dərəcə.
4. Əgər sizə məhsulu və ya 2 hissəsini ehtiva edən tənlik verilirsə triqonometrik funksiyalar, əvvəlcə hamısı üçün ayrı-ayrılıqda dövrü kəşf edin. Bundan sonra hər iki dövrün tam ədədini ehtiva edən minimum ədədi tapın. Tutaq ki, y=tgx*cos5x funksiyası verilmişdir. Tangens üçün dövr P, kosinus 5x üçün dövr 2P/5-dir. Bu dövrlərin hər ikisinin yerləşə biləcəyi minimum sayı 2P-dir, buna görə də arzu olunan dövr 2P-dir.
5. Təklif olunan şəkildə bunu etməkdə çətinlik çəkirsinizsə və ya nəticəyə şübhə edirsinizsə, bunu təriflə etməyə çalışın. T-ni funksiyanın dövrü kimi götürün; o, sıfırdan böyükdür. Tənlikdə x əvəzinə (x + T) ifadəsini əvəz edin və yaranan bərabərliyi T parametr və ya ədəd kimi həll edin. Nəticədə triqonometrik funksiyanın dəyərini kəşf edəcək və ən kiçik dövrü tapa biləcəksiniz. Tutaq ki, relyef nəticəsində siz şəxsiyyət sin (T/2) = 0 alırsınız. Onun yerinə yetirildiyi T-nin minimum dəyəri 2P-dir, bu tapşırığın nəticəsi olacaqdır.
Dövri funksiya, sıfırdan fərqli bir müddətdən sonra dəyərlərini təkrarlayan bir funksiyadır. Funksiya dövrü funksiyanın arqumentinə əlavə olunduqda funksiyanın qiymətini dəyişməyən ədəddir.
Sizə lazım olacaq
- İbtidai riyaziyyat və əsas baxış bilikləri.
Təlimatlar
1. f(x) funksiyasının dövrünü K ədədi ilə işarə edək. Bizim vəzifəmiz K-nin bu qiymətini tapmaqdır. Bunun üçün təsəvvür edək ki, f(x) funksiyasını dövri funksiyanın tərifindən istifadə edərək bərabərləşdiririk. f(x+K)=f(x).
2. Naməlum K ilə bağlı yaranan tənliyi x sabiti kimi həll edirik. K dəyərindən asılı olaraq bir neçə variant olacaq.
3. Əgər K>0 – onda bu, funksiyanızın dövrüdür. Əgər K=0 – onda f(x) funksiyası dövri deyilsə, f(x+K)=f(x) tənliyinin həlli yoxdur sıfıra bərabər olmayan hər hansı K üçün belə funksiya aperiodik adlanır və onun da dövrü yoxdur.
Mövzu ilə bağlı video
Qeyd!
Bütün triqonometrik funksiyalar dövri, dərəcəsi 2-dən çox olan bütün çoxhədli funksiyalar isə aperiodikdir.
Faydalı məsləhət
2 dövri funksiyadan ibarət funksiyanın dövrü bu funksiyaların dövrlərinin ən kiçik universal qatıdır.
Triqonometrik tənliklər naməlum arqumentin triqonometrik funksiyalarını ehtiva edən tənliklərdir (məsələn: 5sinx-3cosx =7). Onları necə həll edəcəyinizi öyrənmək üçün bunu etməyin bəzi yollarını bilməlisiniz.
Təlimatlar
1. Bu cür tənliklərin həlli 2 mərhələdən ibarətdir. Ən sadə triqonometrik tənliklər bunlardır: Sinx=a; Cosx=a və s.
2. İkincisi, alınan ən sadə triqonometrik tənliyin həllidir. Bu tip tənlikləri həll etməyin əsas yolları var: Cəbri həll. Bu üsul məktəbdən, cəbr kursundan məşhurdur. Əks halda dəyişənlərin dəyişdirilməsi və dəyişdirilməsi üsulu deyilir. Azaltma düsturlarından istifadə edərək, biz transformasiya edirik, əvəz edirik və sonra kökləri tapırıq.
3. Tənliyin faktorinqi. Əvvəlcə bütün şərtləri sola köçürür və faktorlara ayırırıq.
4. Tənliyin homojenə endirilməsi. Əgər bütün üzvləri eyni dərəcədə və sinus və kosinus eyni bucaqlıdırsa, tənliklər homojen tənliklər adlanır. bütün universal amilləri mötərizədən çıxarın; amilləri və mötərizələri sıfıra bərabərləşdirmək; bərabər mötərizələr verir homojen tənlik cos (və ya sin) ilə ən yüksək dərəcəyə bölünməli olan kiçik dərəcə; tan ilə bağlı yaranan cəbri tənliyi həll edin.
5. Növbəti yol yarım açıya keçməkdir. Deyin, tənliyi həll edin: 3 sin x – 5 cos x = 7. Yarım bucağa keçək: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 günah ? (x / 2) = 7 günah ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , bundan sonra bütün şərtləri bir hissəyə (tercihen sağ tərəfə) azaldırıq və tənliyi həll edirik.
6. Köməkçi bucağın girişi. cos(a) və ya sin(a) tam dəyərini əvəz etdikdə. “a” işarəsi köməkçi bucaqdır.
7. Məhsulun cəminə çevrilməsi üsulu. Burada uyğun düsturları tətbiq etməlisiniz. Verilmiş deyək: 2 sin x · sin 3x = cos 4x Sol tərəfi cəmiyə çevirərək həll edin, yəni: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.
8. Son üsul çoxfunksiyalı əvəzetmə adlanır. İfadəni çevirib dəyişiklik edirik, Cos(x/2)=u deyirik və sonra u parametri ilə tənliyi həll edirik. Cəmi alarkən dəyəri əksinə çeviririk.
Mövzu ilə bağlı video
Əgər dairənin üzərindəki nöqtələri nəzərə alsaq, onda x, x + 2π, x + 4π və s. bir-biri ilə üst-üstə düşür. Beləliklə, triqonometrik funksiyaları düz xətt üzərində vaxtaşırı mənasını təkrarlayın. Əgər dövr məşhurdursa funksiyaları, bu dövr üzərində funksiya qurmaq və başqalarında təkrarlamaq olar.
Təlimatlar
1. Dövr elə T ədədidir ki, f(x) = f(x+T). Dövrü tapmaq üçün x və x+T-ni arqument kimi əvəz edərək müvafiq tənliyi həll edin. Bu zaman onlar funksiyalar üçün artıq məlum dövrlərdən istifadə edirlər. Sinus və kotangens funksiyaları üçün dövr 2π, tangens və kotangens funksiyaları üçün isə π-dir.
2. f(x) = sin^2(10x) funksiyası verilsin. sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) ifadəsini nəzərdən keçirək. Dərəcəni azaltmaq üçün düsturdan istifadə edin: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Sonra 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) və ya cos 20x = cos (20x+20T) alırsınız. Kosinusun dövrünün 2π olduğunu bilməklə, 20T = 2π. Bu, T = π/10 deməkdir. T minimum düzgün dövrdür və funksiya 2T-dən sonra, 3T-dən sonra və ox boyunca digər istiqamətdə təkrarlanacaq: -T, -2T və s.
Faydalı məsləhət
Funksiya dərəcəsini azaltmaq üçün düsturlardan istifadə edin. Əgər siz artıq bəzi funksiyaların dövrlərini bilirsinizsə, mövcud funksiyanı məlum olanlara endirməyə çalışın.
Bir funksiyanın bərabərlik və təklik üçün araşdırılması funksiyanın qrafikini qurmağa və onun davranışının mahiyyətini anlamağa kömək edir. Bu araşdırma üçün “x” arqumenti və “-x” arqumenti üçün yazılmış bu funksiyanı müqayisə etməlisiniz.
Təlimatlar
1. Tədqiq etmək istədiyiniz funksiyanı y=y(x) şəklində yazın.
2. Funksiyanın arqumentini “-x” ilə əvəz edin. Bu arqumenti funksional ifadə ilə əvəz edin.
3. İfadəni sadələşdirin.
4. Beləliklə, “x” və “-x” arqumentləri üçün eyni funksiyanı yazırsınız. Bu iki girişə baxın, əgər y(-x)=y(x) olarsa, o, tək funksiyadır y (-x)=y(x) və ya y(-x)=-y(x) funksiyası haqqında deyək, onda paritet xassəsinə görə bu universal formalı funksiyadır. Yəni nə cüt, nə də tək deyil.
5. Tapıntılarınızı yazın. İndi siz onlardan funksiyanın qrafikinin qurulmasında və ya gələcək funksiyanın xassələrinin analitik tədqiqində istifadə edə bilərsiniz.
6. Funksiya qrafikinin artıq verildiyi halda da funksiyanın təklik və təkliyindən danışmaq olar. Tutaq ki, qrafik fiziki eksperimentin nəticəsi kimi xidmət etdi Əgər funksiyanın qrafiki ordinat oxuna görə simmetrikdirsə, onda y(x) funksiyanın qrafiki absis oxuna görə simmetrikdirsə x(y) cüt funksiyadır. x(y) funksiyası y(x) funksiyasına tərs funksiyadır Əgər funksiyanın qrafiki (0,0) başlanğıcına görə simmetrikdirsə, y(x) tək funksiyadır. Tərs x(y) funksiyası da tək olacaq.
7. Yadda saxlamaq lazımdır ki, funksiyanın təklik və təklik ideyası funksiyanın təyini sahəsi ilə birbaşa əlaqəyə malikdir. Tutaq ki, x=5-də cüt və ya tək funksiya yoxdursa, o zaman x=-5-də mövcud deyildir ki, bunu universal formalı funksiya haqqında söyləmək olmaz. Cüt və tək paritet qurarkən funksiyanın oblastına diqqət yetirin.
8. Bərabərlik və təklik üçün funksiyanın tapılması funksiya qiymətləri toplusunun tapılması ilə əlaqələndirilir. Cüt funksiyanın qiymətlər çoxluğunu tapmaq üçün funksiyanın yarısına, sıfırın sağına və ya soluna baxmaq kifayətdir. Əgər x>0-da y(x) cüt funksiyası A-dan B-yə qədər qiymət alırsa, o zaman x-də eyni dəyərləri alacaq.<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 tək funksiyası y(x) A-dan B-yə, sonra isə x-də bir sıra qiymətlər alır<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Triqonometrik" bir dəfə düz üçbucağın kəskin bucaqlarının tərəflərinin uzunluqlarından asılılığı ilə təyin olunan funksiyalar adlandırılmağa başladı. Belə funksiyalara, ilk növbədə, sinus və kosinus, ikincisi, bu funksiyaların tərsi, sekant və kosekant, onların törəmələri tangens və kotangens, eləcə də tərs funksiyalar arksinus, arkkosin və s. daxildir.. Haqqında danışmamaq daha müsbətdir. bu cür funksiyaların "həlli", lakin onların "hesablanması", yəni ədədi dəyərin tapılması haqqında.
Təlimatlar
1. Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti məlum deyilsə, onda onun qiyməti bu funksiyaların təriflərinə əsaslanaraq dolayı üsulla hesablana bilər. Bunu etmək üçün üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını bilməlisiniz, bucaqlarından biri üçün triqonometrik funksiyanın hesablanması lazımdır. Deyək ki, tərifinə görə, düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbətidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, bucağın sinusunu tapmaq üçün bu 2 tərəfin uzunluqlarını bilmək kifayətdir. Bənzər bir tərif, kəskin bucağın sinüsünün bu bucağa bitişik ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbəti olduğunu bildirir. Kəskin bucağın tangensi qarşı ayağın uzunluğunu qonşu ayağın uzunluğuna bölmək yolu ilə hesablana bilər və kotangens qonşu ayağın uzunluğunu əks ayağın uzunluğuna bölməyi tələb edir. Kəskin bucağın sekantını hesablamaq üçün hipotenuzanın uzunluğunun tələb olunan bucağa bitişik ayağın uzunluğuna nisbətini tapmaq lazımdır və kosekant hipotenuzun uzunluğunun uzunluğa nisbəti ilə müəyyən edilir. əks ayağın.
2. Triqonometrik funksiyanın arqumenti düzgündürsə, onda üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını bilmək lazım deyil - dəyərlər cədvəllərindən və ya triqonometrik funksiyaların kalkulyatorlarından istifadə edə bilərsiniz. Belə bir kalkulyator Windows əməliyyat sisteminin standart proqramlarına daxildir. Onu işə salmaq üçün Win + R düymələri kombinasiyasını sıxıb, calc əmrini daxil edib "OK" düyməsini sıxa bilərsiniz. Proqram interfeysində "Görünüş" bölməsini genişləndirməlisiniz və "Mühəndis" və ya "Alim" maddəsini seçməlisiniz. Bundan sonra triqonometrik funksiyanın arqumentini təqdim etmək olar. Sinus, kosinus və tangens funksiyalarını hesablamaq üçün dəyəri daxil etdikdən sonra uyğun interfeys düyməsini (sin, cos, tg) vurun və onların tərs arksinusu, arkkosinusu və arktangentini tapmaq üçün əvvəlcədən Inv qeyd qutusunu qeyd etməlisiniz.
3. Alternativ üsullar da var. Onlardan biri Nigma və ya Google axtarış sisteminin veb saytına daxil olmaq və istədiyiniz funksiyanı və onun arqumentini axtarış sorğusu kimi daxil etməkdir (məsələn, sin 0.47). Bu axtarış sistemlərində daxili kalkulyatorlar var, ona görə də belə bir sorğu göndərdikdən sonra daxil etdiyiniz triqonometrik funksiyanın dəyərini alacaqsınız.
Mövzu ilə bağlı video
İpucu 7: Triqonometrik funksiyaların dəyərini necə tapmaq olar
Triqonometrik funksiyalar ilk dəfə düz üçbucaqda iti bucaqların qiymətlərinin onun tərəflərinin uzunluqlarından asılılığının mücərrəd riyazi hesablamaları üçün alət kimi ortaya çıxdı. İndi onlar insan fəaliyyətinin həm elmi, həm də texniki sahələrində geniş istifadə olunur. Verilmiş arqumentlərdən triqonometrik funksiyaların utilitar hesablamaları üçün müxtəlif vasitələrdən istifadə edə bilərsiniz - xüsusilə əlçatan olan bir neçəsi aşağıda təsvir edilmişdir.
Təlimatlar
1. Məsələn, əməliyyat sistemi ilə standart olaraq quraşdırılmış kalkulyator proqramından istifadə edin. "Bütün proqramlar" bölməsində yerləşən "Tipik" alt bölməsindən "Xidmət" qovluğunda "Kalkulyator" maddəsini seçməklə açılır. Bu bölməni "Başlat" düyməsini sıxaraq əməliyyat sisteminin əsas menyusunu açmaqla tapmaq olar. Əgər siz Windows 7 versiyasından istifadə edirsinizsə, çox güman ki, əsas menyunun “Proqramları və faylları kəşf et” sahəsinə “Kalkulyator” sözünü daxil edib axtarış nəticələrində müvafiq keçidi klikləyin.
2. Triqonometrik funksiyanı hesablamaq istədiyiniz bucaq dəyərini daxil edin və sonra bu funksiyaya uyğun olan düyməni vurun - sin, cos və ya tan. Əgər sizi tərs triqonometrik funksiyalar (qövs sinusu, qövs kosinusu və ya qövs tangensi) narahat edirsə, onda ilk olaraq Inv etiketli düyməni sıxın - o, kalkulyatorun bələdçi düymələrinə təyin edilmiş funksiyaları tərsinə çevirir.
3. ƏS-in əvvəlki versiyalarında (məsələn, Windows XP) triqonometrik funksiyalara daxil olmaq üçün kalkulyator menyusunda “Görünüş” bölməsini açmalı və “Mühəndislik” xəttini seçməlisiniz. Bundan əlavə, Inv düyməsinin əvəzinə proqramın köhnə versiyalarının interfeysində eyni yazı ilə bir onay qutusu var.
4. İnternetə çıxışınız varsa, kalkulyator olmadan edə bilərsiniz. İnternetdə müxtəlif üsullarla təşkil edilmiş triqonometrik funksiya kalkulyatorlarını təklif edən bir çox xidmətlər var. Xüsusilə əlverişli variantlardan biri Nigma axtarış sistemində quraşdırılmışdır. Əsas səhifəsinə keçərək, axtarış sorğusu sahəsinə sizi narahat edən dəyəri daxil edin - deyək ki, "qövs tangensi 30 dərəcə". “Aşkar et!” düyməsini basdıqdan sonra Axtarış sistemi hesablayacaq və hesablamanın nəticəsini göstərəcək - 0,482347907101025.
Mövzu ilə bağlı video
Triqonometriya, tərəflərin müxtəlif asılılıqlarını ifadə edən funksiyaları başa düşmək üçün riyaziyyatın bir sahəsidir düz üçbucaq hipotenuzda kəskin bucaqların qiymətləri üzərində. Belə funksiyalar triqonometrik adlanırdı və onlarla işləməyi asanlaşdırmaq üçün triqonometrik funksiyalar əldə edilmişdir. şəxsiyyətlər .
Performans şəxsiyyətlər riyaziyyatda ona daxil olan funksiyaların arqumentlərinin bütün qiymətləri üçün təmin edilən bərabərliyi ifadə edir. Triqonometrik şəxsiyyətlər triqonometrik düsturlarla işi sadələşdirmək üçün təsdiq edilmiş və qəbul edilmiş triqonometrik funksiyaların bərabərlikləridir triqonometrik funksiya düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarından birinin hipotenuzdakı iti bucağın qiymətindən asılılığının elementar funksiyasıdır. Ən çox istifadə edilən altı əsas triqonometrik funksiya sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangent), sec (sekant) və cosec (kosekant)dır. Bu funksiyalara birbaşa funksiyalar deyilir, tərs funksiyalar da var, deyək ki, sinus – arksinus, kosinus – arkkosin və s.. İlkin olaraq triqonometrik funksiyalar həndəsədə öz əksini tapmış, sonra isə elmin digər sahələrinə: fizika, kimya, coğrafiya, optika, ehtimal nəzəriyyəsi, həmçinin akustika, musiqi nəzəriyyəsi, fonetika, kompüter qrafikası və s. İndiki vaxtda bu funksiyalar olmadan riyazi hesablamaları təsəvvür etmək çətindir, baxmayaraq ki, onlar uzaq keçmişdə yalnız astronomiya və triqonometrik sahədə istifadə olunurdu şəxsiyyətlər uzun triqonometrik düsturlarla işi sadələşdirmək və həzm oluna bilən formaya salmaq üçün istifadə olunur. Altı əsas triqonometrik eynilik var, onlar birbaşa triqonometrik funksiyalarla bağlıdır: tg ? = günah?/cos?; günah ^ 2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ? şəxsiyyətlər Düzbucaqlı üçbucaqda tərəflərin və bucaqların nisbətinin xassələrindən təsdiq etmək asan: sin ? = BC/AC = b/c; çünki? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. İlk şəxsiyyət tg ? = günah ?/cos ? üçbucaqda tərəflərin nisbətindən və günahı cos-a bölərkən c tərəfinin (hipotenuza) xaric edilməsindən irəli gəlir. ctg şəxsiyyəti də eyni şəkildə müəyyən edilir. = cos ?/sin ?, çünki ctg ? = 1/tg ?.Pifaqor teoremi ilə a^2 + b^2 = c^2. Bu bərabərliyi c^2-ə bölək, ikinci eyniliyi alırıq: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Üçüncü və dördüncü şəxsiyyətlər müvafiq olaraq b^2 və a^2-yə bölmək yolu ilə əldə edilir: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/gün^ ? və ya 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. Beşinci və altıncı əsas şəxsiyyətlər 90° və ya?/2-yə bərabər olan düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarının cəminin müəyyən edilməsi ilə sübut edilir.Daha çətin triqonometrik şəxsiyyətlər: arqumentlər əlavə etmək üçün düsturlar, ikiqat və üçqat bucaqlar, dərəcələrin azaldılması, funksiyaların cəmi və ya hasilinin islahatı, həmçinin triqonometrik əvəzetmə düsturları, yəni yarım bucağın tg vasitəsilə əsas triqonometrik funksiyaların ifadələri: sin ?= (2*tg) ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Minimum tapmaq ehtiyacı məna riyazi funksiyaları tətbiqi məsələlərin həllində, məsələn, iqtisadiyyatda faktiki maraq doğurur. Böyük məna itkilərin minimuma endirilməsi biznes fəaliyyəti üçün vacibdir.
Təlimatlar
1. Minimumu kəşf etmək üçün məna funksiyaları, y(x0) bərabərsizliyinin x0 arqumentinin hansı qiymətində ödəniləcəyini müəyyən etmək lazımdır? y(x), harada x? x0. Həmişə olduğu kimi, bu problem müəyyən bir intervalda və ya hər bir dəyər diapazonunda həll edilir funksiyaları, biri göstərilməyibsə. Həllin bir tərəfi sabit nöqtələrin tapılmasıdır.
2. Stasionar nöqtə deyilir məna törəmə olan arqument funksiyaları sıfıra düşür. Fermat teoreminə görə, əgər diferensiallanan funksiya ekstremal alırsa məna bir nöqtədə (bu halda, yerli minimum), onda bu nöqtə stasionardır.
3. Minimum məna funksiya çox vaxt məhz bu nöqtəni götürür, lakin onu dəyişməz olaraq müəyyən etmək olmaz. Bundan əlavə, minimumun nə olduğunu dəqiqliklə söyləmək həmişə mümkün deyil funksiyaları ya da sonsuz kiçik olanı qəbul edir məna. Sonra, həmişəki kimi, azaldıqca meyl etdiyi həddi tapırlar.
4. Minimum müəyyən etmək üçün məna funksiyaları, dörd mərhələdən ibarət hərəkətlər ardıcıllığını yerinə yetirməlisiniz: tərif sahəsinin tapılması funksiyaları, sabit nöqtələrin əldə edilməsi, dəyərlərin icmalı funksiyaları bu nöqtələrdə və boşluğun uclarında minimumun aşkarlanması.
5. Belə çıxır ki, hansısa y(x) funksiyası sərhədləri A və B nöqtələrində olan intervalda verilmişdir. Onun təyin olunma oblastını tapın və intervalın onun alt çoxluğu olub-olmadığını öyrənin.
6. Törəmə hesablayın funksiyaları. Alınan ifadəni sıfıra bərabərləşdirin və tənliyin köklərini tapın. Bu stasionar nöqtələrin boşluğa daxil olub olmadığını yoxlayın. Yoxdursa, növbəti mərhələdə onlar nəzərə alınmır.
7. Sərhədlərin növü üçün boşluğu yoxlayın: açıq, qapalı, mürəkkəb və ya ölçülməz. Bu, minimumu necə axtardığınızı müəyyənləşdirir məna. Tutaq ki, [A, B] seqmenti qapalı intervaldır. Onları funksiyaya qoşun və dəyərləri hesablayın. Eyni şeyi sabit bir nöqtə ilə edin. Ən aşağı cəmi seçin.
8. Açıq və ölçülməz fasilələrlə vəziyyət bir qədər çətinləşir. Burada hər zaman birmənalı nəticə verməyən birtərəfli məhdudiyyətlər axtarmalı olacaqsınız. Tutaq ki, bir qapalı və bir deşilmiş sərhədi [A, B) olan interval üçün x = A-da funksiya və x-də birtərəfli limit y tapılmalıdır? B-0.
Əsas anlayışlar
Əvvəlcə tərifi xatırlayaq cüt, tək və dövri funksiyalar.
Tərif 2
Cüt funksiya müstəqil dəyişənin işarəsi dəyişdikdə dəyərini dəyişməyən funksiyadır:
Tərif 3
Dəyərlərini müəyyən bir müntəzəm intervalla təkrarlayan funksiya:
T -- funksiyanın müddəti.
Cüt və tək triqonometrik funksiyalar
Aşağıdakı şəkli nəzərdən keçirin (şək. 1):
Şəkil 1.
Burada $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ və $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ $Ox$ oxuna yaxın simmetrik olan vahid uzunluqlu vektorlardır.
Aydındır ki, bu vektorların koordinatları aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:
Sinus və kosinusun triqonometrik funksiyalarını vahid triqonometrik çevrədən istifadə etməklə təyin etmək mümkün olduğundan, əldə edirik ki, sinus funksiyası tək, kosinus funksiyası isə cüt funksiya olacaq, yəni:
Triqonometrik funksiyaların dövriliyi
Aşağıdakı şəkli nəzərdən keçirin (şək. 2).
Şəkil 2.
Burada $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ vahid uzunluqlu vektordur.
$\overrightarrow(OA)$ vektoru ilə tam inqilab edək. Yəni bu vektoru $2\pi $ radyanla çevirək. Bundan sonra vektor tamamilə orijinal vəziyyətinə qayıdacaq.
Sinus və kosinusun triqonometrik funksiyaları vahid triqonometrik çevrədən istifadə etməklə təyin oluna bildiyindən, əldə edirik ki,
Yəni sinus və kosinus funksiyaları ən kiçik dövrə $T=2\pi $ olan dövri funksiyalardır.
İndi tangens və kotangens funksiyalarını nəzərdən keçirək. $tgx=\frac(sinx)(cosx)$ olduğundan
$сtgx=\frac(cosx)(sinx)$ olduğundan, o zaman
Triqonometrik funksiyaların paritetindən, təkliyindən və dövriliyindən istifadə edən məsələlərə nümunələr
Misal 1
Aşağıdakı ifadələri sübut edin:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Tangens minimum periyodu $(360)^0$ olan dövri funksiya olduğundan, alırıq
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Kosinus bərabər və dövri funksiya olduğu üçün minimum müddəti $2\pi $ olduğundan, alırıq
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Sinusun minimum müddəti $(360)^0$ olan tək və dövri funksiya olduğundan, biz alırıq
|BD| - mərkəzi A nöqtəsində olan dairənin qövsünün uzunluğu.
α radyanla ifadə olunan bucaqdır.
Tangens ( tan α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olan, əks ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC| bitişik ayağın uzunluğuna |AB| .
kotangent ( ctg α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| qarşı ayağın uzunluğuna |BC| .
Tangens
Harada n- bütöv.
IN Qərb ədəbiyyatı tangens aşağıdakı kimi işarələnir:
.
;
;
.
Tangens funksiyasının qrafiki, y = tan x
Kotangent
Harada n- bütöv.
Qərb ədəbiyyatında kotangens aşağıdakı kimi işarələnir:
.
Aşağıdakı qeydlər də qəbul edilir:
;
;
.
Kotangens funksiyasının qrafiki, y = ctg x
Tangens və kotangensin xassələri
Dövrilik
Funksiyalar y = tg x və y = ctg xπ dövrü ilə dövri olur.
Paritet
Tangens və kotangens funksiyaları təkdir.
Tərif sahələri və dəyərlər, artan, azalan
Tangens və kotangens funksiyaları öz təyinat sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Tangens və kotangensin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir ( n- bütöv).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Əhatə dairəsi və davamlılıq | ||
| Dəyərlər diapazonu | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Artan | - | |
| Azalan | - | |
| İfrat | - | - |
| Sıfırlar, y = 0 | ||
| Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x = 0 | y = 0 | - |
Formulalar
Sinus və kosinusdan istifadə edən ifadələr
;
;
;
;
;
Cəm və fərqdən tangens və kotangens üçün düsturlar
Qalan düsturları, məsələn, əldə etmək asandır
Tangenslərin məhsulu
Tangenslərin cəmi və fərqi üçün düstur
Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün tangens və kotangentlərin dəyərlərini təqdim edir. 
Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr
Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr
;
;
Törəmələri
; .
.
Funksiyanın x dəyişəninə münasibətdə n-ci dərəcəli törəmə:
.
Tangens üçün düsturların alınması > > > ; kotangens üçün > > >
İnteqrallar
Serialın genişləndirilməsi
X-in güclərində tangensin genişlənməsini əldə etmək üçün funksiyalar üçün güc seriyasında genişlənmənin bir neçə şərtini götürməlisiniz. günah x Və cos x və bu çoxhədliləri bir-birinə bölmək, . Bu, aşağıdakı formulları yaradır.
.
at.
Harada Bn- Bernoulli nömrələri. Onlar ya təkrarlanma əlaqəsindən müəyyən edilir:
;
;
Harada.
Və ya Laplas düsturuna görə: 
Tərs funksiyalar
Tangens və kotangensin tərs funksiyaları müvafiq olaraq arktangens və arktangensdir.
Arktangens, arctg
, Harada n- bütöv.
Arkkotangent, arkctg
, Harada n- bütöv.
İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
G. Korn, Alimlər və Mühəndislər üçün Riyaziyyat Kitabı, 2012.
Mərkəzi başlanğıcda olan vahid çevrə qursaq və arqument üçün ixtiyari qiymət təyin etsək x 0 və oxdan sayın öküz künc x 0, onda vahid dairədəki bu bucaq müəyyən nöqtəyə uyğun gəlir A(Şəkil 1) və onun oxa proyeksiyası Oh bir məqam olacaq M. Bölmə uzunluğu OM nöqtənin absisinin mütləq qiymətinə bərabərdir A. Verilmiş arqument dəyəri x 0 funksiya dəyərinin xəritəsi y= cos x 0 absis nöqtələri kimi A. Müvafiq olaraq, nöqtə IN(x 0 ;saat 0) funksiyasının qrafikinə aiddir saat= cos X(Şəkil 2). Əgər nöqtə A oxun sağındadır OU, Cari sinus müsbət olacaq, lakin sola doğru olarsa mənfi olacaq. Amma hər halda, dövr A dairəni tərk edə bilməz. Beləliklə, kosinus -1 ilə 1 arasındadır:
–1 = cos x = 1.
İstənilən bucaqda əlavə fırlanma, 2-yə çoxluq səh, nöqtəni qaytarır A eyni yerə. Buna görə də funksiya y = cos xsəh:
çünki( x+ 2səh) = cos x.
Arqumentin mütləq dəyərinə bərabər, lakin işarəsi ilə əks olan iki dəyərini götürsək, x Və - x, dairənin müvafiq nöqtələrini tapın A x Və A -x. Şəkildə göründüyü kimi. 3 onların oxa proyeksiyası Oh eyni məqamdır M. Buna görə də
cos(- x) = cos ( x),
olanlar. kosinus cüt funksiyadır, f(–x) = f(x).
Bu o deməkdir ki, biz funksiyanın xassələrini araşdıra bilərik y= cos X seqmentdə , sonra onun paritetini və dövriliyini nəzərə al.
At X= 0 xal A ox üzərində yerləşir Oh, onun absissası 1-dir və buna görə də cos 0 = 1. Artmaqla X nöqtə A dairənin ətrafında yuxarı və sola hərəkət edir, onun proyeksiyası, təbii olaraq, yalnız sola, x = səh/2 kosinus 0-a bərabər olur. Nöqtə A bu anda maksimum hündürlüyünə qalxır və sonra sola doğru hərəkət etməyə davam edir, lakin artıq enir. Onun absisi -1 at-a bərabər olan ən kiçik qiymətə çatana qədər azalır X= səh. Beləliklə, funksiya intervalında saat= cos X monoton şəkildə 1-dən –1-ə qədər azalır (şək. 4, 5).
Kosinusun paritetindən belə çıxır ki, intervalda [– səh, 0] funksiyası monoton şəkildə –1-dən 1-ə qədər artır və sıfır qiymət alır x =–səh/2. Bir neçə dövr çəksəniz, dalğalı bir əyri alırsınız (şək. 6).
Beləliklə, funksiya y= cos x nöqtələrdə sıfır qiymət alır X= səh/2 + kp, Harada k – istənilən tam ədəd. Nöqtələrdə 1-ə bərabər maksimumlar əldə edilir X= 2kp, yəni. 2 addımda səh, və nöqtələrdə minimumlar –1-ə bərabərdir X= səh + 2kp.
y = sin x funksiyası.
Vahid dairəsi küncündə x 0 nöqtəyə uyğundur A(Şəkil 7), və onun oxa proyeksiyası OU bir məqam olacaq N.Z funksiya dəyəri y 0 = günah x 0 nöqtənin ordinatı kimi müəyyən edilir A. Nöqtə IN(künc x 0 ,saat 0) funksiyasının qrafikinə aiddir y= günah x(şək. 8). Funksiyasının olduğu aydındır y = günah x dövri, onun dövrü 2-dir səh:
günah( x+ 2səh) = günah ( x).
İki arqument dəyəri üçün, X Və -, onların müvafiq nöqtələrinin proyeksiyaları A x Və A -x ox başına OU nöqtəsinə nisbətən simmetrik olaraq yerləşir HAQQINDA. Buna görə də
günah(- x) = –günah ( x),
olanlar. sinus tək funksiyadır, f(– x) = –f( x) (Şəkil 9).
Əgər nöqtə A bir nöqtəyə nisbətən fırladın HAQQINDA bucaq altında səh/2 saat əqrəbinin əksinə (başqa sözlə, əgər bucaq X ilə artır səh/2), onda onun yeni vəziyyətdə olan ordinatı köhnədəki absissə bərabər olacaqdır. Hansı deməkdir
günah( x+ səh/2) = cos x.
Əks halda, sinus tərəfindən "gec" bir kosinusdur səh/2, çünki arqument artdıqda hər hansı kosinus dəyəri sinusda “təkrarlanacaq” səh/2. Sinus qrafiki qurmaq üçün kosinus qrafikini dəyişdirmək kifayətdir səh/2 sağa (şək. 10). Sinusun son dərəcə əhəmiyyətli bir xüsusiyyəti bərabərliklə ifadə edilir
Bərabərliyin həndəsi mənasını Şəkildən görmək olar. 11. Burada X - bu yarım qövsdür AB, günah X - müvafiq akkordun yarısı. Aydındır ki, xallar yaxınlaşdıqca A Və IN akkordun uzunluğu getdikcə qövsün uzunluğuna yaxınlaşır. Eyni rəqəmdən bərabərsizliyi əldə etmək asandır
|günah x| x|, istənilən üçün doğrudur X.
Riyaziyyatçılar (*) düsturunu əlamətdar hədd adlandırırlar. Ondan, xüsusən, o günah gəlir X» X kiçikdə X.
Funksiyalar saat= tq x, y=ctg X. Digər iki triqonometrik funksiya, tangens və kotangens, bizə artıq məlum olan sinus və kosinus nisbətləri kimi asanlıqla müəyyən edilir:
Sinus və kosinus kimi, tangens və kotangens də dövri funksiyalardır, lakin onların dövrləri bərabərdir səh, yəni. onlar sinus və kosinusun yarısı qədərdir. Bunun səbəbi aydındır: əgər sinus və kosinusun hər ikisi işarəni dəyişirsə, onda onların nisbəti dəyişməyəcək.
Tangensin məxrəcində kosinus olduğu üçün kosinusun 0 olduğu nöqtələrdə tangens müəyyən edilmir. X= səh/2 +kp. Bütün digər nöqtələrdə monoton şəkildə artır. Birbaşa X= səh/2 + kp tangens üçün şaquli asimptotlardır. Nöqtələrdə kp tangens və yamac müvafiq olaraq 0 və 1-dir (şək. 12).
Sinusun 0 olduğu yerdə kotangens müəyyən edilmir (zaman x = kp). Digər nöqtələrdə monoton şəkildə azalır və düz xətlər x = kp – onun şaquli asimptotları. Nöqtələrdə x = p/2 +kp kotangens 0 olur və bu nöqtələrdə maillik –1-ə bərabər olur (şək. 13).
Paritet və dövrilik.
Hətta əgər funksiya çağırılır f(–x) = f(x). Kosinus və sekant funksiyaları cüt, sinus, tangens, kotangent və kosekant funksiyaları isə təkdir:
| günah (–α) = – günah α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| san (–α) = san α | kosek (–α) = – kosek α |
Paritet xassələri nöqtələrin simmetriyasından irəli gəlir P a və R-a (Şəkil 14) oxa nisbətən X. Belə simmetriya ilə nöqtənin ordinatı işarəni dəyişir (( X;saat) gedir ( X; –у)). Bütün funksiyalar - dövri, sinus, kosinus, sekant və kosekant 2 dövrə malikdir səh, və tangens və kotangens - səh:
| günah (α + 2 kπ) = günah α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | çarpayı(α+ kπ) = cotg α |
| san (α + 2 kπ) = saniyə α | kosek(α+2 kπ) = kosek α |
Sinus və kosinusun dövriliyi bütün nöqtələrin olmasından irəli gəlir P a+2 kp, Harada k= 0, ±1, ±2,…, üst-üstə düşür və tangens və kotangensin dövriliyi nöqtələrin olması ilə əlaqədardır. P a+ kp növbə ilə çevrənin diametral olaraq əks iki nöqtəsinə düşür, tangens oxunda eyni nöqtəni verir.
Triqonometrik funksiyaların əsas xüsusiyyətləri cədvəldə ümumiləşdirilə bilər:
| Funksiya | Domen | Çoxlu mənalar | Paritet | Monotonluq sahələri ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| günah x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | qəribə | ilə artır x O((4 k – 1) səh /2, (4k + 1) səh/2), azalır x O((4 k + 1) səh /2, (4k + 3) səh/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | hətta | ilə artır x O((2 k – 1) səh, 2kp), da azalır x O(2 kp, (2k + 1) səh) |
| tg x | x № səh/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | qəribə | ilə artır x O((2 k – 1) səh /2, (2k + 1) səh /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | qəribə | da azalır x HAQQINDA ( kp, (k + 1) səh) |
| san x | x № səh/2 + p k | (–Ґ , –1] VƏ [+1, +Ґ ) | hətta | ilə artır x O(2 kp, (2k + 1) səh), da azalır x O((2 k– 1) səh, 2 kp) |
| kosek x | x № p k | (–Ґ , –1] VƏ [+1, +Ґ ) | qəribə | ilə artır x O((4 k + 1) səh /2, (4k + 3) səh/2), azalır x O((4 k – 1) səh /2, (4k + 1) səh /2) |
Azaltma düsturları.
Bu düsturlara görə a arqumentinin triqonometrik funksiyasının qiyməti, burada səh/2 a p , a arqument funksiyasının dəyərinə endirilə bilər, burada 0 a p /2, onunla eyni və ya tamamlayıcıdır.
| Arqument b |  -a |
+ a | səh-a | səh+ a | + a | + a | 2səh-a |
| günah b | cos a | cos a | günah a | -günah a | -çünki a | -çünki a | -günah a |
| cos b | günah a | -günah a | -çünki a | -çünki a | -günah a | günah a | cos a |
Buna görə də, triqonometrik funksiyalar cədvəllərində qiymətlər yalnız kəskin açılar üçün verilir və özümüzü, məsələn, sinus və tangenslə məhdudlaşdırmaq kifayətdir. Cədvəl sinus və kosinus üçün yalnız ən çox istifadə olunan düsturları göstərir. Bunlardan tangens və kotangens üçün düsturlar almaq asandır. Formanın arqumentindən funksiyanı köçürərkən kp/2 ± a, harada k– a arqumentinin funksiyasına tam ədəd:
1) funksiyanın adı saxlanılırsa k hətta və əgər "tamamlayıcı" olaraq dəyişir k qəribə;
2) sağ tərəfdəki işarə nöqtədə reduksiya olunan funksiyanın işarəsi ilə üst-üstə düşür kp/2 ± a bucağı a kəskin olarsa.
Məsələn, ctg tökərkən (a - səh/2) əmin edirik ki, a – səh/2 at 0 a p /2 kotangensin mənfi olduğu dördüncü kvadrantda yerləşir və 1-ci qaydaya uyğun olaraq funksiyanın adını dəyişirik: ctg (a – səh/2) = –tg a .
Əlavə düsturlar.
Çox bucaqlar üçün düsturlar.
Bu düsturlar birbaşa əlavə düsturlarından əldə edilir:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Cos 3a düsturu Fransua Viet tərəfindən kub tənliyini həll edərkən istifadə edilmişdir. Cos üçün ifadələri ilk tapan o oldu n a və günah n a, sonralar Moivre düsturundan daha sadə şəkildə əldə edilmişdir.
İkiqat arqument düsturlarında a-nı /2 ilə əvəz etsəniz, onlar yarım bucaq düsturlarına çevrilə bilər:
Universal əvəzetmə düsturları.
Bu düsturlardan istifadə edərək, eyni arqumentin müxtəlif triqonometrik funksiyalarını əhatə edən ifadə tək bir tg (a /2) funksiyasının rasional ifadəsi kimi yenidən yazıla bilər, bu, bəzi tənlikləri həll edərkən faydalı ola bilər:
 |
|
 |
 |
Məbləğləri məhsula, məhsulları isə cəmiyə çevirmək üçün düsturlar.
Kompüterlərin meydana çıxmasından əvvəl bu düsturlar hesablamaları sadələşdirmək üçün istifadə olunurdu. Hesablamalar logarifmik cədvəllərdən istifadə edərək aparıldı və daha sonra - slayd qaydası, çünki loqarifmlər ədədləri çoxaltmaq üçün ən uyğundur, buna görə də bütün orijinal ifadələr loqarifmləşdirmə üçün əlverişli formaya gətirildi, yəni. iş üçün, məsələn:
2 günah a sin b = cos ( a–b) - çünki ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 günah a cos b= günah ( a–b) + günah ( a+b).
Tangens və kotangens funksiyaları üçün düsturlar yuxarıda göstərilənlərdən əldə edilə bilər.
Dərəcə azaldılması düsturları.
Çoxsaylı arqument düsturlarından aşağıdakı düsturlar əldə edilir:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Bu düsturlardan istifadə edərək triqonometrik tənlikləri aşağı dərəcəli tənliklərə endirmək olar. Eyni şəkildə, biz sinus və kosinusun daha yüksək gücləri üçün azalma düsturlarını əldə edə bilərik.
| Triqonometrik funksiyaların törəmələri və inteqralları | |
| (günah x)` = cos x; | (cos x)` = –günah x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t günah x dx= –cos x + C; | t cos x dx= günah x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|günah x| + C; |
Tərif sahəsinin hər bir nöqtəsində hər bir triqonometrik funksiya davamlıdır və sonsuz diferensiallanır. Bundan əlavə, triqonometrik funksiyaların törəmələri triqonometrik funksiyalardır və inteqral olduqda triqonometrik funksiyalar və ya onların loqarifmləri də alınır. Triqonometrik funksiyaların rasional birləşmələrinin inteqralları həmişə elementar funksiyalardır.
Triqonometrik funksiyaların qüdrət seriyaları və sonsuz hasillər şəklində təqdim edilməsi.
Bütün triqonometrik funksiyalar güc seriyalarında genişləndirilə bilər. Bu vəziyyətdə funksiyalar günahdır x bcos x cərgələrdə təqdim olunur. bütün dəyərlər üçün konvergent x:
Bu sıralar günah üçün təxmini ifadələr əldə etmək üçün istifadə edilə bilər x və cos x kiçik dəyərlərdə x:
at | x| p/2;
0 x| səh
(B n – Bernoulli nömrələri).
günah funksiyaları x və cos x sonsuz məhsullar şəklində təmsil oluna bilər:
Triqonometrik sistem 1, cos x,günah x, çünki 2 x, günah 2 x,¼,cos nx,günah nx, ¼, seqmentdə formalar [– səh, səh] funksiyaları triqonometrik sıralar şəklində təqdim etməyə imkan verən ortoqonal funksiyalar sistemi.
real arqumentin müvafiq triqonometrik funksiyalarının kompleks müstəviyə analitik davamı kimi müəyyən edilir. Bəli, günah z və cos z günah üçün sıralardan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər x və cos x, əvəzinə x qoy z:
Bu seriyalar bütün təyyarə üzərində birləşir, buna görə də günah z və cos z- bütün funksiyalar.
Tangens və kotangens düsturlarla müəyyən edilir:
tg funksiyaları z və ctg z- meromorf funksiyalar. tg dirəkləri z və s z– sadə (1-ci sıra) və nöqtələrdə yerləşir z = p/2 + pn, dirəklər ctg z və kosek z– həm də sadə və nöqtələrdə yerləşir z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Həqiqi arqumentin triqonometrik funksiyaları üçün etibarlı olan bütün düsturlar kompleks üçün də etibarlıdır. Xüsusilə,
günah(- z) = –günah z,
cos(- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg(- z) = –ctg z,
olanlar. cüt və tək paritet qorunur. Formulalar da saxlanılır
günah( z + 2səh) = günah z, (z + 2səh) = cos z, (z + səh) = tg z, (z + səh) = ctg z,
olanlar. dövrilik də qorunur və dövrlər real arqumentin funksiyaları ilə eynidir.
Triqonometrik funksiyalar sırf xəyali arqumentin eksponensial funksiyası ilə ifadə edilə bilər:
Geri, e iz cos ilə ifadə olunur z və günah z düstura görə:
e iz= cos z + i günah z
Bu düsturlara düsturlar deyilir Eyler. Leonhard Euler onları 1743-cü ildə inkişaf etdirdi.
Triqonometrik funksiyaları hiperbolik funksiyalarla da ifadə etmək olar:
z = –iş iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
burada sh, ch və th hiperbolik sinus, kosinus və tangensdir.
Mürəkkəb arqumentin triqonometrik funksiyaları z = x + iy, Harada x Və y– həqiqi ədədlər, həqiqi arqumentlərin triqonometrik və hiperbolik funksiyaları ilə ifadə oluna bilər, məsələn:
günah( x + iy) = günah x ch y + i cos xş y;
çünki( x + iy) = cos x ch y + i günah xş y.
Mürəkkəb bir arqumentin sinusu və kosinusu mütləq dəyərdə 1-dən böyük real dəyərləri qəbul edə bilər. Misal üçün:
Əgər naməlum bucaq triqonometrik funksiyaların arqumenti kimi tənliyə daxil olarsa, o zaman tənliyə triqonometrik deyilir. Belə tənliklər o qədər geniş yayılmışdır ki, onların üsulları həllər çox təfərrüatlı və diqqətlə hazırlanmışdır. İLƏ Müxtəlif texnika və düsturlardan istifadə edərək triqonometrik tənliklər formanın tənliklərinə endirilir f(x)= a, Harada f– ən sadə triqonometrik funksiyalardan hər hansı biri: sinus, kosinus, tangens və ya kotangens. Sonra arqumenti ifadə edin x bu funksiya məlum dəyəri ilə A.
Triqonometrik funksiyalar dövri olduğundan eynidir A dəyərlər diapazonundan arqumentin sonsuz sayda dəyəri var və tənliyin həlli tək funksiya kimi yazıla bilməz. A. Buna görə də, əsas triqonometrik funksiyaların hər birinin təyini sahəsində hər biri yalnız bir dəfə bütün qiymətlərini aldığı bölmə seçilir və bu bölmədə ona tərs funksiya tapılır. Bu cür funksiyalar orijinal funksiyanın adına qövs (qövs) prefiksini əlavə etməklə işarələnir və tərs triqonometrik adlanır. funksiyaları və ya sadəcə qövs funksiyaları.
Tərs triqonometrik funksiyalar.
Günah üçün X, cos X, tg X və ctg X tərs funksiyaları təyin etmək olar. Onlar müvafiq olaraq arcsin ilə işarələnirlər X("arcsine" oxuyun x"), arcos x, arktan x və arcctg x. Tərifinə görə, arcsin X belə bir nömrə var y, Nə
günah saat = X.
Eyni şəkildə digər tərs triqonometrik funksiyalar üçün. Lakin bu tərif bəzi qeyri-dəqiqlikdən əziyyət çəkir.
Əgər günahı əks etdirirsənsə X, cos X, tg X və ctg X koordinat müstəvisinin birinci və üçüncü kvadrantlarının bissektrisasına nisbətən, sonra funksiyalar dövriliyinə görə qeyri-müəyyən olur: sonsuz sayda bucaq eyni sinusa (kosinus, tangens, kotangens) uyğun gəlir.
Qeyri-müəyyənlikdən xilas olmaq üçün eni ilə əyrinin bir hissəsi səh, bu halda arqumentlə funksiyanın qiyməti arasında təkbətək uyğunluğun təmin edilməsi zəruridir. Koordinatların mənşəyinə yaxın ərazilər seçilir. Sinus üçün “Birə bir interval” olaraq biz [-] seqmentini götürürük. səh/2, səh/2], üzərində sinus monoton şəkildə –1-dən 1-ə qədər artır, kosinus üçün – seqment, tangens və kotangens üçün müvafiq olaraq intervallar (– səh/2, səh/2) və (0, səh). İntervaldakı hər bir əyri bisektora nisbətən əks olunur və indi tərs triqonometrik funksiyalar müəyyən edilə bilər. Məsələn, arqument dəyəri verilsin x 0 , belə ki, 0 Ј x 0 Ј 1. Sonra funksiyanın qiyməti y 0 = arcsin x 0 yalnız bir məna olacaq saat 0 , belə - səh/2 Ј saat 0 Ј səh/2 və x 0 = günah y 0 .
Beləliklə, arksin arksinin funksiyasıdır A, [–1, 1] intervalında müəyyən edilir və hər biri üçün bərabərdir A belə bir dəyərə - səh/2 a p /2 ki, sin a = A. Onu vahid dairədən istifadə etməklə təmsil etmək çox rahatdır (şək. 15). Nə vaxt | a| 1 dairədə ordinatı olan iki nöqtə var a, ox haqqında simmetrik u. Onlardan biri bucağa uyğundur a= arcsin A, digəri isə küncdür p - a. İLƏ sinusun dövriliyini nəzərə alaraq, sin tənliyinin həlli x= A aşağıdakı kimi yazılır:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
Harada n= 0, ±1, ±2,...
Digər sadə triqonometrik tənliklər də eyni şəkildə həll edilə bilər:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
Harada P= 0, ±1, ±2,... (Şəkil 16);
tg X = a;
x= arktan a + səh n,
Harada n = 0, ±1, ±2,... (Şəkil 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + səh n,
Harada n = 0, ±1, ±2,... (Şəkil 18).
Tərs triqonometrik funksiyaların əsas xüsusiyyətləri:
arcsin X(şək. 19): tərif sahəsi – seqment [–1, 1]; diapazon – [– səh/2, səh/2], monoton artan funksiya;
arccos X(Şəkil 20): tərif sahəsi – seqment [–1, 1]; diapazon -; monoton azalan funksiya;
arctg X(Şəkil 21): tərif sahəsi – bütün həqiqi ədədlər; dəyərlər diapazonu - interval (- səh/2, səh/2); monoton artan funksiya; düz saat= –səh/2 və y = p /2 -üfüqi asimptotlar;
arcctg X(Şəkil 22): tərif sahəsi – bütün həqiqi ədədlər; dəyərlər diapazonu - interval (0, səh); monoton azalan funksiya; düz y= 0 və y = p- üfüqi asimptotlar.
Çünki mürəkkəb arqument sin triqonometrik funksiyaları z və cos z(həqiqi arqumentin funksiyalarından fərqli olaraq) bütün mürəkkəb dəyərləri götürür, sonra tənliklər günah edir z = a və cos z = a hər hansı bir kompleks üçün həllər var a x Və y həqiqi ədədlərdir, bərabərsizliklər tətbiq olunur
½| e\e y–e-y| ≤|günah z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
hansı saatda y® Ґ asimptotik düsturlar (bircins olaraq x)
|günah z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Triqonometrik funksiyalar ilk dəfə astronomiya və həndəsə tədqiqatları ilə əlaqədar yaranmışdır. Triqonometrik funksiyalar olan üçbucaq və çevrədəki seqmentlərin nisbətlərinə artıq III əsrdə rast gəlinir. e.ə e. Qədim Yunanıstan riyaziyyatçılarının əsərlərində – Evklid , Arximed, Perqalı Apollonius və başqaları, lakin bu əlaqələr müstəqil tədqiqat obyekti deyildi, ona görə də triqonometrik funksiyaları belə tədqiq etmədilər. Onlar əvvəlcə seqmentlər hesab olunurdu və bu formada Aristarx (e.ə. 4-cü əsrin sonu - 3-cü əsrin 2-ci yarısı), Hipparx (e.ə. 2-ci əsr), Menelaus (e.ə. 1-ci əsr) və Ptolemey (e sferik üçbucaqların həlli. Ptolemey kəskin bucaqlar üçün ilk akkord cədvəlini hər 30"-dən bir 10 -6 dəqiqliklə tərtib etdi. Bu, sinusların ilk cədvəli idi. Nisbət olaraq, sin a funksiyası artıq burada tapılır. Aryabhatas(V əsrin sonu). tg a və ctg a funksiyalarına əl-Bəttanidə (IX əsrin 2-ci yarısı – 10-cu əsrin əvvəlləri) və Əbül-Vefdə (10-cu əsr) rast gəlinir, o da sec a və cosec a-dan istifadə edir. Aryabhata artıq (sin 2 a + cos 2 a) = 1 düsturunu, eləcə də yarım bucaq üçün sin və cos düsturlarını bilirdi, onların köməyi ilə 3°45"-dən keçən bucaqlar üçün sinus cədvəllərini qurdu; Ən sadə arqumentlər üçün triqonometrik funksiyaların məlum dəyərləri Bhaskara (12-ci əsr) əlavə düsturlardan istifadə edərək, müxtəlif arqumentlərin triqonometrik funksiyalarının cəmini və fərqini məhsula çevirmək üçün düsturlar yaratdı. (15-ci əsr) və J. Napier tərəfindən logarifmlərin ixtirası ilə əlaqədar olaraq (1614-cü ildə 1" artımla sinus dəyərləri cədvəli). Triqonometrik funksiyaların güc sıralarına genişlənməsi əldə edilir I. Nyuton(1669). Triqonometrik funksiyalar nəzəriyyəsini müasir formaya L. Eyler (XVIII əsr) gətirmişdir. O, onların real və mürəkkəb arqumentlər üçün tərifinə, hazırda qəbul edilən simvolizmə, onlarla əlaqələrin qurulmasına malikdir. eksponensial funksiya sinuslar və kosinuslar sisteminin ortoqonallığı.
